Критерий универсальности матрицы в подгруппе группы UTn(r) над коммутативным ассоциативным кольцом r с единицей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54

DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(2).53-60

КРИТЕРИЙ УНИВЕРСАЛЬНОСТИ МАТРИЦЫ В ПОДГРУППЕ ГРУППЫ иТп(К) НАД КОММУТАТИВНЫМ АССОЦИАТИВНЫМ КОЛЬЦОМ R С ЕДИНИЦЕЙ (посвящается 70-летию профессора Виталия Анатольевича Романькова)

Н. Г. Хисамиев1, Д. А. Тусупов1, С. Д. Тыныбекова2, А. А. Конырханова3

1Евразийский национальный университет имени Л. Н. Гумилева, г. Астана, Республика Казахстан 2Финансовая академия, г. Астана, Республика Казахстан

3Восточно-Казахстанский технический университет им. Д. Серикбаева, г. Усть-Каменогорск, Республика Казахстан

Информация о статье

Дата поступления 23.03.2018

Дата принятия в печать 29.03.2018

Дата онлайн-размещения 25.06.2018

Ключевые слова

Группа унитреугольных матриц, коммутатор, коммутант, универсальный элемент, кольцо, евклидово кольцо, эквивалентные многочлены

Финансирование

Работа двух первых авторов выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Республики Казахстан в рамках научного проекта ИРН АР05132349

Аннотация. Найдены необходимые и достаточные условия универсальности матрицы в подгруппе группы унитреугольных матриц произвольной конечной размерности не менее четырех над коммутативным и ассоциативным кольцом с единицей. Построена собственная конечно порожденная подгруппа группы унитреугольных матриц размерности не меннее пяти над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей, имеющая универсальную матрицу.

A CRITERION OF THE UNIVERSALITY OF A MATRIX IN A SUBGROUP OF THE GROUP UTn(R) OVER A COMMUTATIVE ASSOCIATIVE RING R WITH IDENTITY.

(paper dedicated to Professor Vitaly Anatol'evich Roman'kov on the occasion of his 70th birthday)

N. G. Khisamiev1, J. A. Tussupov1, S. D. Tynybekova2, A. A. Konyrkhanova3

1Eurasian National University n. a. L. N. Gumilyov, Astana, the Republic of Kazakhstan 2Finansial Academy, Astana, the Republic of Kazakhstan

3East-Kazakhstan Technical University n. a. D. Serikbaev, Ust-Kamenogorsk, the Republic of Kazakhstan

Article info

Received 23.03.2018

Accepted 29.03.2018

Available online 25.06.2018

Abstract. Necessary and sufficient conditions are found that imply the universality of a matrix in a subgroup of the group of unitriangular matrices of an arbitrary finite dimension not less than four over a commutative and associative ring with identity. A proper finitely generated subgroup of the unitriangular matrix group of dimension not less than five over a commutative associative ring with identity is given that has a universal element.

Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 2. С. 53-60

-ISSN 1812-3996

Keywords

Group of unitriangular matrices, commutator, commutant, universal element, ring, Euclidean ring, equivalent polynomials

Acknowledgements

The reported study of the first two authors was funded the Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan according to the research project ИРН АР05132349

Через иТп(Я) обозначим группу всех верхних унитреугольных матриц над коммутативным ассоциативным кольцом Я с единицей. Ее коммутант иТ'п(Я) состоит из всех матриц с нулевой первой побочной диагональю (см., например: [1]).

В работе А. Биер [2] доказано, что в случае поля Р характеристики нуль каждый элемент коммутанта иТ'п (р) является коммутатором, т. е. в группе

иТп (Р) для любого элемента / из иТ'п (р) всегда разрешимо уравнение вида

К, х2] = /,

где [х,х2] = х11х21х1х2 - коммутатор от неизвестных X и х.

