Об уравнениях в свободных группах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 1 (2012)

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера

80-летию Мартина Давидовича Г риндлингера посвящается

УДК 510.53+512.53+512.54

ОБ УРАВНЕНИЯХ В СВОБОДНЫХ ГРУППАХ

В. Г. Дурнев (Ярославль)

Аннотация

Доказывается финитная неапироксимируемость для уравнений с шестью неизвестными в свободных группах, разрешенных относительно неизвестных.

Обозначим через Гп свободную группу ранга п со свободными образующими а15 ..., ап. Хорошо известно, что свободная группа Гп является финитно аппроксимируемой [2]. Это означает, что для любого неединичного элемента д группы Гп существует конечная факторгруппа ¥п/Ы, в которой образ элемента д

чения свойств финитной аппроксимируемости групп относительно различных предикатов: из их наличия в группе вытекает разрешимость соответствующей алгоритмической проблемы. Пусть С - группа, р - предикат, определенный на группе С и ее гомоморфных образах. Говорят, что группа С финитно аппроксимируема относительно р, если для любых элементов группы С, на которых предикат р ложен, существует такая конечная факторгруппа С/Ы, что предикат р ложен для образов в С/Ы этих элементов. В ряде работ изучалась финитная аппроксимируемость, в частности, свободных групп, относительно таких пре-

п

степени и т.д. Г. Баумслаг [5] установил финитную аппроксимируемость свободных групп относительно сопряженности и возможности извлечения корня простой степени, т.е. относительно разрешимости уравнений вида х-1кх = д и хр = д, где к и д - элементы свободной группы. В работе [6] установлена финитная аппроксимируемость свободных групп относительно разрешимости уравнений вида [х,у] = д и хп = д. В этой же работе построено уравнение вида

■ю(х1,... ,х4,а1,а2) = 1 такое, что оно не имеет решения в свободной группе ^2 со свободными образующими a1 и a2, но уравнение ,ю(х1,... ,х4,Щ,а2) = 1 имеет решение в любой конечной факторгруппе Г2/М, где Щ и а2 образы в факторгруппе Г2/М при естественном гомоморфизме свободных образующих а1 и а2 группы Г2.

В настоящей заметке усиливается этот результат - строится обладающее аналогичным свойством уравнение, разрешенное относительно неизвестных, т.е. имеющее вид 'ю(х1,... ,хт) = д, где д - некоторый фиксированный элемент группы ^2, а слов о ■ю(х1 ,...,хт) не содержит констант, т.е. слово только от переменных.

Теорема 1. При любом, п > 2 и любых неотрицательных т, р и д уравнение

((х2и)2+р(г-1у2ьг)2+ч г2т+3)4[и,ь] = [a1,a2] не имеет решения в свободной группе Гп, однако уравнение

((х2и)2+р(г-1у2уг)2+ч г2т+3)4[и,у] = [а1,а2]

имеет решение в любой конечной факторгруппе Еп/Ы, где через Щи а2 обозначены, образы, свободных образующих а1 и а2 свободной группы, Еп относительно ее естественного гом, ом орфизм, а, на, факторгруппу Еп/Ы.

Доказательство. Пусть ^п/Ы - конечная факторгруппа свободной группы Гп. Покажем, что уравнение

((х2и)2+р(г-1у2уг)2+ч 12т+3)4[и,ь] = [а1,а2] (1)

имеет решение в Рп/Ы.

Полагаем и = а!, V = а2.

Покажем, что уравнение

(х2а~[)2+р(г-1у2а2г)2+чг2т+3 = 1 (2)

имеет решение X, У, Z, Т в Рп/Ы.

Из этого, конечно, будет следовать, что уравнение

((х2и)2+р(г-1у2уг)2+ч г2т+3)4[и,у] = [а1,а2]

имеет решение X, У, Z, Т, и, V в Рп/Ы.

Для произвольного элемента д факторгруппы Рп/Ы через \д\ будем обозначать его порядок.

Пусть \аТ\ = 23(2вг + 1) и \а2\ = 2Г(2т1 + 1).

Тогда \а{23+1\ = 2я и \а22т'+1\ = 2Г.

По теореме Силова [2] в конечной группе Рп/Ы найдется такой элемент, что элементы Щ23 +1 и к-1а22г +1к принадлежат одной и той же силовской 2-подгруппе. Значит этой же силовской 2-подгруппе принадлежит и элемент

д = (ал3'+1)2+р(к-1а22г'+1 к)2+ч.

