Сплетение имеющее конечную ширину Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.543.1

СПЛЕТЕНИЕ, ИМЕЮЩЕЕ КОНЕЧНУЮ ШИРИНУ

А. А. Коробов

1. Введение

Начало исследованию бесконечных групп на наличие конечной ширины было положено в 1980 г., когда был найден первый пример бесконечной группы, имеющей конечную ширину. В 2004 г. Бергман [1] установил конечность ширины бесконечной симметрической группы. В 2005 г. Дросте и Холанд [2] установили, что группой конечной ширины является группа автоморфизмов 2-транзитивного линейно упорядоченного множества, а Дросте и Гебель [3] установили конечность ширины группы автоморфизмов множества вещественных чисел как борелевского пространства. В 2004 г. Кечрис и Розендаль доказали конечность ширины групп автоморфизмов многих счетных (-стабильных и (-категоричных структур. В 2006 г. [4] Корнулиер установил, что конечную ширину имеют (-экзистенционально замкнутые группы. В том же году В. А. Толстых [5-6] установил конечность ширины следующих групп: общей линейной группы бесконечномерного векторного пространства над произвольным телом, группы автоморфизмов произвольной бесконечно порожденной свободной ниль-потентной группы, группы автоморфизмов свободной группы счетно-бесконечного ранга.

В докладе [7] автор предложил использовать конструкции абстрактного декартова сплетения и декартова сплетения групп преобразований для получения новых примеров групп конечной ширины. Целью настоящей статьи является доказательство анонсированных там результатов.

© 2013 Коробов А. А.

2. Определения и примеры

Пусть M — множество. Обозначим через S(M) совокупность всех взаимно однозначных отображений M на себя, Fun(M, G) — декартово произведение изоморфных копий группы G, индексированных элементами множества M. Декартово сплетение группы A с группой B обозначим через АгВ [8].

Определение. Говорят, что группа G имеет конечную ширину, если для любого множества E порождающих элементов группы G с условием 1 £ E = E-1 существует такое натуральное число k, что G=Ek.

G

G

на в виде объединения счетной (несчетной) цепочки собственных подмножеств удовлетворяющих двум уеловиям: 1) H—1 = Hi для любого индекса i; 2) для любого индекса г существует такой индекс j, что j > in Hi Hi С Hj.

Предложение 1. Для любого непустого множества I декартово произведение Fun(I,S(N)) имеет несчетную строгую конфинальность (см. [3, лемма 3.5]).

GG несчетную строгую конфинальность тогда и только тогда, когда группа G

.

Пример 1. Рассмотрим группу S(N) и произвольное непустое множество I. Тогда декартово произведение Fun(I,S(N)) имеет конечную ширину. Это непосредственно следует из предложений 1 и 2.

G

I

I, G .

Пусть X, Y — произвольные множества, A ^ S(X) , B ^ S(Y). Для всякого преобразования a £ A через xa будем обозначать образ

элемента х € X при отображении а. Для других групп преобразований будем использовать аналогичные обозначения. Декартовым сплетением группы преобразований А с группой преобразований В называется группа преобразований АпВ множества X х У, состоящая из элементов (6, /), 6 € В, / € Ит(У, А), действующих на X х У по правилу (х,у)(6, /) = (х/(у6),у6). Обозначим группу Гип(У, А) символом В, единицу группы В — через е, а единицу группы В — через е.

Лемма 1. В декартовом сплетении АйВ групп преобразований существует такая нормальная подгруппа М, изоморфная В, что фактор-группа АпВ/Ы изоморфна группе В.

/€В

бого преобразования 6 € В правило у ^ /(у6-1) определяет функцию /ь из В. Известно (см. [8, 6.2.12]), что таблица умножения в группе ЛпВ вычисляется по следующей формуле:

(У6,6' € в)(V/, /' € В)(Ь, /)(Ь', /') = (66', /ь'/о•

Из таблицы умножения непосредственно следует, что множества (В,е) и (е, В) являются подгруппами в АпВ и множество (В,е)(е, В) совпадает с АпВ. Из таблицы умножения следует также правило для сопряжения:

^6 € В)(V/ € В) (6,е)-1 (е,/)(6,е) = (е, /ь)•

Поэтому (е, В) с АпВ.

Покажем, что (В,е) П (е, В) = {(е, е)}. В самом деле, пусть # € (В,е) П (е, В). Тогда найдутся такие элементы 6 € В,/ € В, что (е,/) = (6, е). Следовательно, для любой точки (х,у) € X х У выполнено (х/(у),у) = (х,у6). Поэтому у6 = у для любого у из У. Значит, 6 = е, поэтому # = (е, е).

