Универсальные элементы групп унитреугольных матриц над кольцом целых чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 2. С. 11-13.

УДК 512.54 А.А. Конырханова

УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ГРУПП УНИТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ НАД КОЛЬЦОМ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Установлены некоторые необходимые и достаточные условия универсальности элемента g группы иТп (2), где 2 - кольцо целых чисел. Как следствие этого результата получено достаточное условие универсальности элемента группы иТп (Г) для любого поля Г и произвольной размерности п.

Ключевые слова: группа унитреугольных матриц, коммутант, коммутатор, универсальный элемент, кольцо целых чисел.

Пусть ОЬп (К) обозначает группу всех обратимых матриц размерности п над коммутативным ассоциативным кольцом К с единицей. Через иТп (К) обозначим группу верхних унитреугольных матриц над К . Её коммутант иТп (К)' состоит из всех матриц с нулевой первой побочной диагональю (см., например, [1]).

В работе А. Биер [2] доказано, что в случае поля Г характеристики нуль каждый элемент коммутанта иТп (Г)' является коммутатором, т. е. в

группе иТп (Г) для любого элемента / из иТп (Г)' всегда разрешимо уравнение вида

[х15 х2] = (1)

где [х, X ] = х^1 1XX - коммутатор от неизвестных х1 и х2.

Этот результат был существенно усилен в работе Н.С. Бахта [3], где доказано, что любой элемент/ е иТп(К)' представим в виде [§; И], где g - фиксированный элемент группы ЦТп (К) . В качестве элемента g можно взять любой элемент, который имеет первую побочную диагональ, состоящую из единиц.

В работе Н.С. Бахта [4] аналогичные результаты получены для членов нижнего центрального ряда группы иТп (К) . В [5] содержится обзор результатов по разрешимости уравнений в группах, упоминающий обсуждаемые результаты.

В предыдущей работе автора [6] было введено понятие универсального элемента g группы иТп (К) . По определению g такой элемент, для которого любой элемент коммутанта / еЦТп (К)' допускает представление в виде коммутатора [§; И]. Были получены некоторые необходимые и достаточные условия универсальности элементов группы иТп (Г) для произвольного поля Г. В настоящей работе аналогичные результаты получены для групп иТп (2), где 2 - кольцо целых чисел. © Конырханова А.А., 2016

12

А.А. Конырханова

Теорема 1. 1) Если элемент £ = (£ ) е иТп

(2) универсален, то |= 1 при i = 3, 4, ..., п-1.

2) Если элементы ^ и £п_1п взаимно просты и £г_1г | = 1 при i = 3, 4, ..., п-1, то элемент £ = (£) е иТп (2) универсален. Доказательство. Утверждение 1). Пусть произвольный элемент / = (/)

коммутанта иТп ( 2)' имеет вид

/ = [£, И, (2)

где £ = () - фиксированный элемент, И = (И ) - подходящий элемент группы иТп (2).

Легко проверить, что значения второй побочной диагонали (первая нулевая) матрицы / из (2) определяются значениями первых побочных диагоналей матриц £ и И ,

а именно:

/13 = И23 £12 - И 12 £23, /24 = И34 £23 - И23 £34, ./З5 = И45 £34 - И34 £45,

(3)

/п-2,п К-1,п £п-2,п-1 И1

п-2,п-1 оп-1,п *

Если элемент £ универсальный, то (3) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно неизвестных И2,И23,...,Ии-1 „, которая имеет решение при любых значениях параметров /3,/4,...,/_2 я.

Полагая = 1 для / е { 4,...,п }, мы ви-

дим, что соответствующие уравнения

1 = И,-2,,-1 - И.-и £г-2,г-1 ( е { 3, 4, ..., » } )

имеют решения (Н1_21 й-н) тогда и только тогда, когда элементы и вза-

имно просты (г е { 3,4,...,п } ). Отсюда следует, что пары стоящих рядом элементов первой побочной диагонали взаимно просты.

Вначале установим, что все элементы при i = 3, ..., п-1 ненулевые. Предположим, что = 0. Два последовательных уравнения системы (3), включающие этот элемент, получают вид /£-2,£ = и

/¡-1,;+1 = - соответственно. Так как

левые части этих уравнений могут принимать произвольные значения, элементы

£1-2,1 -1 и £м+1 ненулевые.

Докажем теперь, что любой из элементов при / = 3,...,п -1 по абсолютной величине равен единице.

Рассмотрим два последовательных уравнения системы (3) с номерами к-2 и к-1, где к е {3, ..., п-1}. Так как элементы матрицы / могут принимать любые значения, мы можем предположить, что /к2 к = т (для некоторого

т е 2) и /к-1М1 = 0 , где к е {3,4,..., п - 2}. В этом случае получим уравнения:

\fk-2k = Ик-2,к-1 £к-1,к - Ик-1,к £к-2,к-1 = т

[ /к-1,к+1 = Ик-1,к £к,к+1 - Ик,к+1 £к-1,к = 0.

Из второго уравнения системы (4) вытекает, что

Ик-1,к ' £к,к+1 = Ик,к+1 ' £к-1

1,к '

(5)

Так как

то И должен делиться на

и £ взаимно просты, т. е.

