О финитной аппроксимируемости многообразий полугрупп относительно предиката аннулирования II рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

И. И. Костырев

О ФИНИТНОИ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ МНОГООБРАЗИИ ПОЛУГРУПП ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕДИКАТА АННУЛИРОВАНИЯ

ПРОДА

Кафедра алгебры.

Научный руководитель - Н. Л. Гордеев

Предикат аннулирования а был рассмотрен в работе ((а,Ь) еа< = >аЬ = Ъа-а). Результатом стало получение необходимых и достаточных условий финитной аппроксимируемости многообразий полугрупп относительно указанного предиката. Настоящая статья посвящена изучению предиката аннулирования II рода га, получающегося из а сужением области определения:

2

(а, Ъ) е га < = > аЬ = Ъа = а, Ъ — Ъ.

Несмотря на внешнее сходство, это совершенно другой предикат, и многообра-

зия, финитно аппроксимируемые относительно га, устроены отличным образом по отношению к рассмотренным ранее. В данном исследовании также затронут алгоритмический аспект проблемы.

Определения и обозначения. В настоящей работе будем использовать обозначе-

3

ния, введенные в статье .

Кроме того, введем следующие определения.

Ь\ (Я\) - двухэлементная полугруппа

левых (правых) нулей с внешне присоединенной единицей.

_2 _____

8° = {а, Ъ, с, 0\аЬ=Ьа = с}, 8п = {а, х, е, 0 \ хе = а, е -е,ае- а),

821 = {х, е, £ g I е/=//в = е, хе = е, ех =е/Х = е, х/ =£ xg = g, gx =£ eg = g, ge = е,

2 2 2 fg=g,gf=f>e = е,/==g,x = е}.

8/- полугруппа, антиизоморфная 8...^г = 1, 2.

Все неуказанные произведения считаем равными 0.

Вспомогательные утверждения. Лемма!. вания II рода, финитно аппроксимируема Любая полугруппа, финитно аппроксими- относительно предиката вхождения в дву-

руемая относительно предиката аннулиро- сторонний идеал.

Доказательство.

Пусть a eSua el, где/-двусторонний идеал полугруппы S.

Используем естественный гомоморфизм (р из S в S/1. Имеем:

<р(а) =а, <р(1) =0,прнэтоы<р(а) -<р(1)

Ф <р (а) и <р (I) - идемпотент, то есть данные элементы не находятся в отношении аннулирования II рода. Следовательно, существует гомоморфизм у в конечную полугруппу: -

У/(д>(а)) • у/(ф (I)) *цг(<р(а)). _

Таким образом, при гомоморфизме а-у/ф имеет место <т(а) - у/(а), ет(1) = 0 и а(а) € а(1), из чего следует финитная аппроксимируемость полугруппы £ относительно предиката вхождения в двусторонний идеал.

Лемма 2. Класс полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предиката аннулирования, замкнут относительно декартова произведения и подполугрупп. Доказательство.

1. Пусть Sr S2 eFia (а, Ъ), (с, d) eS,xS2 и [(а, Ь), (с, d)] е ia. Тогда (а, с)<£ ia или (b, d)e ia. Пусть для определённости (а, с)& ia. Тогда существует гомоморфизм фъ конечную полугруппу, при котором (<р(а), <р(с)) 0ia.

Рассмотрим проекцию у/ из 5ух5_, в Sr Получаем:

(у/ ср[(а, Ъ)], у/ (р[(с, d)])£ ia, из чего вытекает справедливость утверждения I.

(данное утверждение справедливо для произведения любого множества полугрупп; доказательство проводится аналогично).

2. Пусть а, Ъ eScSl и (a,b)0 ia. Тогда для а и Ь (как для элементов Sf) существует гомоморфизм (ръ конечную полугруппу: (ф (а), ф(Ь))0 а. Следовательно, SeFia.

Лемма 3. Любая полуструктура финит-. но аппроксимируема относительно предиката аннулирования II рода. Доказательство.

Возьмём два произвольных элемента х и у, таких, что ху ф х (а значит (х, у) g id). Существует два случая: х, у сравнимы или несравнимы.

а) х и у несравнимы.

