Об аппроксимируемости конечными п-группами некоторых свободных произведений групп с центральными объединенными подгруппами Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016 Математика и механика № 2(40)

УДК 512.543

DOI 10.17223/19988621/40/4

А.В. Розов

ОБ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ КОНЕЧНЫМИ п-ГРУППАМИ

НЕКОТОРЫХ СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ГРУПП С ЦЕНТРАЛЬНЫМИ ОБЪЕДИНЕННЫМИ ПОДГРУППАМИ1

Пусть п - некоторое множество простых чисел, G - свободное произведение групп A и B с собственными нормальными объединенными подгруппами H и K. И пусть A - нильпотентная группа конечного ранга, а H содержится в ее центре. Доказано, что группа G аппроксимируема конечными п-группами тогда и только тогда, когда группы A, B, A/H и B/K аппроксимируемы конечными п-группами.

Ключевые слова: нильпотентная группа конечного ранга, центр группы, обобщенное свободное произведение групп, аппроксимируемость конечными п-группами.

1. Введение

Пусть п - некоторое множество простых чисел, Fn - класс всех конечных п-групп. Напомним, что конечная группа называется п-группой, если все простые делители ее порядка принадлежат множеству п. Группа G называется аппроксимируемой конечными п-группами (или, короче, FK-аппроксимируемой), если для каждого неединичного элемента х из G существует гомоморфизм группы G на некоторую конечную п-группу, при котором образ элемента х отличен от единицы. В случае, когда множество п состоит из одного простого числа p, говорят об F%-аппроксимируемости.

Перейдем теперь к свободным произведениям групп с объединенными подгруппами. Пусть A и B - произвольные группы, H и K - подгруппы групп A и B соответственно, ф - изоморфизм подгруппы H на подгруппу K. И пусть

G = (A * B; H = K, ф)

- свободное произведение групп A и B с подгруппами H и K, объединенными относительно изоморфизма ф. Напомним, что группа G порождается всеми порождающими групп A и B и определяется всеми определяющими соотношениями этих групп, а также соотношениями вида Иф = h, где h е H .

Очевидным необходимым условием FK-аппроксимируемости группы G является Fjt-аппроксимируемость групп A и B. Несложные примеры показывают, что это условие не является достаточным. Для изучения FK-аппроксимируемости группы G будем накладывать на группы A и B и подгруппы H и K некоторые дополнительные ограничения.

Далее будем требовать, чтобы подгруппы H и K содержались в центрах групп A и B соответственно. При таком ограничении может быть доказано, что если A и B - конечные п-группы, то группа G Fjt-аппроксимируема (см. доказанное ниже

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках выполнения НИР по государственному заданию.

предложение 3). Аналогичный результат может быть получен, если ослабить требование конечности групп A и B до требования конечности объединенных подгрупп H и K: свободное произведение двух ^-аппроксимируемых групп с конечными центральными объединенными подгруппами является _Рп-аппроксимируеой группой (см. предложение 4). Группа G оказывается ^-аппроксимируемой и в том случае, когда группы A и B ^-аппроксимируемы, а фактор-группы A/H и B/K являются конечными п-группами (см. предложение 5).

Заметим, что в последнем утверждении требование конечности фактор-групп A/H и B/K не может быть заменено на более слабое требование ^-аппроксимируемости этих фактор-групп. Соответствующий пример будет приведен в четвертом разделе данной статьи. Тем не менее в случае, когда A - нильпотентная группа конечного ранга, имеет место следующий критерий.

Теорема 1. Пусть G - свободное произведение групп A и B с нормальными объединенными подгруппами H и K, не совпадающими с группами A и B. И пусть A - нильпотентная группа конечного ранга, а H содержится в ее центре. Тогда группа G ^-аппроксимируема тогда и только тогда, когда группы A, B, A/H и B/K ^-аппроксимируемы.

Напомним, что группа G называется группой конечного ранга, если существует целое положительное число r, такое, что любая конечно порожденная подгруппа группы G порождается не более чем r элементами.

Заметим, что необходимость в теореме 1 имеет место и без предположения о том, что A - нильпотентная группа конечного ранга (см. ее доказательство). Заметим еще, что теорема 1 обобщает аналогичный критерий ^-аппроксимируемости группы G, полученный автором работы [1], в котором наряду с требованиями конечности ранга группы A , ее нильпотентности и центральности подгруппы H в группе A накладываются такие же требования на группу B и на ее подгруппу K. Кроме того, частным случаем теоремы 1 является один из результатов работы [2, теор. 4], доказанный для случая, когда A - конечно порожденная нильпотентная группа.

