p-РАЗРЕШИМОСТЬ РЕГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ НАД УНИТРЕУГОЛЬНЫМИ ГРУППАМИ НАД ПРОСТЫМ КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 3. С. 17-21.

УДК 512.54

А.В. Меньшов, В.А. Романьков

р-РАЗРЕШИМОСТЬ РЕГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ НАД УНИТРЕУГОЛЬНЫМИ ГРУППАМИ НАД ПРОСТЫМ КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ

Уравнение над группой от одной неизвестной называется регулярным, если сумма показателей степеней неизвестной отлична от нуля. В статье доказывается разрешимость некоторых регулярных уравнений экспоненты rps, где r е Z , s е N, нод(г, р) = 1, над группой UTn (Fp) (n > 2) в надгруппе, изоморфной UT( ps +1(Fp). Также доказана разрешимость произвольного регулярного уравнения экспоненты rps надр-группой Гейзенберга UT3(Fp) в надгруппе, изоморфной UT2pS +1(Fp). Доказательства этих результатов проводятся конструктивным способом и позволяют получать решения уравнений в явном виде.

Ключевые слова: уравнения над группами, регулярные уравнения, гипотезы Кервера - Лауденбаха, нильпотентные группы, унитреугольные группы, _р-группы.

Введение

Уравнением с неизвестной x над группой G называется выражение вида:

и (х) = 1, (1)

где

и(х) = x'1gix'2g2...x£ngn е G*(х). (2)

Если H - большая группа, т. е. группа, содержащая G в качестве фиксированной подгруппы, то уравнение над G также рассматривается как уравнение над H . Уравнение (1) над группой G называется разрешимым в группе G , если существует g е G такой, что и(g) = 1. Уравнение (1) называется разрешимым над группой G, если существует надгруппа H > G , в которой это уравнение имеет решение.

Пусть C — некоторый класс групп. Уравнение над группой GЕ C называется разрешимым в классе C , если существует надгруппа H Е C , содержащая группу G , в которой оно имеет решение.

Zn

=1 '

не равна нулю. Согласно знаменитой гипотезе Кервера - Лауденбаха (см.

[1]), любое регулярное уравнение разрешимо над произвольной группой. В обзоре [1] были сформулированы аналогичные гипотезы для классов ниль-потентных и разрешимых групп. Ключевым вопросом для нильпотентной версии этой гипотезы является разрешимость регулярных уравнений в классе всех конечных р-групп для различных простых р. Заметим, что в общем случае гипотеза Кервера - Лауденбаха (и ее обобщение для систем уравнений) остается открытой. Имеется лишь ряд частичных результатов (см. обзор [1]).

Из результатов Герстенхабера и Ротхауза [2] следует, что любое регулярное уравнение над конечной группой имеет решение в большей конечной надгруппе. Заметим, что известные доказательства этих результатов неконструктивны. Они не дают возможности эффективного построения группы, в которой разрешимо данное регулярное уравнение из формули-

© А.В. Меньшов, В.А. Романьков, 2015

18

А. В. Меньшов, В.А. Романьков

ровки. Они также не позволяют судить о структуре этой группы. Другие, более конструктивные, доказательства этих результатов до сих пор не найдены. Тем более ничего нельзя сказать о разрешимости регулярного уравнения в большей конечной группе из какого-либо класса групп.

Уравнение над конечной p-группой G будем называть p-разрешимым, если существует конечная p-группа H > G , в которой оно имеет решение.

Пусть Fp — простое конечное поле порядка p и UTn (Fp ) — группа верхних унитреугольных матриц размера n Xn (n > 2) над полем Fp . Известно, что любая конечная

p-группа G изоморфна некоторой подгруппе U7|G| (Fp ) . Тогда для доказательства разрешимости регулярных уравнений в классе всех конечных p-групп достаточно установить p-разрешимость регулярных уравнений над группами UTn (Fp ) , n > 2 . Заметим, что случай n = 2 сводится к присоединению корней к циклическим группам порядкам p в классе конечных p-групп и потому очевиден. Поэтому первым нетривиальным случаем оказывается n = 3 .

