Классы компактных полугрупп и их гомоморфизмы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

КЛАССЫ КОМПАКТНЫХ ПОЛУГРУПП И ИХ ГОМОМОРФИЗМЫ

© 2006 В. В. Воронин, Э. В. Власов

Воронин Виктор Владимирович: кандидат физикоматематических наук,

доцент кафедры математического обеспечения информационных систем

e-mail: Raven-65@yandex. ru.

Власов Эдуард Вячеславович: кандидат физикоматематических наук,

доцент кафедры математического анализа; e-mail: vlassed@yandex. ru.

Курский государственный университет

В статье рассмотрена аппроксимация классов компактных полугрупп замкнутых относительно операций взятия замкнутых подполугрупп, непрерывных гомоморфных образов и тихоновских произведений непрерывными характерами относительно предикатов равенства, делимости, вхождения элемента в подполугруппу, в идеал.

Определение. Компактную полугруппу A будем называть M -аппроксимируемой непрерывными характерами относительно предиката Q, если всякая полугруппа класса K, порожденного полугруппой A и операциями взятия замкнутых подполугрупп, взятия непрерывных гомоморфных образов и тихоновскими произведениями, является аппроксимируемой непрерывными характерами относительно Q.

Теорема 1. Пусть A — компактная полугруппа. Следующие условия для полугруппы A эквивалентны:

1. A — регулярная коммутативная периодическая полугруппа с ограниченными в совокупности порядками элементов, т. е. найдется такое натуральное число п, что для всякого элемента a е A будет выполнено ап = е, где e — некоторый идемпотент полугруппы A;

2. A — M*-аппроксимируема непрерывными характерами относительно равенства;

3. A — M*-аппроксимируема непрерывными характерами относительно вхождения элемента в подполугруппу.

Доказательство. 3 ^ 2. В статье [Воронин, 1996] было доказано, что если компактная полугруппа аппроксимируема непрерывными характерами относительно вхождения элемента в подполугруппу, то она является аппроксимируемой непрерывными характерами относительно равенства. Поскольку замкнутые подполугруппы компактной полугруппы, непрерывные

гомоморфные образы компактной полугруппы и тихоновские произведения компактных полугрупп в свою очередь являются компактными полугруппами, то из М -аппроксимируемости компактной полугруппы непрерывными характерами относительно вхождения элемента в подполугруппу будет следовать М -аппроксимируемость компактной полугруппы непрерывными характерами относительно равенства.

2 ^ 1. Поскольку из М-аппроксимируемости следует SH-аппроксимируемость, то согласно [Воронин, 1996] полугруппа A является регулярной коммутативной периодической полугруппой. Покажем, что порядки элементов полугруппы A ограничены в совокупности. Предположим, что это не так, то есть для всякого k е N существует элемент

ak е A такой, что элемент (ak ^ не является идемпотентом полугруппы A.

Рассмотрим полугруппу

А' = ^[а ] = Г(а) х ••• хГ^) х ••• = [аг ] х ••• х [аг ] х •••

i'еN

Полугруппа A' принадлежит классу К(А). По условию каждая полугруппа из К(А) аппроксимируема непрерывными характерами относительно равенства. Поэтому и каждая полугруппа из класса К(А') аппроксимируема непрерывными характерами относительно равенства. Значит полугруппа A' — М -аппроксимируема непрерывными характерами относительно равенства. Тогда A' — $Н-аппроксимируема непрерывными характерами относительно равенства.

По теореме из [Воронин, 1996], A' — периодическая полугруппа. Но элемент (a1,a2,...,ak,...)е А имеет бесконечный порядок, так как для всякого

kе N имеет место а2к Ф а\ . Получили противоречие. Таким образом, А является регулярной коммутативной периодической полугруппой и существует п е N такое, что для всякого элемента а е А выполнено ап = е, где е — некоторый идемпотент полугруппы А.

1 ^ 2. Пусть компактная полугруппа А — регулярная коммутативная периодическая полугруппа с ограниченными в совокупности порядками элементов. Рассмотрим класс полугрупп X, состоящий из всех компактных регулярных коммутативных периодических полугрупп с ограниченными в совокупности порядками элементов. Очевидно, что Ае С.

Покажем, что класс X является замкнутым относительно взятия замкнутых подполугрупп, непрерывных гомоморфных образов и тихоновских произведений.

