CC BY
42
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ
MATHEMATICAL MODELING, SYSTEMS ANALYSIS
УДК 512.54 В. В. БЛУДОВ
йО! 10.17150/1993-3541.2014.24(6).152-158 Институт динамики систем и теории управления СО РАН,
г. Иркутск, Российская Федерация
Л. Э. БАДМАЕВА
Байкальский государственный университет экономики и права,
г. Иркутск, Российская Федерация
О СПОСОБЕ ПОСТРОЕНИЯ УПОРЯДОЧИВАЕМЫХ РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ УПОРЯДОЧЕНИЙ
Аннотация. Упорядочиваемые группы с конечным числом линейных упорядочений допускают только четное число упорядочений. Однако не для каждого четного числа п = 2к, к е N известны примеры групп с п упорядочениями. В 1973 г. В. М. Копытовым в работе «О линейно упорядоченных разрешимых группах» были приведены примеры двуступенно разрешимых групп конечного ранга, допускающих 4к линейных упорядочений для каждого к е N и доказана теорема о том, что в разрешимых неабелевых упорядочиваемых группах с конечным числом линейных упорядочений это число кратно четырем. В то же время для 5-ступенно разрешимых групп при 5 > 2 неизвестно ни одного примера упорядочиваемой группы с конечным числом линейных упорядочений. Этот пробел восполняется в данной статье, где метод В. М. Копытова распространяется на трехступенно разрешимые группы конечного ранга с двуступенно нильпотентным коммутантом. В этом случае число конечных упорядочений кратно восьми, и для к = 1, 2, 3, 4, 9 приводятся примеры трехступенно разрешимых групп, допускающих п = 8к линейных упорядочений. Для остальных к вопрос о существовании трехступенно разрешимых групп, допускающих п = 8к линейных упорядочений, остается открытым. Отметим, что также ничего не известно о существовании 5-ступенно разрешимых групп при 5 > 3, допускающих конечное число линейных упорядочений.
Ключевые слова. Упорядочиваемая группа; разрешимая группа; линейный порядок на группе. Информация о статье. Дата поступления 1 октября 2014 г.; дата принятия к печати 29 октября 2014 г.; дата онлайн-размещения 29 декабря 2014 г.
V. V. BLUDOV
Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, Irkutsk, Russian Federation
L. E. BADMAEVA
Baikal State University of Economics and Law, Irkutsk, Russian Federation
ON THE METHOD OF CONSTRUCTING ORDERABLE SOLUBLE GROUPS
WITH FINITELY MANY ORDERINGS
Abstract. The ordered groups with a finite number of total orderings permit only an even number of orderings. However, we do not know the examples of groups with n orderings for every even number n = 2k, k e N. In 1973, V. Kopytov in the article «On totally ordered soluble groups» gave examples of soluble class two groups of finite rank admitting 4k total orderings for each k e N and proved the theorem according to which in soluble non-Abelian orderable groups with a finite number of total orderings that number is divisible by four. At the same time, there are no examples of ordered groups with a finite number of total orderings for soluble class s groups with s > 2. This gap is filled in this article where Kopytov's method is applied to soluble class three groups of finite rank with a nilpotent class two commutatant. In this case, the number of finite orderings is divisible by eight, and for k = 1, 2, 3, 4, 9 the examples of soluble class three groups admitting n = 8k of total orderings are given. For the rest k, the issue of the existence of soluble class three groups admitting n = 8k of total orderings remains open. It is important to stress that nothing is known about the existence of soluble class s groups with s > 3 admitting a finite number of total orderings. Keywords. Ordered group; soluble group; total order.
Article info. Received October 1, 2014; accepted October 29, 2014; available online December 29, 2014.