Пусть ¡е> А - {г е 8 \г < х или г, х несравнимы} и В = 8\А. Зададим отображение у/ в двухэлементную полуструктуру: у/(а) —0 для всех а е А и у/(Ъ) = 1 для всех ЬеВ. Очевидно, что у/ гомоморфизм и у/(х)-у/(у) = у/(у)-у/(х) = 0Фу/(х).

б) у < х (если х < у, то ху ~ х).

ПустьВ = {ге5’|х<_ г),А- 8\(Б\/{х)).

Зададим отображение ф в трёхэлементную полугруппу {0, 1, х}: фф) = 1 для всех Ье В, ф(А) = 0 для всех а е А, ф (х) = х. Далее аналогично случаю (а).

Лемма 4. Всякая прямоугольная связка финитно аппроксимируема относительно предиката аннулирования II рода.

Д оказ ател ь ство.

Пусть 8 - прямоугольная связка. Представим 5" как произведение полугрупп левых и правых нулей: 8 =ЬхЯ.

Если [(а, с), (Ь, ё)] е га, то а ф Ъ или с Ф ё. Пусть для определённости а Ф Ь. Рассмотрим проекцию ЬхЯ на Ь.

Ф [(а, с)] = а,ф [(Ь, ё)] = Ь и (а, Ь) 0 га.

Зададим отображение у/т ЬЬ трёхэлементную полугруппу левых нулей {а, Ъ, г}: у/(а) = а, уАЩ - Ь, уКх) - г для всех хеЬ\{а, Ь).

Очевидно, что у/ - гомоморфизм, при котором (уХа), уА1Ь)) 0 га.

Таким образом, А-гомоморфизм, доказывающий финитную аппроксимируемость 8 относительно предиката аннулирования II рода.

Лемма 5. Любая группа финитно аппроксимируема относительно предиката аннулирования И рода.

Доказательство.

Поскольку в группе единственный идемпотент - 1, все пары {а, 1) е га. Вследствие отсутствия пар элементов, не находящихся в этом отношении, любая группа оказывается финитно аппроксимируемой относительно 16 по определению, так как во всех случаях посылка ложна.

Лемма 6. Любая вполне простая полугруппа финитно аппроксимируема относительно предиката аннулирования II рода.

Доказательство.

Необходимость. Пусть S - вполне простая полугруппа. Тогда Sявляется прямо-„ „ 4

угольной связкой групп .

Рассмотрим х е S, у е Es .

а) х е А, у е В, где А, В - различные группы из прямоугольной связки.

Пусть ср - гомоморфизм, отображающий все группы в их единицы, то есть (р(А) = 1А, (р(В) = 1В. Тогда <p(S) - прямоугольная связка, которая финитно аппроксимируема относительно ia по лемме 4.

б) х, у находятся в одной группе. Тогда у = 1 и утверждение выполнено согласно лемме 5.

Лемма 7. Если ху ~ xn+lyn+l е 7ТЕ), то ху = (xy)n+ е 7ДЕ).

Доказательство.

тл- п +* п+{ T’/TAl

Из ху = x *y е 1(V) следует, что

2 2 2п _ 2

х —х х б р, то есть элемент .г имеет двустороннюю единицу. Следовательно ху =

п+] п+[ _

х у имеет левую единицу, обозначим ее как е. Тогда ху - e(xy)=e" ’(xy)n ~~-(xy)" . Лемма доказана.

Лемма 8. Полугруппа Sn не является финитно аппроксимируемой относительно предиката аннулирования II рода. Доказательство.

(а, Ь) <£ ia, поскольку аЪ ~ Ъ и Ъа = а. Пусть т - конгруэнция на Sn конечного индекса. Тогда (п, т) е х для некоторых п, те. N (п Ф т), из чего вытекает [(l,ri)-n,(l,ri)m] е тто есть (a, b) е т. Следовательно, Su ё Fia.

Лемма 9. Полугруппа Slr не является финитно аппроксимируемой относительно предиката аннулирования.

Доказывается аналогично лемме 8. Лемма 10. Пусть V с Fia. Тогда ху = хп+У+1 € 7(E).

Доказательство.

Пусть Fez Fia. Тогда по лемме ! Ее FI.