Пусть полугруппа С е С. Это значит, что С — компактная регулярная коммутативная периодическая полугруппа и для всякого с е С найдется п е N такой, что сп является идемпотентом в С. Если С' — замкнутая подполугруппа полугруппы С, по лемме 1 из [Воронин, 1996], С' является компактной регулярной коммутативной периодической полугруппой и,

очевидно, что для всякого с е С' элемент (с )п есть идемпотент С', то есть С е С.

Пусть С = ф( С), где ф — некоторый непрерывный гомоморфизм С. В

лемме 2 из [Воронин, 1996] было показано, что непрерывный гомоморфный образ всякой компактной регулярной коммутативной периодической полугруппы есть компактная регулярная коммутативная периодическая полугруппа. Но так как для всякого с е С элемент сп является идемпотентом полугруппы С и образ идемпотента при гомоморфизме — идемпотент, то для

всякого се С элемент ф(с)п является идемпотентом полугруппы С' = ф(С). Таким образом, С е С.

Пусть теперь С =П С, , где С1 е С. Полугруппа С является компактной

,е/

регулярной коммутативной периодической как тихоновские произведение компактных регулярных коммутативных периодических полугрупп. Так как действие в С' покомпонентное, то для всякого с =( с1,к, с,,...), где с1 е С, имеет место

( с )п =( сГ ^ ,к)=( ^ ,к) ,

Г'! ( '\2п ( '\п

где е1 — некоторый идемпотент полугруппы С, и (с ) =(с ) .

Таким образом, С' е С и класс полугрупп X замкнут относительно взятия замкнутых подполугрупп, непрерывных гомоморфных образов и тихоновских произведений и Ае С.

Итак, в соответствии с теоремой из [Воронин, 1996], каждая полугруппа X является аппроксимируемой непрерывными характерами относительно равенства. Поскольку класс К(А) есть пересечение всех таких классов X содержащих полугруппу А, каждая полугруппа из К(А) будет аппроксимируема непрерывными характерами относительно равенства. Это означает, что А — М -аппроксимируема непрерывными характерами относительно равенства. □

Теорема 2. Пусть А — компактная полугруппа. Следующие условия для полугруппы А эквивалентны:

1. А — инверсная вполне регулярная периодическая полугруппа с ограниченными в совокупности порядками элементов, то есть найдется такое п е N, что для всякого элемента а е А будет выполнено ап = е, где е — некоторый идемпотент полугруппы А;

2. А — М*-аппроксимируема непрерывными характерами относительно делимости;

3. А — М*-аппроксимируема непрерывными характерами относительно вхождения элемента в идеал.

Доказательство. 1 ^ 3. Пусть А — компактная инверсная вполне регулярная периодическая полугруппа, I — идеал полугруппы А, а £ I, Ие — максимальная подгруппа А содержащая а. Тогда I п Ие = 0.

Действительно, предположим, что Г = I п Ие Ф0. Тогда I' — идеал в Ие. Но, поскольку, Ие — группа, то I = Ие и ае I ^ ае I — противоречие.

Рассмотрим непрерывный гомоморфизм ф полугруппы А в полурешетку Е, наделенную дискретной топологией, действующий по правилу:

Ф( И, ) = е.

Далее рассмотрим непрерывный характер

у: Е ® К

такой, что

"е е Е :у(е) = |0’ если а £ И;

[1, если а е Ие.

Непрерывный характер Х = У°Ф является искомым и

Х(а )£С(1).

Таким образом, показано, что компактная инверсная вполне регулярная периодическая полугруппа аппроксимируема непрерывными характерами относительно вхождения элемента в идеал.

Пусть теперь А — инверсная вполне регулярная периодическая полугруппа с ограниченными в совокупности порядками элементов. Аналогично тому, как было доказано в теореме 1, показывается, что каждая полугруппа из К(А) будет аппроксимируема непрерывными характерами относительно вхождения элемента в идеал. Это означает, что А — М -аппроксимируема непрерывными характерами относительно вхождения элемента в идеал.

3 ^ 2. Пусть компактная полугруппа А — аппроксимируема непрерывными характерами относительно вхождения элемента в идеал и пусть £ — непрерывный гомоморфный образ некоторой замкнутой подполугруппы полугруппы А. Далее пусть ае £ не делится на Ь е £. Это означает, что а £ Ь£ или а £ £Ь. Предположим, что а £ Ь£ .