© В. В. Блудов, Л. Э. Бадмаева, 2014
152
Izvestiya of Irkutsk State Economics Academy, 2014, no. 6 (98), pp. 152-158. ISSN 1993-3541
V. V. BLUDOV, L. E. BADMAEVA
Если группа допускает только конечное число упорядочений, то это число четное, поскольку группа с некоторым линейным порядком, также имеет и противоположный порядок. Неизвестно, для каждого ли четного числа 2n существует упорядочиваемая группа с 2n упорядочениями. Абелевы группы с конечным числом упорядочений допускают только два линейных упорядочения, все такие группы — это подгруппы аддитивной группы рациональных чисел. Известны два примера неабелевых упорядочиваемых групп, допускающих два линейных упорядочения [1; 13] и серия примеров групп, допускающих 8n + 6, n е N упорядочений [10], но все эти группы неразрешимы. Что касается разрешимых упорядочиваемых групп с конечным числом упорядочений, то число упорядочений таких групп равно 4n, n е N (см.: [5; 6, теорема 5.3.2]). Однако все примеры групп с 4n упорядочениями, приведенные в работе [5], относятся к классу двуступенно разрешимых групп, а для разрешимых групп ступени разрешимости s > 2 ни одного примера групп с конечным числом упорядочений до сих пор не построено.
В статье приведены трехступенно разрешимые группы, у которых коммутант — двусту-пенно нильпотентная группа. Во всех примерах коммутант изолирован в группе и конечно порожден как подгруппа, следовательно, содержит максимально выпуклую подгруппу H. В этом случае H нормальна в группе и в минимальных примерах H совпадает со вторым коммутантом, это дает две нормальные выпуклые подгруппы и число линейных упорядочений группы становится кратным восьми. Как и в работе [5], мы изучаем примеры групп, в которых автоморфизм индуцируется умножением на корни неприводимых многочленов. Приводимые многочлены также могут использоваться для построения групп с конечным числом упорядочений, но мы такие многочлены не анализируем, поскольку разбор случаев, связанных с приводимыми многочленами, основывается на рассмотрении различных разложений этих многочленов и сводится к примерам с неприводимыми многочленами.
Для более удобного понимания текста статьи будем придерживаться терминологии и обозначений, принятых в книгах и статьях [1-7; 11]:
- [g, h] = g-1h-1gh — коммутатор элементов g и h;
- (S) — подгруппа, порожденная множеством S;
- G' = [G, G] — коммутант группы G;
Известия Иркутской государственной экономической академии.
2014. № 6 (98). С. 152-158. ISSN 1993-3541
- подгруппа Н группы G нормальна, если д-1Нд = Н для всех д е G;
- нормализатор подгруппы Н — это подгруппа = (д е G|g-1Hg = Н>.
Напомним определения нильпотентной и разрешимой группы. Пусть G — группа.
Определение 1. Нормальный ряд 1 = G0 < G1 < ■■■ < G¡ = G называется центральным, если фактор-группы его скачков центральны, т. е. Gj + 1/Gj < Z(G/Gj), или, что равносильно, ^ 1, G] < G. для всех
0 < . < s. Группа, обладающая центральным рядом, называется нильпотентной, длина ряда s — ступень нильпотентности.
Определение 2. Нормальный ряд
1 = G<n) < G(п- 1) < ■ ■ ■ < G(1) < G(0) = G называется разрешимым, если фактор-группы его скачков абелевы, или, что равносильно, G(j)] < G(j + 1) для всех 0 < . < п - 1. Группа, обладающая разрешимым рядом, называется разрешимой, длина ряда п — ступень разрешимости.
Определение 3. Алгебраическая система ^, ■, <>, в которой ^, ■> образует группу, а ^, <> — линейно упорядоченное множество, называется линейно упорядоченной группой, если умножение и линейный порядок на множестве G согласованы по правилу: а < Ь влечет gаh < gbh для всех а, Ь, д, h е G.
Определение 4. Подгруппа Н линейно упорядочиваемой группы G называется выпуклой, если для любых х е G и h е Н из 1 < х < h следует х е Н. Систему всех выпуклых подгрупп линейно упорядоченной группы G обозначаем через Е^) : Е = G0 < G1 < . . . < G¡ = G.
Определение 5. Группа ^, ■> называется упорядочиваемой, если на множестве G можно установить линейный порядок <, превращающий ^, ■, <> в линейно упорядоченную группу.
Количество различных упорядочений упорядочиваемой группы может быть как конечным, так и бесконечным.
