Некоторые аппроксимационные свойства свободных произведений разрешимых групп конечного ранга с нормальными объединенными подгруппами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 1 (2012)

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера

УДК 512.543

НЕКОТОРЫЕ АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП КОНЕЧНОГО РАНГА С НОРМАЛЬНЫМИ ОБЪЕДИНЕННЫМИ

ПОДГРУППАМИ

А. В. Розов (г. Иваново)

Аннотация

Получен критерий почти аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения ни. панисн) т.IX групп конечного ранга с нормальными объединенными подгруппами.

1 Введение

Пусть К — некоторый класс групп. Напомним, что группа С называется аппроксимируемой группами из класса К (или, короче, К-аппроксимируемой), если для каждого неединичного элемента х из С существует гомоморфизм группы С на группу из класса К, при котором образ элемента х отличен от единицы. Если Т обозначает класс всех конечных групп, то понятие ^-аппроксимируемой группы совпадает с классическим понятием финитно аппроксимируемой группы. Наряду с финитной аппроксимируемостью изучается также свойство Тр-аппроксимируемости, где р — простое чиело, Тр — класс всех конечных р-групп. Здесь будет рассмотрено свойство почти Тр-аппроксимируемости, являющееся промежуточным между финитной аппроксимируемостью и Тр-аппроксимиру-емостью. Напомним, что группа С называется почти Тр-аппроксимируемой, если она содержит Тр-аппроксимируемую подгруппу конечного индекса.

Перейдем теперь к свободным произведениям с объединенными подгруппами. Пусть А ж В — произвольные группы, Н и К — подгруппы групп А ж В соответственно, ф — изоморфизм подгруппы Н на подгруппу К. И пусть

С = (А * В; Н = К, ф)

А В Н К

фС АВ

ниями этих групп, а также соотношениями вида кф = к, где к Е Н.

Тр

Тр С

Тр Тр

АВ

впя не являются достаточными.

Наиболее распространенный подход к изучению финитной аппроксимируе-Тр Тр С

АВ

Тр Тр

накладываются еще некоторые дополнительные условия. Дополнительные ог-

НК НК Н К А В

АВ АВ

Н К С

получен следующий результат.

Теорема 1. Свободное произведение двух полициклических групп с нормальными объединенными подгруппам,и является финитно аппроксимируемой группой.

Одним из обобщений понятия полициклической группы является понятие

С

группой конечного ранга, если существует целое положительное число г такое,

С

чем г элементами.

Приведенный ниже пример показывает, что свободное произведение двух финитно аппроксимируемых разрешимых групп конечного ранга с нормальными объединенными подгруппами не обязано быть финитно аппроксимируемой группой. Для такого свободного произведения ранее нами был получен следующий результат.

С

А В Н К

А В А В

С

тогда финитно аппроксимируема, когда, фактор-группы А/Н и В/К финитно аппроксимируемы.

А/Н В/К Н К А

В

аппроксимируемы и в них все подгруппы финитно отделимы. Поэтому доказанная Баумслагом теорема 1 является непосредственным следствием теоремы 2.

С

АВ

НК

АВ

проксимируемые абелевы группы конечного ранга, в которых не все подгруппы финитно отделимы. Примером такого рода может служить аддитивная группа Qp р-ичных дробей, где р — простое число. В этой группе подгруппа Z целых чисел не является финитно отделимой. Поэтому свободное произведение двух экземпляров группы Qp с объединенной подгруппой Z не будет финитно аппроксимируемой группой. В [3, п. 11.1.4] построен пример конечно порожденной финитно аппроксимируемой разрешимой группы конечного ранга, в которой существует нормальная подгруппа, не являющаяся финитно отделимой. Поэтому

А

В

АВ

рождены.

Заметим еще, что теорема 2 не может быть распространена с финитной ап-Тр

р

Тр

Тр

изведения нильпотентных групп конечного ранга с нормальными объединенными подгруппами нами был получен следующий результат.

