О р-разрешимости некоторых регулярных уравнений над р-группой Гейзенберга ut 3( z p) Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 3. С. 11-14.

УДК 512.54

А.В. Меньшов, В.А. Романьков

О Р-РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ

РЕГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ

НАД Р-ГРУППОЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА Ш3^р)

Уравнение u(x) = 1 от одной неизвестной x над произвольной группой G называется регулярным, если сумма показателей степеней неизвестной в u(x) отлична от нуля. В статье доказывается разрешимость некоторых регулярных уравнений над произвольной _р-группой Гейзенберга иТ3(^) . При этом решение находится в надгруп-пе, также являющейся конечной _р-группой.

Ключевые слова: уравнения над группами, регулярные уравнения, /-группы.

Уравнением над группой G от неизвестных %г, x2,..., xk называется выражение вида

и(^x2,...,xk,<°) = gl^g2^ ...gnx■nn = l, (1)

где gi € G , е1 =±1, а xi принадлежит алфавиту неизвестных

X = ^, x2,..., xk} . Если группа G является подгруппой группы G , то

уравнение (1) можно рассматривать также как уравнение над G . Говорят, что уравнение (1) разрешимо в G , если существуют элементы //, /2,..., /к € G такие, что и(/1, /2,..., /к, G) = 1 - верное равенство.

Набор таких элементов //, /2,..., /к называется решением уравнения (1) в группе G . Если такого набора не существует, то уравнение (1) называется неразрешимым в группе G .

Уравнение (1) называется разрешимым, над G, если существует надгруппа Н > G и элементы /, /2,..., /к € Н такие, что и (И1, /2,..., /к, О) = 1 — верное равенство. Набор таких элементов /^, /2,..., /к называется решением уравнения (1) в группе Н . Если такой группы Н и такого набора //, /2,..., /к не существует, то уравнение (1)

называется неразрешимым, над группой G .

Левую часть уравнения (1) можно рассматривать как элемент свободного произведения G[ x1, x2,..., xk ] = G * Рк группы G со свободной

группой Ек ранга к с базисом X = {x1, x2,..., xk} .

Через <71 (и (x1, x2,..., xk, G)) , i = 1,..., к , обозначим сумму показателей

степеней, с которыми неизвестная xi входит в уравнение (1).

Рассмотрим уравнение от одной неизвестной вида

и^,G) = glx£1 g2xe2...gnxen = 1, (2)

где gi € G , £i = ±1. В этом случае соответствующую сумму показателей степеней неизвестной x обозначим Ох(и(x, G)) . Левая часть уравнения

© А.В. Меньшов, В.А. Романьков, 2014

(2) рассматривается как элемент свободного произведения G[x] группы G и бесконечной циклической группы, порожденной элементом x.

Определение 1. Уравнение (2) над произвольной группой G называется регулярным., если Ох (и( x, G)) Ф 0 .

Согласно знаменитой гипотезе Кервера - Лауденбаха (см. [1]), любое регулярное

уравнение разрешимо над произвольной группой. В обзоре [1] сформулированы аналогичные гипотезы для классов нильпотент-ных и разрешимых групп. Ключевым вопросом для нильпотентной версии этой гипотезы является рассмотрение разрешимости регулярных уравнений над конечными р-группами, когда решение ищется в больших /-группах, где р - простое число.

По теореме Герстенхабера и Ротхауза

[2], любое регулярное уравнение имеет решение над произвольной конечной группой, причем это решение существует в большей конечной группе. Доказательство этой теоремы не конструктивно, за последующие годы не появилось эффективной процедуры нахождения решения в большей конечной группе. Тем более ничего нельзя сказать о разрешимости уравнения в большей конечной группе из какого-либо подкласса, в нашем случае - из большей р-группы.

Попутно заметим, что вопрос о существовании решений уравнений достаточно простого вида в свободных нильпотентных группах в общем случае является алгоритмически неразрешимым (см. [3-5]).

Определение 2. Пусть G - конечная р-группа, р - простое число. Уравнение (2) называется р-разрешимым над G, если существует конечная р-группа Н > G, в которой это уравнение имеет решение.

Возникает вопрос: являются ли регулярные уравнения над конечными р-группами р-разрешимыми?

Заметим, что любая конечная р-группа изоморфна некоторой подгруппе группы иТп (X) унитреугольных матриц над простым конечным полем Xр . Действительно,

любая конечная группа G изоморфна некоторой подгруппе полной линейной группы

GLn (X ) , где п = Ю . Если G была р-груп-

пой, то изоморфная ей подгруппа полной линейной группы содержится в силовской

р-подгруппе. Так как группа иТп (X ) является силовской р-подгруппой в GLn (X ) и все силовские р-подгруппы сопряжены, то можно считать G подгруппой в итп (1X'р).

