О представимости коммутанта группы ut(n,k) множеством значений функции одной переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 2. С. 44-46.

УДК 512.54 Н.С. Бахта

О ПРЕДСТАВИМОСТИ КОММУТАНТА ГРУППЫ иТ(п,К) МНОЖЕСТВОМ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Доказано, что коммутант группы унитреугольных матриц произвольной размерности над произвольным ассоциативным кольцом с 1 является множеством значений некоторого слова от одной переменной х вида w(х) = [х,g], где g - фиксированный элемент группы. Отсюда следует, что любой элемент коммутанта группы унитреугольных матриц является коммутатором. Данное следствие также вытекает из результатов А. Биер [1], но только в случае, когда группа унитреугольных матриц берётся над полем характеристики 0.

Ключевые слова: группа унитреугольных матриц, вербальная подгруппа, вербальная ширина, коммутант, коммутатор.

Введение. Пусть F(X) - свободная группа бесконечного счетного ранга с базисом (множеством свободных порождающих) X = {x1,x2,...,xn,...} . Произвольный элемент s(x1,...,xn) группы F(X) будем называть словом (более точно - групповым словом) от переменных x1, x2,..., xn . Значением слова s(x1,...,xn) в группе G называем элемент вида s(g1,...,gn), получающийся при подстановке вместо переменных x1,..., xn элементов g1,..., gn группы G. Другими словами, значение s(g1,...,gn) - образ слова s(x1,..., xn) при гомоморфизме р группы F(X) в группу G, для которого р(xi) = gi для i = 1,...,n . Значения гомоморфизма р на других элементах базиса X определяется произвольным образом.

Через s[G] обозначим множество всех значений слова s є F(X) в группе G . Вербальной подгруппой s(G) группы G относительно слова s є F(X) называется подгруппа, порождённая множеством значений

s[G]. Если, например, s = [x1,x2] = x1 x2x-1 x-1 - коммутатор, то s(G) = G' -

коммутант группы G.

Произвольный элемент u є s(G) может быть записан в виде

u = u1,...,uі, (1)

где uiявляется либо значением слова s (ui є s[G]), либо обратным к такому значению (ui є s[G]-1) (i = 1,...,l) . Наименьшее число l сомножителей в представлении вида (1) элемента u называется вербальной шириной (verbal width) элемента u относительно слова s и обозначается vw(u) = l. Вербальной шириной вербальной подгруппы s(G) называется число

vw(s(G)) = max {vw(u)}. (2)

u є s(G)

Если данного максимального значения (2) не существует, то говорят, что подгруппа s(G) имеет бесконечную вербальную ширину относительно слова s : vw(s(G)) = да . Известно, что вербальная ширина любой собствен© Н.С. Бахта, 2012

О представимости коммутанта группы UJ(n,K) множеством значений функции..

45

ной нетривиальной вербальной подгруппы s(Fk) свободной группы Fk ранга k > 2 бесконечна [2]. В то же время любая вербальная подгруппа s(G) конечно порождённой нильпотентной или более общо - полицикли-ческой группы G конечна [3]. В работе [4] вычислена вербальная ширина коммутанта Nc свободной нильпотентной группы Nrc ранга r > 2 ступени нильпотентности c > 2 относительно коммутатора s = [x1, x2]. При c = 2 она равна [r /2], при c > 3 - r . Точные значения вербальной ширины некоторых вербальных подгрупп свободных ниль-потентных групп Nr2 вычислены в работе

[5]. Обзор результатов по вербальной ширине содержится в [6].

Для произвольной группы G через G[X] обозначим свободное произведение G * F(X). Элементы группы G[X] можно рассматривать как слова с константами из группы G . Для любого такого слова sG очевидным образом определяются множество sG [G] его значений в группе G и подгруппа sG (G), которую мы назовём обобщённо вербальной. Аналогично обычным определениям вводится понятие обобщенно вербальной ширины gvw( sG (G)) обобщённо вербальной подгруппы sG (G).

Основные результаты. Пусть K -произвольное ассоциативное кольцо с 1. Через UT(n,K) обозначим группу верхних унитреугольных матриц размерности n над K. Известно (см., напр.: [7]), что группа UT(n,K) нильпотентна ступени n — l. Её коммутант UT(n,K)' состоит из всех матриц с нулевой первой побочной диагональю.

Основным результатом данной работы является теорема.

