О фрагментах теорий некоторых разрешимых или нильпотентных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54

DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(2).47-52

О ФРАГМЕНТАХ ТЕОРИЙ НЕКОТОРЫХ РАЗРЕШИМЫХ ИЛИ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП

Е. И. Тимошенко

Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск, Россия

Информация о статье

Дата поступления 17.02.2018

Дата принятия в печать 29.03.2018

Дата онлайн-размещения 25.06.2018

Аннотация. Пусть G - свободная группа F ранга 2 или свободная метабелева группа М ранга 2, Р - множество примитивных элементов группы G. Во-первых, указаны счетные множества экзистенциальных формул, определяющих множества Р в каждом из двух случаев. Отмечено, что никакое конечное подмножество указанных множеств формул не определяет Р. Во-вторых, показано, что два элемента из коммутанта [М, М] тогда и только тогда автоморфно сопряжены в М, когда они удовлетворяют одним и тем же экзистенциальным формулам. В-третьих, установлено, что частично коммутативные нильпотентные группы являются ЦА-группами.

Ключевые слова

Экзистенциальная формула, свободная группа, свободная метабелева группа, свободная нильпотентная группа, примитивный элемент, формульность подмножества, автоморфная сопряженность, однородность, ЦА-группа

Финансирование

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-01-00100

ON FRAGMENTS OF THEORIES OF SOME SOLVABLE OR NILPOTENT GROUPS

E. I. Timoshenko

Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russia

Article info Abstract. Let G be the free group F of rank 2 or free metabelian group M of rank 2, and P

Received be the set of all primitive elements of G. First, we prove that there is a countable set of

17.02.2018 existential formulas that determines P, however no finite subset of these formulas does.

Second, it is shown that two elements of the [M, M] conjugate by some automorphism of Accepted M if and only if they satisfy the same existential formulas. Third, we establish that partially

29.03.2018 commutative nilpotent groups are QA-groups.

Available online 25.06.2018

Keywords

Existential formula, free group, free metabelian group, free nilpotent group, primitive element, definability of a subset, automorphic conjugacy, homogeneity, QA-group

Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 2. С. 47-52

-ISSN 1812-3996

Acknowledgements

The reported study was funded by RFBR according to the research project № 18-01-00100

К 70-летию моего друга Виталия Анатольевича Романькова

1.Введение

Пусть ТЩв) - теория группы G, т. е.ь множество всех предложений групповой сигнатуры, истинных на группе в. В работе [1] определен класс ЦА-групп, а именно конечно порожденная бесконечная группа в называется квазиаксиоматизированной или ЦА-группой, если для любой конечно порожденной группы Н верна импликация ТЩв) = ТЩН) ^ в = Н.

Из классификации абелевых групп (см.: [2]) следует, что любая конечно порожденная бесконечная абелева группа принадлежит классу ЦА. В статье [3] доказано, что свободная метабелева группа конечного ранга является ЦА-группой, а из работы [4] следует, что любая конечно порожденная 2-сту-пенно нильпотентная группа без кручения является ЦД-группой. Там же приведен пример конечно порожденной 3-ступенно нильпотентной группы, которая не лежит в классе ЦА. Из решения А.Г. Мяснико-вым и О.Г. Харлампович проблемы А. Тарского [5] следует, что конечно порожденные свободные группы конечного ранга г > 2 не принадлежат классу ЦД.

Мы докажем, что любая частично коммутативная нильпотентная группа является ЦА-группой. Далее мы установим, что для любого п > 1 два упорядоченных набора элементов (д , ... ) и (йг, ... , кп) из коммутанта [М, М] свободной метабелевой группы М ранга 2 удовлетворяют одним и тем же экзистенциальным формулам групповой сигнатуры, тогда и только тогда, когда они сопряжены покоординатно некоторым автоморфизмом группы М, т. е. коммутант является 3-однородной подгруппой в М. Заметим, что в работах [6] и [7] доказана однородность свободных групп конечных рангов.

В разделе 3 мы приводим счетную последовательность экзистенциальных формул групповой сигнатуры, выделяющих примитивные элементы свободной метабелевой группы М, а также свободной группы Г рангов два и доказываем, что никакая конечная часть этих формул не выделяет множество примитивных элементов.

