Алгебраические автоморфизмы свободных алгебр Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2009. № 2. С. 58-60.

УДК 519.862

И.В. Чирков, М.А. Шевелин

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ АВТОМОРФИЗМЫ СВОБОДНЫХ АЛГЕБР ЛИ

Изучаются алгебраические афтоморфизмы свободных алгебр Ли

Ключевые слова: алгебра Ли, алгебраический автоморфизм, группа автоморфизмов.

' 1. Введение

Пусть / - поле нулевой характеристики, Ьп - свободная алгебра

Ли над полем к с множеством свободных порождающих х 1, .., хп> п — 2 . Обозначим через Лп1 (Ьп) группу автоморфизмов алгебры Ьп. Все элементы этой группы являются линейными преобразованиями. Поэтому определено понятие алгебраического автоморфизма. Именно элемент ре Лп1 (Ьп) называется алгебраическим, если для

некоторого многочлена / е к [*] справедливо равенство /(р)= 0 . В частности, периодические элементы группы Лп1 (Ьп ) являются алгебраическими.

Цель этой работы - доказательство обратного утверждения (см. теорему 1). Достаточно доказать, что каждый алгебраический автоморфизм имеет конечный порядок при дополнительном предположении, что поле к алгебраически замкнуто. Действительно, условия не меняются при расширении поля, а заключение не меняется при переходе к подполю. Поэтому дальше везде считаем, что к - алгебраически замкнутое поле характеристики нуль.

Мы используем обозначение [ х,у; 1 ]= [ х,у ], [х,у;т] =

= [х,у;т - 1],у] (т > 1) для длинного коммутатора в алгебре Ли. Символы Ь' и Ь’’ обозначают коммутант [Ь,Ь] и второй коммутант (Ь’) алгебры Ли Ь. Единичную матрицу обозначаем 1.

Напомним, что автоморфизм алгебры полностью определен своим действием на порождающие.

2. Предварительные леммы

Пусть Л - алгебраическое линейное преобразование не обязательно конечномерного пространства V . Поскольку каждый модуль над алгеброй многочленов от одной неизвестной является прямой суммой циклических модулей, то пространство V раскладывается в прямую

сумму конечномерных Л -инвариантных подпространств. Отсюда

© И.В. Чирков, М.А. Шевелин, 2009

Алгебраические автоморфизмы свободных алгебр Ли

59

следует, что каждое алгебраическое преобразование над алгебраически замкнутым полем можно привести к жордановой форме с ограниченными в совокупности размерами жордановых клеток.

Сделаем еще одно замечание. Пусть а ,Ь - два линейно независимых элемента

алгебры Ьп. Тогда подалгебра, порожденная этими элементами в Ьп, порождается

этими элементами свободно, так как в противном случае она была бы одномерна.

Лемма 1. Пусть ре ЛШ (Ьп) - алгебраический автоморфизм. Тогда для некоторого натурального числа I собственные

значения р есть все корни степени I из единицы.

Доказательство. Для заданного собственного значения X пусть V е Ьп - собственный вектор преобразования р с собственным значением X . Пусть и - какое-нибудь собственное значение преобразования р, для которого собственный вектор w е Ьп, отвечающий собственному

значению /л, линейно независим с V. Согласно первому замечанию, сделанному перед леммой, такой вектор обязательно найдется. Тогда = [р^р] =

= Хи[^] \v,w;mр) = Хит[v,w;m] для всех натуральных т и все векторы [v,w ;т] ненулевые. Так как р - алгебраический автоморфизм, то X Ф 0, /л Ф 0 и среди

элементов /лт е к (т > 1) только конечное число различных. Пусть /л11 = 1. Тогда элемент wг=^^;1] - собственный для р с собственным значением X и линейно независимый с V. Следовательно, (ненулевой) вектор ;г ] г натуральных

будет собственным для р, отвечающим

собственному значению Хг+1.

Таким образом, для любых двух различных собственных значений X, /л пре-

образования р элементы Xт, X 1, Xи -тоже собственные значения для р. То

есть собственные значения образуют конечную подгруппу в мультипликативной группе поля к.

Лемма 2. Автоморфизм у е Aut(L2), переводящий x1 в X1 + x2, a x2 в x2 не является алгебраическим.