4

Пользуясь результатами , получаем: V с [xy=(xy)n ], или Vc [xy=xy? ,аху=ау"ху], или V с [xy=x" y,yxa=yxy"a]. Согласно лемме 10, Sn £ Fia, поэтому существует тождество и -v е Г(Е)\Т(5'Л). Из определения Su: г2(и) Ф r2(v), а значит, из и = v следует

2

txy = sy е 77Е) (1), t, s_ е П(х, у).

Пусть Е е [ху=(ху) Ч, S е V,x,yeS. Тогда xyt, ху лежат в одной вполне простой полугруппе S5, откуда ху = wxytxy, w е S. Из полученного равенства и (1) следует

xoy-xoyn*x е 7ДЕ) (2).

Из SJr g Fia двойственным образом по-

n + l rr/jr,

лучается, что xoy=x oy е T(V).

Таким образом, в этом случае мы при-

,,+ i n+l -7ТТ-С\

ходим к xy=x y е 7ДЕ).

Рассмотрим случай V cz [ху=х"+1у,

уха=уху"а]. Воспользуемся тождеством (1),

выбрав в качестве t слово л:":

2 ,,+[ _ 2 ,, ,,+l

txy = sy = s-yy = sy y — sy y = txy ;

n+l n + 1 ,, ,,+i n+ +1

xy = x y = txy = txy = x xy = x y ,

что и требовалось получить. Случай V с ГпН „

[ху=х , аху=ау ху] рассматривается двойственным образом.

Лемма доказана.

Следствие. Отображение g: х ~> х" является гомоморфизмом (х, у е S е VczFia).

Лемма 11. Если 5" - идемпотентная полугруппа, то S е Fia.

Доказательство.

Идемпотентная полугруппа является полуструктурой прямоугольных связок. Существует два случая.

а) Элементы a, b е S лежат в одной прямоугольной связке, которая финитно аппроксимируема относительно предиката аннулирования II рода по лемме 4.

б) Элементы a, be Улежат в разных прямоугольных связках.

Тогда воспользуемся гомоморфизмом <р, отображающим прямоугольные связки в один элемент: <p(S) = sp где s{ е S{, при этом <р(а)~- а, <рф) = Ъ. Мы получили, что <p(S) -полуструктура, и, пользуясь леммой 3, завершаем доказательство леммы.

Лемма 12. Пусть S е V. Тогда полугруппы S/S2, S e Fia, где S = g(S), где g: х -> хп+>.

Доказательство.

2

S/S -полугруппа с нулевым умножением, поэтому (a, b) е ia только в том случае, если (а, Ь) = (0, 0). Кроме того, единственным идемпотентом этой полугруппы является 0. Если (а, 0) г ia, мы можем воспользоваться гомоморфизмом у/в двухэлемент-

ную полугруппу {а, 0} с нулевым умножением: уЩ - 0, yAS\{0}) = а. Следователь-н о, S/S2 е Fia.

Рассмотрим полугруппуА. Она финитно аппроксимируема относительно предиката аннулирования второго рода как подполугруппа S (лемма 2).

Лемма 13. Пусть S е V е Fia и § = g(S), где g: х -» х" +. Тогда S a S/S2x§'.

Доказательство.

Зададим отображение цг. х -> (f(x), g(x)), где/- естественный гомоморфизм из S в SIS1.

Покажем, что ц/ иньективно. Пусть а, Ъ е Sna лЬ.

1)a,be S\ST: Тогда цАа) = (а, а"++) * ф,

+х

Ь" ) = уф), поскольку а * Ъ.

2) а е ShS2, b е S2. В этом случае цАа) = (а, a" ), уАЬ) = (О, Ь ). Здесь также уАг) Ф yj(b), так как а * 0.

3) a, b е S2. Из условия следует, что а ~ ху, b-uv для некоторых х, у, u, v е S. Ис-

_ + 1 „%х

пользуя тождество ху - х у* тот факт, что g - гомоморфизм, получим:

цАа) = (0, a"++) = (О, (ху)п + >) = (0, х'++у'++) = (0, ху) = (0, а) = а.

Аналогично: уф) - Ъ.