Теорема 1. Группа G упорядочиваема тогда и только тогда, когда существует инфраин-вариантная система подгрупп такая, что
если А — В — скачок в то фактор-группа
В/А порядково изоморфна подгруппе линейно упорядоченной аддитивной группе вещественных чисел, а группа автоморфизмов фактор-группы В/А, индуцированных внутренними автоморфизмами нормализатора И^А), изоморфна подгруппе мультипликативной группы положительных вещественных чисел (см.: [6, теорема 2.3.1; 14]).
Izvestiya of Irkutsk State Economics Academy, Известия Иркутской государственной экономической академии.
2014, no. 6 (98), pp. 152-158. ISSN 1993-3541 2014. № 6 (98). С. 152-158. ISSN 1993-3541
MATHEMATICAL MODELING, SYSTEMS ANALYSIS
Схема построения групп с двуступенно ниль-потентным коммутантом, допускающих конечное число упорядочений:
1. Если G — упорядочиваемая разрешимая неабелева группа с конечным числом упорядочений, то она при любом линейном порядке будет иметь конечное число выпуклых нормальных подгрупп, причем хотя бы одна выпуклая нормальная подгруппа в данной группе имеется (следствие теоремы 5.3.1 [6]). В таком случае для групп с нильпотентным коммутантом конечного ранга выпуклых нормальных подгрупп должно быть по крайней мере две. Пусть G имеет две нормальные подгруппы N = G] и D = N N1, выпуклые при некотором линейном порядке на группе G.
Рассмотрим ряд выпуклых подгрупп 1 — D — — N — G. Фактор-группа G/N — абелева группа, поэтому должна иметь два линейных упорядочения, т. е. быть группой ранга 1.
Фактор-группа G/D — двуступенно разрешимая группа с конечным числом линейных упорядочений, и как следует теоремы 1, внутренние автоморфизмы группы G индуцированы умножением на положительный корень неприводимого многочлена над Ъ. Но в этом случае эти автоморфизмы продолжаются до автоморфизмов группы D. Поэтому автоморфизмы группы D также должны индуцироваться умножением на положительный корень некоторого другого многочлена.
2. Пусть Nm обозначает свободную двуступенно нильпотентную группу ранга т с множеством свободных порождающих {д0, ..., дт _ ,}. Через Dm обозначим коммутант группы Nm. Поскольку Nm — свободная двуступенно ниль-потентная группа ранга m, то Dm — свободная абелева группа ранга т(т - 1)/2 с множеством свободных порождающих {[д., д] | 0 < i < \ < m}. Для этих порождающих введем обозначения:
д д,] = d1, [go, д2] = ^ ..., [go, gm— 1] = dm—1;
[Эо^] = 6т- [Я,-- Я;] =
= d , „ . [9т - 2- 9т - 1] = d 1, ■ (1)
2; (;-1)+'+1 2 т( т-1)
Зафиксируем неприводимый над Ъ многочлен Дх) = xm - am_ 1xm - ! - ... - а,х - а0 с условием |а0| = 1, так как в случае, если многочлен приводимый, то возникают дополнительные подгруппы, среди которых встречаются и выпуклые. Построим полупрямое произведение G группы Nm на циклическую группу (с) относительно автоморфизма, заданного на порождающих элементах следующей формулой:
9е, = Я,+i- при 0 < i< m - 2;
(2)
Ят - 1 = Я°° Ятт-1 .
Заметим, что автоморфизм (2) естественным образом индуцирует автоморфизм на фактор-группе Nm/Dm, т. е. (д^с = gcD.
Поскольку фактор-группа Nm/Dm коммутативна, то на нее можно смотреть как на модуль над кольцом Ъ. В этом случае автоморфизм с задается матрицей Ас в базисе
Я = 90°- Я = Яр ...- Ят -1 = Ят - Р- где
(0 0 • 0 \ 30
1 0 • 0 ai
A = c 0 1 • 0 32
0 V 0 • • 1 * - 1 ,
Сужение автоморфизма с на подгруппу Dm определяется по формуле
[я,-- Я,]с = [яС- ЯС]- 0 < / < j < m.