Так как Ь£ — правый идеал полугруппы £, то существует непрерывный характер с: £ ® К такой, что

с(а )£с(Ь£ ) = с(Ь )с(£)

Но это означает, что с(а) не делится на %(Ь) в полугруппе с(£).

Таким образом, если компактная полугруппа аппроксимируема непрерывными характерами относительно вхождения элемента в идеал, то она аппроксимируема непрерывными характерами относительно делимости. Поскольку замкнутые полполугруппы, их непрерывные гомоморфные образы и тихоновские произведения компактной полугруппы в свою очередь являются компактными полугруппами, то из М -аппроксимируемости компактной полугруппы непрерывными характерами относительно вхождения элемента в идеал будет следовать М -аппроксимируемость компактной полугруппы непрерывными характерами относительно делимости.

2 ^ 1. Пусть А — М -аппроксимируема непрерывными характерами относительно делимости. Тогда А — $Н-аппроксимируема непрерывными характерами относительно делимости.

Покажем что А — периодическая полугруппа. Предположим противное. Тогда существует бесконечная моногенная подполугpуппа [а] полугруппы А. Рассмотрим

Г(а) = [а].

Пусть I (а) = Г(а) \ {а} . Очевидно, что а £ I (а). Поскольку а — элемент бесконечного порядка, то I (а) является идеалом Г( а). Далее а — изолированная точка Г(а) [Хьюитт, 1975] и, поэтому, I(а) — замкнутое

подмножество в Г( а).

Таким образом, I(а) является замкнутым идеалом Г(а). Значит, I(а) является замкнутым идеалом Г( а).

Возьмем факторполугруппу Рисса

Г( а) /1 (а)

с фактортопологией. Она топологически изоморфна полугруппе {Ь,0} с

нулевым умножением и дискретной топологией. Поскольку А — SH-аппроксимируема непрерывными характерами относительно делимости, то существует непрерывный характер с:{Ь,0} ® К такой, что с(Ь) не делится

на с( 0). Пусть с( Ь )е Ке, где Ке — максимальная подгруппа К, с единицей е. Поскольку

х(0 ) = х( Ь ) = х(Ь )х(Ь),

то х( 0 )є Ке. Но 0 — идемпотент, поэтому

Х(0) = е.

Тогда

х(Ь ) = х(Ь )х(0),

то есть с(Ь) делится на х(0) — противоречие.

Покажем теперь, что А — инверсная вполне регулярная полугруппа. Поскольку всякая полугруппа является коммутативной связкой своих Т)~ классов [РеІхісИ, 1973], то достаточно показать, что каждый Т)~класс полугруппы А будет группой.

Пусть А' — некоторый ^_класс полугруппы А. Тогда А' содержит идемпотент, причем единственный. Действительно, пусть е1 и е2 — различные идемпотенты полугруппы А'. Тогда е1 не делится на е2 или е2 не делится на е1, так как в противном случае, существовали бы такие X, у,и, V є А, что

е1 = ие2 = е^у

и

е2 = хе1 = е1 у.

Но тогда,

е1е2 = (ие2 ) е2 = ие2 = е1

и

е1е2 = е1 ( е1 У ) = е1 У = е2 .

Итак, пусть е1 не делится на е2. Тогда существует непрерывный характер X- А ® К такой, что с(е1) не делится на х(е2). Это означает, что С(е1) и х(е2) лежат в разных максимальных подгруппах полугруппы К. Но образ всякого ^"класса содержится в одной максимальной подгруппе

полугруппы К. Получили противоречие. Значит каждый 77-класс полугруппы А содержит в точности один идемпотент.

Так как А — периодическая полугруппа, то для всякого а е А выполнено:

ап = е

при некотором п е К, где е — идемпотент полугруппы А. Покажем, что существуют такие х, у е А, что

а = хе = еу.

Пусть это не так, то есть а не делится на е. Тогда существует непрерывный характер с: А ® К такой, что с(а) не делится на с(е). Так

как ап = е, то с(а) и с(е) лежат в одной максимальной подгруппе Кс(е)

полугруппы К. Следовательно,

с(а) = с(е )с(а) = с(а )с(е),

то есть с( а) делится на с( е) — противоречие. Итак, имеем, что

а = хе = еу

для некоторых х, у е А. Тогда

ае = (хе) е = хе = а

и

еа = е

(еу ) = еу = а.