В [3] авторами была доказана p-разрешимость некоторых регулярных уравнений над p-группой Гейзенберга UT3(Fp) . Настоящая

статья продолжает исследования, проведенные в [3]. В теореме 1 мы доказываем, что некоторые регулярные уравнения экспоненты rps, где r е Z , s е N, нод(г, p) = 1, над группой UTn (Fp) (n > 2) разрешимы в

надгруппе, изоморфной UT pS+1(Fp) . При

n = 3 из данного результата следует разрешимость произвольного регулярного уравнения экспоненты rps над p-группой Гейзенберга UT3(Fp) в надгруппе, изоморфной UT^pS+1(Fp)

(теорема 2). Доказательства этих результатов проводятся конструктивным способом и позволяют получать решения уравнений в явном виде.

Предварительные сведения

Пусть даны рациональные числа A={Si,S2,...,Sn} , где St <Si+i, i = 1,n — 1. Обозначим через А ассоциативную алгебру над полем F с базисом { s ^ | i = 1,.., n — 1} . Умножение в А определяется равенствами

еав ев,Г= ea,r и ea,e' er,S = 0 при РФУ. Заметим, что алгебра А изоморфна алгебре

NTn (F) верхних нильтреугольных матриц над полем F размера n Xn. Для элемента

u = Z иав e*e’ uae6 F, (3)

а,@еД, а<в

обозначим supp(u) = { (а, в) е Д21 иа ^Ф 0 } . С каждым элементом u свяжем взвешенный ориентированный граф Г(и), вершинами которого являются рациональные числа а,@е Д , соединяемые ребром (а,Р) тогда и только тогда, когда (а,@) е supp(u). Весом ребра (а в) при этом будем считать коэффициент иа в из канонической записи (3). Пусть P — yS - путь (y<S) в графе Г(и), т. е. путь из у в S . Весом пути P будем называть величину w(P), равную произведению весов входящих в него ребер. Длина пути |Р| определяется как количество входящих в него ребер. Будем говорить, что элемент и еА имеет длину l = l(и) , если максимальная длина пути в графе Г(и) равна l. Очевидно тогда, что и1+1 = 0 . Длина l(M) произвольного подмножества элементов M С А определяется как sup{l(и) | и 6 M} . Заметим, что l(А) = n — 1

Добавим к А внешнюю единицу. Тогда множество G( А) = { 1 + и | и 6 А} является

группой. Обратный к (1 + и) определяется как (1 + и)—1 = 1 + £ п— (—1)V . Через ta p

(а,веД,а < в) будем обозначать трансвек-цию 1 + ea в . Также для любого /6 F полагаем taр(у) = 1 + yeaр . Обозначим Ам — множество всех сумм произведений i элементов из А , i > 0. Очевидно, что Ам - подалгебра А и G^0)) ={ 1 + и | и е А°)} — подгруппа

G^).

Очевидно, что А(и) = 0 и А нильпо-тентна ступени n, а группа G^) нильпо-

тентна ступени n — 1. Ряд 1 = G( А(и)) <

< G(А(и—1)) < . < G(А(1)) = G(А) является верхним и нижним центральным рядом для

G^).

Заметим, что группа G(А) изоморфна группе верхних унитреугольных матриц UTn (F) над полем F размера n Xn. Подгруппе G^^-1) соответствуют матрицы, у которых первые i —1 побочных диагоналей нулевые.

p-разрешимость регулярных уравнений над унитреугольными группами...

19

Далее в качестве поля F будем рассматривать простое конечное поле Fp порядка р.

В [4] для q = ps, s е Z+ , n > 2 , были построены вложения UTn (Fp) в UTm (Fp), где m = (n — 1)q +1, относительно которых из любого элемента группы UTn (Fp ) в UTm (Fp ) извлекается корень степени q. Поскольку данные вложения играют существенную роль для дальнейшего изложения, опишем их подробно.