2. Частично коммутативные нильпотентные группы являются ОЛ-группами

Напомним определение частично коммутативной группы в некотором многообразии М. Пусть Г -конечный неориентированный граф без петель и кратных ребер, X = {хх, ... , хп} - множество вершин графа Г, Е - множество его ребер. Одновременно множество X является базисом свободной группы Г(М) многообразия М. Ребро, соединяющее вершины X; и х;-, обозначим (х;, х;). По графу Г определим частично коммутативную группу многообразия М: в(Г, М) как фактор-группу Г(М)/Я, где Я порождена как нормальная подгруппа теми коммутаторами [Х(, х;] = Х-1Х;"1Х(Х;- , для которых вершины х^ и х;- смежные в графе Г, т. е. (х^, х;) е Е. Граф Г называется определяющим для группы в(Г, М). Частично коммутативную группу многообразия ^ нильпо-тентных групп ступени нильпотентности не больше, чем с, будем обозначать Мс,г.

При доказательстве следующей теоремы мы используем понятие квази-конечно аксиоматизируемой или QFA-группы, которое А. Найс дал в работе [1]. А именно говорят, что группа в принадлежит классу групп QFA, если она бесконечна, конечно порождена и существует предложение ф групповой сигнатуры, принадлежащее теории группы в, такое, что для любой конечно порожденной группы Н верна импликация

Н = ф ^ Н = в.

Очевидно, что класс QFA является подклассом ЦА и эти классы близки, хотя не совпадают. Так, например, все бесконечные конечно порожденные абелевы группы не лежат в классе QFA (см.: [1]), хотя и являются ЦА-группами. Теорема 10 из статьи [4] утверждает, что конечно порожденная нильпотентная группа в принадлежит классу QFA тогда и только тогда, когда её центр 1(в) лежит в изоляторе коммутанта [в, в]. Класс QFA-групп содержит группы Баум-слага - Солитера вида < а, б : ¿Гга б = ат> (см.: [8]), а также сплетение циклической группы конечного простого порядка 1р и бесконечной циклической группы 1 (см.: [1]).

ISSN 1812-3996-

Теорема 1. Каждая частично коммутативная нильпотентная группа Ncr, c > 2, принадлежит классу QA.

Доказательство. Пусть H - конечно порожденная нильпотентная группа, элементарная теория которой совпадает с элементарной теорией группы G = Ncr. Предположим сначала, что какая-то вершина, например хп, определяющего графа Г смежная со всеми остальными вершинами. Обозначим через Д подграф Г, порожденный вершинами х1, ... ,

хп-1 ■

В работе [4] доказано, что две конечно порожденные нильпотентные группы G1 и G2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда G1 х Z = G2 х Z. Группа G изоморфна прямому произведению групп х <хп>. Значит, Nc Д х <хп> х Z = H х Z Исходя из данных статьи [9, лемма 1], в таком случае получаем Nc Д х <хп> = H , т. е. G = H.

Пусть теперь граф Г не содержит вершин, смежных со всеми остальными. Так как все члены нижнего центрального ряда конечно порожденной нильпотентной группы имеют конечную ширину (относительно понятия ширины вербальной подгруппы и его свойств см., например: [10]), то они фор-мульны. Факторизуя группы по третьему члену нижнего центрального ряда у (G), перейдем от Ncr к частично коммутативной 2-ступенно нильпотентной группе N2r и элементарно эквивалентной ей группе H/y3(H). Предположим, что элемент g = х^1 ... xk^ c, где ki е Z, а c - элемент из коммутанта группы N2 r, не принадлежит коммутанту. Тогда некоторое ki не равно нулю. Пусть, например, к1 * 0. Если g лежит в центре группы N2r, то [g, xj = 1 для всех 1+вершин Xj. Используем описание централизаторов элементов группы N2r, полученное в работе [11]. Из него следует, что вершина х1 смежная со всеми вершинами графа Г, противоречие. Значит, центр Z(G) группы G принадлежит коммутанту [G, G]. Теорема 10 из работы [12] утверждает, что конечно порожденная нильпотентная группа G принадлежит классу QFA тогда и только тогда, когда ее центр Z(G) лежит в изоляторе коммутанта [G, G]. Отсюда следует, что G е QFA, поэтому G е QA. Теорема доказана.

Заметим, что не любая частично коммутативная нильпотентная группа G является QFA-группой. Из приведенной выше теоремы 10 из статьи [12] вытекает, что если определяющий граф Г группы G содержит вершину, смежную со всеми остальными вершинами, то G не принадлежит QFA.

Вопрос 1. Верно ли, что любая частично коммутативная метабелева группа принадлежит классу ЦД?

Вопрос 2. Верно ли, что конечно порожденная свободная метабелева группа принадлежит классу ЦРД? Этот же вопрос для дискретного сплетения двух свободных абелевых групп конечного ранга.