С Тр

А В Н К

А В А В

С

Тр А/Н В/К

Тр

Тр

р

обладает любая конечно порожденная нпльпотентная группа. Поэтому в качестве следствия из теоремы 3 мы получаем следующее утверждение.

С

А В Н

и К. Тогда группа С почт и Тр- аппроксимируема для любого прос того числа р.

Доказательство теоремы 3 приведено ниже. Для полноты изложения будет приведено также и доказательство ранее опубликованной теоремы 2.

2 Вспомогательные утверждения

Пусть С = (А * В,Н = К,ф) — свободное произведение групп А ж В Н К ф

АВ

С. Поэтому далее будем считать, что А ж В — подгруппы группы С. Тогда А П В = Н = К. Далее для группы С будем использовать более компактное обозначение С = (А * В, Н) и называть ее свободным произведением групп А и ВН

Напомним, что подгруппа Н группы С называется финитно отделимой {Тр-отделимой), если для каждого элемента х группы С, не принадлежащего Н,

ф С р

хф Е/ Нф Н С

она финитно отделима (^р-отделима) в С тогда и только тогда, когда факторгруппа С/Н финитно аппроксимируема (^р-аппроксимируема).

Лемма 1. Пусть С = (А * В, Н) — свободное произведение групп А и В с объединенной подгруппой Н, не совпадающей с группам,и А и В. И пусть группа, С финитно аппроксимируема. Если группы, А и В удовлетворяют нетри-

АВ

подгруппа Н финитно отделима в группах А и В.

Это утверждение доказано в работе [5].

Лемма 2. Пусть С = (А * В, Н) — свободное произведение нильпотент-А В Н

с группам,и А и В. Если группа С почт и Тр- аппроксимируема, то факторгруппы, А/Н и В/Н почт и Тр-аппроксимируемы.

Доказательство. Пусть группа С почт и ^р-аппроксимируема. Тогда в ней существует нормальная ^р-аппроксимируемая подгруппа Р конечного индекса. Введем следующие обозначения: А1 = А П Р, Н1 = Н П Р. Заметим, что подгруппа Н1 нормальна в группе А1; и что группа А1/Н1 = А1Н/Н вложима в группу А/Н. Так как [А/Н : А1Н/Н ] = [А : А1Н ] < [А : А1] < [С : Р] < топ

Ai/Hi = AiH/H, то для доказательства почти ^-аппроксимируемости группы A/H достаточно доказать ^-аппроксимируемость группы Ai/Hi или, что равносильно, ^-отделимость подгруппы Hi в групne Ai.

Предположим противное: существует элемент а группы Ai, не принадлежащий Hl5 и такой, что для любого гомо морфизма ф группы Ai на конечную ргруппу аф Е H]ÿ. Так как группа B нильпотентна, то существует такое натуральное и, что для произвольного простого коммутатора веса и, составленного

B

[xi, [Х2, [. . . , [xn-i,xn] . . .]]] = 1. (1)

Пусть b — элемент группы B, те принадлежащий H. Рассмотрим в группе G простой коммутатор веса и следующего вида: с = [а, [а, [..., [а,Ь]...]]]. Так как а Е P и P — нормальная подгруппа группы G, то с Е P. Кроме того, элемент с имеет в группе G несократимую запись длины 2п, и поэтому с = 1. Отсюда и из того, что группа P ^-аппроксимируема следует, что в P существует нормальная подгрупп а N конечного риндекса, те содержащая с.

Пусть L = Р|xeG x-iNx. Нетрудно понять, что подгруппа L нормальна в группе G и имеет конечный p-индекс в группе P. Рассмотрим естественный гомоморфизм е : G ^ G/L. Тогда Aie = AiL/L. Так как AiL/L < P/L и P/L — конечная ргруппа, то и AiL/L — конечная р-группа.

