Об уравнениях в свободной группе с ограничениями на решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 3 (2010)

УДК 510.53+512.54.0+512.54.05

ОБ УРАВНЕНИЯХ В СВОБОДНОЙ ГРУППЕ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА РЕШЕНИЯ 1

В. Г. Дурнев, О. В. Зеткина (г. Ярославль)

Аннотация

Устанавливается алгоритмическая неразрешимость проблемы разрешимости в свободной группе ранга 3 со свободными образующими а, Ь и с для систем уравнений с ограничениями на решения вида

,ш(х1,..., хп, а, Ь, с) = 1 & х1 € Р3,

где Рз - подгруппа чистых или гладких элементов группы ^3.

Ключевые слова: уравнения в свободных группах, проблема разрешимости для уравнений. Библиография: 20 названий.

Обозначим через ^т - свободную группу ранга т со свободными образующими а,1, ..., ат.

При т = 3 вместо а1; а2 и а3 будем писать а, Ь и с соответственно.

Уточним некоторые определения, относящиеся к системам уравнений в свободных группах.

Системой уравнений с неизвестными х1г,,, хп в свободной группе Ет называется выражение вида,

к

& (х1 , . . . , хп 5 а1 5 ... 5 ат) иг (х1 5 * * * 5 хп 5 а1 5 * * * 5 ат) 5 (1)

г=1

где /шг(х15 • • • 5 хп5 а15 * * * 5 ат) и иДх^ • • • 5 хП5 а15 * * * 5 ат) - слова в алфавите

{ х15 х^ 5 ■ ■ ■ 5 хп5 хга 5 а15 а]_ 5 • • • 5 ат5 ат }•

Набор (^15,,, 5 дп) элементов группы ^т называется решением системы (1), если при любом г (г = 15 * * * 5 к) в группе ^т выполняется равенство

(д15 ■ ■ ■ 5 дп5 а15 ■ ■ ■ 5 ат) иг (д15 ■ ■ ■ 5 дп5 а15 ■ ■ ■ 5 ат) ■

Две системы уравнений с одними и теми же неизвестными называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для ведущих науч-

ных школ (НШ-845.2008.1)

Используя уравнение

[ж,а] = ([ж, 6] у2)2,

имеющее в свободной группе Fm при любом m ^ 2 лишь тривиальное решение ж = 1, у =1, любую систему уравнений (1) можно заменить одним, ей равносильным, уравнением.

Для уравнений в свободных группах традиционно рассматриваются две основные задачи: проблема существования решения и проблема описания множества всех решений.

Исследование разрешимости уравнений в свободных группах было начато американскими математиками в конце 50-х годов в связи с проблемой разрешимости элементарных теорий свободных групп, поставленной А. Тарским [19]. В начале исследовались лишь отдельные уравнения, а в 1960г. Р. Линдон [18] нашел для произвольного уравнения с одним неизвестным описание множества всех его решений с помощью параметрических слов, т.е. выражений, полученных из образующих рассматриваемой свободной группы с помощью операций группового умножения и возведения в степень с переменным целочисленным показателем. Позже A.A. Лоренц [5] уточнил это описание Р. Линдона, доказав, что общее решение любого уравнения с одним неизвестным в свободной группе представимо конечным числом формул вида, где ABC- кон-

кретные слова, а t - параметр, принимающий произвольные целочисленные значения. Дальнейшее продвижение в этом вопросе было достигнуто в 1970 году Ю.И. Хмелевским [13].

В 1982 году Г.С. Маканин [6] получил полное решение проблемы распознавания разрешимости уравнений в свободной группе. Он доказал, что если данное уравнение с длиной записи d имеет решение в свободной группе, то длина каждой компоненты минимального (по максимальной длине компоненты) решения не превосходит числа Ф^), где Ф(ж) - некоторая рекурсивная функция. Это дает переборный алгоритм для распознавания разрешимости произвольного уравнения в свободной группе.

В связи с уже упоминавшейся выше проблемой А. Тарского о разрешимости элементарной теории произвольной свободной группы представляет интерес исследование алгоритмической природы фрагментов этой теории. Основные на сегодняшний день результаты в этой области получены Г.С. Маканиным,

Вскоре после опубликования работы [6] ему удалось на том же пути доказать разрешимость экзистенциональной (универсальной) и позитивной теорий любой свободной группы [7]. При доказательстве разрешимости позитивной теории свободной группы Г.С. Маканин использовал результат Ю.И. Мерзлякова

[11] об устранимости кванторов общности в позитивных формулах, относящихся к свободным группам.

A.A. Разборов [12] дал описание множества решений произвольной совместной системы уравнений в свободной группе.