3. Однородные группы

Для двух данных элементов g и h некоторой группы G будем писать g =э h, если эти элементы удовлетворяют одним и тем же 3-формулам ф(и) групповой сигнатуры с одной свободной переменной и.

Теорема 2. Два данных элемента g и h из коммутанта свободной метабелевой группы М ранга 2 тогда и только тогда лежат в одной орбите под действием группы автоморфизмов А^ (М), когда g

Доказательство. Если один из данных элементов тривиален, то тривиален и другой. Поэтому будем считать, что данные элементы отличны от единицы группы. Пусть {х, у} - базис группы М и g = д(х, у), h = ^х, у) - записи элементов через этот базис. Достаточно проверить, что из д =э h следует существование автоморфизма группы М, отображающего д в h.

Очевидно, что для формулы

Фд(г) И Зы,у (д(и, V) = г)) имеем МИ ф (д). Значит, МИ ф Другими сло-

9 9

вами, элемент h является образом элемента д при эндоморфизме а = {х — и, у — V}. Аналогично существует эндоморфизм р отображающий h в д. Значит, эндоморфизм ф = ра оставляет неподвижным неединичный элемент из коммутанта группы М. Элемент группы называется тестовым, если любой эндоморфизм, оставляющий этот элемент неподвижным, является автоморфизмом. Более общо, подмножество группы называется тестовым, если эндоморфизм, оставляющий каждый из элементов этого помноже-ства неподвижным, является автоморфизмом. Тестовый ранг группы определяется как наименьшее количество элементов в тестовом подмножестве. В работе [13] вычислен тестовый ранг свободной метабелевой группы произвольного ранга г > 2. Он оказался равным г-1. Доказано, что любой неединичный элемент с из коммутанта [М, М] является тестовым. Имеем ф(д) = д. Значит, ф - автоморфизм. Следовательно, а также автоморфизм. Теорема доказана.

В статье [14] приведен тестовый элемент свободной разрешимой группы ранга 2 ступени разрешимости 3. В работе [15] вычислен тестовый ранг

любой свободной разрешимой группы ступени не меньше 3 ранга г > 2. Оказалось, что он равен г-1.

Рассмотрим свободную в некотором многообразии групп в. Элемент д е в называется примитивным, если его можно дополнить до базиса этой группы.

Сформулируем три свойства для относительно свободной группы в конечного ранга г.

Свойство 1. Существует формула ф(х1, ... , хг) групповой сигнатуры со свободными переменными х1, ..., хг такая, что элементы д , ..., дг е в удовлетворяют формуле тогда и только тогда, когда они являются базисом для в.

Свойство 2. Существует формула ф(х) групповой сигнатуры со свободной переменной х такая, что элемент д е в удовлетворяет ей тогда и только тогда, когда является примитивным.

Свойство 3. Группа в является однородной.

Утверждение 1. Из свойства 1 следуют свойства 2 и 3.

Доказательство. Если группа в обладает свойством 1, то очевидно, что она обладает свойством 2. Проверим, что она обладает свойством 3. Итак, пусть формула ф(х1,., хг) выделяет базисы группы в. Предположим, что наборы элементов д = (51, ., 5„) и Л = (Й1,..., й„) удовлетворяют одним и тем же формулам от п свободных переменных.

Рассмотрим формулу

бдС^ ..., ^ 3 УГ" Уг МУ^ . , Уг) Л

л ли^(У1.....У„ ) = *.).

Ей удовлетворяют элементы д ,..., д . В качестве у , ... , у можно выбрать элементы базиса а1,..., аг группы в, в котором записаны д. и . Значит, эта формула верна для элементов й1, ... , й„. Пусть в качестве у выбраны элементы Ь;. Следовательно, элементы являются образами элементов д. при автоморфизме а = { а1 ^ Ь1, ... , аг ^ Ьг}. Тем самым установлено, что группа в однородна. Утверждение доказано.

Вопрос 3. Является ли однородной свободная метабелева группа конечного ранга г > 2?

4. Формульность множества примитивных элементов

Пусть в - некоторая группа, ф(х1, ... , хп) - формула языка 1-й ступени групповой сигнатуры от указанных свободных переменных. Подмножество <р) -{(51, ... , 0„) е С":С = ..., дп)}

-ISSN 1812-3996

группы Сп называется определимым формулой ф(хх, ... , X") или формульным. Расширим понятие формульного множества. Для этого рассмотрим некоторое счетное множество формул Ф = {<Pi(x !,... , X"): i е N}. Множество

S№) = {(5!,..., gn) е С": G 1= р.(g^ ... , gn) для всех i е N }

назовем определимым множеством формул Ф или типово формульным.