ф Ai е

ф — гомоморфизм группы Ai на конечную ргруппу AiL/L. Следовательно, аф Е H-ф, то есть существует элемент h Е Hi такой, что аф = Нф пли, что то же самое, ае = Не Тогда се = [ае, [ае, [..., [ае, Ье]...]]] = [Не, [Не, [..., [Не, Ье]...]]] = [h, [Н, [..., [Н,Ь].. .]]]^, приче м [Н, [Н, [..., [Н, b]...]]] = 1, так как Н Е B,b Е Вив B се = 1

роны, с Е N, и поэтому с Е Кеге = L. Получили противоречие. Следовательно, фактор-группа A/H почт и ^-аппроксимируема. То же самое можно сказать и B/H

Леммы 1 и 2 обеспечивают необходимость в теоремах 2 и 3 соответственно.

Напомним, что элемент а группы G называется полным, если для каждого целого положительного числа и уравнение xn = а разрешимо в группе G. Груп-G

G

она не содержит нетривиальных полных подгрупп.

Очевидно, что любая финитно аппроксимируемая группа редуцирована. Для разрешимых групп конечного ранга имеет место и обратное утверждение.

Лемма 3. Разрешимая группа конечного ранга финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда она редуцирована.

Эта лемма, даже в более общем виде, доказана в [3, п. 5.3.2].

Лемма 4. Пусть G — разрешимая группа конечного ранга. Если группа G является расширением конечной группы, с помощью финитно аппроксимируемой (почти Тр-аппроксимируемой) группы,, то группа G финитно аппроксимируема (почти Fp-аппроксимируема).

Доказательство. Пусть G — разрешимая группа конечного ранга, H — ее конечная нормальная подгруппа, и фактор-группа G/H финитно аппрокси-

G

доказать, что она редуцирована.

Пусть A — полная подгруппа группы G. Тогда и подгруппа AH/H группы G/H является полной. Так как G/H редуцирована по лемме 3, то AH/H = 1, и,

AA A = 1 G

G

Пусть теперь фактор-группа G/H почт и ^-аппроксимируема. Тогда она

G

H

дует, что в группе G существует подгруппа F конечного индекса такая, что F П H = 1. Рассмотрим естественный гомоморфизм е : G ^ G/H. Очевидно,

FF стью до изоморфизма является подгруппой в G/H и, следовательно, почти Fp-

F

в G следует, что и группа G почти ^-аппроксимируема. Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть G = (A * B, H) — свободное произведение разрешимых групп A и B конечного ранга с нормальной объединенной подгруппой H. И пусть L — нормальная подгруппа группы, G, содержащаяся в группе H и

A/H B/H

аппроксимируемы (почти Тр-аппроксимируемы), то фактор-группа G/L финитно аппроксимируема (почти Fр-аппроксимируема).

A/H

Fp A/L

H/L

Fp A/H

Fp

B/L G/L

Fp

A/L B/L H/L

Fp G/L

следующего утверждения, доказанного в работах [1] и [6]. Свободное произве-

Fp

конечными объединенными подгруппами является финитно аппроксимируемой Fp

Лемма 6. Пусть G — группа конечного ранга. Тогда, любая нормальная подгруппа H конечного индекса (конечного р-индекса) группы, G содержит некоторую характеристическую подгруппу N группы G конечного индекса (кор

N

групп группы G, индекс которых совпадает с [G : H]. Число таких подгрупп

N

зана.

Лемма 7. Пусть H — нильпотентная группа, L0 — ее характеристическая подгруппа конечного индекса и р — простое число. Тогда в группе H существует характеристическая подгруппа L такая, что L0 С L, индекс [L : L0] является, степенью числа, р, а индекс [H : L] взаимно прост с р.

