ОБ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ КОНЕЧНЫМИ π -ГРУППАМИ СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ НИЛЬПОТЕНТНЫХ 7 ГРУПП КОНЕЧНОГО РАНГА С ЦЕНТРАЛЬНЫМИ ОБЪЕДИНЕННЫМИ ПОДГРУППАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 512.543

А. В. Розов

Об аппроксимируемости конечными п -группами свободных произведений нильпотентных групп конечного ранга с центральными объединенными подгруппами

п F п G

Пусть ^ - множество простых чисел, п - класс всех конечных ^ -групп. И пусть ^ - свободное произведение

F A B

п -аппроксимируемых нильпотентных групп и & конечного ранга с собственными центральными объединенными

H K G F

подгруппами ^ и л . Доказано, что группа ^ тогда и только тогда п -аппроксимируема, когда фактор-группы

A / H B / K F

J±t П и -О/Л- п-аппроксимируемы.

Ключевые слова: нильпотентная группа конечного ранга, центр группы, обобщенное свободное произведение групп,

П

аппроксимируемость конечными -группами.

A. V. Rozov

On the Residual п -Finiteness of Free Products of Nilpotent Groups of the Finite Rank

with Central Amalgamated Subgroups

Let F be a class of all finite п -groups, where п is a set of primes. And let A and B be residually п -finite nilpotent groups of the finite rank and G be a free product of groups A and B with amalgamated subgroups H and K , where H and K are proper central subgroups of groups A and B . We proved that G is residually п -finite if and only if groups A ! H and B ! K are residually П -finite.

п

Keywords: a nilpotent group of finite rank, a group center, a generalized free product of groups, residually a finite -group. 1. Введение

Пусть K - некоторый класс групп. Напомним, что группа G называется аппроксимируемой группами из класса K (или короче - K -аппроксимируемой), если для каждого неединичного элемента x из G существует гомоморфизм группы G на группу из класса K, при котором образ

элемента Х отличен от единицы. Если F обозначает класс всех конечных групп, то понятие F -аппроксимируемой группы совпадает с классическим понятием финитно аппроксимируемой группы.

Наряду с финитной аппроксимируемостью, изучается также свойство F -аппроксимируемости, где п F п

Jl - некоторое множество простых чисел, п - класс всех конечных '1 -групп. Напомним, что кона П

П

нечная группа называется '^ -группой, если все простые делители ее порядка принадлежат множест-

вУ

© Розов А. В., 2013

Перейдем теперь к свободным произведениям с объединенными подгруппами. Пусть А и В -произвольные группы, Н и К - подгруппы групп А и В соответственно, Ф - изоморфизм подгруппы Н на подгруппу К . И пусть

О = (А * В; Н = К ,Ф)

- свободное произведение групп А и В с подгруппами Н и К, объединенными относительно изоморфизма Ф. Напомним, что группа О порождается всеми порождающими групп А и В и оп-

Иф = И

ределяется всеми определяющими соотношениями этих групп, а также соотношениями вида ~ , где И е Н .

р

Очевидным необходимым условием финитной аппроксимируемости ( п -аппроксимируемости)

группы О является финитная аппроксимируемость ( п -аппроксимируемость) групп А и В. Несложные примеры показывают, что этих условий недостаточно.

р

Наиболее распространенный подход к изучению финитной аппроксимируемости ( п -аппроксимируемости) группы О состоит в том, что на свободные множители А и В, помимо условия финитной аппроксимируемости (-аппроксимируемости), накладываются еще некоторые дополнительные условия. Дополнительные ограничения, как правило, накладываются и на объединяемые подгруппы Н и К . Г. Баумслаг в [5] доказал, что свободное произведение двух полициклических групп с нормальными объединенными подгруппами финитно аппроксимируемо.

Одним из обобщений понятия полициклической группы является понятие разрешимой группы конечного ранга. Напомним, что группа О называется группой конечного ранга, если существует целое положительное число г такое, что любая конечно порожденная подгруппа группы О порождается не более чем г элементами. Ранее в работе [1] нами было получено следующее обобщение указанного выше результата Баумслага.

