CC BY
18
УДК 512.5
DOI 10.21685/2072-3040-2017-4-4
В. В. Данг, С. Ю. Корабельщикова, Б. Ф. Мельников
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ ПОЛУГРУПП
Аннотация.
Актуальность и цели. Предметом исследования являются полугруппы и некоторые предикаты, заданные на рассматриваемых полугруппах, в частности, предикат вхождения элемента в подполугруппу и специальный более сложный предикат, заданный на подмножествах множества свободного моноида. В настоящей работе приведены основные результаты, полученные в этой области, их обоснование, а также рассмотрен вопрос аппроксимации свободной полугруппы относительно предиката «эквивалентность в бесконечности».
Материалы и методы. Для решения этой и подобных задач был применен конструктивный подход. При этом одна из построенных нами полугрупп отличается от предложенных ранее тем, что не содержит ни единицы, ни нуля, однако в этом случае она содержит бесконечное число идемпотентов, причем наличие каждого из них является обязательным. С точки зрения аппроксимации относительно предиката принадлежности некоторого элемента подгруппе этой полугруппы она является минимальной полугруппой.
Результаты. В описанном классе полугрупп нами получена минимальная с точки зрения аппроксимации относительно целого класса предикатов. Приведены примеры полугрупп из различных областей математики.
Выводы. Проблема аппроксимации полугрупп состоит из трех компонентов: множество используемых алгебраических структур; множество предикатов, рассматриваемых над элементами и подмножествами этих структур; множество гомоморфизмов над рассматриваемыми объектами, которое обычно определяется ограничениями области прибытия. Изменяя какой-либо один из этих трех компонентов проблемы аппроксимации полугрупп, мы всегда получаем новое направление для дальнейших исследований.
Ключевые слова: аппроксимация полугрупп, минимальная полугруппа аппроксимации, собственная подполугруппа, свободная полугруппа.
V. V. Dang, S. Yu. Korabel'shchikova, B. F. Mel'nikov SOME ISSUES OF SEMIGROUPS APPROXIMATION
Abstract.
Background. The subjects of the study are semigroups and some predicates defined on them, in particular the equality predicate, the predicate of the occurrence of an element in a subsemigroup and a more complicated special predicate defined on subsets of the set of a free monoid.
Materials and methods. To solve this and similar problems, we describe a special semigroup that plays the role of a minimal semigroup for the whole class of predicates under consideration. Moreover, the semigroup considered here does not often contain either one or zero, but in this case it contains an infinite number of idempotents, and the presence of each of them is mandatory.
Results. In the described class of semigroups, we obtained the minimal one from the point of view of approximation with respect to the whole class of predicates. Examples of semigroups from various fields of mathematics are given.
Conclusion. The problem of approximation of semigroups consists of three components. The first is the set of algebraic structures used - such as groups, semi-
groups, etc. The second component is the set of predicates considered above these structures. And the third component is various variants of describing the homomor-phism over the objects under consideration; some examples from different fields of mathematics are given in this article. Changing any one of these three components, we always get a new direction for further research.
Key words: approximation of semigroups, minimal semigroup of approximation, private subsemigroup, free semigroup.
Введение и мотивация
Общая концепция аппроксимации алгебраических систем была впервые рассмотрена в статье А. И. Мальцева [1]. В ней показана связь между аппроксимацией алгебраических систем относительно некоторого заданного предиката и задачей разрешимости этого предиката в рассматриваемой системе. При этом рассматривалось понятие конечно-аппроксимируемой полугруппы и получены некоторые результаты для упомянутых задач.
Задача аппроксимации полугрупп относительно различных предикатов изучалась в последние десятилетия М. М. Лесохиным и его учениками (см. [2-7], а также ссылки, имеющиеся в этих работах). При этом были исследованы такие важные классы полугрупп, как:
• сепаративные;
• коммутативные;
• коммутативные, сепаративные и периодические одновременно;
• коммутативные, регулярные и периодические одновременно;
• инверсные и регулярные одновременно.