Теорема. При любом n коммутант UT (n, K)' как обобщённая вербальная подгруппа, отвечающая коммутатору s = [ x1, g ], имеет обобщённую вербальную ширину 1. Другими словами, любой элемент коммутанта UT(n,K)' имеет вид [h, g], где g - фиксированный элемент группы.

Доказательство. Случаи n = 1, 2, когда UT(n,K)' = 1, тривиальны. В дальнейшем считаем, что n > 3. Пусть g - матрица, на первой побочной диагонали которой стоят единицы, а выше этой диагонали - нули.

Любая матрица h е UT(n,K) представляется в виде h = E + H, где H - верхняя нильтреугольная матрица, при этом

Hn 1 = O. Следовательно,

h- = E - H + H2 -...(±1)Нп-2. (3)

Матрица H записывается в виде

H =Х У , е К, (4)

1<г< у<п

где ву - обозначает матричную единицу, у

которой на пересечении 1 -й строки и у -го столбца стоит 1, а на остальных местах -

нули. Таблица умножения обычная:

еуеук = вгк, е,А = 0 при у Ф 1

Пусть / = Е + А (А = (ау)), g = Е + О -

указанные представления произвольного элемента / из коммутанта группы

иТ(п, К) и фиксированного элемента g . Ищем элемент х1 в аналогичном виде х1 = Е + Х1 (Х1 = (Ху)), исходя из равенства I = Е + А = [ х1, g ] =

= (Е + Х1)(Е + О)(Е - Х1 + Х12 -... ± Х1п-2) х

(Е - О + О2 -... ± Оп-2). (5)

Легко проверяется, что значение второй побочной диагонали (а13,а24,...,ап-2п) (первая, по предположению, нулевая) матрицы А полностью определяется значениями ( х12, х23,..., хп-1п ) первой побочной диагонали

матрицы Х1 , а именно:

а13 = х12 - х23,а24 = х23 - х34,

а35 = х34 - х45,а46 = х45 - Х56,..., . (6)

а ~ = х ~ , - х , .

п-2,п п-2,п -1 п-1,п

Полагаем,

х34 = а24, х45 = а24 - а35, (7)

х56 = а24 - а35 - а46,..., а14 = а13.

Продолжаем решать уравнение (5) относительно неизвестных х13,х24,...,х 2 , обес-

13 5 245 5 п-2,п *

печивая значения третьей побочной диагонали матрицы А. Соответствующие уравнения имеют вид

а14 = х13 - х24 + Ь14, а25 = х24 - х35 + Ь25,

..., (8)

а , = х , , - х , + Ь , ,

п-3,п п-3,п-1 п-2,п п-3,п ’

где Ь(1.+3 - некоторые константы. Отсюда аналогично предыдущему определяются значения переменных х13, х24,..., хп2 п.

Продолжая указанный процесс, мы получим все значения матрицы х1.

Теорема доказана.

Из доказанного результата следует, что коммутант иТ(п, К)' совпадает с множест-

46

Н. С. Бахта

вом значений [xl, g][UT(n, K)]. Другими словами, справедлива формула

al4 = X13 — X24 + Ь14, a25 = X24 — X35 + b25,

..., (9)

a ,= x о, — x - + b , .

n-3,n n-3,n-l n-2,n n-3,n

На языке алгебраической геометрии над группами это означает, что коммутант UT (n, K)' является алгебраическим множеством от одной переменной.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Bier A. The width of verbal subgroups in the group of unitriangular matrices over a field // Int. J. Alg. Comput. Vol. 22. 2012. № 3.

[2] Rhemtulla A.H. A problem of bounded express-ability in free products // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1964. Vol. 64. P. 573-584.

[3] Романьков В. А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп // Алгебра и логика. 1982. Т. 21. № 1. С. 60-72.

[4] Алламбергенов Х. С., Романьков В. А. Произведения коммутаторов в группах // Докл. АН УзССР. 1984. Т. 4. С. 14-15.

[5] Смирнова Е. Г. Ширина степени свободной нильпотентной группы ступени два // Сиб. ма-тем. журн. 2000. Т. 41. № 1. С. 206-213.

[6] Segal D. Words: notes on verbal width in groups // London Math. Soc. Lect. Notes. 2009. № 361. Cambridge : Cambridge Univ. Press, 2009.

[7] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М. : Наука, 1972.