Теорема 1. Пусть О - свободное произведение финитно аппроксимируемых групп А и В с нормальными объединенными подгруппами Н и К, не совпадающими с группами А и В соответственно. Если группы А и В являются разрешимыми группами конечного ранга, то группа О тогда и

только тогда финитно аппроксимируема, когда фактор-группы А / Н и В / К финитно аппроксимируемы.

р

Заметим, что теорема 1 не может быть распространена с финитной аппроксимируемости на П -аппроксимируемость, поскольку даже в случае, когда множество П состоит из одного простого числа Р, свободное произведение двух конечных П -групп с нормальными объединенными подгруппами не обязано быть П -аппроксимируемой группой. Тем не менее, требуя дополнительно от объединяемых подгрупп Н и К , чтобы они содержались в центрах групп А и В, мы докажем здесь следующее утверждение для обобщенного свободного произведения нильпотентных групп конечного ранга.

Теорема 2. Пусть О - свободное произведение -аппроксимируемых групп А и В с центральными объединенными подгруппами Н и К, не совпадающими с группами А и В соответственно. Если группы А и В являются нильпотентными группами конечного ранга, то группа О тогда и

только тогда -аппроксимируема, когда фактор-группы А / Н и В / К -аппроксимируемы.

р

Заметим, что необходимость в этой теореме имеет место даже в более общей ситуации: из п-

аппроксимируемости свободного произведения О произвольных групп А и В с собственными центральными объединенными подгруппами Н и К следует -аппроксимируемость групп

А / Н и В / К.

Хорошо известно и легко проверяется, что конечно порожденная нильпотентная группа

аппроксимируема тогда и только тогда, когда ее конечная часть т(О) является п -группой (см. [6]). Поэтому в качестве следствия из теоремы 2 получаем следующее утверждение.

Следствие. Пусть О - свободное произведение П -аппроксимируемых групп А и В с центральными объединенными подгруппами Н и К, не совпадающими с группами А и В соответственно. Если группы А и В являются конечно порожденными нильпотентными группами, то группа О

тогда и только тогда РП -аппроксимируема, когда группы А / Н и В / К Р"-аппроксимируемы, тогда и только тогда, когда конечные части групп А / Н и В / К являются П -группами.

Частным случаем этого утверждения является теорема 4.10 из [7], доказанная для множества П,

Р

состоящего из одного простого числа .

Для доказательства теоремы 2 нам понадобится ряд вспомогательных утверждений.

2. Вспомогательные утверждения

В работе [1, лемма 4] нами был получен следующий результат.

Лемма 1. Пусть О - нильпотентная группа конечного ранга. Если группа О является расширением конечной группы с помощью финитно аппроксимируемой группы, то группа О финитно аппроксимируема.

р О

Верно будет и аналогичное утверждение для П -аппроксимируемости группы ^ .

Лемма 2. Пусть О - нильпотентная группа конечного ранга. Если группа О является расшире-

_ р о Р

нием конечной 71 -группы с помощью П -аппроксимируемой группы, то группа ^ П -аппроксимируема.

Доказательство. Пусть Н - конечная нормальная П -подгруппа группы О и фактор-группа

О / Н Р О Р

/ п ж -аппроксимируема. Покажем, что группа ^ П -аппроксимирума. Для этого рассмотрим

произвольный неединичный элемент ^ из О и укажем для него гомоморфизм группы О на конечную П -группу, переводящий ^ в элемент, отличный от 1.

Предположим сначала, что ^ ^ Н . Пусть & • О ^ О / Н - естественный гомоморфизм. Тогда

££ ^ 1 О / Н Р О

® . Отсюда и из того, что ^' п П -аппроксимируема следует, что существует гомоморфизм "

группы О / Н на конечную П -группу такой, что ^ 1. Поэтому - искомый гомоморфизм.

Теперь предположим, что ^ е Н . В силу леммы 1 группа О финитно аппроксимируема. Отсюда и из того, что ее подгруппа Н , конечна следует, что существует гомоморфизм Р группы О на некоторую конечную группу Р, инъективный на Н . Хорошо известно (см., напр., [2, п. 17.1.4]), что любая конечная нильпотентная группа раскладывается в прямое произведение своих силовских Р -подгрупп. Поэтому Р раскладывается в прямое произведение вида

Р = Р х Т,

где Р - наибольшая П -подгруппа группы Р . Очевидно, что Нр — Р. Рассмотрим проекцию & группы Р на ее подгруппу Р . Тогда - гомоморфизм группы ° на конечную П -группу Р, инъ-

ективный на Н . Поэтому ^ 1. Таким образом, - искомый гомоморфизм. Лемма доказана.