В этих классах были найдены необходимые и достаточные условия аппроксимации полугрупп относительно многих важных предикатов, таких как:
• равенство;
• принадлежность элемента подполугруппе;
• принадлежность элемента подгруппе;
• отношение сопряженности [8];
• четыре из пяти отношений Грина [9] (а именно отношения L-, R-, H- и D-эквивалентности);
• принадлежность элемента некоторой циклической подполугруппе [10].
Однако, несмотря на наличие многих результатов об аппроксимации
полугрупп относительно различных предикатов, связанных с вышеупомянутыми важными классами полугрупп, к настоящему времени не было получено результатов об описании минимальной полугруппы аппроксимации относительно предиката принадлежности элемента некоторой подгруппе.
Задачу нахождения минимальной полугруппы с точки зрения аппроксимации относительно различных предикатов также поставил М. М. Лесохин [4]; упомянем работы, связанные с частными случаями ее решения [7, 11]. Для решения этой задачи мы для некоторого рассматриваемого класса полугрупп пытаемся описать минимальную полугруппу аппроксимации. При этом рассматриваемые ранее [8, 12] минимальные полугруппы аппроксимации были, как правило, конечными, либо обладали конечным числом идемпотентов, нулем и единицей. Сейчас мы приводим описание специальной полугруппы, играющей роль минимальной полугруппы аппроксимации относительно целого ряда предикатов. Причем эта полугруппа не содержит ни единичного, ни
нулевого элементов, но содержит бесконечное число идемпотентов, при этом существование любого из них обязательно. С помощью этой полугруппы мы решаем проблему минимальной полугруппы аппроксимации относительно предиката принадлежности элемента подгруппе.
В настоящей работе мы приводим некоторые новые утверждения, связанные с аппроксимацией произвольных полугрупп. Кроме того, мы рассматриваем конкретный пример в новой предметной области - в свободном моноиде. Пример интересен не только этой предметной областью, но и тем, что мы в качестве предиката для аппроксимации рассматриваем нетривиальный предикат, отличный от предикатов, рассматривавшихся ранее.
Предварительные сведения
Повторим определение аппроксимируемости полугруппы гомоморфизмами в том виде, в котором оно было приведено в [11].
Определение 1. Пусть А - произвольная полугруппа; Q - некоторый предикат, заданный на элементах, подмножествах полугруппы А и всех ее гомоморфных образов; Ф - некоторое множество гомоморфизмов полугруппы А . Будем говорить, что полугруппа А аппроксимируема гомоморфизмами из Ф относительно предиката Q, если для любых подмножеств А1 и А2 полугруппы А таких, что Q(А1, А2) ложно, существует гомоморфизм феФ, для которого Q(ф(Al),ф(А2)) ложно. □
Приведем простой пример минимальной полугруппы аппроксимации, который рассмотрен более подробно ранее в [11]. Пусть В = {0, 1} - двухэлементная цепь [13]. Полугруппа В является минимальной полугруппой аппроксимации для класса полурешеток относительно предиката равенства. Однако, с другой стороны, эта полугруппа В не может служить минимальной полугруппой аппроксимации для класса полурешеток относительно предиката вхождения элемента в подполугруппу. Для иллюстрации этого факта мы [11] рассматривали пример трехэлементной цепи А ={а, Ь, с}, ее подполугруппу А1 = {а, с} и элемент Ь^А1. Очевидно, что гомоморфизма ф из А в В, такого что ф(Ь)^ф(А1), не существует.
Далее, пусть А - полугруппа, Ф - множество всех гомоморфизмов полугруппы А, Р - предикат, определенный на элементах множества А, всех подмножествах 8(А) множества А и всех образах элементов А и §(А) относительно гомоморфизмов из множества Ф .
Определение 2. Пусть Q - множество всех простых чисел. Пусть
Ор, р е Q, - квазициклическая группа типа рс единицей ер и операцией,
* *
обозначенной ©р. Положим С = иОр (р е Q). Определим для С операцию
*
произведения следующим образом: У ар, aq е С ,
ар ©р ач, если р = q,
^{р,^ если р ф q и тах{ q}> 3
ap aq
e5, если p Ф q и max{p, q} = 3 .□
* / * \
Известные определения [8] показывают, что С = 1С ,*1 является полугруппой, причем полурешеткой групп Ор р е Q . Схематично полугруппа
*
С изображена на рис. 1.