ОБ УРАВНЕНИЯХ В СВОБОДНЫХ ГРУППАХ

61

Поэтому \д\ = 21 при некотором I.

Существуют целые числа а и в такие, что

1 = 21 а + (2т + 3)р.

Тогда д = дв(2т+3) и в качестве решения уравнения (2) можно взять X = ,

У = а2Т\ Z = к,Т = (д-1)в.

Поэтому в качестве решения уравнения (1) можно взять, например, и = Щ, V = 02, X = а~/, У = а~2г', Z = к, Т = (д-1)в.

Остается показать, что уравнение

((х2и)2+р(г-1у2уг)2+ч 12т+3)4[и,ь] = [а1,а2]

не имеет решения в свободной группе Гп. Предположим противное. Тогда это уравнение имеет решение и, V, X, У, Z, Т в свободной группе Г2.

Из равенства

((X 2 и )2+р^-1У 2VZ )2+ч Т2т+3)4[иV] = [01,02]

по теореме А. А. Вдовиной [1] следуют равенства

(X ‘2и)2+p(Z-1У2VZ)2+чT2m+3 = 1 (3)

и [и, V] = [а1, а2].

Из последнего равенства по теореме А. И. Мальцева [4] следует, что и и V - свободные образующие группы Г2, Поэтому существует такой автоморфизм ф группы ^2, что ф(и) = а и ф(У) = Ь.

Введем обозначения ф(X) = X, ф(У) = У, ф^) = Z, ф(Т) = Т.

Из равенства (3) получаем равенство

(X2а1)2+р (2-1У2а2^)2+чТ2т+3 = 1.

Из последнего равенства по теореме Г. ГЦютценбергера [8] следует, что в свободной группе Г2 найдется такой элемент А и такие целые числа у и 8, что

X2al = А7, ^Уа^ = Ай.

Покажем, что это невозможно.

Для произвольного элемента ^ свободной группы Гп и произвольного г (1 ^ г ^ п) через \w\ai обозначим сумму показателей образующего элемента аг в выражении ,ш через свободные образующие а1у ..., ап. Тогда с одной стороны

--2

2 I IX = 7Ак,

—— 1 —2 —

2 | ^ У 02 Z\а2 = 8\А\а2.

Поэтому 2 | у, 2 | \А\а17 2 | 8, 2 |

Но с одной стороны

--2

2 | \X a\\a2 = Y\A\a2,

2 \ \Z-1Y2a2Z|01 = S\A\ai.

Поэтому или 2 \ y, ил и 2 \ \A\ai, ил и 2 \ 8 или 2 \ \A\a2.

Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. □

Рассмотренное в теореме уравнение имеет вид w(x1,... ,x6) = [a]_, a2]. Представляет интерес вопрос о возможности уменьшения числа неизвестных в левой части уравнения. Ясно, что оно не меньше двух, так как при m = 1 уравнение w(x1 ,...,xm) = g принимает вид x^ = д, а в работе [6] показано, что такое уравнение имеет решение в свободной группе F2 тогда и только тогда, когда оно имеет решение в любой конечной факторгруппе F2/N.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Вдовина А. А. Произведение коммутаторов и квадратов в свободной группе // Третья международная конференция по алгебре. Тезисы докладов. Красноярск, 1993. С. 66 - 67.

[2] Каргаполов М. И. , Мерзляков IO.I I. Основы теории групп. М: Наука, 1972.

[3] Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Ученые записки Ивановского пед. ин-та. 1958. Том 18. С. 49 - 60.

[4] Мальцев А. И. Об уравнении z-1xyx-1y-1z-1 = aba-1b-1 в свободной группе // Алгебра и логика. 1962. Том 1. №5. С. 45 - 60.

[51 Baumslag G. Residual nilpotency and relations in free groups// J. of Algebra. 1965. Volume 2. P. 271 - 282.

[6] Khelif A. Some properies of free groups and their profinite completions. In preperation.

[7] Coulbois T. and Khelif A. Equations in free groups are not finitely approximable // Proceedings of the American mathemetical society. 1999. Volume 127. №4. P. 963 - 965.

[8] Schutzenberger M. P. Sur l’equation a2+n = b2+mc2+p dans un groupe libre// Comptes Rend, de Г Ac. des Sciences (Paris). 1959. Volume 248. P. 2435 - 2436.

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова.

Получено 18.05.2012