Научная статья на тему 'Сопротивление при медленном движении эллипсоида'

Сопротивление при медленном движении эллипсоида Текст научной статьи по специальности «Идеальная несжимаемая жидкость»

CC BY
271
31
Поделиться

Аннотация научной статьи по механике, автор научной работы — Дудин И. В., Нариманов Р. К.

На основе применения преобразования простого растяжения-сжатия указана методика распространения решений задач, связанных с течениями несжимаемой вязкой жидкости в присутствии сферы, на варианты, когда сфера заменяется трехосным эллипсоидом. Решена задача о медленном обтекании эллипсоида, указана простая расчетная формула для его сопротивления. Показано удовлетворительное совпадение с литературными данными, соответствующими предельным случаям.

Текст научной работы на тему «Сопротивление при медленном движении эллипсоида»

9. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике.

— М.: Иностранная литература, 1963. —829 с.

10. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь. — М.: Советское радио, 1974. — 720 с.

11. Ihara S. Capacity of mismatched gaussian channels with and without feedback // Probab. Theory Relat. Fields. —1990. —V. 84. — № 4.

— C. 453-471.

12. Липцер Р.Ш. Оптимальное кодирование и декодирование при передаче гауссовского марковского сигнала по каналу с бесшумной обратной связью // Проблемы передачи информации.

— 1974. —Т. 10. — № 4. —С. 3-15.

13. Arimoto S. Information-theoretical considerations on estimation problem // Inform. Control. — 1971. —V. 19. — № 2. — P. 181-194.

14. Tomita Y., Ohmatsu S., Soeda T An application of the information theory to estimation problems // Information and Control. — 1976.

— V. 32. — № 2. —P. 101-111.

15. Демин Н.С., Короткевич В.И. О количестве информации в задачах фильтрации компонент марковских процессов // Автоматика и телемеханика. — 1983. — № 7. — С. 87—96.

16. Демин Н.С., Короткевич В.И. Об уравнениях для шенноновского количества информации при передаче марковских диффузионных сигналов по каналам с памятью // Проблемы передачи информации. —1987. — Т 23. — № 1. — С. 16-27.

17. Каллианпур Г Стохастическая теория фильтрации. — М.: Наука, 1987. —318 с.

18. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов.

— М.: Наука, 1974. —696 с.

19. Розовский Б.Л. О формуле Ито-Вентцеля // Вестник МГУ. Серия матем. механ. —1973. — № 1. — С. 26—32.

20. Ocone D., Pardoux E. A generalized Ito-Ventzel formula // Ann. Inst. Henri Poincare. —1989. —V. 25. — № 1. — P. 39-71.

УДК 532.58

СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИ МЕДЛЕННОМ ДВИЖЕНИИ ЭЛЛИПСОИДА

И.В. Дудин, Р.К. Нариманов

Томский государственный университет E-mail: rin@ftf.tsu.ru

На основе применения преобразования простого растяжения-сжатия указана методика распространения решений задач, связанных с течениями несжимаемой вязкой жидкости в присутствии сферы, на варианты, когда сфера заменяется трехосным эллипсоидом. Решена задача о медленном обтекании эллипсоида, указана простая расчетная формула для его сопротивления. Показано удовлетворительное совпадение с литературными данными, соответствующими предельным случаям.

Введение

Некоторые задачи, связанные с интегрированием уравнений Навье-Стокса

V VV - vx rot v = -Eu Vp - R— rotrot v, div v = 0, (1)

или их упрощений, в случаях присутствия твердого или жидкого объекта в виде сферы единичного радиуса успешно решены путем использования функции тока

у/=2 a2f(a)sin2e, (2)

a =% i +nj + Zk = a[i cos6 + sin0( j cosф + k sin ф)].

При этом от функции f(a) требуется, чтобы она удовлетворяла уравнению

rot rot rot v=rot rot rot rot ( yVq) = 0, (3)

что в общем случае влечет за собой представление f (a) = cj + c2a- + c3ct~3 + c4a2. (4)

При различном наборе констант интегрирования в (4) функция тока (2) будет обеспечивать кинематические картины течения как во внутренних (вихри Адамара-Рябчинского-Хилла, с2=с3=0), так и во внешних (с4=0) областях. Для внутренних течений ускорение является консервативным вектором, и давление находится из полных уравнений

движения Навье-Стокса; в идеальном внешнем потоке (с2=0) давление определено интегралом Бернулли, а во внешнем вязком оно находится из уравнений Стокса.