Очевидно, что любое множество, определимое совокупностью формул групповой сигнатуры, инвариантно относительно действия любого автоморфизма группы G.

Обозначим через P(G) множество всех примитивных элементов группы G. Через ncl( g ) обозначим нормальное замыкание элемента g в группе G. Будем говорить, что группа G обладает свойством PN, если для любой пары элементов g е G и h е P(G) из включения h е ncl(g) следует, что элемент g сопряжен с одним из элементов й±!, значит g также принадлежит P(G). Классический результат Магнуса [16] состоит в том, что свободная группа обладает свойством PN. Позже аналогичный результат для свободных метабелевых групп получил Эванс [17]. Легко видеть, что имеет место следующее:

Утверждение 2. Предположим, что элементарная теория относительно свободной группы G конечного ранга разрешима в сигнатуре, пополненной константами из фиксированного базиса, и группа G однородна. Тогда множество P(G) типово определимо в G.

Доказательство. Пусть h - некоторый примитивный элемент из G. Выпишем все формулы групповой сигнатуры, пополненной константами из базиса, с одной свободной переменной. Из них выберем те, которые истинны на элементе h. Это возможно сделать, так как элементарная теория группы G разрешима. Обозначим полученное множество формул через Ф(х). Предположим, что все эти формулы выполнены на элементе g. Так как G-однородная группа, то g и g лежат в одной орбите относительно Aut(G). Значит, g е P(G). Наоборот, если g е P(G), то g удовлетворяет любой формуле из Ф(х). Следовательно, Ф(х) типово определяет P(G). Утверждение доказано.

Известно (см.: [18], предложение 1), что множество примитивных элементов P(F) свободной группы Fn конечного ранга n > 3 не является формульным даже в сигнатуре, расширенной константами для свободных порождающих. Однако при

Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 2. С. 47-52

ISSN 1812-399б-

n = 2 множество P(F) формульно в групповой сигнатуре, расширенной двумя константами для базиса a, b группы F. Это первым доказал Нильсен в работе

[19], а позже - независимо А.И. Мальцев в статье

[20]. Свободная группа конечного ранга однородна [6; 7]. А.Г. Мясников и О.Г. Харлампович доказали в публикации [5], что ее элементарная теория в групповой сигнатуре, пополненной константами, разрешима. Из утверждения 2 получаем, что множество примитивных элементов свободной группы конечного ранга типово определимо. Приведенные выше соображения для свободной группы не проходят для свободной метабелевой группы конечного ранга > 2. Во-первых, неизвестно, является ли эта группа однородной, во-вторых, ее элементарная теория группы неразрешима. Тем не менее для свободной метабелевой группы M ранга 2 мы явно укажем семейство формул, выделяющих множество ее примитивных элементов.

Полагаем:

(pi(x) ф 3 g, уу ... , уп ((Vfe.....£í) X = д£1У

Зу (X = gey)), (1)

где £j, е е {-1, 1}, а gef для е е {1, -1} и /е G означает

f-1gef

Теорема 3. Множество P(M) примитивных элементов свободной метабелевой группы M ранга 2 определено З-формулами (1). Никакая конечная часть (1) не определяет множество P(M).

Доказательство. Пусть h е M и M И р¿(h) для i е N. Выберем в группе M базис х1, х2 так, что h = х^с,

где k е Z, c - элемент из коммутанта группы M. Рассмотрим в формулах (1) в качестве g элемент х1. Так как при любом k элемент h принадлежит нормальной подгруппе, порожденной элементом х1, то справедлива хотя бы одна предпосылка в некоторой формуле < (X). Поэтому справедливо и следствие в этой формуле. Значит, элемент h сопряжен с одним из элементов х1 или х-1. В том и другом случае h является примитивным элементом.

Наоборот, пусть h - примитивный элемент. Предположим, что предпосылка формулы < верна, т. е. h = g£iyi... g£iyi для некоторых элементов группы g, y, ... ,yi и некоторых е1, —.е^ е {1, -1}. Следовательно, элемент h принадлежит нормальной подгруппе, порожденной элементом g. Группа M обладает свойством PN. Значит, верна формула <р. (h).

В статье [16] доказано, что множество примитивных элементов свободной метабелевой группы нельзя определить З-формулой групповой сигнатуры. Отсюда следует вторая часть теоремы. Теорема доказана.

Из леммы 3 (см. работу [21]) следует, что множество примитивных элементов свободной группы конечного ранга также нельзя определить З-форму-лой групповой сигнатуры. Так как эта группа обладает свойством PN, то верна следующая теорема.