то есть е — единица А'.

Таким образом, мы получили, что А' — периодическая группа.

Окончательно имеем: А — компактная инверсная вполне регулярная полугруппа.

Поскольку из М -аппроксимируемости следует 5Н-аппрокси-мируемость, то полугруппа А является инверсной вполне регулярной периодической полугруппой.

Покажем, что порядки элементов полугруппы А ограничены в совокупности.

Предположим, что это не так, то есть для всякого к е N существует

элемент ак е А такой, что элемент (ак )к не является идемпотентом

полугруппы А.

Рассмотрим полугруппу

А = ^[аг ] = Г(аг.) х ••• хГ(ак) х ••• = [аг ] х ••• х [аг ] х •••.

геК

Полугруппа А' принадлежит классу К(А). По условию каждая полугруппа из К(А) аппроксимируема непрерывными характерами относительно делимости. Учитывая это и то, что Ае К (А) заключаем, что и каждая полугруппа из

класса К(А') аппроксимируема непрерывными характерами относительно делимости. Значит полугруппа А' — М -аппроксимируема непрерывными характерами относительно делимости. Тогда А' — ^^-аппроксимируема непрерывными характерами относительно делимости.

Согласно [Воронин, 1996], полугруппа А' является периодической полугруппой. Но элемент (а1,а2,...,ак,...)е А имеет бесконечный порядок, так как для всякого к е N имеет место

(а, )2к ф(а, )к.

Получили противоречие.

Таким образом, А является инверсной вполне регулярной периодической полугруппой и существует п е N такое, что для всякого элемента а е А выполнено

ап

где е — некоторый идемпотент полугруппы А. □

Теорема 3 Для того, чтобы компактная полугруппа А была М*-аппроксимируема непрерывными характерами относительно И эквиваленции необходимо и достаточно, чтобы А была инверсной вполне регулярной периодической полугруппой с ограниченными в совокупности порядками элементов и для всяких двух идемпотентов е1, е2 е А и е1 Ф е2 существовал производящий идемпотент е0, такой что или е1е0 Ф е0, е2е0 = е0; или е1е0 = е0, е2е0 Ф е0.

Доказательство. Пусть полугруппа А удовлетворяет условиям теоремы.

Как было показано в доказательствах теорем 1 и 2, каждая полугруппа класса К(А) является инверсной вполне регулярной периодической полугруппой с ограниченными в совокупности порядками элементов.

е

Очевидно, что любое условие, накладываемое на идемпотенты полугруппы класса К(А) будет справедливо и для непрерывных гомоморфных образов ее замкнутых подполугрупп.

Пусть теперь

А = П А,

)е/

где Аг е К (А) и е), е2 е А', е) Ф е2. Тогда

е) = ( е),•••, е1,к)

и

ч=( е2

)

2

е

где в),е2 е А .

Не ограничивая общности, предположим, что е1 = в2 = в\ для всех ) Ф к и в1к Ф е1. Тогда существует производящий идемпотент е0, такой что либо

либо

е1 е0 Ф е0 е2е0 = е0-

е1е0 = е0, ек2е0 ф е0

А- А- Л- ^ Л- Л- А-

В этом случае идемпотент е0 =(е),...,е0,...,е',...)е А' будет производящим идемпотентом таким, что, либо

либо

/ / , / / / /

е1е0 Ф е0 , е2е0 = е0 :

/ / / / / , /

е1е0 = е0 , е2е0 Ф е0 '

Аналогичным способом поступаем и в том случае, когда е1 Ф ег2 более чем для одного г.

Итак, любая полугруппа класса К(А) удовлетворяет условиям теоремы.

Способом, аналогичным использованным в теоремах 1 и 2, показывается, что полугруппа А — М -аппроксимируема непрерывными характерами относительно ^эквиваленции Грина. □

Библиографический список

Воронин В.В. »У#-аппроксимация компактных полугрупп непрерывными

характерами // Современная алгебра: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. I. — Р. н. /Д., 1996.

Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. — М.: Наука, 1975. Petrich M. Introduction to semigroups. — Columbus (Ohio), 1973.