Пусть ° - свободное произведение групп А и В с объединенными относительно изоморфизма Ф подгруппами Н и К . Хорошо известно, что группы А и В естественным образом вложимы в группу ° . Поэтому можно считать, что А и В - подгруппы группы ° . Тогда А ^ В = Н = К . Далее в некоторых случаях для группы ° будем использовать более компактное обозначение

° (А В; Н) и называть ее свободным произведением групп А и В с объединенной подгруппой Н .

Лемма 3. Пусть ° (А В; Н) и Р - подгруппа группы °, тривиально пересекающая все подгруппы группы °, сопряженные с Н. Тогда Р раскладывается в свободное произведение некоторой свободной подгруппы и подгрупп вида х Ах ^ Р и х Вх ^ Р (Х е °). В частности,

если подгруппа Р тривиально пересекает все подгруппы группы °, сопряженные с А и В, то она свободна.

Доказательство этого утверждения, принадлежащего Х. Нейман, можно найти в [3, предл. 11.22].

Лемма 4. Пусть ° (А В; Н) , М и N - нормальные подгруппы групп А и В соответственно такие, что М ^ Н = N ^ Н . Тогда естественные гомоморфизмы А ^ А 1М и

В ^ В / N могут быть продолжены до гомоморфизма Рмя группы ° на свободное произведение

групп А1М и В / N с объединенной подгруппой Нм НМ /м НИ / N. Это утверждение хорошо известно и легко проверяется (см. [5]).

Р П

Лемма 5. Произвольная свободная группа П-аппроксимируема для любого множества простых чисел.

Р

Этот результат непосредственно следует из р -аппроксимируемости свободных групп для любых простых Р (см. [3, предл. 4.8]).

П Р

Лемма 6. Пусть 71 - множество простых чисел. Свободное произведение любого семейства ПР

аппроксимируемых групп является П -аппроксимируемой группой. Данное утверждение доказано в работе [6] (см. также [4, с. 429]).

Лемма 7. Пусть ° - свободное произведение конечных П -групп А и В с объединенными относительно изоморфизма Ф подгруппами Н и К. Если Н и К центральны в группах А и В соот-

О Р

ветственно, то группа ^ П -аппроксимируема.

Доказательство. Так как подгруппы Н и К центральны в группах А и В соответственно, то

можно рассмотреть обобщенное прямое произведение & групп А и В с объединенными подгруппами Н и К . Напомним, что группа ° представляет собой фактор-группу прямого произведения

А х В Н(Нф)ь е Н п

по его подгруппе, состоящей из всевозможных элементов вида , где . Оче-

видно, что ° - конечная П -группа и что тождественные отображения А ^ А и В ^ В могут быть продолжены до гомоморфизма Р ' ° ^ ° . Из построения Р видно, что его ядро Р триви-

ально пересекает подгруппы А и В , а также все сопряжения к ним в группе О , откуда в силу леммы 3 получаем, что Р - свободная группа.

Таким образом, группа О является расширением Р" -аппроксимируемой группы Р (см. лемму

5) с помощью конечной п -группы О . Хорошо известно и легко проверяется, что такое расширение Р

п -аппроксимируемо. Лемма доказана.

Лемма 8. Пусть О - свободное произведение П -аппроксимируемых групп А и В с конечной

объединенной подгруппой Н. Если Н центральна в группах А и В, то группа О П -аппроксимируема.

Доказательство. Так как группа А Р " -аппроксимируема и ее подгруппа Н конечна, то в А существует нормальная подгруппа М конечного П -индекса такая, что М ^ Н = 1. Аналогично, в группе В существует нормальная подгруппа N конечного П -индекса такая, что N ^ Н = 1. По лемме 4 естественные гомоморфизмы А ^ А / М и В ^ В / N можно продолжить до гомоморфизма Рмы : О ^ Омы (А / М В / N; Нмы ) . Очевидно, что инъективен на Н .

