Об уравнениях с подполугрупповыми ограничениями на решения в свободных полугруппах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 3 (2010)

УДК 510.53+512.53+512.54

ОБ УРАВНЕНИЯХ С ПОДПОЛУГРУППОВЫМН ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА РЕШЕНИЯ В СВОБОДНЫХ ПОЛУГРУППАХ 1

В. Г. Дурнев, О. В. Зеткина (г. Ярославль)

Аннотация

В статье доказывается алгоритмическая неразрешимость проблемы совместности для уравнений с некоторыми ограничениями на решения в свободной полугруппе. Библиография: 24 названия.

Обозначим через Пп свободную полугруппу с пустым словом в качестве нейтрального элемента (свободный моноид) ранга п со свободными образующими й1, ..., ап, а через ^п - свободную группу с темп же свободными образующими. Вместо а1 и а2 будем писать а и Ь соответственно.

В 60-ые годы прошлого века А.А. Марков предложил использовать системы уравнений в свободной полугруппе Пп в качестве подхода к отрицательному решению 10-ой проблемы Д. Гильберта. Заметим, что при п ^ 2 система уравнений

т

& = иг

г=1

равносильна одному уравнению

ш1а1ш2а1... а1шт ш1а2ш2а2 ... а2шт = и1а1и2а1... а1ит и1а2и2а2 ... а2ит.

Системы уравнений в свободных полугруппах также называются системами уравнений в словах. Первые результаты в исследовании систем уравнений в словах были получены А.А. Марковым и 10.11. Хмелевским [18] в конце 60-ых годов.

В эти же годы было начато изучение систем уравнений в словах и длинах, т.е. систем вида,

т

& = иг & & \хг\ = \Хп|,

г=1 {г,Я& А

где через \х\ = |у| обозначен предикат " длины слов х и у равны " .

Первые результаты в исследовании систем уравнений в словах и длинах были получены в начале 70-ых годов в работах Ю.В. Матнясевпча [15] и Н.К. Косовского [6], [7], [8].

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для ведущих научных школ (НШ-845.2008.1).

В 1972-73 годах первый из авторов стал рассматривать системы уравнений в словах и длинах с дополнительным предикатом \х\а = \у\а-п проекции слов х у а

году, он, в частности, доказал, что

можно указать такое однопараметрическое семейство систем, уравнений в свободной полугруппе П2,

ш (х, х1, ... ,хп, а, Ь) = V (х, х1, ..., хп, а, Ь) &

& (\хг\ = \х^ \ & \хг\а = \х^\а)

{.,Ле А

с неизвестными, х^ ..., хп, с константами а и Ь и с параметром х, где А

- некоторое подмножество множества М(п) = {{£,з}\ 1 ^ ^ п}, что

невозможен алгоритм, позволяющий для произвольного натурального числа т определить, имеет ли, решение си,стем,а, уравнений

ш (ат, х1, ..., хп, а, Ь) = V (ат, х1, ..., хп, а, Ь) &

& (\х.\ = \х^\ & \х.\а = \х^\а).

{»,]}£ А

В этой же работе отмечалось, что аналогичный результат остается верным, если предикат \х\ = \у\& \х\а = \у\а заменить предикатом \х\ь = \у\ь& \х\а = \у\а.

Аналогичный результат содержался в опубликованной в 1988 году работе Л.Е. ВисЫ и Б. Беп§ег [22].

В 1976 году Г.С. Маканин получил в теории уравнений в словах фундаментальный результат, который был опубликован в 1977 году в работах [10] и [11],

- он построил алгоритм, позволяющий по произвольной системе уравнеий в свободной полугруппе Пп определить, имеет ли она решение. Несколько позже в работе [12] Г.С. Маканин построил алгоритм, позволяющий по произвольной системе уравнеий в свободной группе Еп определить, имеет ли она решение.

После фундаментальных результатов Г.С. Маканина особый интерес стал представлять вопрос о существовании аналогичных алгоритмов для уравнеий в свободных полугруппах и группах с различными "не слишком сложными "и "достаточно еетеетвенными"ограничениями на решения.

