Разрешимость регулярных уравнений в классе нильпотентных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 4. С. 19-22.

УДК 512.54

А.В. Меньшов, В.А. Романьков

РАЗРЕШИМОСТЬ РЕГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ В КЛАССЕ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП*

Уравнение над группой от одной неизвестной называется регулярным, если сумма показателей степеней неизвестной отлична от нуля. В статье доказывается разрешимость регулярных уравнений в различных классах нильпотентных групп.

Ключевые слова: уравнение над группой, регулярное уравнение, гипотеза Кервера -Лауденбаха, конечная р-группа.

Введение

Уравнением над группой G от неизвестных x1,x2,...,xk называется выражение вида u( x1,..., xk) = 1, где

u( xl,..., xk ) = g^£ #2 -x-2 . gnxt" G G * F (XX (1)

где g gG, £=±* 1, а xi принадлежит алфавиту неизвестных

X = {x,, x2,..., xk} . Если группа G является подгруппой группы G , то уравнение (1) можно рассматривать также как уравнение над G. Говорят, что уравнение (1) разрешимо в G, если существуют элементы h1,h2,..,hk gG такие, что u(hl,h2,..,hk) = 1 - верное равенство. Набор таких элементов h1,h2,...,hk называется решением уравнения (1) в группе

G. Если такого набора не существует, то уравнение (1) называется неразрешимым в группе G.

Уравнение (1) называется разрешимым над G, если существует надгруппа H > G и элементы hl, h2,.., hk G H такие, что u(hl, h2,.., hk) = 1 -

верное равенство. Набор таких элементов h1,h2,...,hk называется решением уравнения (1) в группе H . Если такой группы H и такого набора К К"; hk не существует, то уравнение (1) называется неразрешимым над группой G .

Рассмотрим уравнение от одной неизвестной над группой G вида g1x£lg2x£ ...gnx£" = 1, где g gG, £ =±1. Экспонентой данного уравнения

n

будем называть £ = ^ £ . Уравнение называется регулярным, если £ Ф 0 .

i =1

Следующая гипотеза хорошо известна в теории групп.

Гипотеза Кервера - Лауденбаха. Произвольное регулярное уравнение от одной неизвестной разрешимо над любой группой.

На сегодняшний день эта гипотеза не доказана и не опровергнута. Имеется лишь ряд частных результатов, см., например, [1].

Пусть C - некоторый класс групп. Уравнение (1) над группой GGC называется разрешимым в классе C , если существует надгруппа H > G,H G C , в которой оно имеет решение.

* Исследование А.В. Меньшова поддержано РФФИ (грант № 13-01-00239); исследование В.А. Романь-кова выполнено за счет гранта РНФ (проект № 14-11-00085).

© А.В. Меньшов, В.А. Романьков, 2014

20

А.В. Меньшов, В.А. Романьков

В работе устанавливается разрешимость регулярных уравнений от одной неизвестной в различных классах нильпотентных групп.

Перечислим основные результаты работы. Первый из них вытекает из теоремы Шмелькина [2] о разрешимости систем уравнений в делимых нильпотентных группах.

Теорема 1 [2]. Любое регулярное уравнение от одной неизвестной над нильпо-тентной группой без кручения N разрешимо в ее мальцевском пополнении N.

Следующий результат является ключевым для данной работы.

Теорема 2. Любое регулярное уравнение от одной неизвестной над конечной р-группой имеет решение в большей конечной р-группе.

Следствие 1. Любое регулярное уравнение от одной неизвестной над конечной нильпотентной группой имеет решение в большей конечной нильпотентной группе.

Из этих результатов следует положительный ответ на вопрос 2.15 из [1].

Теорема 3. Любое регулярное уравнение от одной неизвестной над конечно порожденной нильпотентной группой имеет решение в большей конечно порожденной нильпотентной группе.

Приведенные результаты означают разрешимость регулярных уравнений от одной неизвестной в классах нильпотентных групп без кручения, конечных р-групп при фиксированном простом р, конечных нильпо-тентных групп и конечно порожденных нильпотентных групп.

Заметим, что из результатов Герстен-хабера и Ротхауза [3; 4] следует, что любое регулярное уравнение от одной неизвестной разрешимо в классах конечных и локально финитно аппроксимируемых групп. Доказательство этого факта не конструктивно, за последующие годы не появилось эффективной процедуры нахождения решения в большей группе из формулировки. Тем более ничего нельзя сказать о разрешимости уравнения в большей конечной группе из какого-либо подкласса, в нашем случае - из подкласса конечных нильпотентных или р-групп. Отметим, что теорема 2 не является следствием результатов Герстенхабера и Ротхауза и, что более важно, известные доказательства этих результатов не могут быть адаптированы каким-то понятным способом для получения такого следствия.

Уравнения над нильпотентными группами

Прежде всего покажем, что вопрос о разрешимости произвольных уравнений в классе конечно порожденных нильпотент-ных групп сводится к рассмотрению аналогичных вопросов для классов нильпотент-ных групп без кручения и конечных р-групп для различных простых чисел р.

Лемма 1 [5]. Любая конечно порожденная нильпотентная группа G вложима в прямое произведение NX K конечно порожденной нильпотентной группы N без кручения и конечной нильпотентной группы K, ступени нильпотентности которых не превышают ступени нильпотентности группы G.

Любая конечная нильпотентная группа K есть прямое произведение своих силов-ских подгрупп Sylpi (K)X...XSylpt (K) по различным простым числам plv.., pk (см.,

например, [6]). Значит, группа G (в обозначениях леммы 1) вложима в группу NXSylpi(K)x...xSylpk (K) .

Пусть G - произвольная группа и H -ее гомоморфный образ. Репликой уравнения

(1) над группой G назовем уравнение над H , получающееся из (1) заменой всех коэффициентов на их гомоморфные образы. Ясно, что гомоморфный образ какого-либо решения уравнения (1) в группе G является решением соответствующей реплики в H . Доказательство следующей леммы очевидно.

Лемма 2. Пусть G = G1 X...X Gq - прямое

произведение произвольных групп. Если все естественные реплики уравнения (1) над группой G разрешимы над каждым из сомножителей Gt, то уравнение (1) разрешимо над G .

Заметим, что если класс групп замкнут относительно (конечных) прямых произведений (и в утверждении леммы 2 предполагается разрешимость в этом классе), то можно констатировать, что уравнение (1) также разрешимо в этом классе. В частности, это верно для классов конечных нильпотентных и р-групп, а также для класса конечно порожденных нильпотентных групп.

Определение 1. Пусть G - конечная р-группа, p - простое число. Уравнение (1)

называется р-разрешимым над G, если существует конечная р-группа H > G, в которой это уравнение имеет решение.

Следующее предложение определяет направление доказательства теоремы 3.

Предложение 1. Для того чтобы установить разрешимость любого регулярного уравнения от одной неизвестной в классе всех конечно порожденных нильпотентных групп, достаточно доказать следующие два утверждения:

1. Любое регулярное уравнение от одной неизвестной разрешимо в классе всех конечно порожденных нильпотентных групп без кручения.

2. Любое регулярное уравнение от одной неизвестной над конечной р-группой (р -простое) р-разрешимо.

Разрешимость регулярных уравнений в классе нильпотентных групп

21

Доказательство. Предложение прямо следует из лемм 1-2 и сделанных выше замечаний.

Справедливость утверждения 1 из предложения 1 следует из работы Шмелькина [2]. Также заметим, что для доказательства р-разрешимости произвольного уравнения над конечной р-группой P достаточно доказать его разрешимость в некоторой большей нильпотентной группе H .

Уравнения над конечными р-груп-пами

Заметим, что любая конечная р-группа изоморфна некоторой подгруппе группы UTn (Zp) унитреугольных матриц над простым конечным полем Zp характеристики p . Следовательно, для доказательства теоремы 2 достаточно исследовать разрешимость регулярных уравнений над группами

вида UTn(Zp).

Частичные результаты о р-разреши-мости регулярных уравнений от одной неизвестной над р-группой Гейзенберга UT3(Zp)

были получены нами в [7].

Пусть V обозначает ассоциативную алгебру бесконечной размерности над полем

F с базисом E = {ea р \cc,e^Q,a<0} (Q

обозначает множество рациональных чисел). Умножение в V определяется равенствами

eaJ- ep,r = ea,r и ea, в' вГ,3 = 0 при P*Y . Через V обозначим алгебру, содержащую V в качестве подалгебры, элементами которой являются формальные (возможно бесконечные) суммы

u = Е Ua,pea,p, Ua,P е F, (2)

a,PeQ,a<P

с естественно определяемыми операциями. Обозначим supp(u) = {(aP)е Q2 \ иарф 0}.

С каждым элементом u е V свяжем взвешенный ориентированный граф Г(и) , вершинами которого являются рациональные числа а,Ре Q , соединяемые ребром (а,в) тогда и только тогда, когда а,Ре supp(u). Весом ребра (а,р) при этом будем считать

коэффициент Ua р из канонической записи

(2). Будем говорить, что элемент u е V имеет длину l = l(u) , если максимальная длина пути в графе Г(и) равна l. Очевидно тогда, что U+1 = 0 . Длина l (M) произвольного подмножества элементов M С V определяется как supp{l(и) \ и е M} .

Добавим к V внешнюю 1. Тогда G(V) = {1 + и\иеУ} - группа. Обратный к

(1 + и) определяется как (1 + и)1 =

= 1 + ЕГ=1(-1)'и' . Через tap (аРе Q,a<p) будем обозначать трансвекцию 1 + eap. Также для любого уе F полагаем ta р(у) =

= 1 + yea р. С любым подмножеством M С V свяжем группу G(M) = gp(1 + и \ и е M). Для

подалгебры M С V обозначим M' - множество всех сумм произведений i элементов из M,i > 0 . Очевидно, что Mi подалгебра M и

Gi = {1 + и \ и е M'} — подгруппа G(M) . Справедлива следующая очевидная лемма.

Лемма 3. Пусть M С V - подалгебра, для которой l = l(M) < го . Тогда:

1. Ml+1 = 0 , следовательно, M нильпо-тентна ступени <l + 1.

2. 1 = Gt+1 < Gt <...< G1 = G(M) - центральный ряд для G(M) .

3. Группа G(M) нильпотентна ступени

< l .

Если зафиксировать набор индексов O' <...<an (ai е0 , то подалгебра M , порожденная элементами eu+1, i = 1,..., n — 1,

очевидно окажется изоморфной алгебре NTn (F) верхних нильтреугольных матриц над полем F размера n . Этой алгебре соответствует подгруппа G(M) , изоморфная группе всех верхних унитреугольных матриц UTn (F) размера n . Далее в качестве поля F будет рассматриваться простое конечное поле Zp порядка p .

Следующая лемма демонстрирует возможный способ присоединения корней в

группе UT„ (Zp ) .

Лемма 4. Уравнение над группой UTn (Zp) , где p - простое число и Zp - простое конечное поле характеристики p , вида = t,,, (У), (3)

где gcd(p,r) = 1, 5е Z+ , i, j = 1,.,n, i < j и уе Zp, разрешимо в некоторой надгруппе,

изоморфной UTm (Zp) для m = n + ps — 1.

Доказательство. Будем считать, что s =1 (для s > 1 доказательство аналогично). Известно, что группа UTn (Z ) порождена

трансвекциями вида tu+1, где i = 1,...,n — 1.

22

А.В. Меньшов, В.А. Романьков

Вставим между i и j последовательность из p _1 чисел Ц e Q следующим образом: i <a1 < ... < ap_ < j . Относительное расположение чисел a и уже имеющихся между i и j индексов не имеет существенного значения, но для определенности можно полагать, что i <a1 <... < ap-l < i +1.

Считаем, что UTn (Zp) естественно вложена в группу UTn+p_1(Zp), порожденную

трансвекДиями <>2,..t'-i, t'a, t'a,a2’---’ t'ap_1, j ,

jj+1 >. > Cl,n, отображением Ф: tii+! ^

^ C+l , i = C. n _ 1 . Возьмем в UTn+p_l(Zp ) элемент X =1 + Yiei,a + • • • + Ypeap_1,j, где

YY2 ■■■Yp = r _Y (обратный r-1 к r берется по модулю p ), тогда Xpr = (1 + r lYeij )r = = 1 + Yei j = tt j (y) . Следовательно, указанный X есть решение уравнения (3). В общем случае при s >1 рассуждения те же самые, но только количество вставляемых между i и j

чисел должно быть (ps _ 1) . Лемма доказана.

Рассмотрим уравнение от одной неизвестной над группой G вида gX g2 Xе2 —gX = 1, где g\ £G, et =±1. Обозначим e = ^ ” e . Будем передвигать степени неизвестных и коэффициенты уравнения влево, пользуясь формулой xy = yx(X, y) . Тогда данной последовательностью преобразований уравнение может быть приведено к виду:

xeg1 • • • gn П (ui, xa, S (x),..., x)) = 1, (4)

i=1

где Щ e G, a =±1, k > 0, Sj (x) = g e G или Sj (x) = Xе, где в = ±1. Если £> 0 , то заменим X на X 1 и получим уравнение вида:

x£ = g1 • gn П (ui, xa , S1 (X) • , Sk. (x)) = aw(X) (5)

i=1

где e > 0 , a = g1...gn .

Следующая теорема является ключевой для данной работы. В настоящей работе она приводится без доказательства.

Теорема 4. Пусть над группой UTn (Zp)

дано уравнение вида (5) и е = ps, где s e Z + .

Пусть N = ^eii+1| i = 1,.,n _ 1 С V и, следова-

тельно, G (N) = UTn (Zp ) . Существует элемент u e V такой, что l(u) < (n _ 1)ps и

(1 + u)p = aw(1 + u) . При этом надгруппа , u) )> G(N) имеет ступень нильпотентности < (n _ 1)ps.

Пусть уравнение (5) над группой UTn (Z ) имеет экспоненту e = psr, где

gcd(p, r) = 1 и s e Z + . Возьмем t e N такое, что (n _1)ps < p‘. Такое t можно выбрать, так как мы знаем n и s . Пусть 1 = p4 + rk , где l, k e Z . Произведем замену переменной в уравнении (5), полагая y = x , x = y . Получим уравнение вида yp = aw(yk) . По теореме 4 его решение (1 + u) в некоторой надгруппе H обладает тем свойством,

что l(u) < (n _1)ps. Тогда (1 + u)p =1. Далее

((1 + u)k ) pr = ((1 + u)kr (1 + u )p‘l)p = (1 + u) p .

Таким образом, (1 + u)k является решением исходного уравнения (5) в надгруппе H . Получаем, что теорема 4 верна и в общем случае для произвольной экспоненты

е = psr, что влечет справедливость теоремы

2. Справедливость теоремы 3 теперь следует из предложения 1.

Данная работа заканчивает наши исследования разрешимости регулярных уравнений от одной неизвестной в классах конечных нильпотентных и р-групп (р - простое) и в классе конечно порожденных нильпотентных групп, начатые в [7].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Roman’kov V. A. Equations over groups // Groups-Complexity-Cryptology. 2012. № 4. Р. 191-239.

[2] Шмелькин А. Л. О полных нильпотентных группах // Алгебра и логика. 1967. № 6. С. 111-114.

[3] Gerstenhaber M., Rothaus O. S. The solution of sets of equations in groups // Proc. N. A. S. 1962. № 48. Р. 1531-1533.

[4] Rothaus O. S. On the non-triviality of some group extensions given by generators and relators // Ann. Math. 1977. № 106. Р. 599-612.

[5] Романьков В.А. Теоремы вложения для нильпотентных групп // Сиб. матем. журн. 1972. Т. 13. № 4. С. 859-867.

[6] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М. : Наука, 1982.

[7] Меньшов А. В., Романьков В. А., О p-разрешимости некоторых регулярных уравнений над p-группой Гейзенберга UT3(Zp) // Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 3. С. 11-14.