Итак, АйВ = (е, В) X (В,е). Непосредственно проверяется, что отображения В ^ (В,е) и В ^ (е, В) то правилам 6 ^ (6, е) и / ^ (е, /) являются изоморфизмами. Тем самым N = (е, В) — искомая нормальная подгруппа. Лемма доказана.

В 2006 г. Уилсон установил конечную аксиоматизируемость класса конечных разрешимых групп [9]. Будем говорить, что конечная группа

G обладает свойством Уилсона, если существуют элемент g из G\{1} и наборы x, y из G56 такие, что g = [g®1, gyi] ... [g®56, gyse].

3. Матричная представимость групп

Пусть D — тело, V = Dn — множество строк длины п. Превратим множество V в векторное пространство над телом D, полагая, что dv — результат умножения каждого элемента строки v та скаляр d £ D

V

стему векторов W, обозначим через (W) и назовем линейной оболочкой системы W.

Определение. Пусть D — тело, G < GLn(D). Тогда группа G

Dn

Gv

vG

Dn

Лемма 2. Неприводимая абелева подгруппа G в GLn(D) изоморфна подгруппе мультипликативной группы некоторого поля топ

D

Доказательство. Пусть F — центр тела D . Обозначим через F[G] множество комбинаций элементов группы G

с коэффициентами из F. Ясно, что R = F[G] — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Покажем, что R — кольцо без делителей нуля.

Выберем произвольные ненулевые элементы a и b в кольце R. По условию найдется такой вектор v из Dn, что va ф 0. Тогда линейная оболочка ({vag | g £ G}) — ненулевое подпространство, инвариантное

GG что ({vag | g £ G}) = Dn. Так как b ф 0, найдется такой элемент go £ ^^то vagob ф 0. Ъ ча,стностп, a^b ф 0, что равносильно соотпо-ab R

RR коммутативное ассоциативное кольцо и без делителей нуля. Известно, что в этом случае существует поле частных P кольца R и вложение п : R ^ P. Тогда G < R* ~ (R^ * < P*• Лемма доказана.

Определение. Пусть V — (конечномерное) левое векторное пространство над телом, О ^ СЬ(V). Возьмем в V неуплотняемую матрешку С-допустимых подпространств:

V = V, > V > • • • > V = 0.

Очевидно, что О индуцирует в каждом факторе ^¿/^¿+1 неприводимую группу О^/у^ по формуле

(V + Ц,+1 )д = vg + Vi+l, V € V», д € О.

Естественное отображение

г-1

о ^ П О|^/^¿+1

г=0

является гомоморфизмом группы О. Группы называются

О

г-1

П

г

О

4. Теоремы и следствия

О

падающая со своим коммутантом, либо группа всех взаимно однозначных отображений бесконечного счетного множества на себя. Пусть Н — бесконечная группа конечной ширины. Тогда декартово сплетение 0%Н — группа конечной ширины, не имеющая изоморфного представления матрицами над телом.

О

группа, совпадающая со своим коммутантом. Рассмотрим декартово

Н, О Н, О

ширины (см. [4, теорема 4.1]). По определению декартово сплетение СъН — расширение группы конечной ширины с помощью группы, также имеющей конечную ширину. Поэтому 0%Н — группа конечной ширины (см. [1, лемма 7]). Первое утверждение теоремы 1 доказано.

Докажем второе утверждение. Предположим, что группа GiH точно представима матрицами степени n над телом D. Пусть сначала char D ф 0. Если бы простое число char D было единственным простым

G G D

также нильпотентной группой, совпадающей со своим коммутантом, что невозможно. Поэтому в группе G существует элемент g простого порядка p взаимно простого с числом char D.

Dg элемент простого порядка.

A H, g

H, G H, G

GiH. Тем самым группа А точно представима матрицами степени п над телом D. Рассмотрим гомоморфизм (группы A на связку неприводимых частей. Пусть V = D". Тогда ядро ker( стабилизирует некоторую матрешку подпространств в V. Выберем базис векторно-V

(

скалярными клетками по диагонали, причем все скаляры равны 1. По-

((

группа без кручения, когда char D = 0, либо ker( — q-группа, когда

charD = q ф 0 (см. [10, 1.3.2]). Покажем, что в любом случае ker( = 1.

(

A

кег( тривиальна. В случае тела характеристики q ф 0 ядро ker( — q-подгруппа в р-группе. Снова заключаем, что группа кег ( тривиальна.

(A вкладывается в прямое произведение абелевых неприводимых матрич-

D

ном прямом произведении вкладывается в мультипликативную группу некоторого поля по лемме 2. Поэтому каждый элемент проекции группы A та этот сомножитель является корнем многочлена xX — 1 в ука-

A

A

A

О

О

нечного счетного множества на себя. Рассмотрим декартово пропзве-Н, О

поэтому так же, как в предыдущем случае, убеждаемся, что СгН — группа конечной ширины.