Для доказательства теоремы 1 нам понадобится ряд вспомогательных утверждений.

2. Вспомогательные утверждения

Предложение 1. Пусть G - нильпотентная группа конечного ранга. Если группа G является расширением конечной п-группы с помощью ^-аппроксимируемой группы, то группа G ^-аппроксимируема.

Это утверждение было доказано автором в [1].

Пусть G - свободное произведение групп A и B с объединенными относительно изоморфизма ф подгруппами H и K. Хорошо известно, что группы A и B естественным образом вложимы в группу G. Поэтому можно считать, что A и B - подгруппы группы G. Тогда A n B = H = K . Далее в некоторых случаях для группы G будем использовать более компактное обозначение G = (A * B; H) и называть ее свободным произведением групп A и B с объединенной подгруппой H.

Предложение 2. Пусть G = (A * B; H), M и N - нормальные подгруппы групп A и B соответственно, такие, что M n H = N n H . Тогда естественные гомоморфизмы A ^ A/M и B ^ B/N могут быть продолжены до гомоморфизма pMN группы G на свободное произведение GMN групп A/M и B/N с объединенной подгруппой HMN = HM/M = HN/N.

Это утверждение хорошо известно и легко проверяется (см. [3]).

Напомним, что группа G называется расщепляемым расширением группы A с помощью группы B, если A - нормальная подгруппа группы G, B - подгруппа группы G, AnB = 1 и G = AB. Очевидно, что G/A = B и [G : B] = |A|.

Предложение 3. Пусть G - свободное произведение конечных п-групп A и B с нормальной объединенной подгруппой H. Если H центральна в A, то группа G Fn-аппроксимируема.

Доказательство. Заметим, что фактор-группа G/H FK-аппроксимируема, поскольку представляет из себя свободное произведение конечных п-групп A/H и B/H. Обозначим через D/H ее декартову подгруппу, т. е. ядро гомоморфизма группы G/H на прямое произведение групп A/H и B/H, продолжающего тождественные отображения A/H ^ A/H и B/H ^ B/H. По хорошо известной теореме Ку-роша о подгруппах свободных произведений групп (см., напр., [4, с. 253]) подгруппа D/H свободна. Кроме того, D/H нормальна в группе G/H и имеет в ней конечный п-индекс. Поэтому подгруппа D нормальна в группе G, имеет в ней конечный п-индекс и представляет из себя расширение группы H с помощью свободной группы. Хорошо известно, что такое расширение расщепляемо. Таким образом, D - расщепляемое расширение конечной п-группы H с помощью некоторой свободной группы F, изоморфной D/H. Покажем, что группа D Fji-аппрокси-мируема.

Пусть р - гомоморфизм группы G в группу автоморфизмов группы H, сопоставляющий каждому элементу x из G ограничение на H внутреннего автоморфизма группы G, производимого элементом x. Так как H лежит в центре группы A, то Ap = 1. Отсюда и из того, что G порождается подгруппами A и B следует, что Gp = Bp и, следовательно, Gp - конечная п-группа. Обозначим через N ядро гомоморфизма р. Тогда F n N - нормальная подгруппа группы F и F / F n N = FN / N < G / N = Gp . Отсюда и из того, что Gp - конечная п-группа, следует, что [F : F n N] - п-число. С другой стороны, так как D - расщепляемое расширение группы H с помощью группы F, то [D : F] = |H|, и поэтому [D : F] - п-число. Следовательно, [D : F n N] - п-число. Так как D = HF, F n N - нормальная подгруппа группы F и F n N поэлементно перестановочна с H, то F n N -нормальная подгруппа группы D. Таким образом, D содержит свободную нормальную подгруппу F n N конечного п-индекса. Поэтому группа D F%-аппроксимируема. При этом D является нормальной подгруппой конечного п-индекса группы G. Поэтому группа G также Fjt-аппроксимируема. Предложение доказано.

Напомним, что подгруппа H группы G называется FK-отделимой, если для каждого элемента x группы G, не принадлежащего H, существует гомоморфизм ф группы G на конечную п-группу, такой, что хф g H<p. Хорошо известно, что в

случае, когда H нормальна в G, ее Fjt-отделимость равносильна Fjt-аппрокси-мируемости группы G/H.

Предложение 4. Пусть G - свободное произведение Fп-аппроксимируемых групп A и B с конечной нормальной объединенной подгруппой H. Если H центральна в A, то группа G Fjt-аппроксимируема.

Доказательство. Для доказательства Fjt-аппроксимируемости группы G достаточно для каждого ее неединичного элемента g указать гомоморфизм группы G на Fjt-аппроксимируемую группу, образ g относительно которого отличен от 1.