После построения Г.С. Маканиным [6] алгоритма, позволяющего по произ-

Fm

решение, особый интерес стал представлять вопрос о существовании аналогичных алгоритмов для уравнепй в свободных группах с различными "не слишком сложными "ограничениями на решения.

Вопрос о разрешимости позитивной теории свободной группы был сведен Ю.И, Мерзляковым [11] к следующей проблеме

существует ли алгоритм, позволяющий для произвольного уравнения

IV ( х15 ... 5 хп5 а15 ■ ■ ■ 5 ат ) 1

в свободной группе счетного ранга определить, имеет ли оно такое решение

д1 * * * дп

д1 € 5 д2 € Fm2 5 - - - 5 gt € ^ть 5

где т1 ^ т2 ^ ^ т4, - свободная, группа с образующими а1; * * *, ат1.

Г.С. Маканиным [7] построил искомый алгоритм, и тем самым доказал разрешимость позитивной теории свободной группы.

Хорошо известно, что вопрос о точности матричного представления Гасспер

[16], [14] группы крашеных кос эквивалентен вопросу об отсутствии нетривиального решения В свободной группе ^т уравнения

х^^ • х2а2х<2 • • • хтатх т — а1 • а2 • • • а^т5

удовретворяющего условию

х1 € ^т2)5 - --хп € ^т2)5

(2)

где Гт) - второй коммутант свободной группы Гт. Напомним, что для произвольной группы С через С(2) обозначается ее второй коммутант, т.е. с(2) — [С(1)5 С(1)], где С(1) — [С С] - коммутант группы С,

Обобщая эти ситуации Г.С. Маканин поставил в "Коуровекой тетради"[3] следующую проблему для уравнений в свободных группах "9.25. Указать алгоритм, который по уравнению

IV ( х15 * * * 5 хп5 а15 * * * 5 ат ) 1

в свободной группе Гт и списку конечно порожденных подгрупп Я1;..., Нп группы, Ет позволял, бы, узнать, существует ли решение этого уравнения с условием,

х 1 € 5 * * * 5 хп € Яп *

Первые положительные результаты в направлении решении этой проблемы были получены А.Ш. Малхасяном [9].

В. Диекерт [15] показал, что проблема определения по произвольному уравнению

V (х15 * * * 5 хп5 а15 * * * 5 ат) — 1

в свободной группе Fn и списку регулярных подмножеств (языков) Hlr,,, Hn группы Fm узнать, существует ли решение этого уравнения с условием

xl £ Hl ) • • • ) xn £ Hn

разрешима и принадлежит классу PSPACE. Так как конечно порожденные подгруппы являются регулярными подмножествами, то тем самым решается и проблема Г.С. Маканина.

Представляет интерес дальнейшее исследование различных обобщений проблемы Г.С. Маканина для свободных групп, получающихся путем ослабления

Hl Hn

Одна из причин, по которым в формулировке задачи 9.25 речь идет именно о конечно порожденных подгруппах, заключается в том, что для, конечно порожденных подгрупп свободной группы разрешима проблема вхождения.

В то же время проблема вхождения разрешима и для многих бесконечно порожденных подгрупп свободной группы, причем, например, ДЛЯ первого Fm1 и второго f!2) коммутантов свободной группы Fm проблема вхождения решается чрезвычайно просто, значительно проще, чем для некоторых конечно порожденных подгрупп. Поэтому представляется достаточно естественным следующее обобщение задачи 9.25.

"9.25а. Существует ли алгоритм, который по уравнению

w (Xi, • • • , Xn ) = 1

Fm Hl Hn

вхождения позволял, бы, узнать, существует ли решение этого уравнения с условием xl £ Hl;...., xn £ Hn

В работе [1] первого автора был получен следующий результат.

Теорема 1. В свободной группе F2 со свободными образующими a и b

можно построить такое уравнение

w (x, xl; • • • , xn, a, b) = 1

с неизвестными, xl; x2,..., xn, константами a и b и параметром x, что не

существует алгоритма, позволяющего для произвольного натурального числа k определить, существует ли решение уравнения

w (ak, xl; • • • , xn, a, b) = 1, удовлетворяющее условию

xi £ [F2, F2], • • • , xt £ [F2, F2], где t - некоторое фиксированное число между 1 и п.

В настоящей заметке получено существенное, на наш взгляд, усиление этого результата.

Обозначим через у, следующий эндоморфизм свободной группы Рт ранга т а1 ат

у, ( а,) ^ а.,- при ] — % 5 у, (а,) ^ 1*

По аналогии с группой кос эндоморфизм у, назовем "эндоморфизмом выдерги-%

Полагаем

т

Р« = Кег у, Рт = П Р',‘)

,= 1

и назовем Р,т подгрупп ой %-чистых элементов, а Рт - подгруппой чистых или гладких элементов.