Группа Dm коммутативна, рассматриваем ее как модуль над Ъ . В этом случае действие автоморфизма с на подгруппу Dm можно задать матрицей, например, в базисе
d1- ...- d, -
—т( т-1) 2
определенном в выражении (1).
В общем случае вид этой матрицы неизвестен. Однако в приведенных примерах матрица будет представлена в явном виде, и мы сможем найти ее характеристический многочлен к(А). Количество положительных корней этого многочлена и определит количество линейных упорядочений на Dm.
Согласно построению система Е — Dm — Nm — G при m = 2; 3; 4 обладает свойствами:
— G/Nm — циклическая группа (с);
— Nm/Dm — абелева группа ранга m, изоморфная аддитивной подгруппе вещественных чисел, порожденной степенями одного из положительных корней многочлена f(x);
— Dm — абелева группа ранга w, изоморфная аддитивной подгруппе вещественных чисел, порожденной степенями одного из положительных корней многочлена к(А).
В данном случае используются только многочлены с целочисленными коэффициентами. Это сделано исключительно для удобства изложения. Примеры многочленов с рациональными коэффициентами рассматриваются в том же ключе.
Izvestiya of Irkutsk State Economics Academy, Известия Иркутской государственной экономической академии.
2014, no. 6 (98), pp. 152-158. ISSN 1993-3541 2014. № 6 (98). С. 152-158. ISSN 1993-3541
V. V. BLUDOV, L. E. BADMAEVA
3. т = 2. Многочлен Дх) = х2 - а^ - а0. В случае а0 = -1 получаем:
д° = д,; д, = д-'дГ; [д0- д,]с = [д,- д-'дГ] = [д0- д,Г = [д0- д,]-
При а, > 0 многочлен имеет два положительных корня, что приводит к тому, что G/D2 допускает 8 упорядочений (см.: [6, теорема 5.3.2]), подгруппа D2 — циклическая, допускает 2 упорядочения и, значит, вся группа G допускает 16 упорядочений.
В качестве неприводимого многочлена с двумя положительными корнями можно взять, например, Дх) = х2 - 3х + 1.
Отметим, что если а0 = 1, то [д0, д,]с = [д0, д, ]-1 и группа не допускает линейных упорядочений.
4. т = 3. Многочлен f (х) = х3 - а2х2 - а1х -а0, а0 = ±1, соответственно д0с = д,; д0 = д- 1 д2;
с ао а, а2
до = д0 да д2 -_ _ _
В базисе д0, д,, д2 матрица
Л =
0 0 1 0 0
В подгруппе D3 получаем:
< = [9о- 9 ]c = [9i- 92] = d3;
d2 = [9o- 92]c = [9i- 9a дГэ22] = = [9o- 9i]-a0[9i- 92p = d-a0d°32;
dC = [g2- g09Гэ22] =
= [9й> 92]-a0[9i- 92 P1 = d—d3ai-В базисе du d2, d3 матрица
B =
Найдем характеристическую матрицу С = = ЛЕ - В и посчитаем ее определитель, получим многочлен
I 2/Л , _ \ ,2
0 —a0 0
0 0 —a0
1 a2 —ai
k(X) = X (X + a1) - a2 + a0a2X =
= X3 + a1X2 + a0a2X ■
(3)
Число положительных корней данного многочлена будет определять число различных линейных упорядочений группы D3 при условии, что многочлен к(Л) неприводимый. Используя теорему Виета [11; 12], можно составить различные вариации произведения корней многочлена Дх), которые будут являтся коэффициентами многочлена к(Л).
Подбирая многочлены f(x) с различным числом положительных корней, получаем группы с различным числом упорядочений:
4.1. Если неприводимый многочлен f(x) имеет один положительный корень и два комплексных корня, и многочлен k(A) неприводимый, то k(A) имеет один положительный и два действительных комплексных корня. Еще раз ссылаясь на теорему 1 получаем, что число упорядочений равно 8.
4.2. Если неприводимый многочлен f(x) имеет один положительный корень и два отрицательных корня и многочлен k(A) неприводимый, то он имеет один положительный и два отрицательных корня. В этом случае число упорядочений также равно 8.