В работе [2] была доказана алгоритмическая неразрешимость позитивной ЗУ33-теорпн любой конечно порожденной нециклической свободной полугруппы. Вопрос о разрешимости позитивной теории свободной полугруппы счетного ранга им был сведен к следующей проблеме существует ли алгоритм, позволяющий для, произвольного уравнения

Ш ( х1 , . . . , хп, а1'}...) ат ) и ( х1 , ... , хп, а1) . . . , ат )

в свободной полугруппе счетного ранга определить, имеет ли, оно такое решение дъ ..., дп, что

91 £ Пт1, д2 £ п т2, ... , 9 ^ п ть ,

где т1 ^ т2 ^ ... ^ ти Пт. - свободная полугруппа с образующими аъ ...,

ат1. Ю.М. Важенин и Б,В, Розенблат [1] используя результат Г.С. Маканина доказали, что для решения последней задачи алгоритм существует, это позволило им установить разрешимость позитивной теории свободной полугруппы счетного ранга.

Вопрос о разрешимости позитивной теории свободной группы был сведен Ю.И, Мерзляковым [17] к следующей проблеме

существует ли алгоритм, позволяющий для, произвольного уравнения

Ш ( xl} . . . , хп, а1, ... , ат ) 1

в свободной группе счетного ранга определить, имеет ли оно такое решение дъ ..., дп, что

д1 £ ^П1, д2 £ ^, ... , дЬ £ Р'ть ,

где т1 ^ т2 ^ ... ^ т^ - свободная, группа с образующими а^ ..., ат1.

Г.С, Маканнным [10] построил искомый алгоритм, и тем самым доказал разрешимость позитивной теории свободной группы.

Обобщая эти ситуации Г.С, Маканин поставил в "Коуровской тетради" [9] следующую проблему для уравнений в свободных группах: —

I!

9.25. Указать алгоритм, который по уравнению

Ш ( xl} ... , хт, а1, ... , ап ) 1

в свободной группе Еп и списку конечно порожденных подгрупп Н1;..., Нт группы, Еп позволял, бы, узнать, существует ли решение этого уравнения с условием,

х1 £ Н1, . . . , хт £ Нт.

I!

Первые положительные результаты в направлении решения этой проблемы получил А.Ш. Малхасян [14].

К. Шульц [24] рассмотрел аналогичную проблему для уравнений в свободных полугруппах с регулярными ограничениями на решения и доказал, что существует алгоритм, который по уравнению

Ш ( х1 , . . . , xm} а1, . . . , ап ) и ( х1 , . . . , xm} а1, . . . , ап )

в свободной полугруппе Пп и списку регулярных подмножеств (языков) Н1,..., Нт Пп

ния, с условием

х1 £ Н1, ... , хт £ Нт .

Так как каждая конечно порожденная подполугруппа свободной полугруппы

Пп

проблема для уравнений е ограничениями на решения в свободных полугруппах является естественным аналогом проблемы Г.С. Маканина,

V. Б1екей [19], [20], [21] построил алгоритм, позволяющий по произвольному уравнению

т ( х1} . . . ) хт) а1) ... ) ап ) 1

в свободной группе Еп и списку регулярных подмножеств (языков) Н1;..., Нт группы Еп узнать, существует ли решение этого уравнения с условием

х1 е Н1, ... , хт е Нт .

Так как конечно порожденные подгруппы являются регулярными подмножествами, то тем самым решена и проблема Г.С. Маканина.

Сказанное дает основания считать, что представляет интерес дальнейшее исследование различных обобщений проблемы Г.С. Маканина для свободных групп и полугрупп, получающихся путем ослабления ограничений, налагаемых на подгруппы (подполугруппы, языки) Н^,,,, Нп.

В силу теоремы К. Шульца для получения алгоритмически неразрешимых проблем для уравнеий в свободных полугруппах с подполугрупповыми ограничениями на решения необходимо рассматривать, в первую очередь, бесконечно порожденные свободные подполугруппы, среди которых имеются как нерегулярные, так и регулярные языки, например, подполугруппа, порожденная всевозможными словами вида, аЬпа (и = 1, 2,...) свободно ими порождаетя и является регулярным языком.

В литературе по формальным языкам и грамматикам достаточно часто встречается следующий рекурсивный язык в алфавите {а,Ь} - Ь1, который задается следующим, весьма простым способом. Для слова т в алфавите Е и буквы а этого алфавита через 1т1а будем обозначать число вхождений буквы а в слово т. В этих обозначениях Ь1 состоит го всех слов т в алфавите {а, Ь}, для которых 1т1а = 1т1ъ-, а Ь2 - из всех слов т в том же алфавите, для которых 1т1ь = 2|ш|а. Ясно, что пересечение этих двух языков состоит лишь из пустого слова. Пользуясь известным критерием свободности для подполугрупп свободной полугруппы, легко доказать, что Ь1 и Ь2 - свободные подполугруппы счетного ранга. Конечно, рекурсивные языки Ь1 и Ь2 не являются регулярными, однако с точки зрения сложности разрешимости для них алгоритмических проблем они скорее "ближе"к регулярным языкам, чем к произвольным рекурсивным.

