О структуре количества информации в совместной задаче фильтрации и интерполяции по наблюдениям с памятью. Общий случай Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2:621.391

О СТРУКТУРЕ КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ В СОВМЕСТНОЙ ЗАДАЧЕ ФИЛЬТРАЦИИ И ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

Н.С. Демин*, С.В. Рожкова**

*Томский государственный университет, **Томский политехнический университет E-mail: svrhm@rambler.ru

Рассматривается проблема нахождения количества информации по Шеннону в совместной задаче фильтрации и интерполяции стохастических процессов по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью. Получены соотношения, определяющие эволюцию во времени шенноновских мер количества информации в форме разложений, в которых в явном виде выделены количество информации для раздельных задач фильтрации и интерполяции.

1. Введение

В системах калмановского типа [1, 2] основным математическим объектом является пара процессов {х,;у,} с непрерывным либо дискретным временем, где х является ненаблюдаемым процессом, а у - наблюдаемым процессом. Обобщением является ситуация, когда х, - процесс с непрерывным временем, а у,=Ж 0={г,;п(4,)}, "=0,1,..., т.е. наблюдается совокупность процессов с непрерывным - и дискретным п( О временем, которые обладают памятью относительно ненаблюдаемого процесса и зависят как от текущих так и от прошлых значений процесса х,. Для подобного класса процессов в [3, 4] рассмотрена задача фильтрации, в [5, 6] - задача обобщенной экстраполяции, а в [7] - задача распознавания. Любая статистическая задача имеет информационный аспект [8], суть которого заключается в нахождении соответствующих количеств информации о значениях ненаблюдаемого процесса (полезного сигнала), которые содержатся в реализациях наблюдаемых процессов (сигналов на выходе каналов передачи). Кроме того, знание количества информации позволяет исследовать вопросы, являющимися специфическими в теории информации, такие как минимизация ошибки воспроизведения сигнала [9, 10], максимизация пропускной способности каналов передачи [11], оптимальная передача сигналов [12], а также вопросы информационного обоснования задач оценивания [13, 14]. Для подобного класса процессов {х,;-,;п( 0} в [15, 16] рассмотрен информационный аспект задачи фильтрации в случае наблюдений без памяти и с памятью единичной кратности, а в [8] -совместной задачи фильтрации и обобщенной экстраполяции в случае памяти произвольной памяти. В данной работе рассматриваются вопросы нахождения шенноновских мер количества информации /ух,х11,...,х%,х0,ПГ] о значениях х, хТ[, ..., х% ненаблюдаемого процесса в текущем , и произвольном числе прошлых моментов ть...,% времени, которые содержатся в реализациях наблюдаемых процессов, в форме представления /Ц-] через информационные количества 0, По"] и

/Т[хт,...,х%;-0,П0"] о текущих и прошлых значениях ненаблюдаемого процесса, соответственно.

Используемые обозначения: Р{.} - вероятность события; М{.} - математическое ожидание; ,г[А] -след матрицы; Б-1 - обращение матрицы Б; Бт -транспонирование матрицы или вектора; если (р(х) - скалярная функция «-мерного аргумента х, то др/дх есть вектор столбец с компонентами др/дхк, k=1;n, а д2р/дх2 есть матрица с компонентами д2р/дхкдхь k=1;«, /=1;п; др(х,)/дх, и д2р(х)/дх] означают др(х)/дх|1=х и д2р(х)/дх2|1=х.