4.3. Если неприводимый многочлен f(x) имеет два положительных корня и один отрицательный корень и многочлен k(A) неприводимый, то он имеет один положительный и два отрицательных корня. В этом случае число упорядочений равно 16.
4.4. Если неприводимый многочлен f(x) имеет три положительных корня и многочлен k(A) неприводимый, то он имеет три положительных корня. В этом случае число упорядочений равно 72.
Приведем конкретные примеры, показывающие как реализуются перечисленные случаи.
В первом случае в качестве многочлена f(x) можем взять многочлен 3-й степени f(x) = x3 - x - 1. Данный многочлен является неприводимым над кольцом целых чисел, поскольку значения x0 = ±1 не являются корнями данного уравнения.
Теперь определим количество положительных корней данного многочлена. Используем метод Штурма (см.: [11; 12]). Имеем f'(x) = 3x2 -1; нули производной ±"у/з/2. Получились следующие промежутки знакопостоянства функции
S1 Г V3 V3 Нл/3 Л
' 3 ' 3
—тс; — -
На промежутке (0; х>) функция Дх) имеет один положительный корень, на остальных промежутках действительных корней нет. В этом можно убедиться и из графика функции f(x) = х3 - х - 1 (рис. 1).
По формуле (3) получим характеристический многочлен преобразования коммутанта к(Л) = Л3 + Л2 - 1, где к(Л) является неприводимым многочленом и имеет 1 положительный корень на интервале (0; 1) (рис. 2).
Число различных упорядочений группы 2 ■ 2 ■ 2 = 8.
Izvestiya of Irkutsk State Economics Academy, 2014, no. 6 (98), pp. 152-158. ISSN 1993-3541
Известия Иркутской государственной экономической академии.
2014. № 6 (98). С. 152-158. ISSN 1993-3541
MATHEMATICAL MODELING, SYSTEMS ANALYSIS
-8 -1-
Рис. 1. График функции х) = х3 — х — 1 Yi 20 15 10 5--
-0,5 ^ 075 1 1,5 2 2,5 X -5--
Рис. 2. График функции к(А) = А3 + А2 — 1
Во втором случае в качестве многочлена Дх) возьмем многочлен Дх) = х3 + 4х2 - х - 1, имеющий один положительный корень и два отрицательных корня.
По формуле (3) многочлен к(Л) = А3 + А2 + + 4А - 1. Отметим, что к(А) неприводимый, имеет один положительный корень. Число различных упорядочений группы 2 ■ 2 ■ 2 = 8.
В третьем случае в качестве многочлена Дх) возьмем многочлен Дх) = х3 - 5х2 + 2х + 1, имеющий два положительных корня. По формуле (3) многочлен к(А) = А3 - 2А2 - 5А - 1 неприводимый, имеет один положительный корень. Число различных упорядочений группы 2 ■ 4 ■ 2 = 16.
В четвертом случае в качестве многочлена Дх) возьмем многочлен Дх) = х3 - 5х2 + 6х - 1, имеющий три положительных корня. По формуле (3) многочлен к(А) = А3 - 6А2 + 5А - 1 также неприводимый, имеет три положительных корня. Число различных упорядочений группы 6 ■ 6 ■ 2 = 72.
5. m = 4. Многочлен Дх) = х4 - а3х3 - а2х2 -- а,х - а0; а0 = ±1, соответственно яС = Ян Яс = Я2;
с С Оо Ол о 2 Оз
Яс = Яз; Яс = Я° Я° Я2 Яз 3.