О Р Н

В силу леммы 7 группа мы П -аппроксимируема. Отсюда и из того, что ее подгруппа мы ко-

о —

нечна следует, что существует гомоморфизм ^ группы м на конечную П -группу О , инъектив-

ный на Нмы . Тогда гомоморфизм инъективен на подгруппе Н , и поэтому его ядро К пере-

секается с Н тривиально. В силу леммы 3 группа К раскладывается в свободное произведение некоторой свободной подгруппы Р и семейства подгрупп вида х Ах ^К и х Вх ^К, где

х е О. Заметим, что подгруппа Р Р л -аппроксимируема по лемме 5, а остальные свободные соК Р Р

множители из разложения группы л П -аппроксимируемы вследствие П -аппроксимируемости групп А и В . Поэтому из леммы 6 следует, что и группа К П -аппроксимируема.

Таким образом, группа О является расширением Р П -аппроксимируемой группы К с помощью конечной П -группы О . Поэтому О сама Р П -аппроксимируема. Лемма доказана.

Напомним, что подгруппа Н группы О называется Р П -отделимой, если для каждого элемента х группы О, не принадлежащего Н, существует гомоморфизм Ф группы О на конечную П -группу такой, что ^ Нф. Хорошо известна и легко проверяется следующая связь между поня-

Р Р

тиями П -аппроксимируемой группы и П -отделимой подгруппы.

Лемма 9. Пусть О - группа, Н - ее нормальная подгруппа. Подгруппа Н Р П -отделима в группе О тогда и только тогда, когда фактор-группа О / Н Р -аппроксимируема.

3. Доказательство теоремы 2

Р

Пусть О - свободное произведение Р -аппроксимируемых групп А и В с центральной объединенной подгруппой Н, не совпадающей с группами А и В. И пусть А и В - нильпотентные

Г Р

группы конечного ранга. Докажем, что группа ^ П -аппроксимируема тогда и только тогда, когда фактор-группы А1Н и В1Н Р" -аппроксимируемы.

А / Н В / Н Р & Р

Пусть фактор-группы и 0' п П-аппроксимируемы. Докажем, что группа ^ П-

аппроксимируема. Для этого достаточно для каждого неединичного элемента Я из & указать гомо-

& Р Я

морфизм группы ^ на П -аппроксимируемую группу, при котором образ ® будет отличен от 1. Рассмотрим сначала случай, когда Я ^ Н . Пусть & • & ^ &1Н - естественный гомоморфизм.

ЯБ Ф1 & / Н Р

Тогда ® . При этом фактор-группа п является свободным произведением П-

аппроксимируемых групп А1Н и В1Н, и поэтому сама Р" -аппроксимируема. Таким образом, & - искомый гомоморфизм.

Я е Н РП

Теперь рассмотрим случай, когда ° . Так как группа 11 П -аппроксимируема, то в ней существует подгруппа - конечного П -индекса, не содержащая элемент Я . При этом - нормальна в группе &, поскольку содержится в ее центре. Рассмотрим естественный гомоморфизм

&: & ^ & / N = (А / N * В / N; Н / N)

Заметим, что группы А / - и В / - являются расширениями конечной П -группы Н / N с помощью Р" -аппроксимируемых групп А / Н и В / Н соответственно. Отсюда и из того, что А / -и В / - - нильпотентные группы конечного ранга, по лемме 2 следует, что они Р" -аппроксимируемы. Таким образом, группа &/ - является свободным произведением Рд

п _

аппроксимируемых групп А / - и В / - с конечной центральной объединенной подгруппой

Р

Н / - Поэтому из леммы 8 получаем что группа & / - П -а

. Поэтому из леммы 8 получаем, что группа &' - П -аппроксимируема. Остается отметить, что Ф 1 и что & - искомый гомоморфизм.

(Т Р

Докажем теперь необходимость в теореме 2. Пусть группа ^ П -аппроксимируема. Покажем, что группы А / Н и В / Н Р" -аппроксимируемы. В силу леммы 9 для этого достаточно доказать Р" -отделимость подгруппы Н в группах А и В .