-1, к >

Ии-\к = ё • £к_1 к, где ё - целое число. Подставляя это значения в (5), получим: Икк+1 = ё • £кк+1. В первое уравнения системы

(4) подставим значения И . Тогда получим уравнение:

И

-1 £к-1,к ё • £к-1,к • £к-2,к-1 = т •

Отсюда следует, что произвольный пара-

метр т должен делиться на

. А это воз-

можно только в том случае, когда | = 1.

Получаем, что £_1г | = 1 при г = 3,4,...,п -1. Заметим, что элементы , £„_1л встречаются

только соответственно в первом и последнем уравнении системы (3), поэтому для них мы не можем использовать приведенное рассуждение.

Утверждение 2). Теперь докажем, что если для элемента £ = ) е иТп (2) выполнены условия: £ и £ взаимно просты и

£_1г | = 1 при г = 3,4,...,п -1, то £ универсальный.

В [6] доказано, что для автоморфно сопряженных элементов группы свойство универсальности является инвариантом. Сопрягая элемент g подходящей диагональной матрицей с элементами 1 и -1 на главной диагонали, можно добиться выполнения равенств д1,1+1 =1 при г = 3,4,...,п -1. Свойство элементов £ и £ быть взаимно простыми

также сохраняется. Дальнейшие вычисления проводятся при указанных значениях.

Начинаем решать систему (3). Полагая К2 = 0 , получим все элементы первой побочной диагонали матрицы И , а именно: И = Г

К 23 /13, И34 = /24 + /13,

И45 = /35 + /24 + /13, (6)

Универсальные элементы групп унитреугольных матриц над кольцом целых чисел

13

hn—1,n fn-2,n + gn—1,n ' (fn—3,n—1 + ••• + f35 + f24 + ^13) •

Продолжаем решать уравнение (2) относительно неизвестных \ъ,h24hn_2n :

fu g12h24 h13 + b 14, f25 = h35 — h24 + b25 , f36 = h46 - h35 + b36'

f = h — g • h + b

J n—3,n n—2,n ö n—1,n n—3,n—1 n—3,n '

(7)

где Ь;1.+3 - некоторые константы. Полагая Н24 = 0 , определяем значения переменных Н3,Н24,...,НЛ_2п, т. е. все значения второй побочной диагонали матрицы Н. Таким образом:

^13 = Ь14 — /14 , ^35 = ./25 — Ь25 ,

h = f — Ь + f - b

h46 f36 b36 +f 25 b25 ,

h = f — b + f

n—3,n+1 Jn—4, n—1 bn—4,n—1 + fn

(8)

- b +

n—5,n—2 n—5,n—2

+ ... + /25 - Ь25 >

н = / — Ь + g • (/ — ь +

п—2, п п—3,п п—3, п оп-1,^ п—4,п—1 п—4,п—1

+ / _ . — Ь , , +... + — Ь-<)

^ п—5,п— 2 п—5,п—2 ^25 25'

и т. д. Продолжая указанный процесс, мы получим последнию побочную диагональ матрицы / , состоящую из одного элемента:

/1п = .?12 ' Н2п — Н1,п—1 ' .?п—1,п + Ь 1п . (9)

Отсюда получим уравнение:

gl2 • Н2п — Нп—1 • gn-1,n = Ь 1,п+1. (10)

Так как ^ и ^^ и взаимно просты,

уравнение (10) разрешимо в 2. Таким образом, мы получили все значения матрицы Н . Теорема доказана.

Теорема 2. Если g - универсальный элемент группы иТп (2), тогда ) - универсальный элемент группы иТп (Р ) (р - простое число) относительно стандартного гомоморфизма р: иТп (2) ^ иТп (Г р).

Доказательство. Пусть g - универсальный элемент группы иТп (2). Тогда произвольный элемент / = (/.) коммутанта

UTn ( 2)' имеет вид f = [g,h], где g = (gy) -фиксированный элемент, h = (h ) - подходящий элемент группы UTn (2). Нетрудно проверить, что (p(UT„ (2)') = UTn (F )'. Тогда для любого элемента f е UTn (F)' найдется хотя бы один прообраз в UTn ( 2)' и f =p(f) = = P([g,h] ) = ([P(g),P(h)]) , где f = (fj) элемент коммутанта UTn ( 2)' . Тогда p(g) - универсальный элемент группы UT (F ) .

Следствие. Если для элемента g = (gy ) eUTn (F) выполнены условия, что

g и g одновременно не равны нулю и g^t 0 при i = 3,...,n — 1, то g универсальный.

Автор благодарит своих научнъх руководителей Н. Г. Хисамиева и В. А. Романь-кова за постановку задачи, внимание и помощь в работе.

ЛИТЕРАТУРА

[1 ] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. 288 c.

[2] Bier A. The width of verbal subgroups in the group of unitriangular matrices over a field // Int. J. Alg. Comput. 2012. Vol. 22. № 3. P. 21-41.

[3] Бахта Н. С. О представимости коммутанта группы UT(n,K) множеством значений функции одной переменной // Вестник Омского университета. 2012. № 2. С. 44-46.

[4] Бахта Н. С. О представимости членов нижнего центрального ряда группы UT(n,K) множеством значений функции одной переменной // Вестнмк Омского университета. 2013. № 4. С. 13-15.

[5] Roman'kov V. Equations over groups // Groups Complexity Cryptology. 2012. Vol. 4. № 2. P. 191240.

[6] Конырханова А. А. Универсальные элементы групп унитреугольных матриц над полем // Вестнмк Омского университета. 2015. № 4(78). С. 18-20.