2. Постановка задачи

На вероятностном пространстве (^ДТ^^,) > 0,Р) не наблюдаемый «-мерный процесс (полезный сигнал) и наблюдаемый /-мерный процесс - (сигнал на выходе непрерывного канала передачи) определяются стохастическими дифференциальными уравнениями [17, 18]

йх, = /(г, х,)йг + Ф1(г)м/,, , > 0, (2.1)

йг, = к(г, х1, хт ,••■, хЬ/, г)йг +Ф 2(г, г Щ, (2.2)

а наблюдаемый ^-мерный дискретный процесс П( О (сигнал на выходе дискретного канала передачи) имеет вид

п(,т) = г(т,х,_,х^,-,х^^,г) +Фз(т,г)Ш),т = 0,1,..., (2.3)

где 0< ,(!<%<...<!!< ,. Предполагается: 1) у, и у, являются стандартными винеровскими процессами размеров г1 и г2, Ш(О стандартная белая гауссовская последовательность размера г3; 2) х0, у,, у,, Ш(0) -независимы; 3) й(-), Ф2() и Ф3(-) являются не-упреждающими функционалами от реализаций соответственно -=-0={-а:0<ст<,} и наблюдаемого процесса 4) коэффициенты уравнений (2.1) и (2.2) удовлетворяют условиям [17, 18], обеспечивающим существования решений, а g(.) - непрерывна по всем аргументам; 5) б(-)=Ф1(-)Ф1т(-)>0, Л(-)=Ф2(-)Ф2т(-)>0, У(-)=Ф3(-)Ф3т(-)>0; 6) задана начальная плотность р0(х0)=дР{х0<х}/дх.

Замечание 1. Модели процессов и п(О вида

(2.2), (2.3), соответствуют наблюдениям с фиксированной памятью, если тк=сош1;, и наблюдениям со скользящей памятью, если тк=-'к в (2.2) и тк=,п-Ск в

(2.3), где 4*=сош11, к=\Д [5, 6]. В данной работе рассматривается случай фиксированной памяти. Зави-

симость А(-) и g(■) от г означает, что каналы наблюдения обладают бесшумной обратной связью относительно процесса г., [11, 12, 18]. Отсутствие обратной связи, когда к(-) и g(■) не зависят от г, следует как частный случай.

Ставится задача: найти соотношения, определяющие эволюцию во времени совместного количества информации /ЦхХг-Л^Хо ,п°т] о текущих х, и прошлых хт,,■■■,х% значениях ненаблюдаемого процесса, которое содержится в совокупности реализаций г0={га-О<а<() и пмшш-мо;^!} наблюдаемых процессов в виде представлений Д,[-] через информационные количества !,[х,;г°,п°т] и Д[х1,...,х1к;г'0,Пт'] о текущих и прошлых значениях ненаблюдаемого процесса, соответственно.

Решение поставленной задачи может быть осуществлено на основе представления количества информации через плотности распределения вероятностей с использованием формул Ито [17, 18] и Ито-Вентцеля [19, 20] с использованием результатов [1, 2]. Если, аналогично [5, 7], ввести расширенные процессы и переменные

xN++1 =

■XN +1

(2.4)

то в предположении существования плотностей вероятности ( TN=[ tj,..., %])

Р(x;xw) = dN+1P{x, < x;XN < Xn\Z0,nm0}/dxd<N , (2.5)

мул Ито и Ито-Вентцеля; 2) для стохастических интегралов /,=|0Т(т,т)йхт по винеровским процессам Хт выполняется условие И{\°^2(г,(o)dг}<ж, обеспечивающее свойство И{\°х¥(z,(o)dxг}=0 [17, 18].

3. Основные результаты

Утверждение 1. Апостериорная плотность (2.5) на интервалах ¡т<К ,т+1 определяется уравнением (см. (2.2-2.4))

(х; хк) = Ц, х [ р\ (х; х" )¥' + р (х; х,) х

(3.1)

x[h(t, x, xN, z) - h(t, z )fR-\t, z)dzt,

dzt = dzt - h (t, z )dt

(3.2)

-1 tr

р(,, х; , ) = 5"+1Р{х( < х; х" <х^ }/дхд5ся , (2.6) р,(х) = дР{х, < х|4п„"}/дх, (2.7)

р(г, х) = дР{х, < х}/дх, (2.8)

р(хы) = д"Р{^ < }/д^, (2.9)