Обозначим через ti j трансвекцию в группе UTn (Fp). Пусть a j е Q — такие рацио-

нальные числа, что i < a 1 <... <aiq—1 < i +1, i = 1,..., n — 1, и пусть UTm (Fp) порождена

трансвекциями t'a 1, a 1 ,a,2,., i+1, где

i = 1,..., n — 1. Определим вложение

ф: UTn (Fp ) ^ UTm (Fp ) , положив

Ф (t1,2 ) = t1,2 ,

Ф^2,3) ^2,Ъ3,a21 ta1,2,a2,2 ’ “F1,q—1,a2q—1 ,

Ф(гя) = t't' t' ...t' , (4)

фи 1 ) = f 1 f t ...t' .

Пример 1. Пусть n = p = q = 3 , тогда образом элемента a = e + a12e12 + a13e13 + a23e23 е е UT3 (F3) относительно вложения (4) будет

Ф(а) = e + a12e14 + a13 e17 + a23 (e25 + e36 + e47 ) е

е UT7(F3).

Аналогично можно определить вложение 9: UTn (Fp ) ^ UTm (Fp ) , положив

^(tl,2) tl,2 ^a13,a21 t a ,2 , a2,2 ' ' a1,q—1,a2,q—1 ,

9(^2,3') ^2,3^a21,a31^a2,2,a3,2 ' ‘ '^a2,q—1,a3,q—1 ,

9(tn—2,n —1) tn—2,n —1ta,_

(5)

2J.

1,1

P(tn—1,n ) tn~1,n ■

Пример 2. Пусть n = p = q = 3 , тогда образом элемента a = e + a12e12 + a13e13 + a23e23 е е UT3(F3) относительно вложения (5) будет

9(a) = e + a12(e14 + e25 + e36) + a13e17 + a23e47 е

е UT7(F3).

Основной результат

Рассмотрим над группой G регулярное уравнение

S, £ £n 1

X 1g1 X2 g2...xn gn =1

v------V-------'

u ( x )

с экспонентой £. Без ограничения общности можно считать, что £ < 0 . Будем передвигать степени неизвестной и коэффициенты уравнения влево, используя соотношение

fg = gf [ f, g]. Данной последовательностью

преобразований уравнение выше можно привести к виду:

х~£ = u (1) v( x), (6)

1

где v( x) = П C (x) (l > 0) и

i =1

Ci(x) = [u, x7, Sn(x\ ■■■, Si, k(x)] (7)

- коммутатор веса kt + 2 , kj > 0 , ui е G , 7 = ±1, £ или S. j (x) = gj е G, Ту =±1. Заметим, что u(1) = g1 g2...gn и экспонента v(x) равна нулю.

Пример 3. Последовательность преобразований, приводящих уравнение xg1 xg2 = 1 к виду (6):

1 = xg1 ^

1 = xxg1[g1, x]g2,

1 = xxg1g2[ gr x][ g^ x g2] x— = g1 g2[ gu x][ gu X g2l

x2 = g1 g2[gl, Х'Ши x~\ g2]■

Далее сформулируем несколько несложных лемм технического характера.

Лемма 1. Пусть 8, <82 <... < 8n (8, е Q ) u

A — ассоциативная алгебра над полем Fp , порожденная e8 8+1, i = 1,■■■,n — 1. Пусть x = 1 + u е G(A) и s е Z+ , тогда

xp =1 + up =1 + £ w(P)eaJ!, где сумма берется по всем путям P длины ps в r(u) из а в в.

Замечание 1. Пусть в обозначениях леммы 1 к x добавили элемент wey8еА,

w е Fp . Это будет соответствовать тому, что в r(u) вершины у и 8 соединили ребром (у, 8) веса w. При этом к имеющимся путям

длины ps в r(u) , возможно, добавятся новые пути, проходящие через добавленное ребро (у, 8) .

Лемма 2. Пусть 81 <82 <... <8п (8, е Q ) и А — ассоциативная алгебра над полем Fp , порожденная e88+ , i = 1,..., n — 1. Пусть C (x) = [ g, x7, S1( x),..., Sk (x)] - коммутатор

вида (7) над G(A), где g е G(A(r)). Если

d е A(t), то C(x + d) = C(x) + E, где Ее A(r+t).

