Об одном вопросе А. И. Мальцева из "Коуровской тетради" Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 1 (2012)

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера

80-летию Мартина Давидовича Г риндлингера посвящается

УДК 510.53+512.54.0+512.54.03+512.54.05+512.543.72

ОБ ОДНОМ ВОПРОСЕ А. И. МАЛЬЦЕВА ИЗ "КОУРОВСКОЙ ТЕТРАДИ"

В. Г. Дурнев (Ярославль)

Аннотация

Показывается, что коммутант свободной нециклической группы не является формульной подгруппой, что дает ответ на один вопрос А. И. Мальцева из "Коуровской тетради".

В "Коуровскую тетрадь" [1] под номером 1.19 Ю. Л. Ершов включил вопрос А. И. Мальцева о формульно определимых подгруппах и подмножествах свободной группы, заключительная часть которого звучит следующим образом "... будет ли коммутант формульно (или относительно элементарно) определим в свободной группе?".

В настоящей заметке показывается, что из результата автора заметки [2] и результата О. Харлампович и А. Мясникова [3] о разрешимости элементарной теории любой свободной группы можно получить отрицательный ответ на эту часть вопроса 1.19.

Обозначим через Гт свободную группу ранга т со свободными образующими а1; ..., ат.

Теорема 1. При любом, т > 2 невозможно построить формулу СГт(х) языка первого порядка с равенством групповой сигнатуры, содержащей обозначения для групповой операции ■, обращения -1 и константные сим,волы, для,

а1 ат х

для, произвольного элемента д свободной группы, Гт справедлива, эквивалентность:

формула СГт(д) истинна на, группе Гт тогда и только тогда, когда, элемент д принадлежит коммутанту гПП1 группы, Гт.

Замечание 1. Аналогичная теорема справедлива, если в ее формулировке заменить первый коммутант Рт свободной группы Гт на любой ее к-ый

коммутант Fm или на любой ее s-ый член Fm,(s) нижнего центрального ряда.

a a1 b a2

A

F2 a b

можно построить такое уравнение вида

wa (x, x1, ... , xn, a, b) = 1

x1 x2 xn a b x

произвольного натурального числа справедлива эквивалентность k Є A

F2 = ( З x1 ... xn ) ( wa (ak, x1, ... , xn, a, b) = 1k

t

&. xj Є [F2 j F2] )j

j=1

t

Доказательство. Рассмотрим предикат

Z(x) ^ ([x, a] = 1).

g Є F2

F2 = Z(g) “g — степень a".

Рассмотрим предикаты

T (x1, x2 ) ^ ([ x1, a ] = 1k[ x2, b ] = 1)k

( З xy)([ x, ab ] = 1k y = xx^x—1 k y Є [F2, F2]);

M (x1, x2, x3) ^ ( З xy z) (T (x2, x) k [y, x1b] = 1k

z = yx—lx—l k z Є [F2, F2]).

g h F2

F2 = T (g, h) ” существует такое целое число р, что

g = ap, h = bP”.

s t T

F2 = M (as, at, ar ) t = s • t.

Воспользуемся целочисленным вариантом непосредственного следствия теоремы Ю. В. Матиясевича о диофантовости рекурсивно перечислимых множеств [4]:

Для произвольного рекурсивно перечислим,ого множества А натуральных чисел, можно построить такую формулу ФЛ(х^ вида,

в

( 3 х2 ... хр ) Ф, где Ф = & фг

г=1

и каждая формула фг имеет один из следующих видов:

XI + хз = хь, хз = хг, XI хз = хь, хз = с, где с - целое число,

что для, произвольного натурального числа, к справедлива, эквивалентность-.

к Е А тогда и только тогда, когда, формула Фл (к) истинна на, кольце целых чисел.

Пусть А - рекурсивно перечислимое множество, а Фл( х1) - соответствующая формула.

По формуле Фл( х1) построим формулу Ф1 (х1) следующим образом:

р

Ф1 (х1) ^ ( 3 х2 ... хр ) (Ф1 & ( & Z (хг))),

г=2

где Ф получено из Ф заменой каждой формулы ф^да хг + х3 = хь на хг х3 = хь, формулы вида хг х3 = хь - на М (хг , х^, хь), формулы вида х3 = хг - на х3 = хг, а формулы в ида х3 = с - на х3 = ас.

Подходящим образом переименовав переменные в формуле Ф1 (х1) приведем полученную формулу Ф(х) к виду

I ь

( 3 х1 ... хп) (( & т = 1) & ( & х2 Е Е2, Е2])).

г=1 2=1

Воспользовавшись уравнением [х,а] = ([х, 6] у2)2, имеющим в свободной

группе Ет при люб ом т > 2 лишь тривиальное ре шение х = 1, у =1, заменим

г

систему уравнений & тг = 1 одним уравнением тл = 1, ей равносильным, в

г=1

итоге получим:

к

хп, а, Ь) = 1 & ь

&. х2 Е [Е2, Е2] ). 3=1

□

кА

Е2 = ( 3 х'1 ... хп ) (тл (ак, х1,

т > 2

лентность

Е2 = ( 3 х1 ... хп ) (тл ( ак, х1, ..., хп, а, Ь) = 1 &

ь

& х3 Е [Е2, Е2] )

3 = 1

Ет = ( 3 х1 ... хп ) (тл (ак, х1, ..., хп, а, Ь) = 1 &

ь

& хз Е [Ет, Ет] ), 3=1

то получаем следствие

Следствие 1. Для, произвольного рекурсивно перечислим,ого множества А натуральных чисел и произвольного натурального числа, т > 2 в свободной группе Ет со свободными образующими а1 = а, а2 = Ь, а3, ..., ат можно построить такое уравнение вида

тл (х, х1, ... , хп, а, Ь) = 1

с неизвестными х1} х2,..., хп, константами а и Ь и параметром х, что для произвольного натурального числа, справедлива, эквивалентность

к Е А

Ет = ( 3 х1 ... хп ) (тл (ак, х1, ..., хп, а, Ь) = 1 &

ь

& хз Е [Ет, Ет] ), 3=1

где Ь - некоторое фиксированное число между 1 и п.

т > 2

построить формулу СЕт(х) языка первого порядка с равенством групповой сигнатуры, содержащей обозначения для групповой операции •, обращения -1 и константные символы для свободных образующих а^ ..., ат, с одной свободной переменной х такую, что для произвольного элемента д свободной группы Ет справедлива эквивалентность:

формула СЕт(д) истинна на, группе Ет тогда и только тогда, когда, элемент д принадлежит коммутанту Ет1 группы, Ет.

к

к Е А

Ет = ( 3 х1 ... хп ) (тл (ак, х1, ..., хп, а, Ь) = 1 &

ь

& СЕт(хз)). 3=1

А

множество, то получим противоречие с теоремой О. Харлампович и А. Мясни-кова [3] о разрешимости элементарной теории любой свободной группы. □

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Коуровская тетрадь. Издание 17-е, дополненное и включающее Архив решенных задач // Новосибирск: Институт математики СО РАН. 2010.

[2] Дурнев В. Г. Об уравнениях на свободных полугруппах и группах // Мате,м. заметки. 1974. Том 16. № 5. С. 717 - 724.

[3] Kharlampovich О., Myasnikov A. Elementary theory of free non-abelian groups. // Journal of Algebra. 2006. Volume 302. №2. P. 451-552.

[4] Матиясевич Ю. В. Диофантовость перечислимых множеств // Доклады АН СССР. 1970. Том 130. № 3. С. 495 - 498.

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Получено 18.05.2012