CC BY
18
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 512.54
DOI 10.25513/1812-3996.2019.24(1).4-8
КЛАССИФИКАЦИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУПП УНИТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ
Н. С. Бахта, В. А. Романьков
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Аннотация. Элемент u группы G называется универсальным, если любой элемент коммутанта G' этой группы может быть записан в виде коммутатора [u, x] элемента u с некоторым элементом x группы G. Существование универсальных элементов в группах UT(n,K) унитреугольных матриц произвольного размера n над произвольным ассоциативным кольцом K с единицей установлено первым автором. Полностью универсальные элементы групп UT(n,F) над произвольным полем F описаны Конырхановой, использовавшей язык разрешимости уравнений над F. В работе данное описание универсальных элементов групп UT(n,F) унитреугольных матриц над произвольным полем F получено иным способом - через вычисление размерностей и, соответственно, порядков централизаторов этих элементов в соответствующих кольцах NT(n,F) ниль-треугольных матриц. На этой основе классифицированы все универсальные элементы группы UT(n,F) над произвольным полем F.
Финансирование
Работа второго автора выполнена при поддержке Министерства образования и науки Республики Казахстан в рамках научного проекта № ИРН АР05132349
CLASSIFICATION OF UNIVERSAL ELEMENTS OF THE UNITRIANGULAR MATRIX GROUPS OVER A FINITE FIELD
N. S. Bakhta, V. A. Roman'kov
Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Abstract. An element u of a group G is called to be universal if every element of the commutant of G can be written in the form [u, x], x e G. The existence of the universal elements in every group UT(n,K) of unitriangular matrices over an arbitrary associative ring K with identity has been established by the first author. A comprehensive description of the universal elements of the groups UT(n,F) over an arbitrary field F was given by Konyrkhanova through the solvability of equations over F. In this paper, the description of the all universal elements of UT(n,F) for any n and every field F is presented through computation of the dimensions and orders of the centralizers of these elements in the corresponding rings NT(n,F). On this basis we classify all universal elements in the groups UT(n,F) over an arbitrary field F.
Информация о статье
Дата поступления 17.12.2018
Дата принятия в печать
25.12.2018
Дата онлайн-размещения
26.04.2019
Ключевые слова
Группа унитреугольных матриц, коммутаторное уравнение, универсальный элемент
Article info
Received 17.12.2018
Accepted
25.12.2018
Available online
26.04.2019
Keywords
Unitriangular matrix group, commutator equation, universal element
Вестник Омского университета 2019. Т. 24, № 1. С. 4-8
ISSN 1812-3996-
Acknowledgements
The reported of the second author study was funded by the Ministry of Education and Science of Republic Kazakhstan according to the research project № ИРН АР05132349
Сокращенная версия данной работы изложена авторами в материалах научной конференции «Омские научные чтения-18» [1]. Пусть в - группа. Через [6,6] или С обозначается ее коммутант, то есть подгруппа, порожденная всеми коммутаторами [Ь, /]; Ь, / е в. В работе через уг(в) обозначается член нижнего центрального ряда группы в с номером /. Напомним, что у1(б) = в (вся группа), у2(в) = [в, в] (коммутант); если / > 3, то у^(С) = [у1-1(в), в] (взаимный коммутант предыдущего члена и всей группы -подгруппа, порожденная всеми коммутаторами вида [Ь, /], где Ь е ^(в), /е в).
Пусть Г - произвольное поле. Через иТ(п,Г) обозначается группа верхних унитреугольных матриц размера п над Г. В дальнейшем под побочной диагональю понимается верхняя побочная диагональ. Хорошо известно, что для 2 < / < п-1 подгруппа У1 (иТ(п,Г)) состоит из всех матриц с первыми /-1 нулевыми побочными диагоналями. Группа иТ(п,Г) нильпотентна ступени п-1.