Этот результат существенно усилен в работе Н.С. Бахты [3], где доказано, что любой элемент /еЦТ'п(Я) представим в виде [д,х], где д - фиксированный элемент группы иТп(Я). В качестве элемента д можно взять любой элемент, который имеет первую побочную диагональ, состоящую из единиц. Кроме этого в статье [4] получены аналогичные результаты для членов нижнего центрального ряда группы иТп(Я) (см. также: [5]). В работе [6] содержится обзор результатов по разрешимости уравнений в группах, упоминающий обсуждаемые результаты. В статьях [7; 8] получены условия универсальности матрицы в группе и над полем, и над кольцом целых чисел. В работе [9] анонсирован критерий универсальности матрицы в группе унитреугольных матриц над коммутативным и ассоциативным кольцом с единицей.

Приведем следующие необходимые определения и обозначения. Следующее определение введено В.А. Романьковым. Элемент д группы С называется универсальным, если уравнение

[д, х] = /

разрешимо для любого элемента / из коммутанта С группы С .

В дальнейшем Я обозначает коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, а иТп(Я) - группу унитреугольных матриц размерности п.

Определение 1. Элемент сеЯ назовем эквивалентным нулю (с ~ 0) относительно элемента д е иТп(Я), д = (д^), если с принадлежит идеалу, порожденному д1Л и дп_1,п.

Определение2. Элементы с^еЯ назовем эквивалентными (с ~ й) относительно д12 и дп х л, если (с — й) ~ 0.

Если идеал, порожденный элементами д, д2 кольца Я , совпадает с Я , т. е. существуют элементы и и V кольца Я такие, что д1 и + д2 V = 1, то будем говорить, что д1 и д2 взаимно просты.

Теорема 1. Пусть для подгруппы Н группы иТп(Я) унитреугольных матриц размерности п>3 над коммутативным и ассоциативным кольцом с единицей справедливы следующие условия:

1. Коммутант Н' содержит матрицы а(1 и с

такие, что справедливы равенства

,(') -1 „(О -I

a = 1 а= 0

" i—1,1+1 " i ,i+2

1 < i < n - 1, и

с = е + e1n.

(1)

(2)

2. Для любых матриц д,ЬеН найдется матрица (д,Ь) из Н такая, что

(д,л)'_1,'+1=д_и ь'+1''+2 _ Кия^ (3)

1 < / < п _1, содержится в Н .

Тогда матрица иеН универсальна в Н тогда и только тогда, когда справедливы условия:

а) элементы Ц,+1,1 </ <п —1, первой побочной диагонали матрицы и обратимы в Я,

в) элементы и12, ип1п взаимно просты, т. е. найдутся элементы г0, геЯ такие, что

и12 Г0 + ип-1,пГ1 = 1 (4)

Доказательству необходимости условия а) предпошлем следующие леммы.

Лемма 1. Если матрица иеН универсальна в Н , то справедливо

и/ ,,+1 * 0, (5)

1 < / < п-1.

Доказательство. Допустим противное, т. е.

и, ,/+1 = 0 (6)

при некотором 1 </<п — 1. Так как матрица и универсальна в H, то уравнение

[и, х ] = д (7)

разрешимо для любой матрицы деН' . Отсюда следует, что элементы первой побочной диагонали матрицы x удовлетворяют следующей системе уравнений:

и,—Vх, ,,+1—х,—ии, ,,+1 = д,—1,,+1,

(8)

[и /,/+1 Х /+1,/+2 Х /,/+1 Ч+1,/+2 = д/,/+2 , где 1 </ <п — 1. Отсюда и (6) имеем:

и/—1,/х/ ,/+1= д,—1,/+1, ^

—Х/ ,/+1 и/+1,/+2 = д/ ,/+2.

Так как матрица и универсальна в Н , то система (9) имеет решение при любых значениях деН' .

Пусть д = о. Тогда из первого уравнения системы (9) и равенства (1) имеем х((+1 = и—11Г Отсюда второе уравнение системы (9) запишется так:

—и _1 и = о"1 " 1,/ "/+1,/+2 0/,/+2 .