Тогда для ответа на поставленный вопрос достаточно рассматривать регулярные

уравнения над группами UTn (Zp) . В данной работе исследуется /-разрешимость некоторых регулярных уравнений над /-группой Гейзенберга G(p) = UT3(Z ) .

При p = 2 группа UT3 (Z2) является группой Диэдра Dih4 порядка 8.

Если р - нечетное простое, то группа UT3(Zp) является свободной группой ранга 2 многообразия всех нильпотентных групп периода p ступени не больше, чем 2.

В качестве базиса группы G(p) можно взять любую пару элементов f, g группы G(p) , образы которых в фактор-группе по

коммутанту G( p)/G( p)' не лежат в одной циклической подгруппе. Последнее свойство выполнено тогда и только тогда, когда эти элементы f , g не перестановочны в группе

G(p).

Разрешимость уравнений вида

xn = g (3)

над произвольной группой G исследовалась в работах [6; 7]. Заметим, что если G — р-группа, то для любого n взаимно простого с р уравнение (3) разрешимо в G . Действительно, пусть u, V £ Z такие, что

u|G| + vn = 1, тогда (gv)n = g и, следовательно, X = gv - решение уравнения (3). Таким образом, в р-группах проблема заключается в извлечении корней степеней

ps, s > 1. Согласно [6], уравнение Xp = g имеет решение в сплетении

H = G wr C s (c) группы G с циклической

группой порядка p s . При этом группа G рассматривается как диагональная подгруппа базы сплетения и решение имеет вид X = c(g,1,...,V) . О конструкции сплетения см. [8]. Таким образом, любое уравнение вида (3) над конечной р-группой G р-разре-шимо.

Уравнение вида (3) является частным случаем положительного уравнения, которое имеет вид

Xg0Xgl - XSn—1 = 1. (4)

Теорема 1 (F. Levin [9]). Пусть G - произвольная группа. Уравнение (4) имеет ре—1 / —1 —1 —1 \ шение X = С (g0 ,g1 gn—1) в сплетении H = G wr Cn (c) . При этом группа G

рассматривается как диагональная подгруппа базы сплетения.

О р-разрешимости некоторых регулярных уравнений..

13

Следовательно, при П = р!!, 5 > 1 любое уравнение вида (4) над конечной р-группой G р-разрешимо. При П Ф р5 сплетение из теоремы 1 уже не будет являться р-группой. Но в случае когда П взаимно просто с р , можно воспользоваться следующим результатом.

Теорема 2 (А.Л. Шмелькин [10]). Пусть G - конечная р-группа. Если экспонента Ох(и(x, G)) в уравнении (2) взаимно проста с р , то такое уравнение имеет единственное решение в группе G . Решение определяется алгоритмом, описанным в [10].

Далее используются следующие обозначения и коммутаторные тождества:

( g, /) = Л/—1 = gfg -1/-\

( gl, g 2,..., gn +1) = (( gl,..., gn X gn+l),

G = у^ > у^й >... >у<Э >..., у^ = (г<Э,G),

(xy, г) = (у, г) * (x, г) = (у, г, x Уг( у, г)( x, г),

(x г) = (:^, г )-1( :^, г, x -1).

Через G(р) обозначаем р-группу Гейзенберга тъ(2р).

Заметим, что не всякое регулярное уравнение (2) над группой G(p) имеет решение в конечной р-группе Н > G(р) ступени нильпотентности 2.

Пример 1. Уравнение вида

xp = (xp, а)Ь , где р - простое нечетное число, а = t12, Ь = t23 - трансвекции, в данном случае - свободные образующие группы G (р) = Шз^р), не имеет решения ни в

какой конечной р-группе ступени нильпотентности 2.

Доказательство. Предположим, что данное уравнение имеет решение x = g в

группе Н ступени нильпотентности 2. Тогда

(ЕР, а) = (Е, а) р = (Е, аР ) = 1 . Значит

gp = Ь . Отсюда получаем, что Ь = (Ь, а)Ь,

(Ь, а) = 1, противоречие.

Лемма 1. Пусть V - произвольная группа, порожденная элементами

x, V,,..., V . Тогда любой элемент V € V

5 1 5 5 т

может быть записан в виде

V = xr(x, q)sw , (5)

где г € X, q, 5 € gp(v1,..., vm) , w € уу .

Доказательство. Доказательство следует из обычных коммутаторных соотношений.

Заметим, что в записи вида (5) можно предполагать, что q £ у2У. В противном

случае множитель (x, q') переписывается как произведение коммутаторов веса не меньше 3, и мы можем считать, что множитель такого вида отсутствует.

Следующая конструкция позволяет находить решение целого ряда уравнений над группой G(р) в большей конечной

р-группе. О используемой конструкции расширения при помощи автоморфизма см. [8]. Лемма 2. Пусть а, Ь - базис группы

G( р), р - нечетное простое число. Определим автоморфизм р группы G(p) отображением р: а ^ Ьа, Ь ^ Ь . Легко видеть, что порядок автоморфизма р равен р .