Рассмотрим сначала случай, когда g g H . Покажем, что подгруппа H Fn-отделима в группе A. Пусть a е A \ H . Так как группа A F^-аппроксимируема, то для каждого элемента h е H существует гомоморфизм ф; группы A на конечную п-группу такой, что аф;; Ф hфh. Так как подгруппа H конечна, то группа P = A / n Ker является конечной п-группой. Если теперь через 5 обозначить

heH

естественный гомоморфизм A ^ P, то a8g H8 . Таким образом, подгруппа H группы A Fjt-отделима, и поэтому фактор-группа A/H FK-аппроксимируема. То же самое можно сказать и о группе B/H. Следовательно, группа G/H, изоморфная свободному произведению групп A/H и B/H, также Fji-аппроксимируема. Так как образ элемента g относительно естественного гомоморфизма е: G ^ G/H отличен от 1, то этот гомоморфизм является искомым.

Теперь рассмотрим случай, когда g е H . Так как H - конечная подгруппа Fn-

аппроксимируемой группы A, то в A существует нормальная подгруппа M конечного п-индекса, такая, что M n H = 1. Аналогично, в B существует нормальная подгруппа N конечного п-индекса такая, что N n H = 1. Поэтому в силу предложения 2 можно рассмотреть группу GMN = (A/M * B/N; HMN) и гомоморфизм pMN: G ^ Gmn, продолжающий естественные гомоморфизмы A ^ A/M и B ^ B/N. Заметим, что Gmn Fjj-аппроксимируема по предложению 3, и поэтому в качестве искомого гомоморфизма может быть взят pMN. Предложение доказано.

Предложение 5. Пусть G - свободное произведение Fп-аппроксимируемых групп A и B с нормальной объединенной подгруппой H, причем H имеет конечный п-индекс в A и B. Если H центральна в A, то группа G Fji-аппроксимируема.

Доказательство. Как и при доказательстве предыдущего предложения, укажем для каждого неединичного элемента g из G гомоморфизм группы G на F%-аппроксимируемую группу, образ g относительно которого будет отличен от 1.

Если g g H , то искомым, очевидно, снова будет естественный гомоморфизм

е: G ^ G/H.

Рассмотрим случай, когда g е H . Так как B Fп-аппроксимируема, то существует нормальная подгруппа M конечного п-индекса группы B, не содержащая элемент g. Тогда подгруппа N = M n H является нормальной подгруппой группы B и центральной подгруппой группы A, причем ее индекс в группе H, а значит, и в группах A и B является п-числом. Таким образом, можно рассмотреть естественный гомоморфизм е: G ^ G/N, где G/N - свободное произведение конечных п-групп A/N и B/N с нормальной объединенной подгруппой H/N, содержащейся в центре A/N. Поскольку группа G/N Fjt-аппроксимируема в силу предложения 3, то е - искомый гомоморфизм. Предложение доказано.

3. Доказательство теоремы 1

Пусть G - свободное произведение Fjt-аппроксимируемых групп A и B с нормальной объединенной подгруппой H, не совпадающей с группами A и B. И пусть A - нильпотентная группа конечного ранга, а H содержится в ее центре. Докажем, что группа G Fjj-аппроксимируема тогда и только тогда, когда группы A, B, A/H и B/H Fп-аппроксимируемы.

Пусть группы A, B, A/H и B/H Fjj-аппроксимируемы. Докажем, что группа G Fjt-аппроксимируема. Для этого достаточно для каждого неединичного элемента g

из G указать гомоморфизм группы G на Fп-аппроксимируемую группу, при котором образ g будет отличен от 1.

Рассмотрим сначала случай, когда g g H . Поскольку группа G/H = A/H * B/H

Fjt-аппроксимируема, то естественный гомоморфизм е: G ^ G/H будет искомым.

Теперь рассмотрим случай, когда g е H. Так как группа B Fn-аппроксимируема, то в ней существует нормальная подгруппа N конечного п-индекса, не содержащая g. Обозначим через S подгруппу N n H группы A. Тогда S, как и H, центральна в A, а ее индекс в группе H, очевидно, является п-числом. Рассмотрим фактор-группу A/S. Так как она является расширением конечной п-группы H/S с помощью Fjt-аппроксимируемой группы A/H, то в силу предложения 1 она сама Fjt-аппроксимируема. Отсюда следует, что в A/S существует нормальная подгруппа M/S конечного п-индекса, тривиально пересекающаяся с H/S. Заметим, что M - нормальная подгруппа конечного п-индекса группы A, и M n H = S .