Следующая лемма позволяет в некоторых случаях при рассмотрении регулярных

20

А. В. Меньшов, В.А. Романьков

уравнений над конечными р-группами переходить от уравнений произвольной экспоненты к уравнениям примарной экспоненты ps , sе Z+.

Лемма 3 ([5]). Если произвольное регулярное уравнение экспоненты ps, s е Z+ , над конечной р-группой G разрешимо в большей р-группе H такой, что |H| < fG (ps) , где fG - некоторая функция от экспоненты уравнения ps, зависящая от группы G , то

любое регулярное уравнений над G р-разре-шимо.

Пусть дано уравнение u( х) = 1 над группой G и H — гомоморфный образ G . Репликой данного уравнения будем называть уравнение над H, получающееся из исходного заменой всех коэффициентов на их гомоморфные образы.

Следующая теорема позволяет находить решения целого ряда уравнений над унитреугольными группами в больших унитреугольных группах.

Теорема 1. Пусть над группой UTn (Fp) (n > 2 ) дано регулярное уравнение с экспонентой rps, где r е Z, s е N, нод(г, р)=1. Обозначим u(1) = (a. j) . Если выполнено одно из следующих условий:

1) a. i+1 Ф 0 для i = 2,n — 1;

2) a,i+1 Ф 0 для i = 1,...,n — 2;

3) a — центральный элемент в UTn (Fp ) , то уравнение разрешимо в надгруппе, изоморфной UTm (Fp ), где m = (n — 1)ps +1.

Доказательство. Если s = 0 , то по теореме А. Шмелькина [6] уравнение имеет решение в самой группе UTn (Fp) . Далее считаем, что s > 0 . Обозначим для краткости q = ps и рассмотрим сначала случай примарной экспоненты, т. е. r = 1. Запишем уравнение в виде (6):

xq = u(1)v( х). (8)

Пусть ai j е Q такие, что

i < a. 1 <... < a. q—1 < i +1, i = 1,..., n — 1, и пусть

UT (F )

m x p s

ti,aI -у , ^al 1 a,2,!.

порождена

трансвекциями

a ,q—1,i'+l

, где i = 1,...,n — 1. Через

А обозначим соответствующую UTm (Fp) ассоциативную алгебру, порожденную

ei, at1, e at1, a, ,,'••, e a,q—1,i+1, i 1, •••,n 1.

(9)

Будем рассматривать UTn (Fp) как подгруппу UTm (Fp ) относительно вложения (4).

Рассмотрим случай 1. Положим для краткости G = UTn (Fp) и H = UTm (Fp). В силу

свойств вложения (4) имеем yG с yiqH для

i = 1,..., n — 1. Будем рассматривать последовательно реплики уравнения (8) в факторах H / yH , i = 2,...,m . При этом будем строить х, = 1 + Uj е H такой, что его образ является решением соответствующей реплики в H / yfl . В итоге получим xm е H — решение уравнения (8). Заметим, что случаи i = 2,..., q можно не рассматривать, так как решением соответствующих реплик будет х, = 1.

Решением реплики (8) в факторе H / fq+1H будет образ элемента

Xq+1 = 1 + a1,2 е'.щ, + ea11, а12 + . + e'a%r 1,2 +

+ a2,3e2, a,, + e<%„a2,2 + " • + e<%,q—1,3 +

+ ■■■ + an—1, nen—1, an_u + e a„_n, + --- + e an—lq_1,

так как v(xq+1) е Yq+1H . Заметим, что в T(uq+1)

гарантированно есть путь из 1,1 в n, проходящий через ребра, соответствующие порождающим (9) алгебры А .