Тогда группа Н = G(р) \ ®р(Р) является конечной р-группой ступени нильпотентности 3 следующей структуры:

1. Пусть порождающие элементы упорядочены как р> Ь > а . Все простые базисные коммутаторыы, начинающиеся с (р, Ь), равны 1, (р, а) = Ь , (Ь, а) Ф 1.

2. Базисные коммутаторы веса 3 вида (Ь, а, а), (Ь, а, Ь), (Ь, а, р), (р, а, Ь), (р, а, р)

равны 1.

3. Единственный нетривиальный базисный коммутатор веса 3 - это

(р, а, а) = (Ь, а), он принадлежит центру

группы Н .

Доказательство. Непосредственно проверяется, что (р, Ь) = рЬр~1Ь-1 = р(Ь)Ь-1 = 1

и (р, а) = рар~ха-1 = р(а)а-1 = Ь . Пункты 2 и 3 - аналогично.

Лемма доказана.

Теорема 3. Пусть регулярное уравнение (2) над группой G(р), р - нечетное простое число, записано в форме (5) и ^, 5) Ф 1. Тогда такое уравнение р-разрешимо над группой G(р) .

Доказательство. Пусть г = 0’;с (и(x, G(p))) = = ркг , к > 1, Г взаимно просто с р . Согласно (5) запишем (2) в форме

xг = (x, q)swz, (6)

где q, 5 € G(р), w - произведение степеней коммутаторов веса 3, имеющих хотя бы одно вхождение x , г € у4р'(р')[x].

Так как ^, 5) Ф 1, то элементы q, 5 составляют базис группы G(р) - свободной

группы ранга 2 многообразия всех нильпо-тентных групп периода р ступени нильпотентности не больше, чем 2. Более того, базис группы составляет любая пара элементов вида q, 5(5, q)t, t € X .

Определим автоморфизм р группы G(p) отображением р: q ^ (s, qfslq,s ^s.

Тогда pp = 1 и, следовательно, рг = 1. Покажем, что при надлежащем выборе параметра t мы получим решение X = р уравнения (6) в группе H = G(p) \ gp(p).

Структура группы H описана в лемме 2. Единственным неединичным базисным коммутатором веса 3 от порождающих р> s > q является (ф, q, q) = (s —1, q) =

= (q, s) . Если элемент w содержит этот

коммутатор в степени l, то полагаем t = l. Непосредственно проверяется, что при таком задании параметра мы получаем решение X = р уравнения (6) в группе H :

1 = Ф = (Ф, q) sw = ф( q)q-ls( q, s )l =

= (s, q)ls -lqq—s q, s) = 1.

Теорема доказана.

Следующая теорема позволяет решать некоторые регулярные уравнения, для которых в записи (5) отсутствуют коммутаторы веса 3 и более.

Теорема 4. Пусть регулярное уравнение (2) над группой G(p), p - произвольное простое число, записано в форме (5) и имеет вид

Xp = (X, q )s, (7)

где элементы q Ф 1, s принадлежат группе G(p), к > 1. Тогда такое уравнение р-раз-решимо над группой G( p) .

Доказательство. Полагаем h = q 's . Умножим уравнение (7) слева на обратный к

qx, а справа - на обратный к h . Получим равносильное уравнение

Xq—1 Xpk —1h —1 = 1. (8)

Уравнение (8) является положительным уравнением, решение которого, согласно

теореме 1, имеет вид X = С l(q,1,...,1,h) в сплетении H = G(p) wr C^ (c) группы G(p)

^k

с циклической группой порядка p , порожденной элементом c .

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Roman’kov V. A. Equations over groups // Groups-Complexity-Cryptology. 2012. № 4. P. 191-239.

[2] Gerstenhaber M., Rothaus O. S. The solution of sets of equations in groups // Proc. N. A. S. 1962. № 48. Р. 1531-1533.

[3] Романьков В. А. О неразрешимости проблемы эндоморфной сводимости в свободных ниль-потентных группах и в свободных кольцах // Алгебра и логика. 1977. № 16. С. 457-471.

[4] Романьков В. А. Об уравнениях в свободных метабелевых группах // Сиб. матем. журн. 1979. № 20. С. 671-673.

[5] Репин Н. Н. Проблема разрешимости уравнений с одной неизвестной в нильпотентных группах // Изв. АН СССР. Сер. «Математика». 1984. № 48. С. 1295-1313.

[6] Baumslag G. Wreath products and p-groups // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1959. № 55. Р. 224-231.

[7] Neumann B. H. Adjunction of elements to groups // J. London Math. Soc. 1943. № 18. Р. 12-20.

[8] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М. : Наука, 1982.

[9] Levin F. Solution of equations over groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. № 68. Р. 603-604.

[10] Шмелькин А. Л. О полных нильпотентных группах // Алгебра и логика. 1967. № 6. С. 111-114.