Поэтому представляют интерес, на наш взгляд, следующие две теоремы.

Теорема 1. Можно указать такое однопараметрическое семейство урав-

П2

т (х, х1, ... ,хп, а, Ь) = V (х, х1, ..., хп, а, Ь) &

р

& (хг е 1/1) & |х1 | = 1x21

г=3

с неизвестными х^ ..., хп, с константами а и Ь и с параметром х, что невозможен алгоритм, позволяющий для, произвольного натурального числа т определить, имеет ли, решение уравнение с ограничениями на решения

т (ат, х1, ..., хп, а, Ь) = V (ат, х1, ..., хп, а, Ь) &

р

& (хг е Ь1) & |х1 | = 1x21.

г=3

Теорема 2. Можно указать такое однопараметрическое семейство уравнений с ограничениями на решения в свободной полугруппе П2

т (х, х1, ... ,хп, а, Ь) = V (х, х1, ..., хп, а, Ь) &

р

& (хг е ^1) & х1 е Е2

г=2

с неизвестными, х1} ..., хп, с констант ами а и Ь и с параметром, х, что невозможен алгоритм, позволяющий для, произвольного натурального числа т

т (ат, х1, ..., хп, а, Ь) = V (ат, х1, ..., хп, а, Ь) &

р

& (хг е ^1) & х1 е Е2.

г=2

Доказательство. Прежде всего покажем, что в позитивной 3-теории полугруппы П2 с использованием только предиката х е Ь1 выразим ряд вспомогательных предикатов.

Пусть а - это буква «и Ь.

N (х) ^ ( ха = ах ).

Если X - элемент полугруппы П2, то формула Ма, (X) истинна на, полугруппе П2 тогда и только тогда,, когда, X - степень буквы а.

Рассмотрим предикат Я(х, у) истинный тогда и только тогда, когда найдется такое неотрицательное число Ь, что х = а\ ну = Ьь.

Справедлива эквивалентность

Я (х, у) (ха = ах & уЬ = Ьу) &

( 3 г)( г = ху & г е Ь1),

Введем необходимый для дальнейшего предикат делимости 0(х, у), истинный, тогда, и только тогда, когда, найдутся такие неотрицательные целые числа $ и Ь, что х = ая, у = а* и $ делит Ь.

Справедлива эквивалентность

Б(х,у) ((ха = ах & уа = ау)&

((3v)(3u)(3w)(u(xaЬ) = (хаЬ)и & Я(у^)& т = ш & т е Ь1))).

Введем основной для дальнейшего предикат М (х, у, г) истинный тогда и только тогда, когда, найдутся такие натуральные числа в, Ь и г, что х = а3, у = а*, г = аг и вЬ = г.

Имеют место эквивалентности:

М (х, у, г)

( 3 V)( 3 и )( 3 ш)( 3 р)( 3 д)(и(Ьх) = (Ьх)и & Я(у^)&р = vz &

Я(г,т)& д = иут & д е Ь1 &

|и| =

М (х, у, г) ^

( 3 V)( 3 и)( 3 ш)( 3р)( 3 д)( 3 /)( 3 д) ( Я(х, V) & Я(у, т) & Я(г, д) & u(av) = (ау)и & / = итг &

& г = ру & д = идр & / е Ь1 &

д е Ь2)).

Покажем, что для произвольных натуральных чисел $ Ь и г имеет место эквивалентность:

П2 = 5 ( а3, а1, аг ) вЬ = г.

Рассмотрим лишь второй случай.

Если формула Б ( а3, а*, аг ) истинна та полугруппе П2, то возьмем такие и, V, Р, Q, Г и С, чтобы па полугруппе П2 была истинна формула

(Т(а3, V) & Т(а*, Ш) & Т(аг, Q) &

и^) = ^)и & Г = UWZ &

& Z = РУ & С = UQP & Г е Ь1 & С е Ь2)).

Тогда при некотором к выполняются равенства V = Ь3, и = (аЬ3)к, Ш = Ь*, Р = аг-*, Q = Ьг, Г = (аЬ3)кЬ*аг и С = (аЬ3)кЬгаг-*.

