Аппроксимация полугруппы характеров гомоморфизмами в мультипликативную полугруппу конечного поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.533.28(045)

КОРАБЕЛЬЩИКОВА Светлана Юрьевна,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры, логики и теории чисел Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Автор 17 научных публикаций

ИГНАТЬЕВА Ирина Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Ленинградского государственного университета имени А.С. Пушкина. Автор 11 научных публикаций

АППРОКСИМАЦИЯ ПОЛУГРУППЫ ХАРАКТЕРОВ ГОМОМОРФИЗМАМИ В МУЛЬТИПЛИКАТИВНУЮ ПОЛУГРУППУ КОНЕЧНОГО ПОЛЯ

В работе рассматривается задача аппроксимации полугруппы характеров относительно предиката равенства гомоморфизмами в мультипликативную полугруппу конечного поля. Найдены необходимые и достаточные условия аппроксимации полугруппы Hom(A, Px) относительно предиката равенства конечными характерами.

Полугруппа характеров, аппроксимация относительно предиката, комплексный характер, гомоморфизм, мультипликативная полугруппа поля

Пусть Р - некоторое поле, Рх - мультипликативная полугруппа поля Р. Гомоморфизм Ж полугруппы А в Рх будем называть характером полугруппы А в поле Р. Если Р - поле комплексных чисел, то Ж называют комплексным характером полугруппы А. Совокупность всех характеров полугруппы А в поле Р относительно операции поточечного умножения образует полугруппу Нот(А, Рх), называемую полугруппой характеров.

Полугруппы характеров, являясь по существу сопряженным пространством исходной полугруппы, служат традиционным объектом исследований как теории полугрупп, так и функционального анализа. Изучением полугрупп комплексных характеров занимались С. Шварц [1, 2], М.М. Лесохин [3] и ряд других авторов. Вопросам аппроксимации полугруппы Нот( А, Рх) комплексными характера-

© Корабельщикова С.Ю., Игнатьева И.В., 2011

ми и изучению ее строения посвящены работы С.Ю. Корабельщиковой [4, 5].

Одним из важных направлений в современной алгебре является исследование не только самой алгебраической системы, но и производных от нее систем, в частности подсистем и их гомоморфных образов. В работах Н.Л. Додо-новой [6] исследовалась слабая двойственность полугрупп, а И.В. Игнатьева [7] изучала SH -аппроксимацию полугрупп конечными характерами.

Начало широкого применения аппроксима-ционных методов в алгебре связано с именем академика А.И. Мальцева. В его работе «О гомоморфизмах на конечные группы» было дано общее понятие аппроксимации алгебр аи-ческих систем, показана связь финитной аппроксимируемости алгебраической системы относительно какого-либо предиката с алгорит-

мической разрешимостью проблемы этого предиката в рассматриваемой системе. В частности, аппроксимационными методами С.И. Куб-лановским [8] был положительно решен вопрос алгоритмической разрешимости проблемы делимости в целой серии многообразий полугрупп. Е.А. Толкачева [9] исследовала аппроксимируемость трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр.

В настоящей работе найдены условия аппроксимации полугруппы характеров относительно предиката равенства гомоморфизмами в мультипликативную полугруппу конечного поля.

Определение. Пусть А - произвольная полугруппа, Q - некоторый предикат, заданный на элементах, подмножествах полугруппы А и всех ее гомоморфных образов, Ф - некоторое множество гомоморфизмов полугруппы А. Будем говорить, что полугруппа А аппроксимируема гомоморфизмами из Ф относительно предиката Q, если для любых подмножеств А1 и А2 полугруппы А таких, что Q(А1, А2) ложно, существует гомоморфизм реФ, для которого ложно.

Известно, что для любого натурального п и для любого простого числа р существует единственное с точностью до изоморфизма конечное поле из рп элементов, которое мы будем обозначать F п [10]. В качестве множества Ф

р

из определения, приведенного выше, мы будем рассматривать гомоморфизмы полугруппы характеров Нот( А, Рх) в мультипликативную полугруппу поля F п. Под предикатом Q будем понимать предикат равенства - важнейший и наиболее естественный в любой алгебраической системе.

Теорема. Для произвольной полугруппы А и для любого поля Р полугруппа характеров Нот(А, Рх) аппроксимируема относительно равенства гомоморфизмами в мультипликативную полугруппу конечного поля F п тогда и только тогда, когда Нот( А, Рх) - периодическая полугруппа, порядки элементов которой являются делителями числа рп-1.