Доказательство. По условию леммы H/L0 — конечная нильпотентная группа. Хорошо известно (см., напр., [9, п. 17.1.4]), что любая конечная ниль-

р

подгрупп. Поэтому

H/Lo = Hi х H2 х ... х Hn, (2)

где Hi — силовские рг-подгруппы для каждого i = 1,..., п. При этом все Pi — простые попарно различные числа. Если среди рг нет чис л а р, то в качестве L,

Lo

В противном случае, пусть, для определенности, H\ — силовская рподгруп-па. Так как Hi — подгруппа фактор-группы H/L0, то в групne H существует подгруппа L такая, что Hi = L/L0. Очевидно, что L/L0 характеристична в H/Lo Lo H

LH L/Lo = Hi р H/Lo [H : L] = [H/Lo : L/Lo]

[H : L] р

L

Лемма 8. Пусть G = (A * B; H = K, ф) — свободное произведение групп A и B с объединенными относительно изоморфизм,а, ф подгруппами H и K, M и N — нормальные подгруппы групп A и B соответственно. И пусть (MHH)ф = N П K. Тогда отображение фмы, сопоставляющее каждому элементу hM из HM/M элемент hфN из KN/N, является, изом,орфизм,ом,. Пусть

Gmn = (A/M * B/N; HM/M = KN/N, фи„)

— свободное произведение групп A/M и B/N с подгруппами HM/M и KN/N, объединенным,и относительно изом,орфизм,а, фмм. Тогда естественные гом,о-м, орфизм, ы A ^ A/M и B ^ B/N могут быть продолжены до гом, ом орфизм, а,

РMN : G ^ GMN ■

Это утверждение хорошо известно и легко проверяется (см. [1]).

Пусть G — группа, H — ее нормальная подгруппа. Через AutG (H) будем обозначать множество ограничений на подгруппу H всех внутренних автоморфизмов группы G. Иными словами, AutG (H) = {x\H : x E G} где x — внутренний автоморфизм группы G, действующий по правилу: gx = x-1gx для любого элемента g группы G.

G

A с помощью группы В, если A — нормальная подгруппа группы G, B — подгруппа группы G G = AB и A П В = 1.

GA

группы, В. Если группы, Au AutG (A) являются конеч ными р-группами, а группа В Fp-аппроксимируема, то группа G та,кжe Fp-аппроксимируема.

Доказательство. Пусть в : В ^ AutG (A) — сопровождающий гомоморфизм, то есть отображение, сопоставляющее каждому элементу Ь из В ограничение на подгруппу A соответствующего ему внутреннего автоморфизма Ь группы G. И пусть H = Kегв. Так как AutG (A) — конечная ргруппа, то H — нормальная подгруппа группы В конечного p-индекса. Кроме того, индекс подгруппы В в группе G равен порядку подгруппы A и, следовательно, является степенью числа р. Поэтому H — подгруппа конечного риндекса группы G. Заметим, что подгруппа H Fp-аппроксимируема, поскольку содержится в группе В, и нормальна в группе G, поскольку поэлементно перестановочна с группой A и нормальна в группе В.

Таким образом, группа G является расширением Fp-аппроксимируемой группы H с помощью конечной р-группы G/H. Отсюда следует, что группа G Fp-аппроксимируема (см. [10]). Лемма доказана.

Для произвольной группы A через A будем обозначать коммутант группы A, через An — степенную подгруппу группы A, где n — целое неотрицательное число. И если A — подгруппа группы G, то через [A, G] будем обозначать

AG

Лемма 10. Если A — конечная р-группа, то группа Г^ всех автом,орфизм, ов группы, A, действующих тождественно по модулю подгруппы A'Ap, р

Этот результат Ф. Холла хорошо известен (см., напр., [11, с. 562]).

GA В A р В Fp

Если [A, G] Ç A1 Ap, то группа G Fp-аппроксимируема.

Доказательство. Так как [A,G] ç A'Ap, то все автоморфизмы группы AutG (A) действуют тождественно по модулю подгруппы A'Ap. Поэтому соглас-AutG (A) р

G Fp

3 Доказательства теорем

Доказательство теоремы 2. Пусть G — свободное произведение финитно аппроксимируемых групп A и B с нормальной объединенной подгруппой H, не совпадающей с группами A и B. И пусть группы A и B являются разрешимыми

G

тогда и только тогда, когда фактор-группы A/H и B/Н финитно аппроксимируемы. Необходимость для этого утверждения обеспечивается леммой 1, поэтому остается доказать достаточность.