G,
Оз
Рис. 1. Полугруппа С
Определение 3. Полугруппу А назовем аппроксимируемой гомоморфизмами из множества Ф относительно предиката Р, если для любой пары подмножеств А1, А2 множества А таких, что значение Р(А1, А2) ложно, существует гомоморфизм феФ такой, что значение Р(ф(А1),ф(А2)) также ложно. □
Определение 4. Полугруппа В называется минимальной полугруппой аппроксимации для класса полугрупп К относительно предиката Р, если выполнены следующие три условия:
(г') каждая полугруппа А е К аппроксимируема гомоморфизмами из Ф в полугруппу В относительно предиката Р;
(И) если полугруппа аппроксимируема гомоморфизмами из Ф относительно предиката Р в полугруппу В, то 5 е К ;
(Ш) если В1 - собственная подполугруппа полугруппы В, то существует полугруппа А е К такая, что А не аппроксимируема гомоморфизмами из Ф в полугруппу В1 относительно предиката Р. □
Определение 5. Пусть А - полугруппа. Рассмотрим бинарное отношение п на А, заданное следующим образом: для каждого вполне изолированного идеала I полугруппы А выполнено условие
Ух, у е А (х, у )е^«(х, у е I )(х, у £ I). □
Бинарное отношение п является наименьшей полурешеточной конгруэнцией на полугруппе А.
Определение 6. Подполугруппа ¥ полугруппы А называется фильтром А, если для всех х, у е А. □
Обозначим Щ(х) наименьший фильтр полугруппы А, содержащий х. Далее рассмотрим множество Ых = {у е А | N (х ) = N (у)}. Щх является П-классом, содержащим элемент х, и мы имеем: ЩхЩу = ; Щ 2 =
' xy ■
NxNy = NyNx [14, 15].
Из теории формальных языков нам в первую очередь будет нужно определение морфизма, употребляемое нами согласно [16]: для заданного конечного алфавита
Д = {Ь1,Ь2,...,ЬИ} (1)
и некоторого другого конечного алфавита Е задано также отображение И: Д* ^ X* с помощью равенств
И(Ъх) = «1, И(¿2) = "2,.,И(Ъп) = ип, (2)
где «1, «2,., "п еХ , а также с помощью соотношения
И ( -А )И К )И К)■■•И К )•
Также далее нам будет необходимо определение одного отношения эквивалентности на языках - небольшая модификация этого отношения будет использована ниже в качестве предиката для рассмотрения специального варианта аппроксимации полугрупп. Повторим это определение в том виде, в котором оно было приведено в [17] (в нем рге^^) - язык, включающий все префиксы всех слов языка V).
Определение 7. Пусть V и V - бесконечные языки (элементы глобального надмоноида свободного моноида [17, 18]). Если одновременно выполнены условия
V с рге^) и V с pref (V),
то будем писать V = V и называть языки V и V эквивалентными в бесконечности. □
Остальные термины и определения, необходимые для настоящей статьи, приведены в работах [16, 19-21].
Утверждения, связанные с аппроксимацией полугрупп Утверждение 1. Пусть Ое - подгруппа полугруппы А, с единицей ео. Тогда если содержит е0 , то Geo с .
Доказательство. Предположим, что g е Geo и g £ . Пусть g е ,
Ng ф Ые0 и g_1 е Ng_1. Мы имеем g = geo, g4 = g_1е0, gg_1 = е0, поэтому Ng = Ngeo,N _! = N _! ;N ч = Ые .
g ^0 g g е(,' gg ео
Так как g = ge0 = ggg \ то
Ng = Ngeo = N _! = NgNgN _! = NgN ч = ^.
6 ^ 0 ggg 6 6 g 6 g к0
Этот факт противоречит сделанному нами предположению. Таким образом, каждая подгруппа полугруппы А содержится в одном (своем) П-классе. □
Утверждение 2. Для некоторого класса Щ и некоторого гомоморфизма
ф: А ^ С * образ ф(Щ) содержится в одной максимальной подгруппе полу-
С*
.