Используя предложение 2, построим теперь группу GMN = (A/M * B/N, HMN) и гомоморфизм pMN: G ^ GMN, продолжающий естественные гомоморфизмы A ^ A/M и B ^ B/N. Заметим, что группа GMN является свободным произведением конечных п-групп A /M и B/N с нормальной объединенной подгруппой HMN, причем HMN центральна в A/M. Поэтому в силу предложения 3 GMN Fjt-аппрокси-мируема. Остается отметить, что gpMN ф 1, поскольку g g N, и что pMN - искомый

гомоморфизм.

Докажем теперь необходимость в теореме 1. Пусть группа G Fn-аппроксимируема. Покажем, что группы A/H и B/H Fjt-аппроксимируемы. Для этого достаточно доказать Fjt-отделимость подгруппы H в группах A и B.

Предположим, что подгруппа H не является FK-отделимой в группе A. Тогда в группе A существует элемент a, не принадлежащий H и такой, что для каждого гомоморфизма ф группы A на конечную п-группу a< е Hф. Зафиксируем элемент

b группы B, не принадлежащий H, и рассмотрим коммутатор с элементов a и b-ab, т. е. элемент вида

c = [a, b~lab] = a~lb~la~lbab~lab.

Элемент c имеет в группе G несократимую запись длины 8, и поэтому отличен от 1. Отсюда и из того, что G Fjt-аппроксимируема, следует, что существует гомоморфизм у группы G на конечную п-группу, такой, что су ф 1. Из сделанного выше предположения заключаем, что ay е H у , т. е. ay = hy для некоторого элемента h группы H. Заметим, что группа H абелева, так как она центральна в группе A. Отсюда и из нормальности подгруппы H в группе B получаем cy = [a, b4ab]y = [h, b4hb]y = 1y = 1.

Однако раньше было сказано, что cy ф 1. Таким образом, подгруппа H Fn-отделима в группе A. Аналогично может быть доказана Fjt-отделимость подгруппы H в группе B. Теорема доказана.

4. О существенности требования конечности ранга в теореме 1

Покажем, что свободное произведение G Fjt-аппроксимируемых групп A и B с собственными центральными объединенными относительно изоморфизма ф подгруппами H и K не обязано быть Fп-аппроксимируемой группой при условии, что фактор-группы A/H и B/K Fjt-аппроксимируемы.

Пусть p и q - различные простые числа. Рассмотрим абелевы группы

и

A = {ai (i е N); aial = alai, ap = ap (i,l е N}) B = (bj (j e N); bJbl = b,b}, bf = bf (j,l e N)>.

Обозначим через И элемент группы А, совпадающий со всеми ар , а через к -элемент группы В, совпадающий со всеми Ь^ . Тогда для любых неотрицательных целых т и п уравнения

разрешимы в группах А и В соответственно.

Рассмотрим циклические подгруппы Н = (И) и К = (к) групп А и В и группу

где ф: Н ^ К - изоморфизм, продолжающий отображение И ^ к . Пусть п = {р, ?}. Покажем, что группы А, В, А/Н и В/К ^-аппроксимируемы, а группа О - нет.

Очевидно, что фактор-группа А/Н имеет представление

и поэтому может быть представлена как прямое произведение счетного числа циклических р-групп. Легко понять, что такое прямое произведение Fp-аппроксимируемо, и поэтому F^-аппроксимируемо. Аналогично устанавливается, что группа B/K Fq-аппроксимируема, и поэтому F^-аппроксимируема.

Покажем теперь, что группа A F^-аппроксимируема. Для этого укажем для каждого неединичного элемента a из A гомоморфизм группы A на конечную п-группу, переводящий a в неединичный элемент.

Рассмотрим сначала случай, когда a g H . Пусть е: A ^ A/H - естественный гомоморфизм. Тогда ae Ф 1, и поскольку A/H Fp-аппроксимируема, то существует гомоморфизм у группы A/H на конечную р-группу такой, что aey Ф 1. При этом еу - искомый гомоморфизм.

Теперь рассмотрим случай, когда a е H . Так как H - бесконечная циклическая группа, то существует целое положительное число r такое, что a не принадлежит

подгруппе L = Hq группы H. Очевидно, что H/L - конечная q-группа. Кроме того, группа A/L периодическая, так как она является расширением конечной группы H/L с помощью периодической группы A/H. Заметим, что H/L совпадает с q-компонентой группы A/L. Действительно, пусть xL - q-элемент группы A/L. Тогда xH - q-элемент группы A/H. Отсюда и из того, что A/H - р-группа (см. (2)), а простые числа р и q различны, следует, что x е H , и поэтому xL е H / L .