A/H B/H

что группа G финитно аппроксимируема. Пусть g Е G и g = 1. Построим гомоморфизм группы G на конечную группу, переводящий g в элемент отличный от единицы.

Рассмотрим сначала случай, когда g Е Н. Фактор-группа G/H = A/H*B/Н представляет собой свободное произведение двух финитно аппроксимируемых групп. Следовательно, G/H финитно аппроксимируема (см. [10]). Пусть е — естественный гомоморфизм группы G на фактор-группу G/H. Тогда ge = 1, и поэтому существует гомоморфизм р группы G/H на некоторую конечную группу такой, что gep = 1. Гомоморфизм ер является искомым.

g Е H H

симируема, то в ней существует нормальная подгруппа M конечного индекса, gH дует, что в H существует характеристическая подгруппа L конечного индекса, M H G

LG G/L gL

G/L р G/L

gL

е G G/L

ер

Доказательство теоремы 3. Пусть G — свободное произведение почти Fp-

A B H

A B A B

потентными группами конечного ранга. Докажем, что группа G почт и Fp-an-

A/H B/H

Fp-аппроксимируемы. Необходимость для этого утверждения обеспечивается леммой 2, поэтому остается доказать достаточность.

Пусть группы A, B, A/H, B/H почт и Fp-аппроксимируемы. Покажем, что группа G почт и Fp-аппроксимируема.

Так как подгруппа H содержится в A, то она по чти Fp-аппроксимируема, то есть в ней существует нормальная Fp-аппроксимируемая подгруппа H0 ко-

H

подгруппа L0 конечного индекса, содержащаяся в Ho. Заметим, что L0, являясь

подгруппой в Н0} Fp-аппроксимируема.

По лемме 7 в группе Н существует характеристическая подгруппа L, содержащая L0 и такая, что индеке [L : L0] является степенью числа р, а индекс [Н : L] взаимно прост с р. Так как группа L является расширением Fp-аппроксимируемой группы L0 с помощью конечной р-группы, то она сама Fp-аппроксимируема (см. [10]). Так как L характеристична в Н, и Н нормальна в G, то L нормальна в G. По лемме 5 группа G/L почт и Fp-аппроксимируема. Поэтому в ней существует нормальная Fp-аппроксимируемая подгруппа U/L конечного индекса. Таким образом, в группе G мы получаем нормальный ряд 1 < L < U < G, где G/U — конечная группа, U/L — Fp-аппроксимируемая группа.

Теперь рассмотрим отображение ф : G ^ AutL/L'Lp, сопоставляющее каждому элементу x группы G ограничение на подгруппу L/L'Lp внутреннего автоморфизма xVLp группы G/L'Lp. Таким образом, для каждого элемента aL'Lp

L/L Lp

хф : aL'Lp -—> (xL'Lp)-1 ■ aL'Lp ■ xL'Lp = (x-1ax)L' Lp. (3)

Очевидно, что ф — гомоморфизм. Обозначим через V ядро гомоморфизма ф. Тогда из (3) следует, что для каждого элемента x из V и для каждого элемента aL

aL'Lp = (xL'Lp)-1 ■ aL'Lp ■ xL'Lp. (4)

LA

L/L Lp G/V

AutL/L Lp V G

Так как фактор-группа L/L'Lp абелева, то L Ç V. Таким образом, в группе G

1 < L < V < G G/V произвольных элементов x Е V и a Е L выполняется равенство (4).

Рассмотрим теперь подгруппу W = U П V. Очевидно, что W — нормальная

GL

W Fp-аппроксимируема. Для этого каждому неединичному элементу a из W сопоставим гомоморфизм группы W на некоторую конечную ргруппу, образ a относительно которого отличен от единицы.