Р(Т„, хм) = д"Р{х" < х" }/дх" , (2.10)

р'л, (X" |х) =д" Р{х" < х"1х = х, ¿0,гГ0}/дх, , (2.11)

р(Т", хни, х) = д"Р{х" <х"\х = х}/дх" , (2.12)

р'т (х\хм) = дР{х, < х\х" = хч , ¿0,гТ0}/дх, (2.13)

р(г, х | Т", ) = дР{х, <х | х" =х" }/дх, (2.14) имеют место формулы [9, 10]

I, д х", х; ¿п ] = I, [х; ¿„х ] + ^Дх"; ¿„X | х 1 (2Л5)

II,[х",х,;4п] = ;4 п] + 1/Дх;4 П | -Г], (2.16)

, х; П„" ] = М {1п[ р (х,; ^)/р(,, х,; т", )]}, (2.17)

I, [х,; ¿„,п„" ] = М {1п[ р, (х V р(,, х)]}, (2.18)

^[х";¿„,п„" | х,] = М{1п[р'Дх" | х,^р(хя, | ,, х,)]}, (2.19)

I, [х"; Щ ] = М {1п[ р ()/р( х ", )]}, (2-2°) - ^

I; [х; ¿п | ^]=М{1п[р; (х | х"Vр(,, х |, х")]}. (2.21)

Замечание 2. Предполагается, аналогично [8, 15, 16]: 1) выполняются условия применимости фор-

с начальным условием

p't (x; xN ) = [с( X xN, П( tm z)l c(n( m z)] A"-0( x; xN X (3.3)

где LtJ[.] - прямой оператор Колмогорова, соответствующий процессу (2.1),

h(t, z) = M{h(t, xt, x'N, z) \ z0, n0"}, c(n(t"),z) = M{c(xm, xNn(t"), z) \ z0",n0"-1},

c(x, xN, n(tm z) = eXP{-;2[n(tm) - g(tm> ^ xN> z)] X XV-1(" , z )[n(t" ) - g (t", x, xN, z )]}

и pT-\x;xN)=\im pT при it tm.

Данное утверждение следует из Теоремы 3, Леммы 4 в [3], и Замечания 1.

Теорема 1. Количество информации (2.17) может быть представлено в виде (2.15), где /t[.] и I|t[.] на интервалах tm< t< im+1 определяются уравнениями

dIt [xt; z0 П ]/dt =

= (1/2)tr[M{R"1(t, z)[h(Tn, z \ x,) -h(t, z)]:

x[h(fn,z \ x,) -h(t,z)]r}] -

2 (t )M

pt (xt) ( ^ln pt (xt)

dx.

dx.

д ln p(t, xt) ( д ln p(t, xt)

dxt

dx,

(3.4)

di:it [ xN; z0 ,Vm\xt ]/dt =

= (1/2)tr[M{R-\t, z)[h(t, x,, jcn, z) -

- 2 »

2(t )M

-h{fN, z\x,)] [-]r}] -[dlnp t(xn\x,) (dlnptt()

dx.

dx4

d In p(tn, j£N\t,x,) (dlnp(zN,XcN\t,x,)

dx, I dxt

d ln pt, (XN\x,) (dhpOtl

Q(t )M

dx.

dx.

d ln p(zN, XN \ t, xt) ( d ln p(t, x,)

dx,

dx,

(3.5)

с начальными условиями hmК,;]=i,m-0[xm;¿»'п»-1]+ЦЩx;4т(4)] (3.6)

I^ [~xN;z»- | X' ] = i:i0[xN;¿о' П-11 x„ ] +

+Att [xN;¿0m n(t, )U ],

d, ln

p(t, x)

-±[h{xN, z | x) - h(t, z)}TR-\t, z)[h(iN, z | x) - hit, z)] dt + (3.14)

ln

Pt(xt)

P(t, x)

= !n[-] =t +

-1J tr[R-'(a, z)[h(ix, z | x„) - h(. z)][]T]dv

- 2 J t

QT)

дlnp.(x„)()T дln p(.x.) -(') я,- ()

+J tr

QT)

dx„ dxc

1 d2P.(xJ 1 дP(V x.)