Доказательство.

Необходимость. Для любой полугруппы А и для любого поля Р полугруппа Нот(А,Рх)

коммутативна, регулярна, обладает нулем и единицей. Коммутативность и регулярность полугруппы Нот( А, Рх) следует из свойств умножения в поле Р. Нулем полугруппы характеров служит нулевой гомоморфизм, а единицей т

(а) ы. х

Так как полугруппа Нот(А,Рх) является коммутативной регулярной полугруппой, то ее можно представить в виде объединения своих максимальных подгрупп: Нот(А,Рх )= uGт, т е Е, где Е - полурешетка идемпотентов полугруппы Нот( А, Рх).

Докажем периодичность полугруппы Нот(А,Рх). Пусть ц- произвольный элемент полугруппы Нот( А, Рх). Пусть ц не является периодическим, тогда для любого натурального k имеет место Ц Ф цк. Выберем k = рп-1. В силу аппроксимируемости полугруппы Нот( А, Рх) относительно равенства гомоморфизмами в конечное поле F п, существует характер ж такой, что ж (Ж к) Ф Ж (Ж2к)- С другой

стоPоны, ж (цк) = (Ж (¥))к = 1 = (Ж (ц2))к = = Ж (Цк) в силу свойств гомоморфизма и выбора числа к. Следовательно, предположение о существовании непериодического элемента неверно. Таким образом, полугруппа Нот( А, Рх) периодична.

Докажем, что порядки элементов полугруппы Нот(А,Рх) являются делителями числа рп-1 = т.

Пусть ц- произвольный элемент полугруппы Нот( А, Рх), тогда найдется максимальная подгруппа Gт такая, что цеGт. Достаточно показать, что цП1 = 1 Предположим, что цП1 Ф т.

В силу аппроксимируемости полугруппы Нот( А, Рх) относительно равенства, найдется характер х полугруппы Нот( А, Рх) в конечное поле ¥рп такой, что ж(ц т)ФЖ(т). Имеем: Ж (ц) е ж (Gт) с ¥ „ \ \0}, следовательно,

Ж (Ц т ) = (Ж (Ц) )т = 1 = Ж (т).

Получили противоречие. Значит, Ц" = т. Поскольку ц- произвольно выбранный элемент полугруппы Нот( А, Рх), то порядки всех элементов полугруппы Нот( А, Рх) являются делителями числа рп-1.

Необходимость доказана.

Достаточность.

Достаточно показать, что любая периодическая полугруппа Нот(А,Рх), порядки элементов которой являются делителями числа рп-1, аппроксимируема относительно равенства гомоморфизмами в мультипликативную полугруппу конечного поля Грп .

Пусть ц и ц2 - элементы полугруппы Нот( А, Рх) такие, что ц Ф ц2. Так как полугруппа Нот( А, Рх) является коммутативной и регулярной, возможны 2 случая:

10. Пусть найдется максимальная подгруппа Gт полугруппы Нот( А, Рх) такая, что ц и ц2 лежат в Gт . По условию порядки элементов полугруппы Нот( А, Рх) ограничены в совокупности, следовательно, это же имеет место и для ее подгруппы Gт. Тогда по теореме [11] группа Gт раскладывается в прямое произве-

п в.

ге1

Тогда найдутся такие ар а2, ...,а.,... и /Зр /32, Па1 и ц= П В1 , где

О а ге1 ге1

а, р. е В.

Г • г 1

По предположению ц Ф ц2, следовательно, найдется циклическая подгруппа В. такая, что а. Ф Р. 1

Рассмотрим проективный гомоморфизм h группы Gт на подгруппу В. При таком гомоморфизме h (ц) = а. Ф Щ = h (ц2).

Пусть циклическая подгруппа В. имеет порядок s, тогда в ней имеется элемент р порядка s и В. = < р >. По условиюрп-1 делится на s, поэтому в мультипликативной полугруппе поля ¥рп найдется элемент у порядка s. Тогда отображение f: В.^ ¥рп \ {0}, заданное по правилу f ( рк ) = у к, является инъективным гомомор-

дение циклических подгрупп, т.е. G

... , Д ..., что

физмом. Значит, f (а.) Ф f Щ ). Следовательно, композиция р гомоморфизмов f и h является гомоморфизмом, таким, что р(ц^) Ф р (ц) Действительно,

Р (¥■) = f ° h (¥■) = f (h (¥])) = (а)

р (ц)= f ° h (ц) = f( h (w:))=f(Рj^.