Таким образом, и здесь для двух неравных элементов мы получили неравные образы. Инъективность проверена для всех случаев, а это и доказывает утверждение леммы. .

Лемма 14. V, R} $ V.

Доказательство.

Пусть V £ V, Т огда Var(Lл) с V, из чего по лемме 2 следует, что Var(L) е Fia. Пользуясь леммой Кублановского , получаем, что

axyb = ayxb е T(Var(LJ).

Но данное тождество не выполняется в V, т. е. мы пришли к противоречию.

Для R' рассуждения проводятся аналогичным образом.

Лемма 15. В S выполнено тождество (axyb)" = (ayxb) ".

Доказательство.

7 _

По теореме Петрича , S с ]J[ S,° , где

Sj - вполне простые полугруппы из V. От-

сюда следует, что в S выполнено тождество (axyb)" = (ayxb)". Это тождество также выполнено в S/S2, как полугруппе

с нулевым умножением. Далее, посколь-2 ~

ку 5 <= S/S х S , делаем вывод, что указанное тождество выполнено и в S.

Основная теорема. Для многообразия полугрупп V следующие условия эквивалентны.

1. VeFia.

l.Vcz (Ху = х" + У+|, (axyb)"= (ayxb)"].

3. Кфинитно аппроксимируемо относительно предиката вхождения в односторонний идеал.

4. Ане содержит полугруппы: Sff Sf S2P l2, r2, Slr, S2r.

Доказательство.

1 => 2. Вытекает из лемм 1-15.

2 => 1. Пусть Vcz [ху = xn+ly"+l, (axyb)" = (ayxb)"] и S e V.

Рассмотрим гомоморфизм S-» S/S2*S . S/S2 e Fia. Р ассмотрим S.

По скольку тождество (axyb)" - (ayxb)"

~ т 1 t>1

выполнено в s , но не выполнено в L , R ,

то, пользуясь леммой Петрича, делаем вывод о том, что S с П 5-°, где S. - вполне

I

простые полугруппы, которые финитно аппроксимируемы относительно предиката аннулирования второго рода по лемме 6.

Отсюда следует, что § е Fia. Далее, по лемме 2, S с S/S2*S е Fia.

2 о 3. Доказательство данного утверждения приведено в работе8.

9

3 о 4. Вытекает из результатов .

Следствие 1. Если многообразие V задано конечным набором тождеств, то за конечное число шагов можно проверить, является ли оно финитно аппроксимируемым относительно предиката аннулирования второго рода.

Следствие 2. Если в полугруппе выполнены тождества ху = х" у" \ (ахуЬ)" = (аухЬ)", то в ней алгоритмически разрешима проблема предиката га.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 О финитной аппроксимируемости многообразий полугрупп относительно предиката аннулирования [текст] / И. И. Костырсв; М-во образования Рос. Федерации, РГПУ им. А. И. Герцена. М., 2005. 19 с. Библиогр.: с. 19. Деп. в ВИНИТИ, № 1428 - В2005.

Там же.

3

Petrich, М. Introduction to semigroups. Pennsylvania State University. 1973.

4

Кублановский С. И. Финитная аппроксимируемость и алгоритмические вопросы // Современная алгебра: (Группоиды и их гомоморфизмы): Межвуз. сб. науч. тр. / Ленингр. пед. ии-т им. А. И. Герцена: [отв. ред. Е. С. Ляпин]. Л.: ЛГПИ, 1980. 160 с.

Там же.

Кублановский С. И. Финитная аппроксимируемость и алгоритмические вопросы // Современная алгебра: 0: Межвуз. Сб. науч. Тр. / Ленингр. пед. ин-т им. А. И. Герцена: [отв. ред. Е. С. Ляпин]. Л.: ЛГПИ, 1983. 160 с.

7

Petrich, М. Introduction to semigroups. Pennsylvania State University. 1973.

8

Кублановский С. И. Финитная аппроксимируемость и алгоритмические вопросы // Современная алгебра: (Полугрупповые конструкции): Межвуз. сб. науч. тр. / Ленингр. пед. ин-т им. А. И. Герцена: [отв. ред. Е. С. Ляпин]. Л.: ЛГПИ, 1983. 160 с.

9 Там же.