Pa(x*) dxl

pT, x^) ax?

dv +

dv +

ln

Pt(xT)

Ф^т^м. +

_&т p(vx„) ^ ' ° (3.15)

tT

+J[h(TN, z | xT) - h(a, z)] R_1(t, z^2(t, z)dvT.

Аналогично [12], а также (П.13) в [15]

M

1 д?Pt (x. ) _ p. (x^) dx.

--тЧ —a^1= ^ ^^

p(v,x.) dxT J

(3.7)

AItm [x,, ;z»', n(t„)] = M(ln[c(n(t„ ),z | x^ )/c(nft, ),z)]}, (3.8) A/' [xN; z»' ,n(tm )| Jfm ] =

= M {n[c( x,m, JcN, n(tm), z)ftnn^\iO]} (3.9)

к(хя,z | x) = M{h(t,x,,xtN,z)|x = x;z»»,^'}, (3.10) c(n(tm), z|x) = M {c( x,', x'N,n(tm ), z)| x = x; z»' -1} (3.11)

и 4-o[.]=Km/([-], ii^[.]=limi|y/[.] при ittm.

Доказательство. Так как, согласно (2.5), (2.7) и

(2.11) pT(x;xN)=p'l/t(xfjx)p (x), то интегрирование (3.1) и (3.3) по ~N с учетом (3.10), (3.11) дает, что pt(x) на интервалах tm<t< tm+1 определяется уравнением

dtP,(x) = Ltx [P,(x)]dt +

+ pt (x)[h(vN, z | x) - h(t, z)]TR_1(t, z)dz,, ( . )

с начальным условием

p,' (x)=[cnoiw/c (n(;„), z )]p,'-»(x). (3.13)

Априорная плотность (2.8) определяется уравнением dp(t,x)=Ltx[p(t,x)]dt, которое следует из

(3.12), либо в результате интегрирования по x уравнения dp(t,x; r^,xN)=Lix[p(t,x; %%)] dt для априорной плотности (2.6). Так как инновационный процесс z,, дифференциал которого имеет вид (3.2) такой, что Z^ZftFp является винеровским процессом с M{ZtxT|Ff}=|0^(T,z)dT [17, 18], то дифференцирование по формуле Ито с использованием (3.12) дает

P;(x)feL;x[P;(x)]-pfc)L;Лp(;-x4dt-

Вычисление математического ожидания от левой и правой части (3.15) с учетом (3.16) и Замечания 2, а затем последующее дифференцирование по / приводит к (3.4), а (3.6), (3.8) следуют в результате подстановки (3.13) в (2.18).

Так как, согласно (2.5), (2.7) и (2.11) рТ/((Хд|х)=рДх;.%)/р((х), то дифференцирование по формуле Ито с учетом (3.1), (3.12) дает, что р [/(х^х) на интервалах ¡т< К 4,+1 определяется уравнением

dtP't(*» Iх) = {(Vй (ХЖЪ х [Р, (х; %)]-- Р1, (1 Х) [ Р, (Х)]) + Р,\( 1 Х)[А(,= Х= = 2) - (3 17)

-h(fN, z | x)]T R (t, z)[h(t, z) -h( fN, z | x)]}dt +

+p;|t (xN | x)[h(t, x, xN, z) -h(fw, z | x)]T R 1(t, z)dzt с начальным условием

Pti, (xxN| x) =[c(x'xn,n(;' XzVc(n(;'z | x)]pt°(xN |x% (3.18)

которое следует из (3.3), (3.13). Априорная плотность (2.12) определяется уравнением

d,P(JN , xN | ;, x) =

= X(Vp(t, x))(L;x[P(t, x; ft, x-N)] --p(fN, xN 11, x)Lt^^ [p(t, x)]^dt,

(3.19)

которое следует из (3.17). Дальнейший вывод (3.5) проводится с использованием (3.17)—(3.19) аналогично выводу (3.4). Формулы (3.7), (3.9) получаются как результат использования (3.18) в (2.19).