Отсюда и равенства (1) имеем им/+2 = 0 . Если

положить д = о(+11, то из равенства (1) и второго

уравнения системы (9) имеем и/+1/+2* 0. Получили

противоречие. Следовательно, неравенство (5) справедливо. Лемма доказана.

Лемма 2. Если матрица и еН универсальна, то справедливо равенство

и /—1,/ = и /,/+11 /—1,/+1 (10) для некоторой матрицы 1 еН, 1 </< п — 1.

Доказательство. В уравнении (7) положим д = о(+11. Отсюда и равенства (1) следует, что система (8) запишется так:

Iu , v a;,+ a ^ u,,,+1=0, lu,,,+1 a ^ - a';; 1' u,+1,1+2 = 1,

(11)

где 1 < i < n — 1.

По лемме 1 имеем и(._1(. ф 0. Умножим второе

равенство системы (11) на и^ г Тогда получим

u и ,v+1 о сц - и, a;-' и,+2=и,

Отсюда и из первого равенства системы (11) следует

и и а"+1 -а"+1 и и = и и¡-1,1 и 1,1+1 a Í+1А2 а и ¡,¡+1u¡+1,¡+2 u¡-1,1'

т. е.

и ¡,¡+1(4-1,¡ а (Í^2 ~а ' и ¡+1,¡+2) = u¡-1,¡ . Отсюда и условия 2 теоремы получим равенство (10), где h = (и,а). Лемма доказана.

Докажем справедливость условия 1 теоремы. Пусть и универсальна в H . В первом уравнении системы (8) положим g = а'. Тогда из равенства (1) имеем

и ¡-1,¡x ¡,¡+1— x ¡-1,¡ u¡ ,¡+1 =1, где 1 < i < n — 1.

Отсюда и равенства (10) следует, что уравнение

и ¡,¡+1h¡—1,¡+1x ¡,¡+1— x ¡—1,¡и ¡ ,¡+1 =1 имеет решение x (0'i,x(0) , т. е. справедливо равенство

u ¡,¡+1(h¡-1,¡+1 x (0>— x (0> ) = 1, т. е. uíí+1 - обратимый элемент кольца R,

1 <¡< n — 1. Необходимость условия а) теоремы доказана.

Лемма 3. Пусть матрица и универсальна в подгруппе H<UTn(R), n>3 и матрица xявляется решением уравнения (7), где

g = в + вщ. (12)

Тогда для элементов (j —/)-й побочной диагонали матрицы x справедливо

(13)

для некоторого многочлена ф.. (x) первой степени, 1 <¡< j<n, </',j> ф < 1,n>.

Доказательство проведем индукцией по числу 1 < j — ¡<n — 2. Пусть матрица u универсальна в подгруппе H . По доказанному условию а) теоремы имеем и - обратимый элемент кольца R, где

1 <¡< n — 1. Из системы уравнений (8) и равенства (12) следует, что для элементов первой побочной диагонали матрицы справедливы равенства:

Х ij ~ %,j 'X2,j-i+2' Х2,j-i+1 '■■■' X23 '

и 12 X 23 X 12 и 23 - 0 ,

и 23 X 34 — X 23 u 34 — 0 '

и x — x и — 0

" k,k+1 л k+1,k+2 k,k+1 " k+1,k+2 '

и х — х и = 0

ы п—3,п—2Л п—2,п—1 л п—3,п—2й п—2,п—1 и п—2,п—1Х п—1,п _ Х п—2,п—1 и п—1,п =

Отсюда и по доказанному пункту а) теоремы

имеем:

X — и и X

k+1,k+2 " k,k+1" k+1,k+2 k,k+1'

(14)

Отсюда следует, что лемма справедлива для элементов первой побочной диагонали матрицы х.