Ниже обсуждается проблема распространения отмеченных и других решений на случай замены сферы трехосным эллипсоидом. Сопротивление эллипсоида вращения при его медленном движении было найдено в [1] по теории ньютоновского потенциала притяжения. В [2] предпринята попытка определить сопротивление набегающему потоку вязкой жидкости трехосного эллипсоида при параллельности потока и одной из полуосей путем использования преобразования простого растяжения-сжатия, при котором сфера переводится в эллипсоид и наоборот.

В общем случае трехосный эллипсоид имеет бесконечно много сопротивлений, что зависит от его ориентации к набегающему потоку. Поэтому исследование выполняется в предположении, что орты /, у, к декартовой системы координат жестко связаны с главными центральными осями эллипсоида

который в тексте будет фигурировать в виде уравнения (при а=1)

Л =т, Л —, =

L

L'

L

rot v = -—(f ’+4a lf ')V xa,

где L - линейный масштаб, используемый при обезразмеривании системы Навье-Стокса, а в качестве х, y, z участвуют теперь безразмерные координаты. Используется линейный переход от размерного радиуса-вектора 7 к безрамерному

- ~ fT х ~ У ~ z г

o=^i +nj +Zk =— 1 +— j +— к

Л Л2 Л3

по схеме преобразования простого растяжения-сжатия

? = xi + y + zk = aXi + b—j + c—k = L (\fy + X2nj + Л3^к), a b c

r . -

— = Лст, L

Л =

0

Л—

0

rot rot v = --

(a(f' + 4a-1 f')' + 2( f' + 4a'1 f')) V -

-(a V)a~\f + 4a^x f') 'a

Особое внимание уделено нахождению решения системы:

Vp + rot rot v = 0, div v = 0, rot rot rot v = 0 (5)

в переменных вектора о в области 1<о<<» при условии прилипания v (1)=0. Необходимо отметить, что возможное решение в переменных е, П, Z не является универсальным, что можно пояснить следующим примером. Линейное уравнение движения свидетельствует о том, что давление p является гармонической функцией. Но, например, функция

_ 2

е -3 Х f X2 У2 Z 2 ^ 2

p=«° =4i+?

в пространстве е, П, Z является гармонической и теряет это свойство в пространстве x, y, z, если Х1ф^1фХ3 (V2p(e,n,Z)=0, V2p(x,y,z)^0). Из этого следует, что система (5) при v(£,q,Z), p(^,n,Z) не отражает законы гидромеханики в обычном понимании, и ее возможные решения при данной зависимости дают лишь приблизительную информацию о реальном явлении.

Обтекание эллипсоида. Скоростное поле

и поле давления

Если эллипсоид находится под углом атаки, то скорость набегающего потока F(|F|=1) удобно представить в виде разложения:

V = V1 + VJ + V—к, V2 + У22 + V2 = 1.

С тем, чтобы удовлетворить уравнению несжимаемости, скоростное поле ищется в виде:

v = = -2rot(fVxa), f = f (о), о2 =е2 +n2 + Z",

dt 2

где f(a) выбирается из требования выполнения последнего уравнения системы (5).

Расшифровка операторов пространственного дифференцирования показывает, что

v = i f+2 of —^(0 V)°"f о,

rot rot rot v = 2[( f"+ 4 a 1 f ') " + 4 a '(f"+ 4 a 1 f ') '] V xcr, rot(v x rot v) = — ~(a V)a-1f (f" + 4a-1f r)'V x0.

Теперь видно, что третье условие (5), соответствующее требованию (3), будет выполнено, если функция f(a) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению:

(f" + 4a-1 f ’)" + 4a-1 (f" + 4a- 1f')'= 0,

что в общем случае приводит ее к представлению по (4). Заодно легко просматриваются варианты для исполнения полного уравнения Гельмгольца, получаемого после применения к первому соотношению из (1) операции ротирования.