В подгруппе D4 получаем:
dС = [Яо- Я,]с = [Я,- Я2] = dз;
сСс = [Яо- Я2]с = [Я(- Яз] = d5;
сСс = [Я1- я2]с = [Я2- Яз] = d6;
= [Яо- Яз]С = [Я1- яОЯ11Я2яО3] = = [Яо- Я1]-О0[Я1- Я2Г2[Я1- Я3]03 = dГОоdО2
с5 = [Я1- Яз]с = [Я2- яС0 яГя22 ЯзОз] = = [Яо- Я2]-Оо[Я1- Я2Р[Я2- ЯзГз = d2ОоС-0^;
d6С = [Я2- Яз]С = [Яз- яС0 яГя22 ЯзОз] = = [Яо- Яз]-0С[Я1- ЯзГ[Я2- Яз]-Г2 = С-0сТ5«сТ6'2. В базисе d1, d2, d3, d4, d5, d6 матрица
B =
0 0 0 -a0 0 0
0 0 0 0 -a0 0
1 0 0 a2 -a1 0
0 0 0 0 0 -a0
0 1 0 a3 0 -a1
0 0 1 0 a3 -a2
Найдем характеристическую матрицу С = АЕ - В и посчитаем ее определитель, и получим многочлен
, 6 , _ 1 5 , /_ _ , . И4
k(X) = X6 + a2X5 + ( a a2 + a0)X4 + + ( a0a32 - a2 + 2 a0 a2)X' -- a0(a1 a2 + a0)X2 + a0 a 2X - a0-
(4)
Число положительных корней данного многочлена будет определять число различных линейных упорядочений группы D4, при условии, что многочлен к(А) неприводимый.
Подбирая многочлены Дх) с разным числом положительных корней, получаем группы с различным числом упорядочений:
5.1. Если неприводимый многочлен Дх) имеет один положительный корень и три отрицательных корня и многочлен к(А) неприводимый, то он имеет три положительных и три отрицательных корня. В этом случае число упорядочений равно 24.
5.2. Если неприводимый многочлен Дх) имеет два положительных корня и два отрицательных корня и многочлен к(А) неприводимый, то он имеет два положительных и четыре отрицательных корня. В этом случае число упорядочений равно 32.
5.3. Если неприводимый многочлен Дх) имеет два положительных корня и два комплексных корня и многочлен к(А) неприводимый, то он имеет два положительных и четыре комплекс-
Izvestiya of Irkutsk State Economics Academy, 2014, no. 6 (98), pp. 152-158. ISSN 1993-3541
V. V. BLUDOV, L. E. BADMAEVA
ных корня. В этом случае число упорядочений также равно 32.
5.4. Если неприводимый многочлен f(x) имеет три положительных корня и один отрицательный корень и многочлен k(A) неприводимый, то он имеет три положительных и три отрицательных корня. В этом случае число упорядочений равно 72.
5.5. Если неприводимый многочлен f(x) имеет четыре положительных корня и многочлен k(A) неприводимый, то он имеет шесть положительных корней. В этом случае число упорядочений равно 192.
Приведем конкретные примеры для случаев 5.1 и 5.2.
В первом случае в качестве многочлена f(x) возьмем многочлен f(x) = x4 + 11 x3 + 7x2 - 7x - 1. Многочлен неприводим над кольцом целых чисел, так как ему соответствует неприводимый многочлен в Z2: р(А) = А4 + А3 + А2 + А + 1 (mod 2) [8; 9, табл. неприводимых многочленов]. Отметим, что f(x) имеет один положительный и три отрицательных корня. Это следует из того, что f(-11) > 0; f(-2) < 0, f(-1) > 0; f(0) < 0; f(1) > 0.
По формуле (4) получим многочлен к(А) = А6 - 7А5 - 76А4 + 58А3 + 76А2 - 7А - 1.
Данный многочлен имеет три положительных и три отрицательных корня, так как k(-7) > 0; k(-4) < 0; k(-0, 5) > 0; k(0) < 0; k(1) > 0; k(2) < 0; k(13) > 0. Проверим его на неприводимость над кольцом целых чисел. Представим по модулю 2: р,(А) = А6 + А5 + А + 1 = (А + 1)2(А4 + А3 + А2 + А + 1)
Известия Иркутской государственной экономической академии.