Рассмотрим сначала случай, когда a Е L. Пусть е : W ^ W/L — естественный гомоморфизм. Тогда образ aL элемента a относительно е отличен от единицы. При этом группа W/L Fp-аппроксимируема как подгруппа Fp-аппроксимируемой группы U/L. Поэтому существует гомоморфизм в группы W/L на некоторую конечную ргруппу, переводящий aL в элемент, отличный

ев

Пусть теперь a Е L. Так как группа L имеет конечный ранг и Fp-annpoK-симируема, то по лемме 6 в ней существует характеристическая подгруппа R конечного риндекса, не содержащая элемент a. Очевидно, что подгруппа R, как L G G/R

ся свободным произведением подгрупп A/^hB/Rc объединенной подгруппой

H/R. Рассмотрим естественный гомоморфизм ф1 : G ^ G/R и введем следующие обозначения: Gip1 = G/R = Gb Афх = A/R = Ab Бф1 = B/R = Б1, Нфх = H/R = Нъ Ьфх = L/R = Ьъ Шфх = W/R = Wh афг = aR = аъ Тогда G\ = (A1 * Б1, Hi). Заметим, что Н1 — конечная нильпотентная группа, Li С Н1 и а1 = 1.

Так как Нг — конечная нильпотентная группа, то она раскладывается в прямое произведение Нг = Q1 х Q2 х ... х Qn, где Q1,Q2,..., Qn — силовские подгруппы группы Нг, соответствующие попарно различным простым числам q1,q2,..., qn (см. [9, п. 17.1.4]). Так как L1 — рподгруппа группы Нг и L1 = 1 (поскольку a1 Е L1 и а1 = 1), то одна из подгрупп Qi является ргруппой. Пусть для определенности Q1 — ргруппа. Тогда L1 С Qb Поэтому индекс [Q1 : L1] делит индекс [Н1 : L1] = [Н : L] и, следовательно, взаимно прост с р. С другой стороны, индекс [Q1 : L^ является степенью числа р, поскольку Q1 — конечная ргруппа. Из последних двух обстоятельств следует, что [Q1 : L1] = 1, то есть L1 = Qb Очевидно, что эл емент а1 те принадлежит подгруппе Q = Q2 х .. .х Qn.

Q Н1

Qi Н1 Q

Н1 G1 G1 Q

групп A1/Q и Б1 /Q с объединенной подгруппой H1/Q.

Рассмотрим естественный гомоморфизм ф2 : G1 ^ G1/Q и введем следующие обозначения: G^2 = G1/Q = G2, А1ф2 = A1/Q = А2, Б1ф2 = B1/Q = B2, Н1Ф2 = H1/Q = Щ, L^2 = L1Q/Q = L2, W^2 = W1 Q/Q = W2, аф = а1Q = а2. Тогда G2 = (A2 * Б2, H2). Заметим, что L2 = L1Q/Q = Q1Q/Q = H1/Q = H2 — конечная ргруппа, изоморфная Qb Заметим еще, что а2 = 1, поскольку а1 Е/ Q

Так как A2 — нильпотентная группа конечн ого ранга, Н2 — ее конечная нормальная подгруппа и фактор-группа A2/H2 = A/H финитно аппроксимируема,

A2 A2

ществует нормальная подгруппа M конечного индекса такая, что M П Н2 = 1. Поскольку Н2 — конечн ая ргруппа и фактор-группа A2/M раскладывается в прямое произведение силовских подгрупп, то без потери общности можно счи-[A2 : M] р Б2

существует нормальная подгруппа N конечного р-индекса такая, что NПН2 = 1. Согласно лемме 8, можно рассмотреть свободное произведение G3 групп A2/М и Б2/^ ^ подгруппой Н3 = Н2М/М = H2N/N и гомоморфизм

ф3 : G2 ^ G3, продолжающий естественные гомоморфизмы A2 ^ A2/M и Б2 ^ Б2/№ Введем следующие обозначения: A^3 = A3, Б2ф3 = Б3, W^3 = W3, L^3 = L3 = H3, а2ф3 = а3. Тогда G3 = (A3 * Б3, Н3), где A3,Б3 — конечные ргруппы. Заметим, что а3 = 1, так ка к а3 = a2M и при этом а2 Е M, поскольку а2 Е Н2 \ 1 и Н2 П M = 1.