Из условий Г е ^ и С е Ь2 получаем равенства вк + Ь = к + г и вк + 2Ь = 2к + г, го которых получаем Ь = к и г = вк = вЬ.

Для доказательства обратного утверждения достаточно взять V = Ь3, и = (аЬ3)\ Ш = Ь\ Р = аг-*, Q = Ьг, Г = (аЬ3)*Ь*аг и С = (аЬ3)*Ьгаг-*.

Воспользуемся следующим вариантом непосредственного следствия фундаментальной теоремы Ю.В. Матиясевича [15] о диофантовоети рекурсивно перечислимых множеств: для, произвольного рекурсивно перечислимого множества А натуральных чисел можно построить такую формулу ФА (х1) вида

3

(3 х2 ) ... (3 хт ) Ф, где Ф = & 1£г

г=1

и каждая формула имеет один из следующих видов:

XI + хз = хг, хз = XI, XI хз = хг, хз = с,

где с - натуральное число, что для, произвольного натурального числа п имеем: п € А тогда, и только тогда, когда, формула Фа (п) истинна на, множестве натуральных чисел.

Воспользовавшись хорошо известной эквивалентностью

ху = г (х + у)2 = х2 + 2г + у2,

можно считать, что в формулу Фа (х1) подформулы вила, хг хз = хг входят лишь при I = т.е. они имеют вил х2 = хг.

Воспользуемся следующим утверждением, принадлежащим Дж, Робинсон, если, т ^ п и Ь > п2, то (Ь + т) | Ь2 — п тогда, и только тогда, п = т2. Условие Ь > п2 можно заменить следующим условием

(п + 1) | Ь & (п + 2) | Ь.

Это позволяет в формуле Фа (х1) заменить подформулу

р

& х2. = хг.

г=1 г г

на подформулу

р

и = У2 & 2 = ^ хг, & (2 + 1) | У & (2 + 2) | У &

г=1

рр

& хк = хг, + иг & & (У + хк) | (и — хи).

г=1 г=1

Поэтому можно считать, что в формуле Фа (х1) лишь одна подформула, имеет вид х2 = хг, а, все остальные подформулы имеют один, из следующих видов:

/V» I /V» , - /V» /V» , - /у‘ 7 /V» /V» , /V» , - Г

1 \ з г) з 1) / | з) з ^

с

По формуле Фа (х1) построим формулу Ф^ (х1) следующим образом: фА (х1) ^ ( з х2 )... ( 3 хт) ( Ф1 & ( & N (хг))),

г=2

где Ф1 получается из Ф заменой каждой подфо рмулы <^г гад а хг + хз = хк на хг хз = хк, гада хг | х^ - на Б (хг, х^ ), гада хз = хк - на хз = хк, вида хз = с - на хз = П и вида, х2 = хк - на М (хг, хг, хк). Напомним, что подформула последнего вила, лишь одна и только в нее, причем лишь один раз входит предикат |х| = |у| или предикат х € Ь2.

Подходящим образом переименовав переменные в формуле фА (х1), можем считать, что в формулу Ф^ (х) входят лишь переменные х, х1, ..., хп.

Удалим из формулы фА^ (х) конъюнкцию &, приведем полученную формулу к виду

Ш (х, х1,... ,хп, п, Ь ) = V (х, х1,..., хп, п, Ь) &

& | &

{г,з}& А

ИЛИ ВИДУ

Ш (х, х1,... ,хп, п, Ь ) = V (х, х1,..., хп, п, Ь) &

& | & х1 € Ь1.

{г,з}& А

Полученную формулу обозначим через ФА (х).

Тогда: к € А тогда и только тогда, когда формула фА (пк) истинна на полугруппе П2,

А

курсивно перечислимое, но нерекурсивное множество. □

Выражаем глубокую благодарность анонимному рецензенту нашей заметки, представленной на ('ЯН-07. указавшему на возможность замены нескольких возведений в квадрат одним таким возведением с использованием предиката делимости.

Выражаем глубокую благодарность Сергею Ивановичу Адяну за внимание к работе и поддержку, благодарим всех участников его семинара за заинтересованное обсуждение.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Важенин Ю.М., Розенблат Б.В. Разрешимость позитивной теории свободной счетнопорожденной полугруппы // Матем. сборник. 1981. Т. 116. № 1. С. 120 - 127.