Пусть лемма справедлива для (к — 2)-й побочной диагонали матрицы х, 1 < к < п — 1. Из уравнений (7) и (12) следует, что для элементов (к — 1) -й побочной диагонали матрицы х справедлива следующая система уравнений:

и12 Х2,к+1 _ х 12 и 2,к+1 + и13 Х3,к+1 _ Х13 и 3,к+1 +

+ ... + UlX,,

I X1 Л. и I>

— 0,

и23 X3,k+2 X23 и 3,k+2 + и 24 X4,k+2 X24 и 4,k+2 +

2— 0,

Xs,s+2Us+2,k+s + ... + и s,k+s—1 X k+s—1,k+s "

— 0,

(15)

+ ... + и„—k— 1,n—2 Xn—2,n—1 Xn—k—1,n—2un—2,n—1 — 0 '

+... + 4,—k ,n—1 Xn— 1,n — Xn—k,n— A— 1,n —

Отсюда, системы уравнений (15), и индукционного предположения следует:

Х1к и 2,к+1 ^1к (х2к,Х2,к—1,-", Х23)'

X3,k+2 и 23 Uk+1,k+2 X2k

и,,и

,k+1 + ^3,k+2 (X2k , X2,k—1,..., X23 ) '

(16)

s+1,k+s s,s+1 k+s—1,k+s s,k+s—1 + Vs+1,k+s (X2k, X2,k— 1,..., X23 ) '

+ ^п—к,п—1 (Х2к, Х2,к— 1,'", Х23 ) '

Хп—к+1,п и_—к,п—к+1 ^п—к+1,п (Х2к ,Х2,к—1,-", Х23^

для некоторых многочленов У,-ц./_1,(х),

1 <' < п_к +1, где 3 < к < п — 2.

Для элементов (п 2)-й побочной диагонали матрицы [и,х] справедливы

и12 Х2,п—1 _ Х12 и2,п—1 + и13Х3,п—1 _ Х13из,п—1 + + ... + и1,п—2 Хп—2,п—1 _ Х1,п—2 ип—2,п—1 = 0/ и23 Х3,п _ Х23 из,п + и24Х4,п _ Х24и4,п + ... + и2,п—2Хп—2,п _ _ Х2,п—2 ип—2,п + и2,п—1 Хп—1,п _ Х2,п— 1 ип—1,п = 0

Отсюда, из системы уравнений (14) и индукционного предположения имеем:

X1,n—2 ип—2,п—1 U13X3,n— 1 +

+^1,п—2 (X2,п—3,X 2,п—4,..., X 23 ), 1

3,п 23 п 2,п 2,п 2 + ^3,п (X2,n—3,X 2,п—4,..., X 23 ) —

(17)

для некоторых многочленов У1п_2(х), У3 „(х). Отсюда и из систем уравнений (14)-(16) следует лемма.

Для углового элемента [и, х ] матрицы [и, х ] справедливо следующее равенство:

[U, Х= и12Х2,п _ Х12и2,п + и13Х3,п _Х13и3п + + ... + и 1,п—2Хп—2,п _Х1,п—2ип—2,п + (18)

Средней частью углового элемента [и,х] назовем выражение

Мп (Х ) = и13Х3,п _ Х13из,п + и14Х4,п _ Х14и4,п + + ... + и 1,п—2 Хп—2,п Х1,п—2 ип—2,п.

Из уравнений (7), (12) следует, что

(19)