Теорема 2. Количество информации (2.17) может быть представлено в виде (2.16), где //[.] и 1\ Т [.] на интервалах ¡т< К /т+1 определяются уравнениями

dI, [x N; z» ]/ dt =

= (1/2)tr[MXR-\t, z)[h(t, z | xN) -h(t, z)] x

+[h(fN, z| x) - h(t, z)]TR_1(t, z) d?;.

Применяя к (3.14) формулу Ито-Вентцеля [19, 20], аналогично [8] получаем

x[h(t, z^N) - h(t, z)]T}], d?,;t [x,; z» \ xn ]/dt =

(3.20)

= (1/2)ir[M{R"1(t, z)[h(t, xt, jctN, z) -h(t, z | JEN)][']T }] -

[aln pt (x,|^) faMrMf)

~2 -

Q(t )M

dx; | dx, a ln p(t, x, | fN, xN) f a ln p(t, д; | ft, xt) ^

dx;

(3.21)

с начальными условиями

Г- [xN;z»',n»'] = It'-»[xN;z»',n'-1] + AI' [x;z;»',n(t„)], (3.22)

I't [xt ; z»- mxN ] = J?v°[x ; z1»' n -1|xN ] + ' ' ' ' (3 23)

+AI;:]l [^;z'»" ,n(t') | xN], V • ;

AI,'[xt;z0:,n(;:)]=M{ln[cntjJ^N)/c(n(;:),z)]}, (3.24)

А/^ t [ ^; zl- ,n(tm )\xN ] = = M{ln[c(xm,xN,n(tm),

diixxN, x; z0,nm Vdt-

h(t, z\XN) = M{h(t, x,, XN, z)\xN = хя; ¿„г^}, (3.26)

c(n(tm), z I xN) = M c xt-, xN, n(t-), z) I xN = xN; z , n--1} (3.27)

и /t'--0[.]=lim^'[.], I^Wml^[.] при tbn.

Доказательство. Так как, согласно (2.5), (2.9) и (2.13) pT(x;xN)=p't/l(x\~N)pT(~N), то интегрирование (3.1) и (3.3) по x с учетом (3.26), (3.27) дает, что pT(~N) на интервалах tm<t<tm+1 определяется уравнением

(хш) = р\ (х: Ш'>21 х:)- К', г)! Я Л', ¿Щ (3 .28) с начальным условием

рп(хя) = [с(П(,п),г\хя)1с(п('т Xг)]рпх„ ). (3.29)

Так как р,А(х|х)=рЛх;х)Мх), то дифференцирование по формуле Ито с учетом (3.1), (3.28) дает, что р'р(х|х) на интервалах /т<К/т+1 определяется уравнением

Л,р',\т (х\хы ) = = Ш,х [Р'т (Х \ХЫ )] + Р,Т (Х \ %/ Ш', Х, , 2) --НС, ¿\Х: )]ТЯг)[кС, г)-к(г, ¿\Х: )]}& + (3.30)

+р,т (х \ х: )[к(г, х, х:, г) -к(г, г \ХМ ^ Я 1(г, ¿)с2 с начальным условием

РСт (х \хм ) = [с(х> % П(,т X г Vс (П(,т X г \ х: )]р'т*"(х \ х" )' (3.31)

которое следует из (3.3), (3.29). Априорные плотности (2.10), (2.14) определяются уравнениями Щр(%т)=0, йр(1,Х\гюхм)=1,х1[р(,,^ т^х^Щ, которые следуют из (3.28), (3.30). Дальнейшее доказательство, т.е. вывод (3.20) (3.25) проводится аналогично доказательству Теоремы 1, используя формулы Ито и Ито-Вентцеля и (2.20), (2.21), (3.28) (3.31).