[2] Дурнев В.Г. Позитивная теория свободной полугруппы// Докл. АН СССР. 1973. Т. 211. № 4. С. 772 - 774.

[3] Дурнев В.Г. Об уравнениях на свободных полугруппах и группах// Матем. заметки. 1974. Т. 16. № 5. С. 717 - 724.

[4] Дурнев В.Г. О позитивных формулах на свободных полугруппах// Сиб, матем. журн. 1974. Т. 25. № 5. С. 1131 - 1137.

[5] Дурнев В.Г. Неразрешимость позитивной У33-теории свободной полугруппы// Сиб. матем. журн. 1995. Т. 36. № 5. С. 1067 - 1080.

[6] Косовский Н,К, Некоторые свойства решений уравнений в свободной полугруппе // Записки научи, семинаров Ленингр. отд. Матем, ин-та. АН СССР. Л. 1972. Т. 32. С. 21 - 28.

[7] Косовский Н.К. О множествах, представимых в виде решений уравнений в словах и длинах // Вторая всесоюзная конфер. по матем. логике. Тезися кратких сообщений. М. 1972. С. 23.

[8] Косовский Н.К. О решении систем, состоящих одновременно из уравнений в словах и неравенств в длинах слов// Записки научи, семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та. АН СССР. Л. 1973. Т. 33. С. 24 - 29.

[9] Коуровекая тетрадь. 11-е изд., доп. Новосибирск. 1990.

[10] Маканин Г.С. Проблема разрешимости уравнений в свободной полугруппе// ДАН СССР. 1977. Т. 233. № 2. С. 287 - 290.

[11] Маканин Г.С. Проблема разрешимости уравнений в свободной полугруппе// Матем. сбор. 1977. Т. 103 (145). № 2 (6). С. 147 - 236.

[12] Маканин Г.С. Уравнения в свободных группах// Изв, АН СССР. Сер. матем. 1982. Т. 46. № 6. С. 1199 - 1274.

[13] Маканин Г.С. Разрешимость универсальной и позитивной теорий свободной группы // Изв. АН СССР. Серия матем. 1984. № 4. С. 735 - 749.

[14] Малхасян А.Ш. О разрешимости в подгруппах уравнений в свободной группе // Сб. Прикладная математика. 1986. Вып. 2. С. 42 - 47.

[15] Матиясевич Ю.В. Диофантовоеть перечислимых множеств // ДАН СССР. 1970. Т. 130. № 3. С. 495 - 498.

[16] Матиясевич Ю.В. Связь систем уравнений в словах и длинах с 10-ой проблемой Гильберта / / Исследования по конструктивной математике и математической логике. Записки научи, семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та. АН СССР. Л. 1968. Т. 8. С. 132 - 143.

[17] Мерзляков K).I I. Позитивные формулы на свободных группах // Алгебра и логика. 1966. Т. 5. № 4. С. 25 - 42.

[18] Хмелевский Ю.П. Уравнения в свободной полугруппе. М.: Наука. 1971. (Тр. МИАН.) Т. 107).

[19] Diekert V. Makanin’s Algorithm for Solving Word Equations with Regular Constraints. (Preliminitarv version of the chapter in M. Lothaire, Algebraic Combinatorics on Words) Report Nr. 1998/02. Fakultat Informatik. Universitat Sttutgart. 1998.

[20] Diekert V., Gutierrez С., Hagenah С. The existential theory of equations with rational constraints in free groups is PSPACE-complete. In A. Ferreira and H Reiehel, editors, Proc. 18-th Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science (STACS’01), Dresden (Germany), 2001, number 2010 in Leture Notes in Computer Science, pages 170 - 182. Springer-Verlag, 2001.

[21] Diekert V., Gutierrez C,, Hagenah C. The existential theory of equations with rational constraints in free groups is PSPACE-complete // Informatiion and Computation. V. 202. 2005. P. 105 - 140.

[22] Buchi J. R,, Senger S. Definability in the existential theory of concatenation // Z. math. Log. und Grundl. Math. 1988. V. 34. № 4. P. 337 - 342.

[23] Buchi J. R,, Senger S. Coding in the existential theory of concatenation // Arch. Math. Logik. 1986/87. Bd. 26. P. 101 - 106.

[24] Schulz K.U. Makanin’s Algprithm for Word Equations - Two Improvements and a Generalization // Lecture Notes in Computer Science. 1990. V. 572. P. 85 -150.

Ярославский государственный университет имени П. Г. Демидова

Поступило 18.02.10