В [2] А. Бир доказала, что в случае поля Г характеристики 0 каждый элемент коммутанта группы иТ(п,Г) является коммутатором. В [3] первым автором этот результат был существенно расширен и усилен. А именно было доказано, что утверждение справедливо для группы иТ(п,К), где К - любое ассоциативное кольцо с единицей, а также что любой элемент Ь коммутанта у2(иТ(п,К)) представим в виде [и, х], где и - фиксированный элемент группы. Также в [3] было установлено, что в качестве элемента и можно взять любой элемент, который имеет первую побочную диагональ, состоящую из единиц. Элемент и с указанным свойством назван универсальным. В [4] первым автором аналогичные результаты были получены для членов нижнего центрального ряда группы иТ(п,К). Доказано, что член нижнего центрального ряда у^ (иТ(п,К)) является множеством значений коммутатора вида [[[и,х],и],...,и] длины (веса) / от одной переменной х и некоторого фиксированного элемента и группы иТ(п,К). Элемент и с указанным свойством также назван универсальным относительно уг (иТ(п,К)), что согласуется с уже введенным выше термином. Будем называть такой эле-
мент i-универсальным. Оказалось, что описанный выше универсальный элемент является также i-уни-версальным для любого i. Термин «универсальный» употребляем в случае, когда i = 2. В [5] А.А. Конырха-нова исследовала универсальные элементы унитре-угольных матричных групп над произвольным полем F. В частности, она доказала, что любая матрица u е UT(n,F), у которой все элементы первой побочной диагонали (кроме, возможно, только одного - верхнего или нижнего) ненулевые, является универсальным элементом группы UT(n,F). Одновременное равенство нулю верхнего и нижнего элементов первой побочной диагонали или равенство нулю одного из остальных элементов первой побочной диагонали соответствует элементу, не являющемуся универсальным в группе UT(n,F). Это доказывается построением соответствующих примеров. Таким образом, необходимые и достаточные условия универсальности элемента u е UT(n,F) полностью определяются видом его первой побочной диагонали.
Доказательства основных результатов работ [2-5] устанавливаются через разрешимость соответствующих систем уравнений над элементами соответствующего кольца K или поля F. Целью настоящей работы является представление альтернативных доказательств универсальности элементов в группах UT(n,F) над любым полем F, основанных на вычислениях размерностей и порядков централизаторов этих элементов в кольце NT(n,F) верхних ниль-треугольных матриц. Данный подход позволяет по-новому оценить понятие универсальности элемента в рассматриваемых группах. Он также позволяет перенести это понятие на произвольные конечные нильпотентные группы с большей степенью обоснованности (см. объяснение ниже). Некоторые вспомогательные утверждения также имеют самостоятельный интерес.
Зафиксируем натуральное число n > 3 и произвольное поле F. Дальнейшие рассуждения ведем относительно группы U = UT(n,F).
Лемма 1. Пусть u - универсальный элемент группы U, все элементы первой побочной диагонали (и12, ..., ип-1п) которого отличны от нуля. Такой эле- 5
мент назовем универсальным 1-го типа. Тогда жор-данова форма относительно группы GL(n,F) элемента u в группе U состоит из одной клетки. Элемент в жордановой форме будем называть стандартным универсальным 1-го типа.
Доказательство. Так как матрица u имеет единственное характеристическое число 1, очевидно принадлежащее F, матрица u приводится к жордановой форме над F. Поскольку степень (и — Е)п-1 имеет ранг 1, жорданова форма матрицы u состоит из одной клетки. Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть u - универсальный элемент группы U, все элементы первой побочной диагонали (и12, ... , ип-1п) которого отличны от нуля, кроме, в точности, одного из них - и12 или ип-1п. Такой элемент назовем универсальным 2-го типа. Тогда жорданова форма элемента u состоит из двух клеток размеров n-1 и 1. Такой элемент будем называть стандартным универсальным 2-го типа.
Доказательство. Так как (и — Е)п-2 имеет ранг 1, в то время как (и — Е)п-1 - нулевая матрица, жорданова форма для u состоит из двух жордано-вых клеток, одна из которых размера n-1, вторая клетка автоматически имеет размер 1. Лемма доказана.
Следствие. Все универсальные элементы группы U разбиваются на два непересекающихся множества сопряженных между собой в группе GL(n,F) элементов соответственно 1-го и 2-го типа. Элементы из разных множеств не являются сопряженными.
