CC BY
38
ОБ АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ПРОБЛЕМЫ РАСПОЗНАВАНИЯ ПРЕДИКАТА АННУЛИРОВАНИЯ ВТОРОГО РОДА ДЛЯ МНОГООБРАЗИЙ ПОЛУГРУПП
И. И. Костырев
СПбРОО «Информационная социальная сеть “Взаимопонимание”», зам. пред. правления, [email protected]
Введение. Изучение многообразий алгебраических систем с теми или иными условиями конечности является определяющим направлением в современных алгебраических исследованиях. Одним из таких условий конечности является финитная аппроксимируемость алгебраических систем относительно предикатов. Важность данного понятия в значительной степени определяется связью с алгоритмическими проблемами; именно, как отметил А. И. Мальцев [1], финитная аппроксимируемость конечно порожденной алгебраической системы относительно некоторого предиката в многообразии, заданном конечным набором тождеств, влечет алгоритмическую разрешимость проблемы распознавания этого предиката в рассматриваемой системе.
В полугруппах особо значимым является предикат делимости. На языке делимости определяются отношения Грина, простота, регулярность и ее модификации, распознаваемость (в смысле Эйленберга [2]) и другие важные свойства полугрупп.
Одним из важных случаев отношения делимости является отношение аннулирования а : (а, Ь) € а аЬ = Ьа = а. На языке отношения аннулирования определяется фундаментальный порядок на множестве идемпотентов в кольцах и полугруппах. Это отношение естественным образом возникает при рассмотрении инверсных полугрупп, полуструктур групп и полуструктур ниль-полугрупп.
В соответствии с общим определением полугруппа Б называется финитно аппроксимируемой относительно предиката аннулирования. если для любых ее элементов а, Ь таких, что а не является нулем для Ь, существует конечная полугруппа Б * и гомоморфизм ] : Б ^ Б*, такой что f (а) не является нулем для ](Ь). Многообразие полугрупп финитно аппроксимируемо относительно предиката, если оно состоит из финитно аппроксимируемых полугрупп относительно данного предиката.
Особый интерес представляет алгоритмический аспект. Если система задана некоторым набором определяющих соотношений и некоторым набором тождеств, то возникает вопрос: существует ли алгоритм, который для любых двух слов определяет, является ли одно слово нулём для другого. В общем случае ответ отрицательный. В частности, это следует из результата П. С. Новикова [3].
Описание многообразий полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предиката аннулирования, дано в [4].
Постановка задачи. Как показали исследования, алгоритмическая проблема распознавания аннулирования может быть решена, если предикат аннулирования модифицировать, а именно наложить на элемент Ь условие идемпотентности. Данный предикат
© И. И. Костырев, 2010
называется предикатом аннулирования второго рода и обозначается га:
(а, Ь) € га аЬ = Ьа = а, Ь2 = Ь.
Для полугрупп и многообразий, финитно аппроксимируемых относительно предиката аннулирования второго рода, вводятся обозначения: Б € Па, V С Па. Было показано [5], что финитно аппроксимируемыми относительно данного предиката оказываются такие важные объекты из теории полугрупп, как полуструктуры, прямоугольные связки, вполне простые полугруппы.
В формулировке результатов этой работы будет использоваться набор конечных полугрупп, которые называются индикаторными полугруппами. Впервые они были использованы в работах Голубова и Сапира [6], Кублановского [7], Петрича [8]. Вот эти полугруппы (все неуказанные произведения равны 0):
Бо = {а, Ь, с, 0 | аЬ = Ьа = с},
Бц = {а, х, е, 0 | хе = а, е2 = е, ае = а},
Б21 = {х, е,/,д I е/ = /, /е = е, хе = е, ех = е, /х = е, х/ = /, хд = д,
дх=/, ед=g, де=e, /д=g, д/=/, е = е /2 = /, д2=g, х2 = е}.,
Б31 = {и, V, е, /,а, 0 I ие = V/ = а, е2 = е,
/2 = /, е/ = е, /е = /, ае = а/ = а},
Б41 = {е, а, 0 I е2 = е, еа = а},
Б^г — полугруппы, антиизоморфные полугруппам Бц (г = 1, 2, 3,4),
Ь^ и — двухэлементные полугруппы левых и правых нулей с
внешне присоединёнными единицами.