Хорошо известно, что любая периодическая абелева группа раскладывается в прямое произведение своих примарных компонент. Поэтому H/L выделяется в A/L прямым множителем, т. е.

Рассмотрим проекцию с: A/L ^ H/L. Так как aL - неединичный элемент группы H/L, то (aL)c Ф 1. И если е: A ^ A/L - естественный гомоморфизм, то гомоморфизм ес является искомым гомоморфизмом.

G = (A * B; H = K, ф),

A /H = (yai (i е N); aial = alai, ap = 1 (i,l e N)),

(2)

A/L = H/L x X/L.

Таким образом, группа А ^-аппроксимируема. Аналогично может быть доказана ^-аппроксимируемость группы В.

Покажем теперь, что группа О не ^-аппроксимируема. Пусть у - гомоморфизм группы О на конечную п-группу Р и пусть 5 - порядок группы Р. Тогда 5 можно записать в виде

5 = Рт ■ а",

где т и " - целые неотрицательные числа. Так как в группе О выполняется равен-

рт а"

ство Н = к и разрешимы уравнения (1), то ар = к = Ъч для подходящих элементов а и Ъ группы О. Поэтому

(Ну)рт = (Ъа" у)рт = (Ъу)5 = 1

" т "

и (Ну)а = (ар у)а = (ау)5 = 1.

Отсюда и из того, что р и а взаимно просты, следует, что Ну = 1. Поэтому группа О не является ^-аппроксимируемой.

Автор выражает благодарность Д. Н. Азарову за помощь при написании данной статьи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Розов А.В. Об аппроксимируемости конечными п-группами свободных произведений нильпотентных групп конечного ранга с центральными объединенными подгруппами // Ярославский пед. вестн. Т. 3. Естественные науки. 2013. № 2. С. 7-13.

2. Tumanova E.A. On the residual п-finiteness of generalized free products of groups // Math. Notes. 2014. V. 95. No. 4. P. 544-551.

3. Baums lag G. On the residual finiteness of generalised free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. V. 106. P. 193-209.

4. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974. 456 с.

Статья поступила 12.02.2016 г.

RozovA.V. ON THE RESIDUAL n-FINITENESS OF SOME FREE PRODUCTS OF GROUPS WITH CENTRAL AMALGAMATED SUBGROUPS

DOI 10.17223/19988621/40/4

Let n be a set of primes. A criterion of residual n-finiteness for free products of two groups with central amalgamated subgroups has been obtained for the case where one factor is a nilpotent finite rank group. Recall that a group G is said to be a residually finite n-group if for every non-identity element x of G there exists a homomorphism of the group G onto some finite n-group such that the image of the element x differs from 1. A group G is said to be a finite rank group if there exists a positive integer r such that every finitely generated subgroup of group G is generated by at most r elements. Let G be a free product of groups A and B with normal amalgamated subgroups H and K. Let also A and B be residually finite n-groups and H be a central subgroup of the group A. If H and K are finite, then G is a residually finite n-group. The same holds if the groups A/H and B/K are finite n-groups. However, G is not obligatorily a residually finite n-group if we replace the requirement of finiteness of the groups A/H and B/K by a weaker requirement of A/H and B/K to be residually finite n-groups. A corresponding example is provided in the article. Nevertheless, we prove that if A is a nilpotent finite rank group, then G is a residually finite n-group if and only if A/H and B/K are residually finite n-groups.

Keywords: nilpotent finite rank group, group center, generalized free product of groups, residually finite n-group.

ROZOV Alexei Vyacheslavovich (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Ivanovo State University, Ivanovo, Russian Federation)

E-mail: [email protected]

REFERENCES

1. Rozov A.V. (2013) Ob approksimiruemosti konechnymi n-gruppami svobodnykh proiz-vedeniy nil'potentnykhgrupp konechnogo ranga s tsentral'nymi ob"edinennymi podgruppami [On the residual n -finiteness of free products of nilpotent finite rank groups with central amalgamated subgroups]. Yaroslavskiy ped. vestn. Tom 3. Estestvennye nauki - Yaroslavl Pedagogical Bulletin. Vol. 3. Natural Sciences. 2. pp. 7-13.

2. Tumanova E.A. (2014) On the residual n-finiteness of generalized free products of groups. Math. Notes. 95(4). pp. 544-551. DOI: 10.1134/S0001434614030262.

3. Baumslag G. (1963) On the residual finiteness of generalised free products of nilpotent groups. Trans. Amer. Math. Soc. 106. pp. 193-209.

4. Magnus W., Karrass A., and Solitar D. (1966) Combinatorial Group Theory. New York: Wiley.