Продолжим гомоморфизм р максимальной подгруппы Gт в мультипликативную полугруппу поля ¥рп до гомоморфизма всей полугруппы Нот( А, Рх) следующим образом:

Г 0, если we GT x(w)= \ |^(wт),■

и T T Ф T

если ц е 0т' и т'т = т

Из леммы 40 [12] следует, что ж - гомоморфизм, причем в силу построения Ж является гомоморфизмом полугруппы Нот( А, Рх) в мультипликативную полугруппу поля ¥рп . При этом

Ж (ц) = Р (цт) = р (цх) Ф Р (ц-) = = Р ц2т) = Ж (ц)

20. Пусть элементы ц и ц2 лежат в различных максимальных подгруппах G и G2 полугруппы Нот(А,Рх). Пусть т} и т2 - нейтральные элементы подгрупп G и G2 соответственно. Должно выполняться одно из неравенств: т1 т2 Ф т1 или т1 т2 Ф т2. Пусть для определенности верно первое неравенство. Тогда характер полугруппы Нот(А,Рх) на подполугруппу {0, 1} мультипликативной полугруппы поля ¥рп, заданный по правилу

x(w) =

Г 0, если у/ e GT и TjT Ф т

I 1, если це Gт и тхт = тх

можно рассматривать как искомый гомоморфизм. Действительно, ж (ц-) = 1, т.к. т1 т1 = т1, а

Ж (ц-) = 0, Хк. Т1 Т2 Ф Т1.

Теорема доказана.

Список литературы

1. Шварц С. Теория характеров коммутативных полугрупп // Czech. Math. J. 1954. V 4. P. 219.

2. Шварц С. Характеры коммутативных полугрупп как функции классов // Czech. Math. J. 1954. V. 4. P. 291.

3. ЛесохинМ.М. Характеры коммутативных полугрупп // Изв. вузов. Математика. N° 2. 1971. С. 71.

4. Корабельщикова С.Ю. Аппроксимация полугруппы Hom(A, Px) комплексными характерами относительно единично идеальных предикатов // Современная алгебра: межвуз. сб. науч. тр. Вып. 7(27). Ростов н/Д, 2005. С. 15-16.

5. Корабельщикова С.Ю., Евтяева Л.Ю. О строении полугруппы характеров // Вестн. математ. ф-та. Архангельск, 2006. С. 71-75.

6. Додонова Н.Л. К вопросу о слабой двойственности полугрупп // Вестн. Самар. гос. академии путей сообщения. 2004. Вып. 1. С. 45-48.

7. Игнатьева И. В. SH - аппроксимация полугрупп конечными характерами // Современная алгебра: межвуз. сб. науч. тр. Вып. 1. Ростов н/Д, 1996. С. 25-30.

8. Кублановский С.И. О финитной аппроксимируемости предмногообразий полугрупп относительно предикатов // Совр. алгебра. Группоиды и их гомоморфизмы. Л., 1980. С. 58.

9. Толкачева Е.А. Связь аппроксимируемости трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр с аппроксимируемостью их компонент // Вестн. Помор. ун-та. № 3. 2006. С. 125-127.

10. Зяблицева Л.В., Колпачникова Т.А. Конечные поля и многочлены над ними. Архангельск, 2006.

11. Курош А.Г Теория групп. М., 1967.

12. ЛесохинМ.М. Об отделимости подполугрупп комплексными характерами // Матем. сб. 1967. Т. 74(116). № 2. С. 314-320.

Korabelshchikova Svetlana, Ignatieva Irina

APPROXIMATION OF SEMI-GROUP OF CHARACTERS WITH HOMOMORPHISMS INTO THE MULTIPLICATIVE SEMI-GROUP OF A FINITE FIELD

In the given paper the problem of approximation of the semi-group of characters concerning the predicate of equality into the multiplicative semi-group of a finite field has been solved, namely, necessary and sufficient conditions of approximation of semi-group Hom( A, Px ) concerning the predicate of equality by means of finite characters have been found out.

Контактная информация: Корабельщикова Светлана Юрьевна e-mail: [email protected] Игнатьева Ирина Владимировна e-mail: [email protected]

Рецензент - Попов В.Н., доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математики Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова