CC BY
40
1. Алгебра и геометрия
УДК 512.54
doi: 10.18097/1994-0866-2015-0-9-3-6
О СТАБИЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ В СВОБОДНЫХ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУППАХ
РАНГА ДВА
© Ковыршина Анна Ивановна
кандидат физико-математических наук, доцент Педагогического института Иркутского государственного университета
Россия, 664003, ул. Карла Маркса, 1, e-mail: [email protected]
В статье представлено полное описание элементов свободных нильпотентных групп ранга два ступени восемь, остающихся неизменными под действием любого автоморфизма группы. Известно, что в таких группах существуют нетривиальные стабильные элементы, но их количество найдено не было. В работе доказывается теорема о единственности (с точностью до его степеней) нетривиального стабильного элемента в свободных нильпотентных группах ранга два ступени восемь.
Ключевые слова: автоморфизмы групп, неподвижные точки.
STABLE ELEMENTS IN FREE NILPOTENT GROUPS OF RANK TWO
Anna I. Kovyrshina
PhD, A/Professor, Pedagogical Institute of Irkutsk State University
1 Karla Marksa st., Irkutsk 664003, Russia
The article presents a complete description of the elements of free nilpotent groups of rank two and stage 8 that remain unchanged under the action of any automorphism of the group. Existence of nontrivial stable elements in such groups is known, but their number was not found. We prove a theorem on the uniqueness (up to its powers) of nontrivial stable element in free nilpotent groups of rank two and stage 8.
Keywords: automorphisms of groups, fixed points.
Введение
Стабильными элементами группы называются элементы, неподвижные при всех ее автоморфизмах. Стабильные элементы свободных нильпотентных групп тесно связаны с инвариантами Ли свободных колец Ли. Вопросами существования инвариантов Ли занимались Ф. Вефер (1949 г.) и М. Барроу (1958 г.), были найдены условия существования инвариантов Ли [см. 4, 5, 9]. В работе [9] представлен явный вид одного из таких элементов. В дальнейшем это послужило основанием для предположения, что неединичные стабильные элементы также могут существовать и в свободных нильпотентных группах при определенных условиях на ранг и ступень нильпотентности группы.
Вопрос о существовании стабильных элементов в группах был поставлен А. Мясниковым в проекте MAGNUS (http://www.sci.ccny.cuny.edu/~shpil/gworld/problems/probnil.html):
Пусть G - свободная нилъпотентная группа конечного ранга r. Пусть элемент g е G неподвижен относительно всех автоморфизмов группы G. Верно ли, что g = 1 ? Отрицательный ответ на этот вопрос был получен в 1998 году В. В. Блудовым [1], который привел примеры нетривиальных стабильных элементов свободных нильпотентных групп ранга 2, в частности, элемент [a,b,a,[a,b,b],[a,b]] стабилен относительно любого автоморфизма свободной нильпотентной группы ранга два и ступени восемь.
В 2001 году независимо друг от друга A. Папистас [8] и E. Форманек [6] классифицировали все пары (r, n), при которых существуют нетривиальные стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга r и ступени n. Так, для r = 2 наименьшая ступень
нильпотентности, при которой существуют нетривиальные стабильные элементы, равна 8. При этом конкретный вид стабильных элементов в этих работах не был указан, его нахождение представляет определенную техническую сложность.
Автором был получен метод нахождения стабильных элементов свободной нильпотентной группы [2]. Этот метод был применен для отыскания всех стабильных элементов с однородным вхождением образующих свободных нильпотентных групп ранга 2 ступени 12. В работе [3] было представлено полное описание таких элементов. Вопрос о существовании стабильных элементов свободной нильпотентной группы ранга 2 и ступени 8, отличных от элемента, указанного В. В. Блудовым, оставался открытым.
В представленной работе рассматривается свободная нильпотентная группа ранга 2 и ступени 8, которую будем обозначать через 8.
1. Вспомогательные сведения
При доказательстве основной теоремы нам понадобятся следующие результаты.
Утверждение 1. Стабильные элементы лежат в центре группы.
Утверждение 2. Элементы из центра свободной нильпотентной группы и только они неподвижны относительно всех ее 1А-автоморфизмов, т. е. автоморфизмов группы, индуцирующих тождественные отображения в фактор-группе по коммутанту.
Любой автоморфизм е Лш() представим в виде у/% , где у е 1А(¥2), представитель смежного класса Аш(1А(¥2). Поэтому, чтобы проверить, является ли элемент g группы ¥2 8 стабильным относительно всех автоморфизмов группы, необходимо и достаточно проверить, что g стабилен относительно автоморфизмов % . Ввиду справедливости цепочки изоморфизмов групп
Лиг (^2)/ 1А(¥2) = Лиг (¥2 /[^2, ^2]) = оь2(1) можно вместо действия автоморфизмов на фактор-группе 8 /[^2 8, 8] проверять действие ОЬ2 (Z) на свободной абелевой группе с порождающими а, Ь .
Обозначим порождающие ОЬ2 (X):
срХ2 : а ^ а + Ь, Ь ^ Ь;
(р21 : а ^ а, Ь ^ а + Ь;
а1 : а ^-а , Ь ^ Ь;
а2: Ь ^-Ь , а ^ а.
Ввиду утверждения 1, необходимо рассмотреть действие указанных автоморфизмов в центре группы ¥2 8.
Утверждение 3. Пусть g = ^ , т8 е Z - центральный элемент свободной
нильпотентной группы ранга 2, ступени 8. Для того чтобы элемент g был стабильным относительно автоморфизмов а1,а2, необходимо и достаточно, чтобы число вхождений каждого из образующих в коммутаторы и5 было четным.
В работе мы используем разложение элемента группы на базисные коммутаторы, выбран базис М. Холла [например, см. 7]. Итак, мы будем брать в качестве коммутаторов и5 базисные коммутаторы с четным числом вхождения образующих. Чтобы проверить, является ли элемент группы g = ^ т5и5, т5 е Z стабильным, нам необходимо и достаточно проверить, что
g неподвижен относительно автоморфизмов <рп и (р21.
2. Основной результат
Теорема. В свободной нильпотентной группе ранга 2, ступени 8 существует единственный нетривиальный стабильный элемент (с точностью до его кратных).
А. И. Коеыршина. О стабильных элементах в свободных нильпотентных группах ранга два
Доказательство: Пусть g = ^ т5и5, т5 е %, и5- базисные коммутаторы с четным числом
вхождения образующих.
Запишем все базисные коммутаторы веса 8, в которые образующие входят четное число раз: и1 = [[а, Ь, Ь, Ь, а, а],[а, Ь]] ,и2 = [[а, Ь, Ь, Ь, Ь, Ь],[а, Ь]], и3 = [[а, Ь, а, а, а, а],[а, Ь]] ,и4 = [[а, Ь, Ь, Ь, а],[а, Ь, а]], и5 = [[а, Ь,Ь, а, а],[а,Ь,Ь]], и6 = [[а,Ь,Ь,Ь,Ь],[а,Ь,Ь]], и7 = [[а,Ь,а,а,а],[а,Ь,а]], и8 = [[а,Ь,а,а],[а,Ь,Ь,Ь]], и9 = [[[а, Ь, а],[а, Ь]],[а, Ь, Ь]], и10 = [[[а, Ь, Ь],[а, Ь]],[а, Ь, а ]], и11 = [[[а, Ь, Ь, а],[а, Ь]],[а, Ь]], и12 = [а, Ь, Ь, Ь, Ь, а, а, а], и13 = [а, Ь,Ь, а, а,а, а, а], и14 = [а, Ь,Ь, Ь,Ь, Ь,Ь, а].
14
Элемент g = ^ т5и5 под действием автоморфизма (р12 (или (р21) переходит в сумму
5 5
5=1
g + ^ М , где М _ линейная комбинация коммутаторов, полученных из и5 заменой к вхож-
к=1
дений образующего а на Ь (соответственно, Ь на а ), г - наибольшее из чисел, определяющих количество вхождений образующего а (Ь ) в коммутаторы и5. Для нашего случая г = 6 . Если линейная комбинация м1 не равна нулю, то элемент g является нестабильным. Еслим1 = 0, то g становится кандидатом на стабильный элемент. Далее, следует проверить выполняются ли равенствамк = 0для к = 2,...,г . В случае положительного ответа, следует, что <р12(g) = g (или <?21(g) = g ).
Для каждого из автоморфизмов (р12 и (р21 найдем линейные комбинации м1 и определим условия, которым должны удовлетворять коэффициенты т5,5 = 2, ... ,14, чтобы выполнялось равенство м1 = 0. Опуская промежуточные выкладки, связанные с разложением автоморфных образов элементов и!1,5 = 2,...,14 по базисным, запишем систему уравнений для вычисления т5:
2т1 = 0, 4т2 = 0, т1 + т11 = 0, 4т3 = 0, т4 = 0, 3т7 = 0,
т4 + 2т5 = 0, т5 + т9 + т10 = 0, 2т6 + т9 = 0, 2т8 = 0. Общее решение данной системы имеет вид т9 = ^, т10 = .
Таким образом, кандидатом на стабильный элемент становится элемент g = Ш9 - Ш10, при любом целом, отличном от нуля t. Далее проверяем, что линейные комбинации коммутаторов, полученных заменой более одного вхождения а на Ь и линейные комбинации коммутаторов, полученных заменой более одного вхождения Ь на а равны нулю. Таким образом, g - стабильный элемент. Теорема доказана.
Замечание. Элемент [а,Ь,а,[а,Ь,Ь],[а,Ь]], представленный В. В. Блудовым, не является базисным, его разложение по базисным имеет вид и9 — и10.
Заключение
Показано применение метода нахождения стабильных элементов для доказательства единственности нетривиального стабильного элемента в свободных нильпотентных группах ранга 2 ступени 8.
Автор благодарен профессору В. В. Блудову за постановку вопросов и внимание к работе.
Литература
1. Блудов В. В. Неподвижные точки относительно всех автоморфизмов в свободных ниль-потентных группах // Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике: тез. докл. - Новосибирск, 1998. - Ч. 5.
2. Ковыршина А. И. Стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга
три // Вестник Омского университета. - 2010. - № 4(58). - С. 20-23.
3. Ковыршина А. И. Стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга два // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. - 2010. - Т. 3, № 4.- С. 48-57.
4. Burrow M. D. Invariants of free Lie rings // Communications on pure and applied mathematics. - 1958. - No. 11. - Pp. 419-431.
5. Burrow M. D. The enumeration of Lie invariants // Communications on pure and applied mathematics. - 1967. - No. 20. - Pp. 401-411.
6. Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups // Communications in algebra. 2002. No. 30. Pp. 1033-1038.
7. Магнус В., Kappac А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. - М.: Наука, 1974. -455 с.
8. Papistas A. A note on fixed points of certain relatively free nilpotent groups //Communications in algebra. 2001. No. 29. Pp. 4693-4699.
9. Wever F. Ueber Invarianten in Lieschen Ringen // Mathematische Annalen. - 1949. - No. 120. -Pp. 563-580.
References
1. Bludov V. V. Nepodvizhnye tochki otnositel'no vsekh avtomorfizmov v svobodnykh nil'potent-nykh gruppakh [Fixed points with respect to all automorphisms in free nilpotent groups]. Tretii Sibir-skii kongress po prikladnoi i industrial'noi matematike - Third Siberian Congress on Industrial and Applied Mathematics. Part 5. Novosibirsk, 1998.
2. Kovyrshina A. I. Stabil'nye elementy v svobodnykh nil'potentnykh gruppakh ranga tri [Fixed points in free nilpotent groups of rank three]. Vestnik Omskogo universiteta - Bulletin of Omsk University. 2010. No. 4 (58). Pp. 20-23.
3. Kovyrshina A. I. Stabil'nye elementy v svobodnykh nil'potentnykh gruppakh ranga dva [Stable elements of free nilpotent of rank two]. Izvestiya Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika. Proceedings of Irkutsk State University. Series: Mathematics, 2010. No. 4. Pp. 48-57.
4. Burrow M. D. Invariants of free Lie rings. Communications on pure and applied mathematics. 1958. No. 11. Pp. 419-431.
5. Burrow M. D. The enumeration of Lie invariants. Communications on pure and applied mathematics. 1967. No. 20. Pp. 401-411.
6. Formanek E. Fixed points and centers of automorphism groups of free nilpotent groups. Communications in algebra. 2002. No. 30. Pp. 1033-1038.
7. Magnus W., Karras A., Solitar D. Combinatorial Group Theory: Presentations of Groups in Terms of Generators and Relations. New York-London-Sydney: John Wiley and Sons, Inc., 1966. 444 p.
8. Papistas A. A note on fixed points of certain relatively free nilpotent groups. Communications in algebra. 2001. No. 29. Pp. 4693-4699.
9. Wever F. Ueber Invarianten in Lieschen Ringen. Mathematische Annalen. 1949. No. 120. Pp. 563-580. (Ger.)