Далее в статье дается описание универсальных элементов группы U через вычисление их централизаторов в кольце матриц N = NTn(F). Любая матрица a е U однозначно записывается в виде
a = e + n(a), n(a) e N, (1)
где e - единичная матрица. При этом a перестановочна с u е U тогда и только тогда, когда n(a) перестановочна с n(u). Все матрицы вида n(a) для a из централизатора элемента u группы U образуют линейное пространство над F. Это пространство называется централизатором элемента u в кольце матриц N и обозначается CN(u).
Размерность N как линейного пространства над F очевидно равна (n(n-1))/2, а его порядок в случае конечного поля F = Fq порядка q равен qm, где m = n(n-1))/2.
Лемма 3. 1) Пусть u - стандартный универсальный элемент 1-го типа группы U. Тогда его централизатор CN (u) состоит из всех матриц из N, в которых элементы любой побочной диагонали равны между
собой. Размерность CN(u) равна, таким образом, n-1, а его порядок |Cw(u)| в случае конечного поля F = Fq равен qn-1. То же самое можно сказать и о любом другом универсальном элементе, так как эти характеристики у сопряженных элементов совпадают.
2) Пусть u - стандартный универсальный элемент 2-го типа группы U. Тогда его централизатор CN(u) в N состоит из всех матриц, в которых элементы любой побочной диагонали равны между собой за исключением равных нулю элементов последнего столбца в случае, когда ип-1п = 0, и первой строки, когда и12 = 0. При этом размерность CN (u) равна n-1, а порядок в случае конечного поля Fq равен qn-1. То же самое можно сказать и о любом другом универсальном элементе, так как эти характеристики у сопряженных элементов совпадают.
Доказательство. Утверждение леммы устанавливается прямым вычислением.
Теорема. Элемент u группы U = UT(n,F) унитре-угольных матриц над конечным полем Fq является универсальным тогда и только тогда, когда размерность его централизатора CN (u) как линейного пространства над Fq равна n-1 и порядок этого централизатора равен qn-1.
Доказательство. Для любого элемента u е U определим отображение
U ^ N, х ^ [u, x] - e. (2)
Ясно, что элемент u универсален в U тогда и только тогда, когда образ U при этом отображении совпадает с y2(U) - e. Другими словами, когда размерность образа равна (n-1)(n-2) / 2 - размерности пространства n(y2(U)). Равенство [u, x] = [u, y] для
элементов x, y е U равносильно равенству х-1их = -1
= у 1иу, что в свою очередь равносильно включению элемента x-1y в централизатор Cu(u), имеющий порядок qn-1 (он совпадает с порядком централизатора CN(u). Это означает, что размерность образа рассматриваемого отображения для u равна n(n-1) / 2 - (n-1) = (n-1)(n-2) / 2, что означает совпадение образа с коммутантом y2(U). Остается заметить, что по Лемме 3 размерность CN (u) для любого универсального элемента равна n-1.
Данный подход может быть применен к выделению и описанию универсальных элементов произвольной конечной группы, если они в ней существуют. В предыдущих доказательствах решались системы уравнений, появляющиеся из вычислений над матрицами, причем матрицами определенного вида. Данный подход связан с вычислением порядков централизаторов элементов, что применимо к любой конечной группе.
Утверждение Теоремы о размерности справедливо для любого поля. Достаточно заметить, что образ лиева коммутатора (u, x) = ux - xu, x е N, в N совпадает с образом [u, x] - e, x е U. Это следует из доказательств, проведенных в [3] и [5]. Первое из этих отображений линейно, поэтому для него выполнены обычные соотношения для размерностей образа и ядра. Размерность ядра определяет размерность образа.
Открытые вопросы.
