Универсальные элементы групп унитреугольных матриц над полем Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 4. С. 18-20.

УДК 512.54

А.А. Конырханова

УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ГРУПП УНИТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ НАД ПОЛЕМ

Вводится понятие универсального элемента. Установлены некоторые необходимые и достаточные условия универсальности элемента g группы UTn (F) для любого поля F произвольной размерности n .

Ключевые слова: группа унитреугольных матриц, коммутант, коммутатор, универсальный элемент, поле.

Введение. Пусть GLn (K) обозначает группу всех обратимых матриц размерности n над коммутативным ассоциативным кольцом K с единицей. Через UTn (K) обозначим группу верхних унитреугольных матриц над K . Её коммутант UTn (K)' состоит из всех матриц с нулевой первой побочной диагональю (см., например, [1]).

В данной работе рассматриваются группы UTn (F) над произвольным

полем F произвольной размерности n .

В работе А. Биер [2] доказано, что в случае поля F характеристики нуль каждый элемент коммутанта UTn (F)' является коммутатором, т. е. в

группе UTn (F) для любого элемента f из UTn (F)' всегда разрешимо уравнение вида

[ ^ Х2] = f, (1)

где [x1,x2] = x-1 x-1 x1x2 - коммутатор от неизвестных x1 и x2.

Этот результат был существенно усилен в работе Н.С. Бахта [3], где доказано, что любой элемент f е UTn (K)' представим в виде [g, h ] , где g -фиксированный элемент группы UTn (K) . В качестве элемента g можно взять любой элемент, который имеет первую побочную диагональ, состоящую из единиц.

Назовем такие элементы универсальными.

В работе Н.С. Бахта [4] аналогичные результаты получены для членов нижнего центрального ряда группы UTn (K) . См. также [5]. В [6] содержится обзор результатов по разрешимости уравнений в группах, упоминающий обсуждаемые результаты.

В настоящей работе устанавливаются некоторые необходимые и достаточные условия универсальности элемента g группы UTn (F) для любого поля F произвольной размерности n .

Предварительные утверждения. Пусть произвольный элемент f

коммутанта UTn ( F )' имеет вид

f = [g, h], (2)

где g - фиксированный элемент группы. В дальнейшем представляем элементы f,h,g в виде f = E + F, h = E + H, g = E + G , где E - единичная матрица, а F = (f ), G = (g j ), H = (h j ) - верхние нильтреугольные матрицы.

© А.А. Конырханова, 2015

Универсальные элементы групп унитреугольных матриц над полем

19

Пусть d = E + D е UTn (K) , где D - верхняя нильтреугольная матрица, тогда Dn—1 = 0 и d1 = E — D + D2 —... + (—l)n 2Dn 2. Таблица умножения обычная: e■ ejk = eik, ey • elk = 0

при j Ф l, где eij - обозначает матричную

единицу, у которой на пересечении I -й строки и j -го столбца стоит 1, а на остальных местах нули.

Следующая лемма позволяет упростить вычисления.

Лемма 1. Если ф - автоморфизм группы UTn (F), то элемент g универсальный тогда и только тогда, когда элемент <f>(g) универсальный.

Доказательство. Пусть g - универсальный элемент группы UTn (F). Тогда произвольный элемент f коммутанта UTn (F )' имеет вид f = [g, h], где h е UTn (F).

Так как ф - автоморфизм группы

UTn (F), любой элемент f коммутанта UTn (F У можно представить в виде

f = ф '(/), где f е UTn(F)'. Тогда f = [g,h],

отсюда следует что любой элемент f коммутанта UTn (F)' можно представить в виде f = [ф(g), <p(h)] . Таким образом, ф(g) - универсальный элемент группы UTn (F).

Обратное утверждение доказывается аналогично.

Лемма доказана.

Пусть

Г1 g1 g13 ... g1,n—1 g1„

0 1 g23 ... g 2,n—1 g 2n

g1 = 0 0 1 ... g 3,n—1 g 3n

0 0 0 ... 1 S n—\,n

v 0 0 0 ... 0 1

Г1 1 q 13 . . q 1,n— q 1n2

0 1 1 . . q2,n—1 q 2n

g2 = 0 0 1 . . q3,n—1 q 3n

0 0 0 .. . 1 £

v 0 0 0 .. .0 1 ,

J £ = 1, если gn—1,n Ф 0,

l £ = 0, если gn—1,n = 0,

элементы g„+1Ф 0 при i = 1,2,.

(3)

g2 все элементы второй побочной диагонали равны 1 за возможным исключением £ .

Обозначим через diagt(а) (где i = 1,2,...,n ) диагональную матрицу, у которой на i -м месте главной диагонали стоит а е F* , а на остальных местах главной диагонали стоят единицы.

Лемма 2. Если любой элемент вида g2 из (3) универсальный, то и любой элемент gl из (3) универсальный.

Доказательство. Сопрягая матрицу gl подходящим произведением матриц

diagt(at), at е F* (i = 1,2,...,n — 1), получим матрицу вида g2 . Остается воспользоваться

леммой 1.

Лемма доказана.

Основные результаты

Теорема 1 (необходимые условия универсальности). Если элемент g е UTn (F) универсален, то gt—1 i Ф 0 при i = 3,4,..., n — 1.