Ясно, что Рт - нормальная подгруппа группы Рт, содержащаяся в ее коммутанте Р^1 (Рт С Р^) И Р2 — Р2(1), ТО прИ т ^ 3 Рт — Рт1),

Теорема 2. При т ^ 3 невозможен алгоритм, позволяющий по произ-

Р

IV ( х15 * * * 5 хп5 а15 * * * 5 ат ) 1

х1 хп х1 € Р

Доказательство. Ради удобства пишем а, 6 и с вместо а1; а2 и а3 соответственно.

Введем предикат

^(х) ^ ([х5 а] — 1).

Хорошо известно, что для любого элемента д € Р2:

Р2 — Z(g) ”д — степень а” *

Рассмотрим предикаты

Т (х 15 х2 )

^ ([ х^а ] — 1 & [ х2 5 6 ] — 1) & ( 3 ху)([ х5 а6 ] — 1 &

& у — хх-1х-1 & у € Р2(1));

М (х15 х2 5 х3) ^ ( 3 х у г) (Т (х25 х) & [ У5 х16 ] — 1 &

& г — ух-1х-1 & г € Р2(1)).

Легко понять, что для произвольных элементов д и к группы Р2:

Р = Т (д, к) ^

” существует такое целое число р, что д = ар, к = 6у”.

Нетрудно показать, что для произвольных целых чисел з, і и г имеет место эквивалентность

Р2 = М ( а5, а*, аг ) г = зі.

Воспользуемся целочисленным вариантом непосредственного следствия теоремы Ю. В. Матиясевича о диофантовоети перечислимых множеств [10]:

Для произвольного рекурсивно перечислимого множества А натуральных чисел, можно построить такую формулу ФА(жі) вида

в

( 3 х2 ... хр ) Ф, где Ф = &

г=1

и каждая формула имеет один из следующих видов:

хг + х, = х*, х, = хг, хг х, = х*, х, = с, где с - целое число, что для, произвольного натурального числа к имеем:

к € А тогда, и только тогда, когда, формула ФА (к) истинна на, кольце целых чисел.

Пусть А - рекурсивно перечисленное множеетво, а Фа( х1) - соответствующая формула.

По формуле Фа( х1) построим формулу Ф1 (х1) следующим образом:

р

Ф1 (х1) ^ ( 3 х2 ... хр ) (Ф1 & ( & Z (хг))),

г=2

где Ф1 получено из Ф заменой каждой фо рмулы гад а хг + х, = х4 па хг х, = х4, формулы вида хг х, = х* - на М (хг, х,, х*), формулы вида х, = хг - на х, = хг, а формулы в ида х, = с - на х, = ас.

Подходящим образом переименовав переменные в формуле Ф1 (х1) приведем полученную формулу Ф(х) к виду

( 3 х2 . . . хр ) ( ( & = 1 ) & ( & х,- € Р2(1) ).

г=2 ,=2

Воспользовавшись уравнением [х,а] = ([х, Ь] у2)2, имеющим лишь триви-

г

альное решение х = 1, у = 1, заменим систему уравнений & = 1 одним

г=1

уравнением

ш( х, х2, ..., хр, а, Ь = 1, ей равносильным, в итоге получим:

к

к € А

Р2 = ( 3 х2 ... хр ) ( ш ( ак, х2, ..., хр, а, Ь) = 1 &

& & х, € Р2(1)). ,=2 7 2

Заменим последнюю формулу на формулу фА (х) вида ( 3 х2,..., хр ) (и (х, х2,..., хр, а, Ь) = 1 &

( & ( У1 ( хг ) = 1 & У2 ( хг ) = 1 ) ) )

г=2

к

ность:

к € А ^ ^2 = Фа1} (ак).

Из анализа доказательства получаем, что если д2,..., др € Рт (т ^ 2) и

Рт = и (ак, д2, ..., др, а, Ь) = 1,

то д2,...,др € Р2-

При т = 3 полагаем $ т а3, а при т ^ 4 полагаем

$ т [ аз, ..., ат ].

Заметим, что $ € П ^

г>2

По формуле фА1) (х) построим формулу Ф^х) следующим образом: фА (х) т ( 3 х 1,..., хр ) (и (х, х2, ... , хр, а, Ь) = 1 &

*

Пт

[хг, $]& & у, (х1) = 1). ,= 1

г=2

Покажем, что

Р = фА1) ( ак ) ^ Рт = Фа) (ак ).

Если Рт = Ф^)(ак), то пусть д2, ..., др - такие элементы из Рт, что

Рт = и (ак, д2, ..., др, а, Ь) = 1 &

*

(& ( У1 ( дг ) = 1 & У2 ( дг ) = 1))). =2

*

Полагаем д1 т П [ ^ $] и заметим, что при ] = 1, 2

г=2

*

у,(д1) = П[у,^ $] = 1,

г=2

а при ] > 2

*

у,(д1) = П[^ у,($)] = 1

г=2

поэтому Рт = ФА) ( ак ).