Существование элементов со специальными свойствами является важной характеристикой группы. Одним из популярных свойств является те-стовость элемента. Напомним (см. [6] или [7]), что элемент v группы G называется тестовым, если любой эндоморфизм ф е End(G), для которого ф^) = v, является автоморфизмом. О тестовых элементах разрешимых групп известно следующее: свободная нильпотентная группа Nrc ранга r > 2 ступени c > 2 обладает тестовым элементом за исключением слу-
чая, когда г - нечетное число, а c равно 2 [8]. В последнем случае тестовый ранг, то есть минимальное число элементов группы, для которых любой фиксирующий каждый из них эндоморфизм является эндоморфизмом, равно 2. Для свободной метабеле-вой группы М2 ранга 2 любой неединичный элемент из коммутанта является тестовым [9]. Каждая разрешимая группа ранга 2 ступени разрешимости d > 3 также обладает тестовыми элементами. Первый такой элемент был построен в [10], общий результат содержится в [11]. Есть результаты и по другим разрешимым группам, относительно которых см. [7].
Проблема 1. Чему равен тестовый ранг группы иТ(п,Т)? В частности, есть ли в этой группе тестовые элементы?
Относительно определения функции Дена и ее усредненной версии см., например, [12].
Проблема 2. Какова функция Дена для группы иТ(п,Т)? Что можно сказать об усредненной функции Дена этой группы?
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Романьков В. А., Бахта Н. С. Описание универсальных элементов унитреугольных групп // Омские научные чтения: тр. научн. конф. Омск: ОмГУ. 2019. 1222 с.
2. Bier A. Verbal subgroups in the group of triangular matrices over field of characteristic 0 // Journal of Algebra. 2009. Vol. 321, № 2. P. 483-494.
3. Бахта Н. С. О представимости коммутанта группы UTn(K) множеством значений функции одной переменной // Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 2 (64). С. 44-46.
4. Бахта Н. С. О представимости членов нижнего центрального ряда группы UT„(K) множеством значений функции одной переменной // Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 4 (70). С. 13-15.
5. Конырханова А. А. Универсальные элементы групп унитреугольных матриц над полем // Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 4 (76). С. 18-20.
6. Mikhalev A. A., Shpilrain V., Yu J. T. Combinatorial methods. Free Groups, Polynomials, and Free Algebras. Canadian Math. Soc. New York: Springer-Verlag. 2004. 315 p. (CMS books in Mathematics).
7. Тимошенко Е. И. Эндоморфизмы и универсальные теории разрешимых групп. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. 327 с. (Серия «Монографии НГТУ»).
8. Gupta C. K., Roman'kov V. A., Timoshenko E. I. Test ranks of free nilpotent groups // Communications in algebra. 2005. Vol. 33, № 5. P. 1627-1634.
9. Тимошенко Е. И. Тестовые элементы и тестовый ранг свободной метабелевой группы // Сиб. матем. журн. 2000. Т. 47, № 6. С. 1451-1456.
10. Романьков В. А. О тестовых элементах свободных разрешимых групп ранга 2 // Алгебра и логика. 2001. Т. 40, № 2. С. 192-201.
11. Тимошенко Е. И. Вычисление тестового ранга свободной разрешимой группы // Алгебра и логика. 2006. Т. 45, № 4. С. 447-457.
12. Кукина Е. Г., Романьков В. А. Субквадратичность усредненной функции Дена для свободных абеле-вых групп // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44, № 4. С. 772-778.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Бахта Наталья Сергеевна - старший преподаватель ИМИТ (математический факультет), кафедра компьютерной математики и программирования, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: [email protected].
Романьков Виталий Анатольевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой компьютерной математики и программирования, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: [email protected].
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Бахта Н. С., Романьков В. А. Классификация универсальных элементов групп унитреугольных матриц над конечным полем // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 1. С. 4-8. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(1).4-8.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Bakhta Natalya Sergeevna - Senior Lecturer of IMIT (mathematical faculty), the Department of Computing Mathematics and Programming, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: [email protected].
Roman'kov Vitalii Anatolievich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Computing Mathematics and Programming, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: [email protected].
FOR QTATIONS
Bakhta N.S., Roman'kov V.A. Classification of universal elements of the unitriangular matrix groups over a finite field. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2019, vol. 24, no. 1, pp. 4-8. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(1).4-8. (in Russ.).