X ~ и и X +

Лп—k.n—1 "n—k—1.n—k "n—2.n—1Лп—k— 1,п—2 +

X12 — и 23 и 12 X23

X34 — и 23 и34 X23

1

X45 и 34 и45 X34

X = J J X

n—2,n—1 n—3,n—2 п—2,n—1 n—3,n—2

X = J J X

Л n—1,n n—2,n— 1 ы n—1.n лп—2,n— 1

us,s+1 X s+1,k+s Xs,s+1 Us+1..k+s + us,s+2 Xs+2,k+s

IJ X — X /7 4-

u n—k—1.n—k Л n—k,n—1 лп—k—1.n—k "n—k.n— 1 +

+ Un—k—1.n—k+1Xn—k+1.n— 1 Xn—k—1.n—k+1Un—k+1.n—1 +

и n—k.n—k+1 Xn—k+1.n Xn—k.n—k+1 k+1.n +

+ Un—k .n—k+2 Xn—k+2.n Xn—k .n—k+2Un—k+2.n +

[и, X] 1п= и12х2 п - х12и2 п + Мп (х) +

+ и 1,n-1X п-1,n-X1,n-1Un- 1,n ■

(20)

Лемма 4. Если матрица и универсальна в группе H, то справедлива эквивалентность

Mn (х )~0. (21)

Доказательство. Пусть в уравнении (7) справедливо д = с. Отсюда и уравнения (3) следует

д и=0 дщ =1 где /Фу, (/',у) ф( 1,п) .

Из выражения (19) и леммы 3 следует, что многочлен М (х) выражается через переменные х2п2,

Хгп-з,—, ^з ■ Докажем сначала отсутствие переменной х2п_2 в Мп(х). По лемме 3 только переменные х и х эквивалентны многочленам, содержащим переменную х2п_2- Из второй эквивалентности системы (16) при k = n-3 имеем:

х 3,п-1~ и 235 ип-2,п-1х2,п-2 + ^3,п-1( х 2,n-3, х2,п-2,—, х23)'

Отсюда и первой эквивалентности системы (17) следует

х1,п-2 ~ ип-2,п-1 и13 и 23 ип-2,n-1 х2,п-2 + + Ф3,п-1 (х2,п-3,х 2,n-4,...,х 23)

для некоторого многочлена ф1п_2 (х), не содержащего переменную х2п_2. Следовательно,

х1,п-2 ~ и13 и -3 х2,п-2 +ф1,п-2 (х2,п-3,^2,п-4,—,х23) ■

Отсюда и из второй эквивалентности системы (17) имеем

и13 х3,п - х1,п-2 ип-2,п ~ и13 и231 ип-2,n х2,п-2 -

-и13 и231 ип-2,пх2,п-2 +Ф ( х 2,n-3, X2,n-4,■■■, х23 Ь

т. е.

и 13 х3,п -х1,п-2 ип-2,п ~ Ф(х 2,n-3, х2,п-4,.",х23).

Отсюда и из уравнения (19), в силу леммы 3, имеем

Mn (х )~ Фп ( х 2,n X2,n-4,■■■, X23),

т. е. в МП (х) переменная х2п_2 отсутствует.

Докажем, что в Мп (х) отсутствует также х2п_3-

Допустим противное. Тогда из уравнений (19), (22) следует

Мп (х) ~ а(и13 ,и3п,и Ч4п -v ии 1,пип-2,n ) х 2,п-3+ + Ф х2,п-4, х2,п-5,..., х23)

для некоторых многочленов а(и) Ф 0 и ф(х).

Пусть ст - такая подстановка множества {3,4,..., п — 2}, что

ст(л — 3) = п — 2. (22)

Тогда положим

стЧ (х 1 ^

и 1,ст(3) Хст(3),п — Х 1,ст(3) ист(3),п + ... + +и 1,ст(п—2) Хст(п—2),п — Х 1,ст(п—2)и ст(п—2Щ

Отсюда и уравнения (19) имеем

стМп (х) = Мп (х). (25)

Отсюда и уравнений (23), (24) имеем Мп (х) = стМп (х)~

Ф^т^стШ, ...,U1,ст(n-21,Uст(n-21,n )х2,п—2 + (26) + Ф(х2,ст(п—4), х2,ст(п—5),..., х2,ст(3) ).

Если о(и) * 0, то получим противоречие с уравнением (22). Если же о(и) = 0, то переменная х2п_3 отсутствует в Мп(х).