Если при внешнем обтекании потребовать, чтобы при a=1 поверхность объекта (в пространстве х, y, z им служит эллипсоид, а в пространстве е, п, Z — сфера) была поверхностью тока и на ней осуществлялось прилипание, а вдали от него было

ч т7 f_ da dr v (^) = V I v = — ф —

^ dt dt

то (4) примет вид:

f i 3 —i 1 _з

f = 1 —a +—a ,

2 2

а это приводит к тому, что скоростное поле представится равенствами:

«= ''(l—3 a"1 — 1 a'3 — 3 {2a-3(1—a-2) ] —

— ^ V2 ena (1 —a_2) — - V3 ei?a_3(1 — ° 2),

п =— 4 V ena-\1 —a-2) +

+V2 (1 — 3 a-1 — 1 a-3 — -nV3(1 — a-2) j— (6)

—4 V3 nZa— (1 — a-2),

Z =— 4 V eZa-3(1 — a-2) — -J V3nZa-\1 —a-2) +

+V3 f1 — - a-1 —1 a-3 — - Z2a-3 (1 — a-2) \

3 ^ 4 4 4 j

А поскольку теперь

rot rot v = 2(a-3V — 3(a V) a-5cr) = — V((o V) a- 3),

то из закона движения по Стоксу поле давления будет определено формулой

Р = -—(aV )a~

(7)

2

По форме система равенств (6) и (7) выглядит совершенно одинаково как для эллипсоида, так и для сферы. Но в первом случае надо читать:

S-x,n-Z,Z-A \S- x,n-bZ- z

A

а во втором:

A,

-Z r -z

х У г 2

ь = — ,П =—, ь =—,

Я Я Я

где а, Ь, с, Я - соответственно полуоси эллипсоида и радиус сферы. Вполне понятно, что при наличии только одной составляющей скорости набегающего потока, направленной вдоль оси эллипсоида, формулы упрощаются, а для сферы они воспроизводят известное [1] решение Стокса.

Еще раз следует отметить, что найденные поля (6) и (7) для обтекания эллипсоида не являются вполне достоверными, так как безразмерная система (5) при учете масштабов а, Ь, с будет выглядеть несколько по иному. Вопрос о степени достоверности найденного решения можно выяснить после вычисления сопротивления взятых объектов.

Сопротивление сферы и эллипсоида

Сопротивление состоит, как известно, из двух слагаемых - сопротивления от давления F(p)=-\pd¡l и сопротивления трения F(y)=2\ydS. Здесь через dS обозначен направленный по нормали поверхностный элемент объекта, а через у - тензор скорости деформации, компоненты которого в силу отмеченных особенностей скоростного поля выглядят совершенно одинаково для сферы и эллипсоида. На самой поверхности (при a=1) они запишутся в виде формул:

Y а = \ ^(1 S") - V2 П- У3 SZ),

Ynn= f(Vn(1 -2^2) + V2 S(1 -2n2) -2УЪ SnZ),

Yz = f(V Z(1 - 2S2) - 2V2 SnZ + V3 S(1 - 2Z2)),

Ynn= fn( - Vj Sn + v2q -n2) - v3nO,

Ynz = J (-2Vj SnZ + V2 Z (1 - 2n2) + V3 n (1 - 2Z2)),

Yzz = f Z(-Vj SZ- VnZ+ Vj(1 -Z2)).

При этом давление на поверхности принимает значение:

p = - 2 a V = -J (V S + V2 n + V Z).

При производстве процедур по интегрированию необходимо учесть, что

S = cos6, n = sinocos ф, Z = sin 6 sin ф; 0 <6 < п,0 <ф < 2п,

благодаря чему поверхностные элементы берутся в виде записей для сферы и эллипсоида соответственно

dS - (S i +n j +Zk)sin6d6dф, dS - (A2AS i + A1A3n j + AA2Z k) sin6 d6 dф.

Исполнение процедур по вычислению приводит к результатам для сферы Р(р) = 2пУ, Р(у) = 4яУ, Р(р, г) = Р(р) + Р(у) = 6%У, (Щ = 1)

и для находящегося под углом атаки эллипсоида

Р(р) = 1п(Х2Хъ У1 г + А1А3 У2 ] + Х1Х2 У3 к),

Р(у) = уп[(4А2А3 + 3А1(А2 + Х3))У11 +...] (по циклу),

Р(Р, Y) = "бп[(ЗА2Л, + Я1(Я2 + Х3))У11 +...] (по циклу).

Итоговая информация в размерных величинах получается после умножения соответств_ующих_вы-ражений на размерные комплексы /л\¥а\Я, /л\¥а\Ь, благодаря чему она фиксируется формулами:

Р (Р, Y) = 6п/иЯУа,

(36с + а(Ь + с))У1аг +

+(3ас + Ь(а + с))У2а]-+(3аЬ + с(а + Ь))У3юк

соответственно для сферы и эллипсоида. Для варианта обтекания без угла атаки, например, при У,= У„1 итоговые формулы понятным образом упрощаются и принимают вид:

X* - бп/jRV^, X* - -6п vV° (3bc + a(b + c)).