Доказательство. Пусть х, у е Ще, тогда х ^ у и ф(х) е Щр, ф(у) е Nр : р Ф ц . Предположим что р > ц. Рассмотрим множество
¿ц = { е С* 1 егец Ф ед К
где е1, ец являются единицами максимальных подгрупп, содержащих ^ и ц
соответственно. является вполне изолированным идеалом полугруппы С*. Обозначим ¿а = {х е А | Зу е ¿ц : ф(х) = у}. Пусть а е ¿а , Ь е А,
ф(а)е ¿ц, тогда ф(аЬ) = ф(а)ф(Ь)е ¿ц, поэтому аЬе ¿а , т.е. ¿а является
идеалом полугруппы А.
Пусть а1 а2 е Jа , тогда ф(а1а2) =ф(а^ ф(а2) е ¿ц . Поэтому ф(а^ е ¿ц
или ф(а2) е ¿ц, откуда а1 е ¿а или а2 е ¿а . Это значит, что ¿а - вполне изолированный идеал полугруппы А.
Мы имеем ф(х )е ¿ц, ф(у )£ ¿ц, поэтому х е ¿а и у £ ¿а , где ¿а -
вполне изолированный идеал. Это значит, что (х, у)£^, это противоречит сделанному выше предположению.
Такое же противоречие получаем для р < ц. Поэтому р = ц, и ф(Щ)
содержится в одной максимальной подгруппе полугруппы С . □
Пример применения аппроксимации полугрупп для бинарных отношений в супермоноиде
В этом разделе мы приведем пример применения аппроксимации полугрупп для некоторого нетривиального предиката (отличного от предикатов, рассматривавшихся нами в предыдущих примерах). Мы будем использовать терминологию статей [17, 21] - в первую очередь рассматриваемое в них бинарное отношение = ; именно небольшую модификацию этого бинарного отношения мы рассмотрим в качестве предиката.
Кроме того, мы, в отличие от предыдущих примеров, посвященных аппроксимации полугрупп, будем рассматривать свободную полугруппу. Точнее - свободный моноид и его подмножества; последние иными словами называем элементами его глобального надмоноида. Предикат Q, употребляющийся в определении аппроксимируемости полугруппы гомоморфизмами, в строимом примере будет практически совпадать с определенным выше отношением = (точнее см. далее). А в качестве множества гомоморфизмов будем рассматривать множество инверсных морфизмов, причем не включающих инверсный морфизм для тривиального морфизма: в случае допущения тривиального инверсного морфизма в качестве возможного гомоморфизма определение аппроксимируемости полугруппы выполняется практически для любого «естественного» предиката.
Итак, приведем строгое описание примера. В качестве исходной полугруппы будем рассматривать свободный моноид (2*, •, е). В качестве множества гомоморфизмов, как уже было сказано, будем рассматривать множество инверсных морфизмов, отличных от тривиального. А в качестве предиката Q, определенного на подмножествах множества 2 (пусть эти подмножества
суть языки А1 и А2), будем рассматривать определенную нами выше эквива-
* * * *
лентность языков А1 и А2, т.е. условие А1 = А2 .
Утверждение 3. При сделанных здесь обозначениях свободный моноид аппроксимируем выбранными гомоморфизмами относительно предиката Q.
Доказательство. При сделанных обозначениях невыполнение предиката Q согласно рассмотренному выше определению можно записать в виде следующего условия:
Al*^pref (А2) или A:*^pref (А1);
при этом, не ограничивая общности, можно считать, что A*^pref (А2), или, что то же самое,
(ые А*)(ы£ А*). (3)
Выберем конкретные языки А1 и А2, для которых предикат Q не выполняется, т.е. выполняется (3); для простоты предположим, что А1 и А2 конеч-ны1. Для такого языка А1 = А, обозначив
А = {ыl,ы2,—,ып} ,
и некоторого нового алфавита А (1), рассмотрим морфизм, записываемый как (2).
Предположим, что предикат Q на языках А_1(А1) и к-1(А2) (т.е. множествах, полученных из А1 и А2 путем применения описанных нами гомоморфизмов - нетривиальных инверсных морфизмов) также не выполняется. Пусть также при сделанных нами обозначениях
ы = ЬгЬг ...Ьг .