Теперь рассмотрим естественный гомоморфизм ф4 : G3 ^ G3/H3. Вводя обозначения G3ip4 = G3/H3 = G4, A3ip4 = A3/H3 = A4, Б3ф4 = Б3/Н3 = Б4, получим свободное произведение G4 = A4 * Б4, где A4 и Б4 — конечные р

группы. Так как L Ç W, то L3 Ç W3} и поскольку L3 = H3, то H3 Ç W3. Поэтому W^4 = W3/H3. Обозначим подгруппу W3/H3 через W4.

Пусть D — декартова подгруппа группы G4, то есть ядро гомоморфизма группы G4 на прямое произведение A4 х В4, действующего тождественно на подгруппах А4 и В4. Очевидно, что G4/D4 = A4 х В4. Обозначим через F4 пересечение групп D4 и W4. Тогдa F4 — нормальная свободная подгруппа конечного риндекса группы W4 и при этом существует подгруппа F3 Е L(W3,H3) такая, что F4 = F3/H3. Таким образом, группа F3 является расширением группы H3 с

F4

ляемым. Заметим, что группа F4 Fp-аппроксимируема, поскольку она свободна.

Согласно (4), для взаимного коммутанта подгрупп L и V имеет место включение [L,V ] Ç L'Lp. Кроме то го, W Ç V. Поэтому [L,W ] Ç L'Lp. Отсюда и из того, что W^i^2^3 = W3, Рфхф^фз = L3 = H3, L'Lp^i^2^3 = L'3Lp = H'3H3p следует, что [H3,W3] Ç H3Hp. Поскольку F3 Ç W3, имеем [H3,F3] Ç Hl3H3p.

F3

ширением конечной H3 с помощью Jp-аппроксимируемой группы и

при этом [H3,F3] Ç H3Hp. Поэтому в силу леммы 11 группа F3 является Fp-

F3 W3

W3/F3 = W4/F4 — конечная р-группа. Из последних двух обстоятельств следует, что группа W3 Fp-аппроксимируема. Отсюда и из того, что а3 Е W3 \ 1 следует, что существует гомоморфизм фб группы W3 на некоторую конечную р^^^пу W5, образ элемента а3 относительно которого отличен от единицы. Тогда гомоморфизм ф1\ш • ф2\Ш1 • Ф3\w2 • Ф5 ы W ^а ^отечную р-группу

W5 отображает эле мент а в элемент а3ф5, отличный от единицы, и является искомым. Теорема 3 доказана.

Автор благодарен Д. Н. Азарову за помощь при написании данной статьи.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Baumslag G. On the residual finiteness of generalised free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 106. P. 193-209.

[2] Азаров Д. H., Розов А. В. О финитной аппроксимируемости свободного произведения разрешимых групп конечного ранга с нормальными объединенными подгруппами // Вестн. Иван. гос. ун-та. 2011. Вып. 2. С. 98-103.

[3] Lennox J., Robinson D. The theory of infinite soluble groups. Oxford.: Clarendon press. 2004.

[4] Шмелькин А. Л. I lo. i in ti i к. шческпе группы / / Сиб. мат. ж. 1968. Том 9. С. 234-235.

[5] Shirvani М. A converse to a residual finiteness theorem of G. Baumslag // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 104. №3. P. 703-706.

р

группами свободного произведения двух групп с конечными объединенными подгруппами // Вестн. Иван. гос. ун-та. 2011. Вып. 2. С. 94-97.

[7] Азаров Д. И. О группах конечного общего ранга // Вестн. Иван. гос. ун-та. 2004. Вып. 3. С. 100-103.

р

бышевский сборник. Тула, 2010. Том 11. Вып. 3(35). С. 11-21.

[9] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1977.

[10] Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. 1957. V. 7. P. 29-62.

[11] Плоткин Б. И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. М.: Наука, 1966.

Ивановский государственный университет.

Получено 14.05.2012