Обратно, пусть Рт = фА (ак) и д1; д2, ..., др - такие элементы из Рт, что

*

Рт = и (ак, д2, ..., др, а, Ь) = 1 & д1 = Д [д*, $] &

г=2

П

&, у,(д1) = 1 ,=1

Так как Рт = и (ак, д2, ..., др, а, Ь) = 1, то в силу выше сделанного замечания д2,..., др € Р2, поэтому прп ] = 1, 2:

у,(д2),..., у,(д*) € р2.

При = 1, 2 равенство

*

1 = у,(д1) = П[у,^ $]

г=2

*

дает систему равенств & у, (дг) = 1, так как $ = 1,

г=2

$ € дг.( аз, ... , ат ), у,(дг) € Р2 и

Рт = Р * дг.(аз, ..., ат),

где через А * 5 обозначено свободное произведение групп А и В [4].

Поэтому

Рт = и (ак, д2, ..., др, а, Ь) = 1 &

*

& ( у1 ( дг ) = 1 & у2 ( дг ) = ^

г=2

поэтому Р2 = Ф^1) (ак ).

(2)

Еще раз заменив в формуле Фа(ж) конъюнкцию равенств одним равносильным ей равенством, получим формулу Фа (ж) вида

( 3 ) ( w ( Ж, , a1, • ••, am ) 1 &

m

& у(ж1) = 1) j=i

такую, что

k е A ^ Fm = Фа (ak).

m

Заметим, что условие & у (ж1) = 1 равносильно уеловию ж1 е Pm, поэтому

j=i

A

сивпо перечислимое, но нерекурсивное множество, □

Выражаем глубокую благодарность Сергею Ивановичу Адяну за внимание к работе и поддержку, благодарим всех участников его семинара за заинтересованное обсуждение,

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Дурнев В,Г, Об уравнениях на свободных полугруппах и группах// Матем, заметки. 1974. Том 16, №5. С. 717 - 724.

[2] Дурнев В.Г. О проблеме разрешимости для уравнений с одним коэффициентом // Матем. заметки. 1996. Том 59, Ж. С. 832 - 845.

[3] Коуровекая тетрадь. 11-е изд., доп. Новосибирск, 1990.

[4] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

[5] Лоренц A.A. О представлении множеств решений систем уравнений с одним неизвестным в свободных группах// Докл. АН СССР. 1968. Том 178, №2. С. 290 - 292.

[6] Маканин Г.С. Уравнения в свободной группе// Изв, АН СССР. Сер. матем. 1982. Том 46, №6. С. 1199 - 1273.

[7] Маканин Г.С. Универсальная теория и позитивная теория свободной группы// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Том 48, №4. С. 735 - 749.

[8] Мальцев А.И. Об уравнении zxyx-1y-1z-1 = aba-1 b-1 в свободной группе

5.

[9] Малхасяп А.Ш. О разрешимости в подгруппах уравнений в свободной группе/ / Сб. Прикладная математика. 1986. Вып. 2. С. 42 - 47.

[10] Матиясевич Ю.В. Диофантовость перечислимых множеств// Докл. АН СССР. 1970. Том 130, №3. С. 495 - 498.

[11] Мерзляков Ю.П. Позитивные формулы на свободных группах// Алгебра и логика. 1966. Том 5, Вып. 4. С. 25 - 42.

[12] Разборов A.A. О системах уравнений в свободной группе// Изв. АН СССР.

4.

[13] Хмелевский Ю.П. Системы уравнений в свободной группе. I, II// Изв. АН

6. 1.

110 - 179.

[14] Birman J.S. Braids, links and mapping class groups// Ann.of Math. Studies no 82, Princeton University Press. Princeton, 1974.

[15] Diekert V. Makanin’s Algorithm for Solving Word Equations with Regular Constraints. Preliminary version of the chapter in M. Lothaire. Algebraic Combinatorics on Words. Report Nr. 1998/02. Fakultat Informatik. Universität Stuttgart. 1998.

[16] Gassner B.J. On braid groups // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1961. V. 25. P. 10 - 22.

[17] Edmunds C.C. On the endomorphisms problem for free group// Com. Algebra.

3.

[18] Lyndon R.C. Equations in free groups// Trans. Amer. Math. Soc. 1960. V. 96. P. 445 - 457.

[19] Tarski A., Mostowski A., Robinson R.M. Undecidable theories. NY. 1953. XI+ 98p,

[20] Schupp P.E. On the substitution problem for free groups// Proc. Amer. Math. Soc. 1969. V. 23. P. 421 - 423.

Ярославский государственный университет имени П. Г. Демидова Поступило 18.02.10