Теперь докажем последнее утверждение. Предположим, что группа СгН изоморфно представима матрицами степени п над телом О

О

ОА А

мыми тройными циклами. Обе они не имеют изоморфного представления матрицами над телом нулевой характеристики, как показывают рассуждения, приведенные выше. Точно так же проверяется, что А

А

представления матрицами над телом характеристики, отличной от 3. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы 1.

Н

и конечная группа С обладает свойством Унлсона. Тогда в группе СгН существует бесконечная подгруппа конечной ширины, не имеющая изоморфного представления матрицами над телом.

О

условия следствия не является разрешимой. Ввиду конечности группы

О

ОО

группа М, совпадающая со своим коммутантом. Кроме того, декартово сплетение N111 вкладывается в декартово сплетение СгН (см. [11, 22.12]). Согласно теореме 1 подгруппа группы СгН, изоморфная группе МгН, является искомой бесконечной группой конечной ширины, не имеющей изоморфного представления матрицами над телом.

Теорема 2. Пусть для любого натурального числа I группа Кг обладает следующим свойством: декартово произведение любого числа

копий группы Ki имеет конечную ширину. Пусть G = K, Gi+i = GiüKi+i. Пусть Н — группа конечной ширины. Тогда для любого натурального числа i группа GiiiH имеет конечную ширину.

Доказательство будем вести индукцией по i. Покажем, что К{пН — группа конечной ширины. Рассмотрим группы и Н как группы преобразований множеств X и Y соответственно. По условию декартово произведение Fun(Y, K) — группа конечной ширины. По лемме 1 декартово сплетение К{пН содержит нормальную подгруппу, Y, K

изоморфную группе II. Другими словами, K{iiH — расширение одной группы конечной ширины с помощью другой группы конечной ширины. Поэтому группа К{пН имеет конечную ширину (см. [1, лемма 7]). Основание индукции выполнено.

Пусть уже доказано, что группа GiiiN имеет конечную ширину для любой группы N конечной ширины. Возьмем произвольную группу Н конечной ширины. Выше показано, что группа Ki+{iiH имеет конечную ширину. Поэтому по индуктивному предположению группа Giii(Ki+iiiH) имеет конечную ширину. Так как

(GiiiKi+i)iiH с; Giii(Ki+iiiH)

(см. [8, 6.2.13]), доказательство индуктивного перехода завершено.

Следствие 2. Пусть для любого натурального числа i группа

Ki

мутантом, либо группа всех взаимно однозначных отображений бесконечного счетного множества на себя. Пусть H — бесконечная группа конечной ширины, G\ = Кi, Gj+i = GiiiKi+\. Тогда для любого натурального числа i группа GiiiH имеет конечную ширину и не имеет изоморфного представления матрицами над телом.

H

i

группу H как подгруппу в 5(Y), где Y — некоторое множество. Если бы Y было конечным множеством, то группа S(Y) была бы конеч-

H

Y

Y, Gi

изоморфного представления матрицами над телом. По лемме 1 последняя группа вкладывается в группу GiiiH, поэтому это декартово сплетение групп преобразований также не имеет изоморфного представления матрицами над телом.

Наконец, примеры 1 и 2 показывают, что семейство групп (Kj)ieN удовлетворяет условию теоремы 2. Поэтому группа GiiiH имеет конечную ширину. Бесконечная группа H конечной ширины и натуральное число i выбраны произвольно. Следствие доказано.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bergman G. Generating infinite symmetric groups // Bull. London Math. Soc. 2006. V. 38. P. 429-440.

2. Droste M., Holland W. C'. Generating automorphism groups of chains // Forum Math. 2005. V. 17. P. 699-710.

3. Droste M., Gobel R. Uncountable cofinalities of permutation groups //J. London Math. Soc. 2005. V. 71. P. 335-344.

4. Cornulier Y. de. Strongly bounded groups and infinite powers of finite groups // Comm. Algebra. 2006. V. 34. P. 2337-2345.

5. Толстых В. А. Группы автоморфизмов относительно свободных групп бесконечного ранга // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика.

2006. № 1. С. 24-48.

6. Tolstvkh V. On the Bergman property for the automorphism groups of relatively free groups 11 J. London Math. Soc. 2006. V. 73. P. 669-680.

7. Коробов А. А. Сплетение групп, имеющее конечную ширину // Междунар. конф. Алгебра и ее приложения. Тез. докл. Красноярск: Сиб. фед. ун-т,

2007. С. 76-77.

8. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1996.

9. Wilson J. S. Finite axiomatization of finite soluble groups //J. London Math. Soc. 2006. V. 74, N 3. P. 566-582.

10. Sbirvani M., Webrfritz B. A. F. Skew linear groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1986.

11. Нейман X. Многообразия групп. M.: Мир, 1969.

г. Новосибирск

4 сентября 2013 г.