Доказательство. В уравнении (2) значение второй побочной диагонали матрицы f определяется системой:

./1з = h12 g 23 h 23 g 12,

f24 = h 23 g34 —h 34 g23,

J f35 = h 34 g45 —h 45 g34, (4)

f ‘ n— 2,n hn—2,n— 1 gn—1,n h n—1,n g n— 2,n—1

Если какой-то gt—11 = 0 (i = 3,4,..., n — 1), то получаются два уравнения относительно

h,,, :

(5)

J fi— 2,i hi—1,i ' gi —2,i—1 ,

l fi —1,i+1 = hi —1,i ' gi,i+1.

Так как система (5) должна иметь решение при любых значениях fi—21 и fi—1 i+1, получаем противоречие. Таким образом, если g е UTn (F) универсальный элемент, то

g,—1,iФ 0 при i = 3,4,..., n —1.

Теорема доказана.

Теорема 2 (достаточные условия универсальности). Если для элемента

g е UTn (F) выполнены неравенства gi—11 Ф 0

при i = 2,3,...,n , или gi—1i Ф 0 при i = 3,4,...,n ,

или gi —1i Ф 0 при i = 2,3,...,n — 1, то g универсальный.

Доказательство

Случай 1. Докажем, что если для элемента g е UTn (F) выполнены неравенства

gi—1i Ф 0 при i = 2,3,...,n , то g универсальный, т. е. элементы вида g1 в (3) универсальные. По лемме 2 достаточно доказать, что g2 универсальный.

20

А.А. Конырханова

Значения второй побочной диагонали матрицы f определяются, как в системе (4). Так как элементы второй побочной диагонали матрицы g2 равны 1, полагая x12 = 0, получим все элементы первой побочной диагонали матрицы H , а именно:

Х23 = f13,

Х34 = f24 + f13 ,

X45 = f35 + f 24 + f13 , (6)

xn-1,n fn - 2,n + fn-3,n-1 + ■■■ + f35 + f24 + f13'

Продолжаем решать уравнение (2) относительно неизвестных xl3,x24,...,xn 2n :

f14 = x24 — x13 + b14 , f25 = x35 — x24 + b25 ,

f36 = x46 — x35 + Ь36 , (7)

где bii+3 - некоторые константы. Полагая x13 = 0 , определяем значения переменных x13,x24,■■■,xn—2n , т. е. все значения второй побочной диагонали матрицы H , и т. д. Значения предпоследней диагонали матрицы H определяются из уравнения:

f1n = x2n — x1,n—1 + b 1n ■ (8)

Полагая x, n—1 = 0, определяем значения x2n . Таким образом, мы получили все значения матрицы H .

Случай 2. Докажем, что если для элемента g е UTn (F) выполнены неравенства

g,—1,i Ф 0 при i = 3 ,4,_,n или gi—1,ф 0 при i = 2,3,_,n — 1, то g универсальный. Заметим, что суперпозиция преобразований отражения относительно диагонали

(1n; 2,n —1;■■■,n1) и взятия обратного элемента является автоморфизмом. Поэтому по лемме 1 достаточно рассматривать только из

двух случаев: либо g12 = 0, либо gn—1n = 0. Пусть g12 = 0, тогда по лемме 2 можно считать, что gi—11 = 1 при i = 3,4,_,n . В этом случае вычисления производятся, как в случае 1. Только в этом случае при вычислении g12 будет коэффициентом при неизвестных x2i , где i = 3,4,_,n . Предполагая, что x2i = bt (i = 3,4,_,n), где bt - некоторые константы,

определяем все значения матрицы H . Таким образом, в этом случае g - универсальный элемент группы UTn (F).

Теорема доказана.

Некоторые примеры. Если для элемента g е UTn (F), удовлетворяющего необходимым условием универсальности gi—11Ф 0 (i = 3,4,_, n — 1) из теоремы 1, выполнены равенства g12 = gn—1 n = 0 , то его универсальность определяется другими элементами матрицы g .

Пример 1. Если элемент g = E + G имеет кроме главной диагонали вхождения

e23 = e34 = ■■■ = en — 3,n — 2 = en — 2,n—1 = en — 2,n = 1 , а

e , = 0, то мы можем изменить базис

n — 1,n ’

e1, e2,■■■, en пространства, на котором группа UTn (F) действует следующим образом: et'= et при i = 1,2^„,n — 2 , e '.=e , + e -, e' = e + e , ■

В новом базисе ee2, ■ ■■, e ' все элементы первой побочной диагонали матрицы g', кроме возможно g'n, не равны нулю. Следовательно, элемент g' универсальный по теореме 2.

Пример 2. Легко проверить, что элемент g , для которого g 12=gn—1,„ = 0 , g 23= ■■■ = = gn—2 n—i = 1, а все остальные элементы gtj

при j — i > 2 равны нулю, не является универсальным.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М. : Наука, 1982. 288 с.

[2] Bier A. The width of verbal subgroups in the group of unitriangular matrices over a field // Int. J. Alg. Comput. 2012. Vol. 22. № 3. P. 21-41.

[3] Бахта Н. С. О представимости коммутанта группы UT(n,K) множеством значений функции одной переменной // Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 2. С. 44-46.

[4] Бахта Н. С. О представимости членов нижнего центрального ряда группы UT(n,K) множеством значений функции одной переменной // Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 4. С. 13-15.

[5] Меньшов А. В., Романьков В. А. О р-разреши-мости некоторых регулярных уравнений над р-группой Гейзенберга // Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 3. С. 11-14.

[6] Roman’kov V. Equations over groups // Groups Complexity Cryptology. 2012. Vol. 4. № 2. P. 191240.