2014. № 6 (98). С. 152-158. ISSN 1993-3541
(mod 2) и модулю 3: р2(А) = А6 + 2А5 + 2А4 + А3 + + А2 + 2А + 2 = (А3 + 2А + 2)(А3 + 2А2 + 1) (mod 3). Видим, что многочлен р1 (А) раскладывается на многочлены 1-й и 4-й степени (А + 1), (А4 + А3 + + А2 + А + 1), неприводимые над Ъ2, многочлен р2(А) — на два многочлена 3-й степени (А3 + + 2А + 2), (А3 + 2А2 +1) — неприводимые над Z3. Поскольку рт(А) и р2(А) раскладываются на многочлены разных степеней, то f(x) не раскладывается на многочлены над Ъ.
В результате число упорядочений равно 6 ■ 2 ■ 2 = 24.
Во втором случае в качестве многочлена f(x) возьмем многочлен f(x) = x4 - x3 - 11 x2 + 5x + 5. Многочлен неприводим над кольцом целых чисел, так как ему соответствует неприводимый многочлен в Ъ2: р(А) = А4 + А3 + А2 + А + 1 (mod 2), как и в случае 5.1. Отметим, что f(x) имеет два положительных корня и два отрицательных корня. Это следует из того, что f(-4) > 0; f(-2) < 0; f(0) > 0; f(2) < 0; f(4) > 0.
По формуле (4) получим:
к(А) = А6 + 11 А5 - 10А4 - 140А3 - 50А2 + 275А + 125.
Многочлен к(А) имеет два положительных и четыре отрицательных корня, поскольку k(—11) > 0; k(-3) < 0; k(-2) > 0; k(-1) < 0; k(0) > 0; k(2) < 0; k(4) > 0.
Многочлен к(А) неприводим над кольцом целых чисел, так как его разложение по модулям 2 и 3 совпадает с примером 5.1. Число различных упорядочений 4 ■ 4 ■ 2 = 32.
Список использованной литературы
1. Блудов В. В. Группы, упорядочиваемые единственным способом / В. В. Блудов // Алгебра и логика. — 1974. — Т. 13, № 6. — С. 609-634.
2. Блудов В. В. О нормальных относительно выпуклых подгруппах разрешимых упорядочиваемых групп / В. В. Блудов, В. М. Копытов, А. Х. Ремтула // Алгебра и логика. — 2009. — Т. 48, № 3. — С. 291-308.
3. Гласс А. М. В. Унилатеральные о-группы / А. М. В. Гласс, Н. Я. Медведев // Алгебра и логика. — 2006. — Т. 45, № 1. — С. 20-27.
4. Клейменов В. Ф. О способах упорядочения конечно порожденных нильпотентных групп / В. Ф. Клейменов // Алгебра, логика и приложения : сб. — Иркутск : Изд-во ИГУ, 1994. — С. 22-28.
5. Копытов В. М. О линейно упорядоченных разрешимых группах / В. М. Копытов // Алгебра и логика. — 1973. — Т. 12, № 6. — С. 655-666.
6. Копытов В. М. Правоупорядоченные группы / В. М. Копытов, Н. Я. Медведев. — Новосибирск : Науч. кн., 1996. — 256 с.
7. Курош А. Г. Теория групп / А. Г. Курош. — М. : Физматлит, 2011. — 805 с.
8. Лидл Р. Конечные поля / Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. — М. : Мир, 1988. — 430 с.
9. Лидл Р. Прикладная абстрактная алгебра / Р. Лидл, Г. Пильц. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 1996. — 743 с.
10. Медведев Н. Я. Группы с конечным числом линейных порядков / Н. Я. Медведев // Алгебра и логика. — 1999. — Т. 38, № 2. — С. 176-200.
11. Прасолов В. В. Многочлены / В. В. Прасолов. — М. : МЦНМО, 2001. — 336 с.
12. Табачников С. Л. Многочлены / С. Л. Табачников. — М. : ФАЗИС, 2000. — 200 с.
13. Dlab V. On a family of simple ordered groups / V. Dlab // J. Aus. Math. —1968. — Soc. 8, № 3. — P. 591-608.
14. Iwasawa K. On linearly ordered groups / K. Iwasawa // J. Math. Soc. Japan. — 1948. — Vol. 1, № 1. — P. 1-9.
Izvestiya of Irkutsk State Economics Academy, Известия Иркутской государственной экономической академии.