г1 2 гк
Тогда, предположив противное (т.е. выполнение предиката Q на языках И~1(А1) и к-1(А2)), мы получим, что
V = Ьг Ьг ...Ьг ^
г1 2 гк
для некоторого ^ еД* . Отсюда получаем
к(ы)е рге/(к(V)),
что является противоречием со сделанным нами предположением о невыполнении предиката Q на исходных языках. □
1 Строгое доказательство приводит к необходимости рассматривать бесконечные алфавиты, в частности, бесконечный алфавит А, чего мы в настоящей статье не делаем; однако доказательство при этом практически не меняется. Про применение в связанных с нашими задачах бесконечных алфавитов см., например, [22, 23].
Практически таким же образом доказывается следующее утверждение (в нем предикат Q тот же самый).
Утверждение 4. Моноид (A ,-,s) аппроксимируем выбранными гомоморфизмами (множеством нетривиальных инверсных морфизмов) относительно предиката Q. □
В качестве важного комментария к настоящему разделу упомянем следующий давно известный, но совсем не тривиальный факт: если язык B регулярен1, то для любого морфизма h : А* ^ S* регулярен и язык h-1(B). Специально подчеркнем, что здесь язык B никак не связан с морфизмом h - именно из этого и следует нетривиальность данного факта. При этом важно отметить:
несмотря на то, что для любого u еА* запись h(u) определяет слово
(см. выше), для любого v eS* запись h-1(v) определяет множество слов (язык) над алфавитом А :
h_1(v) = {u е А* | h(u) = v} ;
при этом определяемое множество может быть и пустым. А язык h-1(B) для любого В cS* строго определяется следующим образом:
h-1(B) = у (h"V))
veB
(и также может быть пустым).
Кроме того, отметим, что оба имеющиеся в [24] доказательства последнего факта вряд ли интересны для построений, приведенных в нашей статье, по следующим двум причинам:
- в доказательстве, озаглавленном там как «короткое алгебраическое» ("Short algebraic proof'), используется моноид, определяющий заданный регулярный язык; однако (согласно, например, [12, 25]) существует целый класс таких моноидов2, что существенно усложняет интересующие нас в первую очередь алгоритмические вопросы подобных построений;
- в приведенном там доказательстве «с помощью конечных автоматов»3 используются только детерминированные автоматы, что, по мнению авторов, делает процесс доказательства существенно более сложным.
Итак, пусть конечный регулярный язык B задан; рассмотрим произвольный определяющий его конечный автомат
K = (Q, I, 5, S, F)
(автоматы определяем согласно [26-28], при этом не имеет значения, является ли автомат K детерминированным, и, в случае недетерминированности, разрешаем ли мы s-переходы). Далее рассмотрим автомат (с тем же самым множеством состояний, в том числе стартовых и финальных):
1 При этом, очевидно, регулярен и часто используемый нами язык-итерация А*.
2 В литературе обычно используется связь полугрупп с конечными автоматами Мили. Однако на ее основе может быть очень легко получена и интересующая нас значительно больше связь полугрупп с конечными автоматами Рабина - Скотта (автоматами Медведева).
3 В нем используются автоматы Рабина - Скотта.
Ка = (<2, А, 5а, 5, ¥),
где функция 5а определяется следующим образом: 5А(ц,а)ец' (для некоторых ц, ц е Q и ае А) тогда и только тогда, когда язык автомата
Кт = (£, I, 5, {ц}, {ц'})
содержит слово к(а) (заметим, что последний автомат, вообще говоря, не является детерминированным, так как 5А(ц, а) определяется неоднозначно). При этом очевидно, что автомат Кд определяет некоторое слово (над алфавитом А) тогда и только тогда, когда морфический образ этого слова определяется автоматом К, и поэтому КА определяет язык к-1(В) , что и требовалось доказать.
Заключение
Проблема аппроксимации полугрупп состоит из трех компонентов. Первый - это множество используемых алгебраических структур, таких как группы, полугруппы, некоторые их специальные виды и т.п. Вторым компонентом является множество рассматриваемых над этими структурами предикатов. А третий компонент - различные варианты описания множества гомоморфизмов над рассматриваемыми объектами, обычно сводящиеся к заданию ограничений на область прибытия. Изменяя какой-либо один из этих трех компонентов, мы всегда получаем новое направление для дальнейших исследований.