Аналогично можно доказать отсутствие переменных х2п_4,...,х23 в Мп(х). Следовательно, эквивалентность (21), а потому и лемма доказаны.

Доказательство необходимости условия 2в). Пусть матрица и еН универсальна в подгруппе Н. Тогда уравнение (7) имеет решение

х0 е Я при

д = с, (27)

где матрица с определена в уравнении (3). Отсюда и из системы уравнений (14) имеем:

) х12 = и12 и 23 х 23,

х° = и LI'1 х° |^лп-1,n "п-1,n "n-2,n-1Л п-2,п-1'

(28)

Из леммы 4 и определения 1 следует

Мп(х0) = ииа (х0) + ип_1пР(х0) (29)

для некоторых многочленов а(х0),Р(х0). Отсюда и из уравнений (20), (27), (3), системы уравнений (28)

следует

[и,х0] 1,п= и12(х°,п -и231и2,пх23) +а(х0)) +

+ ип—1,п (Р(х°) + и1,п—1и—_12,п—Х^п—1— <п—1) = 1, т. е. справедливо равенство (4). Необходимость условия 2в) доказана.

Достаточность. Пусть для матрицы и еН справедливы условия 1 и 2 теоремы 1. Докажем, что для любой матрицы деН уравнение (7) разрешимо в Н. Первая побочная диагональ матрицы х является решением системы уравнений (8). Придадим

переменной х23 некоторое значение х23. Отсюда и из сыстемы уравнений (8) следует, что

Х12 = и23 (и12 Х23 _ д13), Х34 = и231(и34 Х23 + g241,

Xs,s+1 — Us-1,s (us,s+1 X s—1,s+ 3s—1,s+1),

Хп— 1,п = ип-2,п—1(ип—1,п Хп—2,п—1 + дп—2,пЬ

Таким образом, первая побочная диагональ матрицы х определена.

Допустим, (к - 2)-я побочная диагональ матрицы х определена. Элементы (к - 1)-й побочной диагонали матрицы х удовлетворяют системе уравнений (15), где в правой части /-го уравнения вместо нуля находится д . Подставим в эту систему

наиденные значение

переменных X ,

1 <s<n — k, 1 < j — s<k — 1. Тогда получим систему

уравнении

и12 X2,k+1 X1,k Uk,k+1 — 31Л ,

Un-k,n-k+1Xn—k+1,n Xn—k ,n—1 Un—1,n 3 „_

для некоторых д еЯ. Придадим переменной

^+1 некоторое значение х2Л+1 еЯ . Отсюда анало-

0

гично нахождению значения переменных х[[+1 0

находим значения х переменных х .

Таким образом, определены значение к-ой побочной диагонали матрицы х, где 1 < к < п—1.

Для (п - 1)-й побочной диагонали матрицы х справедливы выражения (19), (20). Так как определены все значения переменных в Мп (х), то определено и значение М° еЯ.

Отсюда и из уравнений (7), (20) имеем

и х]1,п= д1. = и12Х2,п_Х12и2,п +

+ Mn + и1,п-1 Xh,n —X1,n- 1ип- 1,n.

т. е.

и 12 Х2,п _ Х1,п_1 ип_ 1,п = дщ + Х102 и 2,п М _ и 1,п_1 Х ^п . Отсюда и из уравнения (4) следует разрешимость этого уравнения. Достаточность, а потому и теорема доказана.

Следствие. Матрица h группы UTn(R), n>3 универсальна тогда и только тогда, когда справедливы условия:

а) элементы Ц.,.+1,1 <i<n — 1, первоИ побочной диагонали матрицы и обратимы в R,

в) элементы и12, ип_1п взаимно просты, т. е. найдутся элементы r0, r1 eR такие, что

и12 Г0 + и„- 1,пГ1 — 1

Действительно, для группы UTn(R), n > 4, справедливы все условия теоремы 1. Отсюда и теоремы 1 получаем требуемое.