Доказательство. Рассмотрим фактор-алгебру M2= L2/L 2'' - свободную ме-табелеву алгебру Ли над полем к с множеством свободных порождающих

У1 =X1 +L2", У 2 =X2 +V-

Определим автоморфизм

VM :М 2 ^ M 2 прэвилом УУм=У1 + У 2 ,

У2VM = У2- Это эквивалентно следующему: (a + L2")yM=ay + L2” (а е L2)

Предположим, вопреки тому, что требуется доказать, что у - алгебраический автоморфизм. Пусть f е к [t ] - такой многочлен, что f (у) = 0. Тогда для всех а е L2" выполнено равенство (а + L2 " )f (Vm ) =

= af (у ) + L2'' = 0(modL2''). Это означает, что f (ум) = 0. Докажем, что это невозможно. Точнее, мы установим, что для всех j > 1 существуют такие ум - инвариантные подпространства V j в к -пространстве M2, что минимальные многочлены преобразований ум |V имеют как

j

угодно большие степени.

Напомним (см.: [1]), что коммутант M' 2 алгебры M2 является модулем без кручения над универсальной обертывающей алгеброй U(M2/ M'2), которая изоморфна алгебре многочленов

к [У1 M 2',У2 + M 2' ] Из этого следует линейная независимость одночленов

Ь ,У2 1ух>'4у2>t]еM2 (s>0 t>0)

Подпространство с базисом из одночленов вида ys,t = tt[y, У21У1 >4 У2 >t ]е M2

при s > 0, t > 0, s + t = j обозначим через V j. Понятно, что dim V}- = = j + 1, Vj инвариантно относительно действия ум.

Вычислим образы yst Vm :

бО

И.В. Чирков, М.А. Шевелин

ys,t Vm

[1 +У2, y 2 ]Уі + y 2 ;s]y 2 ;t] =

Г s 1

Z Шуі ,y 2 ],Уі ;p]y 2 ;s — p+t ]

p=01 p J

Z

p=0

( s 1

L p J

У

p,s—p+t ■

При фиксированном j = s + t получаем

ys,j—sVm

Z

p=0

( s 1

L p J

yp

Если обозначить

что автоморфизм р свободной метабеле-вой алгебры Ли ранга 2 над полем характеристики, не равной 2, определенный правилом

*1 ^ *1 + 11*1*2 1*11*2 ^ *2 + [К ,*2 1*2 ],

удовлетворяет уравнению (1 — р)2 = 0, не удовлетворяет линейному уравнению и поэтому не является периодическим.

Рі матрицу преобразования Vm\v отно- ЛИТЕРАТУРА

сительно базиса у а ^, у х х,..., у , то матрица В ^ = Р - 1 является верхней нильтреугольной и ранг матрицы В^ равен ]. Из этого следует, что минимальный многочлен для матрицы Р- это в точно-

,(-1)*'.

Этим доказано, что преобразование

сти

Vm

имеет

минимальный

многочлен

( — 1)*1. Отсюда следует лемма.

3. Основной результат Теорема 1. Каждый алгебраический автоморфизм р алгебры Ь п имеет конечный порядок.

Доказательство. Предположим, что это не так и приведем р к жордановой форме. Найдется жорданова клетка конечного размера, большего 1. Отсюда следует, что найдется двупорожденная (свободная по теореме Ширшова [2]) подалгебра Л с такими свободными порождающими а 1 ,а2, что а1р = Xа' *а2,

а2р = Xa2 (X е к). Лемма 1 дает Xт = 1

для некоторого целого числа т. Тогда

а1рт = а * mXm 1а2, а2р = а2. Положим

X = а, х2 = mXт ^2, у = рт. Мы попали в условия леммы 2, которая утверждает, что у не алгебраический автоморфизм. Тогда и р не алгебраический -противоречие.

Замечание. Несмотря на то, что для доказательства теоремы использован переход к свободной метабелевой алгебре Ли М2, для самой алгебры М2 утверждение теоремы ложно. Можно проверить,

[1] Artamonov V.A. The categories of free metabelian

groups and Lie algebras // Commentationes Mathematicae Universitates Carolinae. Vol. 18. 1. 1977. P. 143-159.

[2] Ширшов А.И. Подалгебры свободных лиевых алгебр // Мат. сб. Т. 33(75). 2. 1953. С. 441452.