Теорема. Для многообразия полугрупп V следующие утверждения эквивалентны:
1) V финитно аппроксимируемо относительно предиката аннулирования второго рода;
2) для некоторого натурального п в V выполняется одна из групп тождеств
ху = хп+1уп+\ (ахуЬ)п = (аухЬ)п; (1)
ху = хуп+1, ахупЬ = аупхЬ; (2)
ху = хп+1у, ахупЬ = аупхЬ; (3)
3) ни одна из полугрупп 8о, 821, 84;, Ь2,, Д2,, 82г, Б^г не принадлежит V;
4) V финитно аппроксимируемо относительно предиката вхождения в максимальную подгруппу.
Замечание. Если в пункте 2 выполнены тождества (1); то условие 4 теоремы эк-вива,лентно финитной аппроксимируемости относительно предиката вхождения в односторонний идеал.
Доказательство. 1 =^ 2. Пусть V С Па. Тогда многообразие V финитно аппроксимируемо относительно предиката вхождения в двусторонний идеал полугруппы [5].
Поэтому согласно [9] мы имеем V С [xy = (xy)n+1] или V С [xy = xyn+1, axy = aynxy], или V С [xy = xn+1y, yxa = yxyna].
Обозначим через Si полугруппу, множество элементов которой равно
Si = N U ({l}xN) U {a, b}, а умножение задается следующим правилом: для любых x,y G ({l}xN) U {a, b}, m,n G N
xy = y, a ■ n = b ■ n = m ■ n = a, ny = y a, если n = m,
(l, m) ■ n =
I b, если n = m.
Как показано в [5], полугруппа Si и двойственная ей полугруппа Sr не являются финитно аппроксимируемыми относительно ia. Следовательно, существует тождество u = v, выполняющееся в V, но не в Si. Из определения последней полугруппы следует, что в ней любое произведение нескольких элементов равно произведению последних двух элементов; поэтому последние две буквы слова u не совпадают с последними двумя буквами слова v. Если последние буквы x, y слов u, v различны, то тождество uy = vy многообразия V принимает вид u'xy = v'y2; если же слова u, v кончаются одной и той же буквой y, то предпоследние буквы x, z этих слов различны, и тождество u = v многообразия V имеет вид u''xy = v"zy; после подстановки вместо буквы z = x буквы y оно тоже принимает вид u'xy = v'y2. Заменяя все буквы слов u', v', отличные от x, y, на буквы x, y, получим, что для некоторых слов t, s от (x, y) в V выполняется тождество txy = sy2.
Пусть V С [xy = (xy)n+1], S G V, x,y G S. Тогда xyt,xy лежат в одной вполне простой подполугруппе S (см. [4]), откуда следует, что xy = wxytxy, w G S. Из полученного равенства и тождества txy = sy2 получаем, что в V выполняется тождество x ■ y = x ■ yn+1. Двойственным образом из того, что S\ G Fia, получаем, что в V выполняется тождество x ■ y = xn+1 ■ y. Из этих двух тождеств сразу следует, что и xy = xn+1yn+1 —тождество V. В частности, это означает, что в любой полугруппе S G V С Fia отображение g : x ^ xn+1 является гомоморфизмом.
Докажем, что в V выполняется второе из тождеств (1). Если S G V С Fia, то, как показано в [5], S С S'/S12 x S, где S — образ гомоморфизма S ^ S, сопоставляющего каждому элементу x G S его (п+1)-ю степень xn+1. Полугруппы L1,, Д1. не принадлежат V; поэтому из теоремы Петрича ([10], теорема IV. 1.6) следует, что S1 С J] S0, где Si — вполне простые полугруппы из V, каждая из которых по теореме Риса—Сушкевича является прямоугольной связкой групп экспоненты n. Очевидно, что для этих связок выполнено тождество (axyb)n = (ayxb)n. Отсюда следует, что это тождество выполнено ив S. Оно выполнено и в полугруппе с нулевым умножением S/S2. Поскольку S С S/S2 x S', указанное тождество выполнено ив S.