Также в настоящей статье приведены некоторые примеры аппроксимации из разных областей математики и основные результаты, полученные нами в этом направлении с достаточно подробным обоснованием. Нами впервые рассмотрен вопрос аппроксимации свободной полугруппы относительно предиката «эквивалентность в бесконечности». Вопрос о минимальной полугруппе аппроксимации относительно этого предиката остался открытым. Возможно, его удастся решить в дальнейшем.
Библиографический список
1. Мальцев, А. И. Избранные труды. Т. 1. Классическая алгебра / А. И. Мальцев. -М. : Наука. - 1976. - 484 с.
2. Лесохин, М. М. О финитной аппроксимируемости коммутативных полугрупп / М. М. Лесохин, Е. А. Голубов // Математические записки Уральского университета. - 1966. - Т. 5, № 3. - С. 82-90.
3. Голубов, Е. А. О финитной аппроксимируемости отделимых естественно линейно упорядоченных коммутативных полугрупп / Е. А. Голубов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 1969. - № 2. - С. 23-31.
4. Лесохин, М. М. Об аппроксимации полугрупп относительно предикатов / М. М. Лесохин // Ученые записки Ленинградского педагогического института ГПИ им. А. И. Герцена. - 1971. - Т. 404. - С. 191-219.
5. Мамиконян, С. Г. Многообразия финитно-аппроксимируемых полугрупп / С. Г. Мамиконян // Математический сборник. - 1972. - Т. 88 (130), № 3 (7). -С. 353-359.
6. Игнатьева, И. В. 8И-аппроксимация полугрупп конечными характерами / И. В. Игнатьева // Современная алгебра : межвуз. сб. науч. тр. - Вып. 1. -Ростов н/Д, 1996. - С. 25-30.
7. Зяблицева, Л. В. Некоторые специальные полугруппы и их гомоморфизмы / Л. В. Зяблицева, С. Ю. Корабельщикова, И. Н. Попов. - Архангельск : Изд-во САФУ, 2013. - 128 с.
8. Dummit, D. S. Abstract Algebra / D. S. Dummit, R. M. Foote. - N.Y. : John Wiley & Sons, 2004. - 932 p.
9. Clark, C. E. Generalized Green's theories / C. E. Clark, J. H. Carruth // Semigroup Forum. - Vol. 20 (2). - 1980. - P. 95-127.
10. Ширяев, В. М. Полугруппы с полудистрибутивными решетками подполугрупп / В. М. Ширяев // Доклады АН БССР. - 1985. - Т. XXIX, № 4. - С. 300-303.
11. Данг, В. В. О задаче нахождения минимальной полугруппы аппроксимации /
B. В. Данг, С. Ю. Корабельщикова, Б. Ф. Мельников // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. -№ 3 (35). - С. 88-99.
12. Общая алгебра / под ред. Л. А. Скорняков. - М. : Наука, 1991. - Т. 2. - 480 с.
13. Шеврин, Л. Н. Решеточные свойства эпигрупп / Л. Н. Шеврин // Фундаментальная и прикладная математика. - 2008. - Т. 14, № 6. - С. 219-229.
14. Petrich, M. Introduction to Semigroups / M. Petrich. - Ohio : Columbus, USA, 1973. - 193 p.
15. Толкачева, Е. А. Аппроксимация трехосновных полугрупповых дистрибутивных алгебр : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.06 / Толкачева Е. А. - СПб. : Рос. гос. пед. университет им. А. И. Герцена, 2006. - 93 с.
16. Саломаа, А. Жемчужины теории формальных языков / А. Саломаа. - М. : Мир, 1986. - 162 с.
17. Мельников, Б. Ф. Об алгоритмах проверки выполнения некоторых бинарных отношений в глобальном надмоноиде свободного моноида / Б. Ф. Мельников,
C. Ю. Корабельщикова, Н. П. Чурикова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 3 (43). -С. 87-99.
18. Мельников, Б. Ф. Описание специальных подмоноидов глобального надмо-ноида свободного моноида / Б. Ф. Мельников // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2004. - № 3. - С. 46-56.
19. Ляпин, Е. С. Полугруппы. / Е. С. Ляпин. - М. : Физматлит, 1960. - 592 с.