Следствие. Количество информации (2.17) на интервалах /м</</т+1 определяется уравнением

= (\/2)tr[M {R-1(t, z)[h(t, xt, Xf, z) - h(t, z)] [-f}] -

-I tr

Q(t )M

dln p, (xt; xf) f dln p[ (xt; j')

dx, I dxt dln p(t, xt; xN, xIf) f dln p(t, xt; iN, xif)

dx,

dx

(3.32)

(3.33)

(3.34)

с начальным условием

1',тт [ х>', хт; г0т П ] =

= , хт; 4т ,пт ] + Л^т [^, х,т; ¿0т, ц(1п )],

где

ЛАПп ^, х,т; ¿п ,п('п)] = -М{1п[с(х,п, ^, п('т), г)/с(п('т), г)]}

и 7ЬЛ.]=Иш/Ш при А ¡т.

Доказательство. Уравнение (3.32) следует как результат использования уравнений (3.4), (3.5) в (2.15) или (3.20), (3.21) в (2.16). Используя (3.6) (3.9) в (2.15) или (3.22) (3.25) в (2.16) мы получаем формулы (3.33), (3.34) с учетом р/(х;хх)=рТ(хх\х)р1(х)=р'1/1(Х~х)=рТ(:хм) и свойств условного математического ожидания [18]

М {Н(,, х,, х1:, г)} = М{М М {Н(-) \ х= х, ¿„тМ \ 4 ПО}} =

= М{М{Н(хя,г\х)\ 4,пП}} = М{ка7)} , М {Н(,, х,, х:, г)} = М {М {М {Н() \х: = х,, ¿0'Пп} \ ¿о,П0}} =

--M {M {h(t, z\x'N )\z0,nm }} = M {h(t, z)}.

4. Заключение

Полученные результаты могут быть использованы для анализа информационной эффективности систем с непрерывно-дискретными наблюдениями, а также для решения стандартных задач теории информации на рассматриваемом классе процессов х,, г,, п(т) в частности таких, как оптимальная передача случайных сигналов по непрерывно-дискретным каналам с памятью и исследование пропускной способности таких каналов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Trans. ASME. J. Basic Eng., Ser. D. - 1960. -V. 82. -P. 35 -45.

2. Kalman R.E., Busy R. New results in linear filtering and prediction theory // Trans. ASME. J. Basic Eng., Ser. D. - 1961. -V. 83. -P. 95-108.

3. Абакумова О.Л., Демин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью. I. Основное уравнение нелинейной фильтрации // Автоматика и телемеханика. -1995. - № 9. - С. 49-59.

4. Абакумова О.Л., Демин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью. II. Синтез фильтров // Автоматика и телемеханика. -1995. - № 10. - С. 36-49.

5. Демин Н.С., Сушко ТВ., Яковлева А.В. Обобщенная обратная экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Известия РАН. ТиСУ. -1997. - № 4. - С. 48-59.

6. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Известия РАН. ТиСУ. - 2000. - № 4. - С. 39-51.

7. Dyomin N.S., Rozhkova S.V., Rozhkova O.V. Likelihood ratio determination for stochastic processes recognition problem with respect to the set of continuous and discrete observations // Informatica. -2001. -V. 12. -№ 2. - P. 263-384.

8. Dyomin N.S., Safronova I.E., Rozhkova S.V. Information amount determination for joint problem of filtering and generalized extrapolation of stochastic processes with respect to the set of continuous and discrete memory observations // Informatica. - 2003. -V. 14. - № 3. -P. 295-322.

9. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике.

— М.: Иностранная литература, 1963. —829 с.

10. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь. — М.: Советское радио, 1974. — 720 с.

11. Ihara S. Capacity of mismatched gaussian channels with and without feedback // Probab. Theory Relat. Fields. —1990. —V. 84. —№ 4.