Теорема 2. Существует конечно порожденная подгруппа H группы UTn(R), n >4, унитреугольных матриц над коммутативным и ассоциативным кольцом R с единицей, имеющая универсальный элемент и , для любой матрицы heH верно равенство hn-1,n — 0. (30)

Доказательство. Доказательство проведем для случая n — 5. Общий случай рассматривается аналогично. Пусть подгруппа H порождается матрицами b[k], d, где

С+1 — 1, bi(k] — 0, < i, j >ф< k,k+1 >, (31) d35 — 1, — 0, < i, j >Ф< 3,5 >, (32) где 0 < k < 4.

Легко проверить, что из уравнений (31)-(32) следуют следующие равенства:

[b(1),b(2> ] 13— 1, [b(1),b(2> ] (,j — 0, (33) где < i, j >Ф< 1,3 >, j Ф i;

[b(31,c ] 24 — 1, [b(31,c ],,j — 0, (34)

где c — (b(21) 1, < i, j >Ф< 2,4 >;

[o(2),d]и — 1, [o(2),d ] .j — 0, (35)

где

a (2)—[b(1), b(2) ]. Из равенств (33)-(35) следует, что для матриц a (2), a (3) и c справедливы условия 1 теоремы 1 при n — 5.

Докажем справедливость условия 2 теоремы 1 для подгруппы H . Из равенства (3) имеем, что для любых матриц 3,h из H верны следующие равен-

ства:

(g,h) i—1,;+1— " (h,3) i—

(36)

0

и

U23X3.k+2 X2.k+1 Uk+1.k+2 — 3

2 .k+1

1j+1'

(37)

(gg) /-i,i+i=0

где i = 2,3. Из равенств (3), (31), (32) имеем:

(b<21, b<31 ) 13 = b{X> - Ь(3'Ь(2' = 0 -1-0 • 0 = 0, (38) (b(2),b<31)м = b(2'b(3' -bfX = 1-0-0• 0 = 0, (39)

(b"'1,dL,k+1 = bidk+1Jt+2 -dk-1,kbi^k+2= 0, (40) где i = 2,3.

Для любых матриц x,y и z из H справедливо

(ХУ, z) i- 1,i+1 =(ХУ ) i- 1,i Zi+1,i+2 -zi- 1,i (ХУ )i+i,i+2 = = (xi- 1,i + yi-1,i ) Zi+1,i+2 - zi- 1,i (Xi+1,i+2 - Уi+1,i+2 ) = = (Xi- 1,iZi+1,i+2 -Zi- 1,iXi+1,i+2 ) + + (У'- 1,i Zi+1,i+2 -Zi- 1,'Уi+1,i+2 ) =

= ( X, Z L 1,i+1 +( У , Z )i- 1,i+1.

Отсюда получим

(ХУ,z )1,'+1 =(x,z),-1,i +( У,z )i-1,,, (41)

где i = 2,3.

Аналогично проверяется справедливость равенства

(х"\ у) /—1,/+1 = —(х,у),1,+1. (42)

Отсюда и равенств (36)-(41) следует, что для любых двух матриц х,у из Н имеем

(х ,У ) /—1,/+1 = а (43)

где / = 2,3. Отсюда и равенства (32) следует справедливость условия 2 теоремы 1 для подгруппы Н.

Пусть

и = Ьт Ь,2) Ь,3),

где матрица Ь[к] определена равенством (31), к = 1,2,3. Отсюда и равенства (31) имеем

и 12 = и 23 = и34 = 1 и 45=

Отсюда следует, что для матрицы и справедливы условия а) и в) теоремы 1. Следовательно, матрица и универсальна в подгруппе Н .

Так как подгруппа Н порождается матрицами где 0<к <4, то из равенств (31), (32) следует, что для любой матрицы 1 еН справедливо 145 = 0, т. е. справедливо равенство (30). Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М. : Наука, 1982. 288 с.