Теорема 4. Множество примитивных элементов P(F) свободной группы F ранга 2 определяется формулами (1). Никакая конечная часть (1) не определяет множество P(F).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Nies A. Separating classes of groups by first-order formulas // Int. J. Algebra and Comp. 2003. Vol. 13, no 3. P. 287-302.

2. Szmielew W. Elementary properties of Abelian groups // Fund. Math. 1954. Vol. 41. P. 203-271.

3. Романовский Н. С., Тимошенко Е. И. О некоторых элементарных свойствах 2-ступенно разрешимых групп // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44, № 2. С. 438-443.

4. OgerF. Cancellation and elementary equivalence of finitely generated finite-by-nilpotent groups // J. London Math. Soc. 1991. Vol. 30. P. 293-299.

5. Kharlampovich O., MyasnikovA. Elementary theory of free non-abelian groups // J. Algebra. 2006. Vol. 32, no 2. P. 451-552.

6. Perin C., Sklinos R. Homogeneity in the free group // arXiv math.: 1003.4095v1 [math., GR] 22 Mar 2010.

26 p.

7. Houcine A. O. Homogeneity and prime model in torsion-free hyperbolic groups // Confluentes Mathematici. 2011. Vol. 3, no 1. P. 121-155.

8. Nies A. Comparing quasi-finitely axiomatizable and prime groups // J. Group Theory. 2007. Vol. 10, no 3. P. 347-361.

9. Hirshon R. Some cancellation theorems, with applications to nilpotent groups // J. Aust. Math. Soc. (Series A). 1977. Vol. 23. P. 147-165.

Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 2. С. 47-52

-ISSN 1812-3996

10. Романьков В. А. О ширине вербальных подгрупп разрешимых групп // Алгебра и логика. 1982. Т. 21, № 1. С. 60-72.

11. Мищенко А. А., Трейер А. В. Структура централизаторов для частично коммутативной двуступенно нильпотентной Q-группы // Вестн. Ом. ун-та, спец. вып. 2007. С. 98-102.

12. Oger F., Sabbagh G. Quasi-finitely axiomatizable nilpotent groups // J. Group Theory. 2006. Vol. 9. P. 95106.

13. Тимошенко Е. И. Тестовые элементы и тестовый ранг свободной метабелевой группы // Сиб. матем. журн. 2000. Т. 41, № 6. С. 1451-1456.

14. Романьков В. А. О тестовых элементах свободных разрешимых групп ранга 2 // Алгебра и логика. 2001. Т. 40, № 2. С. 192-201.

15. Тимошенко Е. И. Вычисление тестового ранга свободной разрешимой группы // Алгебра и логика. 2006. Т. 45, № 4. С. 447-457.

16. Magnus W. Untersuchungen uber einige unendliche diskontinuierliche Gruppen // Math. Ann. 1931. Vol. 105. P. 52-74.

17. Evans M. Presentations of the free metabelian group of rank 2 // Canadian Math. Bull. 1994. Vol. 37. P. 468472.

18. Kharlampovich O., Myasnikov A. Definable subsets in a free group // arXiv:1111.0577v1 [math.GR] 2 Nov 2011. 7 p.

19. Nilsen J. Die isomorphismen der algemeinen mendlicher Gruppe mil zwei Erzeugenden // Math. Ann. 1917. Vol. 78. P. 385-397.

_л _л _л _л _л

20. Мальцев А. И. Об уравнении zxyx у z = aba b в свободной группе//Алгебра и логика. 1962. Т. 5, № 1. С. 45-50.

21. Тимошенко Е. И. О теориях относительно свободных разрешимых групп с дополнительным предикатом // Алгебра и логика. (Принята в печать).

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Тимошенко Евгений Иосифович - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры алгебры и математической логики, Новосибирский государственный технический университет, 630073, Россия, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20; е-таИ:еШт45@§таИ.сот.

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Тимошенко Е. И. О фрагментах теорий некоторых разрешимых или нильпотентных групп // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 2. С. 47-52. Р01: 10.25513/1812-3996.2018.23(2).47-52.

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Timoshenko Evgenij Iosiphovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor of the Department of Algebra and Mathematical Logic, Novosibirsk State Technical University, 20, pr. Marksa, Novosibirsk, 644073, Russia; e-mail: eitim45@gmail.com.

FOR CITATIONS

Timoshenko E.I. On fragments of theories of some solvable or nilpotent groups. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 2, pp. 47-52. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(2).47-52. (in Russ.).