Пусть теперь V С [xy = xyn+1,axy = aynxy], но не содержится в [xy = (xy)n+1 ]. Рассмотрим полугруппу S G V. Как уже было сказано выше, V финитно аппроксимируемо относительно предиката вхождения в двусторонний идеал полугруппы. Тогда по предложению 8 из [9] множество Es идемпотентов полугруппы S оказывается подполугруппой S. Поскольку полугруппы L2, Д2 не содержатся в V (см. [5]), мы получаем, что Es — нормальная связка. По следствию 5 из [9] мы получаем, что
V С [xy = xyn+1, axynb = aynxb].
Случай V С [xy = xn+1 y, yxa = yxyna] рассматривается двойственным образом.
2 =^ 1. Пусть сначала в V выполнены тождества
xy = xn+1 yn+1, (axyb)n = (ayxb)n, (1)
и пусть S G V. Полугруппа S/S2 финитно аппроксимируема относительно предиката аннулирования второго рода как полугруппа с нулевым умножением. Отображение x ^ xn+1 является гомоморфизмом полугруппы S в себя; пусть S — образ этого гомоморфизма. Тождество (axyb)n = (ayxb)n выполнено в S, но не выполнено в L1,R1; поэтому по теореме Петрича [10] S С П S0, где 5\ — вполне простые полугруппы, которые, как было сказано выше, финитно аппроксимируемы относительно предиката аннулирования второго рода. Отсюда следует, что полугруппа SS финитно аппроксимируема относительно предиката ia. По лемме 2.2 из [18] получаем, что S С S/S'2 x S G Fia.
Пусть теперь в V выполнены тождества
xy = xyn+1, axynb = aynxb, (2)
и пусть S — полугруппа из V.
Лемма 1. Если в полугруппе S выполнены тождества xy = xyn+1, axynb = aynxb
или тождества xy = xn+1y, axynb = aynxb, то в S выполнено тождество (xy)n+1 =
xn+1yn+1.
Согласно этой лемме, отображение ф : x ^ xn+1 является эндоморфизмом S. В полугруппе ф(Б') выполняется тождество xy = xn+1yn+1, и значит, она является вполне регулярной. Легко видеть, что множество идемпотентов Еф(S) полугруппы ф(S) — подполугруппа S, и в ней выполнено тождество axyb = ayxb, то есть она является нормальной связкой. По теореме Петрича мы получаем, что ф(Б') С П S0, где Si — вполне простые полугруппы. Но вполне простые полугруппы из V по теореме Риса— Сушкевича являются прямоугольными связками групп, в которых выполняется тождество (axyb)n = (ayxb)n. Значит, оно выполнено и в ф(S), поэтому полугруппа ф(S) принадлежит многообразию с тождествами (1), и по уже доказанному ф(S) G Fia.
Пусть a, b S, b2 = b, (a, b) / ia. Нам нужно показать, что существует гомоморфизм ф полугруппы S в некоторую конечную полугруппу, разделяющий a и b относительно предиката ia.
Случай 1. a = ba. Тогда ab = a, потому что (a, b) G ia. Используя первое из тождеств (2), получим, что a = ba = ban+1, то есть что an —правая единица для ba, а значит, и для a. Таким образом, a = an+1 = ф(a). Поскольку b — идемпотент, b = bn+1 = ф(Ь). Итак, a,b G ф(S), (a, b) G ia. Для элементов a,b G ф(S), существует гомоморфизм p из ф(S) в некоторую конечную полугруппу, разделяющий их относительно предиката ia; тогда композиция гомоморфизмов p и ф разделяет относительно ia элементы a = ф(о,)
и ь = ф(ь).
Случай 2. a = ba. Если a не принадлежит главному идеалу I (ba), порожденному элементом ba, то по следствию 5 из [9] полугруппа S финитно аппроксимируема относительно предиката вхождения в двусторонний идеал. Поэтому существует гомоморфизм ф из полугруппы S в конечную полугруппу, такой что ф(a) = ф(ba). Тогда (ф(a), Ф(Ь)) G ia, и мы получаем условие финитной аппроксимируемости относительно предиката ia. Если же a G I (ba), то a = ubav, u,v G S1. Пользуясь тождествами (2), получаем, что a = uban+1v, то есть что a делится на свой квадрат. По теореме Риса a — групповой элемент, и значит, a = an+1. Повторяя рассуждения случая 1, мы приходим к нужному результату.