20. Clifford, A. The Algebraic Theory of Semigroups / A. H. Clifford, G. B. Preston. -USA : Providence. - 1972. - 225 p.
21. Melnikov, B. F. The equality condition for infinite catenations of two sets of finite words / B. F. Melnikov // International Journal of Foundation of Computer Science. -1993. - Vol. 4, № 3. - P. 267-273.
22. Brosalina, A. Commutation in global supermonoid of free monoids / A. Brosalina, B. Melnikov // Informatica (Lithuanian Acad. of Sciences). - 2000. - Vol. 11, № 4. -P. 353-370.
23. Алексеева, А. Г. Итерации конечных и бесконечных языков и недетерминированные конечные автоматы / А. Г. Алексеева, Б. Ф. Мельников // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. - 2011. - № 3. - С. 30-33.
24. Computer Science Stack Exchange [Электронный ресурс] = Обмен знаниями о теоретической информатике. - URL: https:// cs.stackexchange.com/questions/14785/are-regular-languages-closed-under-inverse-homomorphism, свободный (дата обращения: 10.10.2017).
25. Глушков, В. М. Абстрактная теория автоматов / В. М. Глушков // Успехи математических наук. - 1961. - Т. 16, № 6 (101). - C. 3-62.
26. Melnikov, B. Once more on the edge-minimization of nondeterministic finite automata and the connected problems / B. Melnikov // Fundamenta Informaticae. -2010. - Vol. 104, № 3. - P. 267-283.
27. Мельников, Б. Ф. Многоаспектная минимизация недетерминированных конечных автоматов (Часть I. Вспомогательные факты и алгоритмы) / Б. Ф. Мельников, А. А. Мельникова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 4 (20). - С. 59-69.
28. Melnikov, B. The complete finite automaton / B. Melnikov // International Journal of Open Information Technologies. - 2017. - Vol. 5, № 10. - P. 9-17.
References
1. Mal'tsev A. I. Izbrannye trudy. T. 1. Klassicheskaya algebra [Selected works. Vol. 1. Classical algebra]. Moscow: Nauka, 1976, 484 p.
2. Lesokhin M. M., Golubov E. A. Matematicheskie zapiski Ural'skogo universiteta [Mathematical notes of Ural University]. 1966, vol. 5, no. 3, pp. 82-90.
3. Golubov E. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 1969, no. 2, pp. 23-31.
4. Lesokhin M. M. Uchenye zapiski Leningradskogo pedagogicheskogo instituta GPI im. A. I. Gertsena [Proceedings of Leningrad Pedagogical Institute of the State Pedagogical Institute named after A.I. Gertsen]. 1971, vol. 404, pp. 191-219.
5. Mamikonyan S. G. Matematicheskiy sbornik [Mathematical collection]. 1972, vol. 88 (130), no. 3 (7), pp. 353-359.
6. Ignat'eva I. V. Sovremennaya algebra: mezhvuz. sb. nauch. tr. [Modern algebra: interu-niversity collected papers]. Issue 1. Rostov-on-Don, 1996, pp. 25-30.
7. Zyablitseva L. V., Korabel'shchikova S. Yu., Popov I. N. Nekotorye spetsial'nye polu-gruppy i ikh gomomorfizmy [Some special semigroups and their homomorphisms]. Arkhangel'sk: Izd-vo SAFU, 2013, 128 p.
8. Dummit D. S., Foote R. M. Abstract Algebra. New York: John Wiley & Sons, 2004, 932 p.
9. Clark C. E., Carruth J. H. Semigroup Forum. 1980, vol. 20 (2), pp. 95-127.
10. Shiryaev V. M. Doklady AN BSSR [Reports of AS BSSR]. 1985, vol. XXIX, no. 4, pp. 300-303.
11. Dang V. V., Korabel'shchikova S. Yu., Mel'nikov B. F. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 3 (35), pp. 88-99.
12. Obshchaya algebra [General algebra]. Ed. L. A. Skornyakov. Moscow: Nauka, 1991, vol. 2, 480 p.
13. Shevrin L. N. Fundamental'naya i prikladnaya matematika [Fundamental and applied mathematics]. 2008, vol. 14, no. 6, pp. 219-229.