2. Bier A. The width of verbal subgroups in the group of unitriangular matrices over a field // Int. J. Algebra and Comp. 2012. Vol. 22, no 3. P. 21-41.

3. Бахта Н. С. О представимости коммутанта группы UT(n,K) множеством значений функции одной переменной // Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 2. С. 44-46.

4. Бахта Н. С. О представимости членов нижнего центрального ряда группы UT(n,K) множеством значений функции одной переменной // Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 4. С. 13-15.

5. Меньшов А. В., Романьков В. А. О р-разрешимости некоторых регулярных уравнений над р-группой Гейзенберга // Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 3. С. 11-14.

6. Roman'kov V. Equations over groups // Groups, Complexity, Cryptology. 2012. Vol. 4, no. 2. P. 191-240.

7. Конырханова А. А. Универсальные элементы групп унитреугольных матриц над полем // Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 4 (78). С. 18-20.

8. Конырханова А. А. Универсальные элементы групп унитреугольных матриц над кольцом целых чисел // Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 2. С. 11-13.

9. Khisamiev N., Tynybekova S., Konyrkhanova A. A criterion of the universality of a matrix in a group over a commutative associative ring with identity // VI Конгресс математического общества тюркоязычных стран (TWMS 2017). Астана, 2017. С. 270-271.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Хисамиев Назиф Гарифуллинович - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры информационных систем, Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева, 010008, Республика Казахстан, г. Астана, ул. Сатпаева, 2; e-mail: hisamiev@mail.ru.

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Khisamiev Nazif Garifullinovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor of the Department of Information Systems, Eurasian National University n. a. L. N. Gumilyov, 2, Satpaeva st., Astana, 010008, the Republic of Kazakhstan; e-mail: hisamiev@ mail.ru.

Тусупов Джамалбек Алиаскарович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных систем, Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева, 010008, Республика Казахстан, г. Астана, ул. Сатпа-ева, 2; e-mail: tussupov@mail.ru, tussupov@enu.kz.

Тыныбекова Сауле Джунусовна - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры информационной технологии, Финансовая академия, 010011, Республика Казахстан, г. Астана, ул. И. Есенберлина, 25; e-mail: hisamiev@mail.ru.

Конырханова Асем Адильбеккызы - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры высшей математики, Восточно-Казахстанский государственный технический университет им. Д. Серикбаева, 070004, Республика Казахстан, г. Усть-Каменогорск, ул. Протазанова, 69; e-mail: ErkeshanK@mail.ru.

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Хисамиев Н. Г., Тусупов Д. А., Тыныбекова С. Д., Конырханова А. А. Критерий универсальности матрицы в подгруппе группы UTn(R) над коммутативным ассоциативным кольцом R с единицей // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 2. С. 53-60. DOI: 10.25513/ 1812-3996.2018.23(2).53-60.

Tussupov Jamalbek Aliaskarovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor, Head of the Department of Information Systems, Eurasian National University n. a. L. N. Gumilyov, 2, Satpaeva st., Astana, 010008, the Republic of Kazakhstan; e-mail: tussupov@mail.ru, tussupov@enu.kz.

Tynybekova Saule Djunusovna - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor of the Department of Information Technology, Financial Academy, 25, I. Essenberlina st., Astana, 010011, the Republic of Kazakhstan; e-mail: hisamiev@mail.ru.

Konyrkhanova Asem Adil'bekkyzy - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senjor Lecturer, the Department of High Mathematics, East-Kazakhstan Technical University n. a. D. Serikbaev, 69, Protazanov st., 070004, the Republic of Kazakhstan; e-mail: ErkeshanK@mail.ru.

FOR QTATIONS

Khisamiev N.G., Tussupov J.A., Tynybekova S.D., Konyrkhanova A.A. A criterion of the universality of a matrix in a subgroup of the group UTn(R) over a commutative associative ring R with identity. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 2, pp. 53-60. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(2).53-60. (in Russ.).