Пусть построен x, = 1 + ut е H такой, что его образ является решением реплики уравнения (8) в факторе H / YH . Тогда у матриц

Z(x.) = xq и R(xt) = u(1)v(xt) первые i — 1 побочных диагоналей совпадают. Возможно, матрицы L(x,) и R( x,) не равны по модулю

Y+1H из-за различных коэффициентов при элементах вида e a^е А(,) \ А(‘+1), соответствующих побочной диагонали с номером . Всего имеется m — i таких элементов

ealA,ea1 в ,■, eam_l,pmi,, где a1 < a2 < ••• < am—i . Для каждого e a ^ (j = m — i,...,1) построим

элемент у. е А такой, что матрицы

L( xi + yj + --- + ym-t) и R( x. + y + . + ym_t)

равны по модулю Y H и соответствующие

коэффициенты при e . в , e a+в — , e am—i,em—,

совпадают. Пусть y.+1,..., ym4 (1 < j < m — i)

уже построены. Обозначим через и wr коэффициенты при ea в в L(x, + у. + 1 + --- + ym—i ) и R( х.. + у.+1 + . + ym—.) соответственно. В r(u,) есть путь P длины q — 1 из некоторой

p-разрешимость регулярных уравнений над унитреугольными группами...

21

вершины Т (которая определяется однозначно по Pj) в в,- , проходящий по ребрам, соответствующим порождающим (9) алгебры А. Положим yq = w£a Т, где w- определяется из формулы WjW(P) + wl = wr. Согласно лемме 1 и замечанию 1 в левой части появится элемент w.w(P)ea р , а также

некоторые элементы ea ре A(i+1), либо

eaре A(i) \ A(i+1), причем в последнем случае будет Р < Р.. Заметим, что ea те А('+1-q), тогда, согласно лемме 2, R( xt + y. + ... + ym-i) =

= R(Xi + У-+1 + --- + ym-i ) + E , где ЕеА('+1) . Таким образом, добавление y. не изменяет ко-

эффициенты при ea, р в правой части. После добавления y1 в левой части также не изме-

нятся коэффициенты при e а, р . Положим X+1 = xt + у + — + ym_t . По построению образ xi+1 является решением реплики (8) в факторе H / умИ .

Продолжая процесс таким образом, получим решение xm е H уравнения (8).

В случае 2 доказательство проводится аналогично, но вместо вложения (4) нужно брать вложение (5).

В случае 3, как и в случае 1, будем рассматривать G = UTn (Fp) как подгруппу

H = UTm (Fp ) относительно вложения (4).

Решением реплики (8) в факторе H / Yq+1H будет образ элемента

+

xq+1 = 1 + % а + ••• + Ч

+ ea a + • + e

Мц, а2,2 а ,q

+ ••• + Чд. Ом, + — + Ч^.

так как x^+l = 1 и xq+1 коммутирует с образами элементов группы G , т. е. v(xq+1) = 1. Решая далее уравнение способом, описанным в случае 1, видим, что на итерациях q + 2.....m _ 1 имеем xq+2 =... = xm-1 = xq+1 . На

итерации m получим xm = xq+l + ax nel a _ решение уравнения.

Случай произвольной экспоненты теперь следует из леммы 3. Теорема доказана.

Из теоремы 1 получаем следующий результат.

Теорема 2. Любое регулярное уравнение экспоненты rps, где r е Z, s е N, нод(г, р) = 1, над р-группой Гейзенберга UT3 (Fp) разрешимо в надгруппе, изоморфной UT2ps +1(Fp ) .

Доказательство. Для любого элемента UT3(Fp) очевидно выполнено одно из условий теоремы 1.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Roman'kov V. A. Equations over groups // Groups Complexity Cryptology. 2012. Vol. 4. P. 191-239.

[2] Gerstenhaber M., Rothaus O. S. The solution of sets of equations in groups // Proc. Natl. Acad. Sci. 1962. Vol. 48. P. 1531-1533.

[3] Меньшов А. В., Романьков В. А. О р-разреши-мости некоторых регулярных уравнений над р-группой Гейзенберга UT3(Z3) // Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 3. С. 11-14.

[4] Меньшов А. В., Романьков В. А. Присоединение корней к унитреугольным группам над простым конечным полем // Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 3. С. 13-16.

[5] Меньшов А. В., Романьков В. А. Разрешимость регулярных уравнений в классе нильпотентных групп // Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 4. С. 19-22.

[6] Шмелькин А. Л. О полных нильпотентных группах // Алгебра и логика. 1967. Т. 6. С. 111-114.