14. Petrich M. Introduction to Semigroups. Ohio: Columbus, USA, 1973, 193 p.
15. Tolkacheva E. A. Approksimatsiya trekhosnovnykh polugruppovykh distributivnykh al-gebr: dis. kand. fiz.-mat. nauk: 01.01.06 [Approximation of ternary semigroup distributive algebras: dissertation to apply for the degree of the candidate of physical and mathematical sciences]. Saint-Petersburg: Ros. gos. ped. universitet im. A. I. Gertsena, 2006, 93 p.
16. Salomaa A. Zhemchuzhiny teorii formal'nykh yazykov [The pearls of the theory of formal languages]. Moscow: Mir, 1986, 162 p.
17. Mel'nikov B. F., Korabel'shchikova S. Yu., Churikova N. P. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 3 (43), pp. 87-99.
18. Mel'nikov B. F. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 2004, no. 3, pp. 46-56.
19. Lyapin E. S. Polugruppy [Semigroups]. Moscow: Fizmatlit, 1960, 592 p.
20. Clifford A., Preston G. B. The Algebraic Theory of Semigroup. USA: Providence. 1972, 225 p.
21. Melnikov B. F. International Journal of Foundation of Computer Science. 1993, vol. 4, no. 3, pp. 267-273.
22. Brosalina A., Melnikov B. Informatica (Lithuanian Acad. of Sciences). 2000, vol. 11, no. 4, pp. 353-370.
23. Alekseeva A. G., Mel'nikov B. F. Vektor nauki Tol'yattinskogo gosudarstvennogo uni-versiteta [Scientific vector of Togliatti State University]. 2011, no. 3, pp. 30-33.
24. Computer Science Stack Exchange [Elektronnyy resurs] Obmen znaniyami o teo-reticheskoy informatike [Knowledge exchange in theoretical informatics]. Available at: https:// cs.stackexchange.com/questions/14785/are-regular-languages-closed-under-inverse-homomorphism, svobodnyy (accessed October 10, 2017).
25. Glushkov V. M. Uspekhi matematicheskikh nauk [Progress of mathematical sciences]. 1961, vol. 16, no. 6 (101), pp. 3-62.
26. Melnikov B. Fundamenta Informaticae. 2010, vol. 104, no. 3, pp. 267-283.
27. Mel'nikov B. F., Mel'nikova A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2011, no. 4 (20), pp. 59-69.
28. Melnikov B. International Journal of Open Information Technologies. 2017, vol. 5, no. 10, pp. 9-17.
Данг Ван Винь
кандидат физико-математических наук, преподаватель, Государственный политехнический институт в г. Хошимине (268 Ly Thuong Kiet, dist 10, Hochiminh city, Vietnam)
E-mail: dangvvinh@hcmut.edu.vn
Корабельщикова Светлана Юрьевна
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информатики и информационной безопасности, Северный (Арктический) федеральный университет имени М. В. Ломоносова (Россия, г. Архангельск, набережная Северной Двины, 17)
E-mail: s.korabelsschikova@narfu.ru
Мельников Борис Феликсович
доктор физико-математических наук, профессор, кафедра информационных систем и сетей, Российский государственный социальный университет (Россия, г. Москва, ул. Вильгельма Пика, 4)
E-mail: bf-melnikov@yandex.ru
Dang Van Vin'
Candidate of physical and mathematical sciences, lecturer, State Polytechnic Institute of HochiMinh (268 Ly Thuong Kiet, dist 10, Hochiminh city, Vietnam)
Korabel'shhikova Svetlana Jur'evna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of informatics and information security, Northern (Arctic) Federal University named after M. V. Lomonosov (17 Severnoy Dviny embankment, Arkhangelsk, Russia)
Mel'nikov Boris Feliksovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of information systems and networks, Russian State Social University (4 Wilgelma Pika street, Moscow, Russia)
УДК 512.5 Данг, В. В.
Некоторые вопросы аппроксимации полугрупп / В. В. Данг, С. Ю. Корабельщикова, Б. Ф. Мельников // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. -№ 4 (44). - С. 46-57. БОТ 10.21685/2072-3040-2017-4-4