Двойственным образом доказывается, что финитно аппроксимируемы относительно га многообразия с тождествами (3).
2 3. Это утверждения следует из результатов работы [7] и следующих лемм из [5].
Лемма 2. Ь^Я € V.
Лемма 3. Для того чтобы для некоторого п € N многообразие полугрупп V содержалось в многообразии [ху = (ху)п+1], необходимо и достаточно, чтобы в многообразии
V не содержались полугруппы Б41, Б4Г, Бо.
Лемма 4. Для того чтобы для некоторого п € N многообразие полугрупп V содержалось в многообразии [ху = хуп+и], необходимо и достаточно, чтобы в многообразии V не содержались полугруппы Бц, Б4Г, Бо.
3 4. Доказано в работе [7].
Теорема полностью доказана.
Как видно из формулировки теоремы, алгоритмическая разрешимость проблемы распознавания предиката аннулирования второго рода связана с проверкой принадлежности его исследуемому многообразию ряда индикаторных полугрупп. Приведенные ниже следствия дают её положительное решение.
Следствие 1. Существует алгоритм, который для любого многообразия полугрупп, заданного конечным набором тождеств, за конечное число шагов определяет, является ли это многообразие финитно аппроксимируемым относительно предиката аннулирования второго рода.
Доказательство. Из пункта 3 теоремы ясно, что для проверки финитной аппроксимируемости необходимо установить, выполняются ли тождества из соответствующего конечного набора в семи индикаторных полугруппах. Если тождества не выполняются, то индикаторные полугруппы в данном многообразии не содержатся, и финитная аппроксимируемость относительно предиката аннулирования второго рода имеет место. Поскольку набор тождеств и все индикаторные полугруппы конечны, выполнимость данных тождеств можно проверить за конечное число шагов.
Следствие 2. Если в многообразии полугрупп выполнены тождества (1) или тождества (2), или тождества (3), то во всех конечно определённых полугруппах этого многообразия алгоритмически разрешима проблема распознавания предиката аннулирования второго рода.
Доказательство. Сразу следует из теоремы и результата Мальцева [1].
В качестве замечания к теореме следует отметить, что существуют полугруппы, не находящиеся в многообразиях из теоремы, которые финитно аппроксимируемы относительно предикатов вхождения в максимальную подгруппу и односторонний идеал, но не являются финитно аппроксимируемыми относительно предиката аннулирования второго рода. Примером такой полугруппы служит полугруппа
Бкр = {аг, Ь | г € N и {с-1,с2, 0},
умножение элементов которой задается следующим образом:
хуг = 0 для любых х,у, г € Бьр,
ai ■ b3 = b3
C1, если i = j;
3 3 i ' c2, если i = j
(все неуказанные произведения равны 0).
Литература
1. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. Зап. Ивановск. пед. ин-та 18 (1958), №5.
2. Eilenberg S. Automata, languages and machines // Academic Press, Inc. Orlando, FL, USA, 1974.
3. Новиков П. С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп. М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1955.
4. Костырев И. И. О финитной аппроксимируемости многообразий полугрупп относительно предиката аннулирования // Деп. в ВИНИТИ, №1428 -В2005.
5. Костырев И. И. О финитной аппроксимируемости многообразий полугрупп относительно предиката аннулирования II рода // Известия Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена. Аспирантские тетради. Вып. 1(1), 2006.
6. Голубов Э.А., Сапир М. В. Многообразия финитно аппроксимируемых полугрупп // Докл. АН СССР. Т. 247. 1979. №5.
7. Кублановский С. И. Финитная аппроксимируемость и алгоритмические вопросы // Современная алгебра: Межвуз. сб. науч. тр. Л.: ЛГПИ, 1983. С. 59-78.
8. Petrich M. Introduction to semigroups. Pennsylvania State University, 1973.
9. Кублановский С. И. О финитной аппроксимируемости предмногообразий полугрупп относительно предикатов // Современная алгебра. Л., 1980. С. 58-88.
10. Petrich M., Reilly N. R. Completely regular semigroups. New York: John Wiley and sons, 1999.
Статья поступила в редакцию 20 мая 2010 г.