(8)

Обычно сравнение сведений по сопротивлению производится путем введения эквивалентной сферы, радиус которой Я=Я(а,Ь,с,Ь) получается в результате совпадения сил X* и X* из формул (8), что дает

ЬЯа = 1[3Ьс + а(Ь + с)].

Индекс подчеркивает, в направлении какой из главных центральных осей инерции движется эллипсоид. Здесь масштаб обезразмеривания Ь остается неопределенным, и способы его выбора нуждаются в дополнительных обоснованиях. Наиболее простым (напрашивающимся) выбором этого линейного размера является равенство Ь=Я, что влечет за собой

(9)

Ra2 - 5[3bc + a(b + c)],

парал-

здесь и далее предполагается, что полуось лельна направлению набегающего потока.

Но следует заметить, что такой выбор размера Ь в случаях вырождения эллипсоида в пластины, когда преобразование координат перестает работать, вряд ли можно считать оправданным. Например, по теории потенциала притяжения известно [1], что предельные выражения для сил сопротивления плоского круглого диска (радиуса Ь), движущегося в направлениях, перпендикулярном своей плоскости и параллельном ей, соответственно равны

32

X-—vbV, 3

X - 16^bV,

что при сравнении с эквивалентной сферой означает

¡0,57.

R-А ж 0,85, R - Í6S

b 3п b 9п

Рисунок. Отношение эффективного радиуса сопротивления к величине полуоси: а) поперечной направлению движения, б) параллельной направлению движения

В то время как из (9), в случае а=0 и Ь=с, соответствующем варианту движения диска перпендикулярно своей плоскости, имеем

Я = >Яу

Ь 5

а при а=Ь и с=0, что соответствует движению параллельно плоскости диска:

Яа л/5

= -— = 0,7746,

Ь

-= 0,4472.

Я = -

4 ^1(3+2е).

Из [3] данная величина при е>1 равна:

(10)

2е -1

е2 -1 (е2 -1)

V2

1п

: + Уе2 -1

: --\/е2 -1

а при е<1:

V = 8 6 = 3

1

2е 1 -е2

2(1 - 2е2) агс1Е '^1-^аГС1ё

(11)

На рисунке, а приведено сравнение формулы (9) с данными [3] при различных значениях е при движении эллипсоида вдоль оси симметрии. В случае движения поперек направления оси симметрии следует положить а=Ь и ввести е=с/а. Тогда (9) дает

Я - а Ч5<4е+1Х

Согласно [3] при е>1:

(12)

Попутно можно отметить, что по [1] сопротивление диска при движении в ортогональном к своей плоскости направлении в полтора раза больше, чем в -продольном, а по (9) это отношение составляет У3=1,732.

Подобно [3] для течения, параллельного оси симметрии (при Ь=с), введем отношение длины к диаметру е=а/с. Из (9) отношение эффективного радиуса к величине поперечной полуоси будет

а при е<1:

1

е2 -1

+—ш 1п(е+) (е2 -1)3/2

2е - 3

1 -е2 (1 -е2)32

е2)

(13)

На рисунке, б приведено сравнение при различных значениях е в случае движения тела поперек оси симметрии. Как видно, (9) дает всюду заниженные результаты при хорошем совпадении для тел, мало отличающихся от сферических. Следует отметить, что при е^0 формулы (10) и (11) соответствуют диску, движущемуся в потоке, перпендикулярном своей плоскости, а формулы (12) и (13) -диску, движущемуся параллельно своей плоскости.

Полученная информация о сопротивлении при значительных отличиях полуосей а, Ь, с от радиуса сферы Я, существенно расходится с имеющимися теоретическими сведениями. Объясняется это, по-видимому, тем, что использованная система (5), записанная с применением изотропного обезразме-ривания, некоторым образом отличается от той, которая получается при неизотропном обезразме-ривании. Это обстоятельство приводит к тому, что введенная функция /(а) должна иным образом зависеть от аргументов Ь, П, С

Заключение

Таким образом, решена задача о медленном обтекании эллипсоида, мало отличающегося от сферы, указана формула для расчета его сопротивления.