2014, no. 6 (98), pp. 152-158. ISSN 1993-3541 2014. № 6 (98). С. 152-158. ISSN 1993-3541
MATHEMATICAL MODELING, SYSTEMS ANALYSIS
References
1. Bludov V. V. Groups ordered in the only way. Algebra i logika = Algebra and Logic, 1974, vol. 13, no. 6, pp. 609-634. (In Russian).
2. Bludov V. V., Kopytov V. M., Rhemtulla A. H. Normal relatively convex subgroups of solvable orderable groups. Algebra i logika = Algebra and Logic, 2009, vol. 48, no. 3, pp. 291-308. (In Russian).
3. Glass A. M. W., Medvedev N. Ya. Unilateral o-groups. Algebra i logika = Algebra and Logic, 2006, vol. 45, no. 1, pp. 20-27. (In Russian).
4. Kleimenov V. F. On the methods of ordering finitely generated nilpotent groups. Algebra, logika i prilozheniya [Algebra, Logic and Applications]. Irkutsk State University Publ., 1994, pp. 22-28. (In Russian).
5. Kopytov V. M. On linearly ordered solvable groups. Algebra i logika = Algebra and Logic, 1973, vol. 12, no. 6, pp. 655-666. (In Russian).
6. Kopytov V. M., Medvedev N. Ya. Pravouporyadochennye gruppy [The right-ordered Groups]. Novosibirsk, Nauchnaya kniga Publ., 1996. 256 p.
7. Kurosh A. G. Teoriya grupp [Group Theory]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2011. 805 p.
8. Lidl R., Niderraiter G. Konechnye polya [Finite Fields]. Moscow, Mir Publ., 1988. 430 p.
9. Lidl R., Pil'ts G. Prikladnaya abstraktnaya algebra [Applied Abstract Algebra]. Yekaterinburg, Ural University Publ., 1996. 743 p.
10. Medvedev N. Ya. Groups with a finite number of linear orders. Algebra i logika = Algebra and Logic, 1999, vol. 38, no. 2, pp. 176-200. (In Russian).
11. Prasolov V. V. Mnogochleny [Polynomials]. Moscow, MTsNMO Publ., 2001. 336 p.
12. Tabachnikov S. L. Mnogochleny [Polynomials]. Moscow, FAZIS Publ., 2000. 200 p.
13. Dlab V. On a family of simple ordered groups. J. Aus. Mafh., 1968, Soc. 8, no. 3, pp. 591-608.
14. Iwasawa K. On linearly ordered groups. J. Mafh. Soc. Japan, 1948, vol. 1, no. 1, pp. 1-9.
Информация об авторах Блудов Василий Васильевич — доктор физико-математических наук, профессор, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 664054, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, e-mail: [email protected].
Бадмаева Людмила Эдуардовна — аспирант, кафедра математики, статистики и эконометрики, Байкальский государственный университет экономики и права, 664003, г. Иркутск, ул. Ленина, 11, e-mail: [email protected].
Authors
Vasily V. Bludov — Doctor habil. (Physical and Mathematical Sciences), Professor, Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, 134 Lermontov St., Irkutsk, 664054, Russian Federation, e-mail: [email protected].
Luydmila E. Badmaeva — PhD student, Department of Mathematics, Econometrics and Statistics, Baikal State University of Economics and Law, 11 Lenin St., Irkutsk, 664003, Russian Federation, e-mail: [email protected].
Библиографическое описание статьи Блудов В. В. О способе построения упорядочиваемых разрешимых групп с конечным числом упорядочений / В. В. Блудов, Л. Э. Бадмаева // Известия Иркутской государственной экономической академии. — 2014. — № 6 (98). — С. 152-158. — DOI: 10.17150/1993-3541.2014.24(6).152-158.
Reference to article Bludov V. V., Badmaeva L. E. On the method constructing of orderable soluble groups with finitely many orderings. Izvestiya Irkutskoy gosudarstvennoy ekonomi-cheskoy akademii = Izvestiya of Irkutsk State Economics Academy, 2014, no. 6 (98), pp. 152-158. (In Russian). DOI: 10.17150/1993-3541.2014.24(6). 152-158.