Предположим, что подгруппа Н не Р" -отделима в группе А . Тогда в группе А существует элемент а , не принадлежащий Н и такой, что для каждого гомоморфизма Ф группы А на конечную П -группу аФ е НФ. Зафиксируем элемент Ь группы В, не принадлежащий Н , и рассмотрим коммутатор с элементов а и Ь, то есть элемент вида

с = [а, Ь] = аЬ 1аЪ.

Элемент с имеет в группе & несократимую запись длины 4 и поэтому отличен от 1. Отсюда и из того, что Г Р" -аппроксимируема, следует, что существует гомоморфизм У группы & на конечную П -группу такой, что Су Ф 1. Из сделанного выше предположения заключаем, что ау е , то есть ау = для некоторого элемента к группы Н . Используя центральность подгруппы Н в группе В, получаем:

су = [а, Ь]у = [а у, Ьу] = [к у, Ьу] = [И, Ь]у = = 1.

Однако выше было сказано, что ^ 1. Таким образом, подгруппа H F п -отделима в группе A

. Аналогично доказывается п -отделимость подгруппы H в группе B . Теорема доказана. Автор выражает благодарность Д. Н. Азарову за помощь при написании данной статьи.

Библиографический список

1. Азаров, Д. Н., Розов, А. В. О финитной аппроксимируемости свободного произведения разрешимых групп конечного ранга с нормальными объединенными подгруппами [Текст] / Д. Н. Азаров, А. В. Розов // Вестн. Иван. гос. ун-та. - 2011. - Вып. 2. - С. 98-103.

2. Каргаполов, М. И., Мерзляков, Ю. И. Основы теории групп [Текст] / М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков. - М. : Наука, 1977. - 240 с.

3. Линдон, Р., Шупп, П. Комбинаторная теория групп [Текст] / Р. Линдон, П. Шупп. - М. : Мир, 1980. - 447 с.

4. Магнус, В. Комбинаторная теория групп [Текст] / В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитэр. - М. : Наука, 1974. -456 с.

5. Baumslag, G. On the residual finiteness of generalised free products of nilpotent groups / G. Baumslag // Trans. Amer. Math. Soc. - 1963. - Vol. 106. - P. 193-209.

6. Gruenberg, K. W. Residual properties of infinite soluble groups / K. W. Gruenberg // Proc. London Math. Soc. -1957. - V. 7. - P. 29-62.

P

7. Kim, G. Residual r -finiteness of certain generalized free products of nilpotent groups / G. Kim, Y. Lee, J. McCarron // Kyungpook Math. J. - 2008. - Vol. 48, № 3. - P. 495-502.

Bibliograficheskij spisok

1. Аzarov, D. N., Rozov, А. V. O finitnoj approksimiruemosti svobodnogo proizvedeniya razreshimykh grupp konechnogo ranga s normal'nymi ob"edinennymi podgruppami [Tekst] / D. N. Äzarov, А. V. Rozov // Vestn. Ivan. gos. un-ta. - 2011. - Vyp. 2. - S. 98-103.

2. Kargapolov, M. I., Merzlyakov, YU. I. Osnovy teorii grupp [Tekst] / M. I. Kargapolov, YU. I. Merzlyakov. - M. : Nauka, 1977. - 240 s.

3. Lindon, R., SHupp, P. Kombinatornaya teoriya grupp [Tekst] / R. Lindon, P. SHupp. - M. : Mir, 1980. - 447 s.

4. Magnus, V. Kombinatornaya teoriya grupp [Tekst] / V. Magnus, А. Karras, D. Solitehr. - M. : Nauka, 1974. -456 s.

5. Baumslag, G. On the residual finiteness of generalised free products of nilpotent groups / G. Baumslag // Trans. Amer. Math. Soc. - 1963. - Vol. 106. - P. 193-209.

6. Gruenberg, K. W. Residual properties of infinite soluble groups / K. W. Gruenberg // Proc. London Math. Soc. -1957. - V. 7. - P. 29-62.

7. Kim, G. Residual -finiteness of certain generalized free products of nilpotent groups / G. Kim, Y. Lee, J. McCarron // Kyungpook Math. J. - 2008. - Vol. 48, № 3. - P. 495-502.