1

1

Использованные обозначения

к -вектор скоростей, Ей - число Эйлера, Ке - число Рейнольдса, р - давление, \у - функция тока, в - сферическая координата, ф - потенциал, а, Ь, с - полуоси эллипса, Ь, П, С- криволинейные координаты, х, у, г - декартовы координаты, л - динамическая вязкость, X*, X. - силы сопротивления, - элемент поверхности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ламб Г. Гидродинамика. - М.: Гостехиздат, 1947. -928 с.

2. Дудин И.В., Нариманов Р.К. Сопротивление медленно движущегося в вязкой жидкости трехосного эллипсоида // Препринт № 37. - Томск: Изд-во ТГУ, 2000. -11 с.

3. Хаппель Д., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. - М.: Мир, 1976. - 630 с.

УДК 536.46

К ВОПРОСУ НАХОЖДЕНИЯ ПОСТОЯННОЙ МАРКШТЕЙНА

К.О. Сабденов

Томский политехнический университет E-mail: sabdenov@k21.phtd.tpu.ru

На примере простой модели показано, что уравнения горения допускают решения со смещенными профилями температуры и участвующей в реакции горения концентрации вещества. Скорость искривленного пламени определяется однозначно, а длина Маркштейна оказывается существенно больше, чем в ранних теориях. Это позволяет, по меньшей мере, на порядок расширить область гидродинамической устойчивости по числу Рейнольдса.

Пытаясь объяснить, почему ламинарное пламя в газе устойчиво к гидродинамическим возмущениям Дж. Маркштейн предположил, что скорость пламени ип зависит от кривизны К его фронта [1]. Когда фронт обращен выпуклой стороной к горючей смеси ип уменьшается, а если вогнутой - увеличивается. Это означает, что изогнутый под действием возмущений фронт пламени стремится принять плоскую форму. В предложенной формуле Маркштейна

ип = ип0(1 - 1мК ), (1)

где ип0 - скорость пламени с плоским фронтом, присутствует неопределенная величина 1м размерности длины (постоянная Маркштейна). Им же были сделаны первые попытки экспериментального определения этой величины. Дальнейшие теоретические поиски [2-5 и др.] приводили к выражению постоянной Маркштейна в виде отношения коэффициента температуропроводности газа к на скорость иП

к (2)

I =к

1м и“'

Но в этом случае объяснение гидродинамической устойчивости пламени ограничено. Эксперименты показывают устойчивость пламени при числах Рейнольдса Ке, по меньшей мере, на порядок превышающих критическое значение КеС1, которое следует из формул (1) и (2).

Кроме указанного Маркштейном механизма, приводящего к устойчивости пламени, может иметь место случай ухода возмущений из рассматриваемой области горения [3]. Дело в том, что в экспериментах пламя, как правило, занимает ограниченное пространство (пламя горелки Бунзена или в трубе, свечи). Эти виды пламени имеют касательную составляю-

щую скорости газа к поверхности горения, благодаря чему гидродинамические возмущения или затухают на стенках, или уходят в свободное пространство из области горения прежде, чем они успевают заметно вырасти [3]. Но такие явления наблюдается при достаточно больших числах Рейнольдса.

Механизм ухода возмущений не объясняет полностью наблюдающуюся гидродинамическую устойчивость пламени. Если основываться только лишь на таком механизме и на формулах (1, 2), то мы уже при относительно небольших числах Рейнольдса (Ке -10...100) должны были видеть пламя с непрерывно колеблющимся фронтом. В реальности это не имеет место: колебание фронта, свидетельствующее о наличии гидродинамической неустойчивости, возникает внезапно и при больших числах Рейнольдса (Ке ~103).

Дальнейшие пути объяснения гидродинамической устойчивости пламени можно искать в самой теории ламинарного горения. Предложенные в работах [2-5] способы нахождения 1м, несмотря на их математическую строгость расчетов, не исключают существования других подходов. Дело в том, что если в теории Зельдовича-Франк-Каменецкого одномерного пламени с плоским фронтом его скорость движения определяется единственным образом [5], то скорость распространения искривленного пламени без привлечения дополнительного физического принципа не является однозначно определенной [6, 7]. Это обстоятельство приводит к неожиданному результату при исследовании неодномерной диффузионно-тепловой устойчивости пламени [8]. Использование известной [5] схемы анализа на основе формулы (1) и без привлечения