— C. 453—471.

12. Липцер Р.Ш. Оптимальное кодирование и декодирование при передаче гауссовского марковского сигнала по каналу с бесшумной обратной связью // Проблемы передачи информации.

— 1974. —Т. 10. — № 4. —С. 3—15.

13. Arimoto S. Information-theoretical considerations on estimation problem // Inform. Control. —1971. —V. 19. —№ 2. —P. 181—194.

14. Tomita Y., Ohmatsu S., Soeda T. An application of the information theory to estimation problems // Information and Control. — 1976.

— V. 32. — № 2. —P. 101—111.

15. Демин Н.С., Короткевич В.И. О количестве информации в задачах фильтрации компонент марковских процессов // Автоматика и телемеханика. — 1983. — № 7. — С. 87—96.

16. Демин Н.С., Короткевич В.И. Об уравнениях для шенноновс-кого количества информации при передаче марковских диффузионных сигналов по каналам с памятью // Проблемы передачи информации. —1987. —Т. 23. — № 1. — С. 16—27.

17. Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. — М.: Наука, 1987. —318 с.

18. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. — М.: Наука, 1974. —696 с.

19. Розовский Б.Л. О формуле Ито-Вентцеля // Вестник МГУ. Серия матем. механ. —1973. — № 1. — С. 26—32.

20. Ocone D., Pardoux E. A generalized Ito-Ventzel formula // Ann. Inst. Henri Poincare. —1989. —V. 25. — № 1. — P. 39 —71.

УДК 532.58

СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИ МЕДЛЕННОМ ДВИЖЕНИИ ЭЛЛИПСОИДА

И.В. Дудин, Р.К. Нариманов

Томский государственный университет E-mail: rin@ftf.tsu.ru

На основе применения преобразования простого растяжения-сжатия указана методика распространения решений задач, связанных с течениями несжимаемой вязкой жидкости в присутствии сферы, на варианты, когда сфера заменяется трехосным эллипсоидом. Решена задача о медленном обтекании эллипсоида, указана простая расчетная формула для его сопротивления. Показано удовлетворительное совпадение с литературными данными, соответствующими предельным случаям.

Введение

Некоторые задачи, связанные с интегрированием уравнений Навье-Стокса

V — vx rot v = —Eu Vp — R-rot rot v, div v = 0, (1)

или их упрощений, в случаях присутствия твердого или жидкого объекта в виде сферы единичного радиуса успешно решены путем использования функции тока

у/=1 o2f(o)sin2d,

(2)

a = %i +nj + Zk = a[i cosd + sin0(y cosф + k sin ф)].

При этом от функции f(a) требуется, чтобы она удовлетворяла уравнению

rot rot rot v=rot rot rot rot (= 0, (3)

что в общем случае влечет за собой представление

f (a) = c + c2a- + с3ст_3 + c4a2. (4)

При различном наборе констант интегрирования в (4) функция тока (2) будет обеспечивать кинематические картины течения как во внутренних (вихри Адамара-Рябчинского-Хилла, с2=с3=0), так и во внешних (с4=0) областях. Для внутренних течений ускорение является консервативным вектором, и давление находится из полных уравнений

движения Навье-Стокса; в идеальном внешнем потоке (с2=0) давление определено интегралом Бер-нулли, а во внешнем вязком оно находится из уравнений Стокса.

Ниже обсуждается проблема распространения отмеченных и других решений на случай замены сферы трехосным эллипсоидом. Сопротивление эллипсоида вращения при его медленном движении было найдено в [1] по теории ньютоновского потенциала притяжения. В [2] предпринята попытка определить сопротивление набегающему потоку вязкой жидкости трехосного эллипсоида при параллельности потока и одной из полуосей путем использования преобразования простого растяжения-сжатия, при котором сфера переводится в эллипсоид и наоборот.

В общем случае трехосный эллипсоид имеет бесконечно много сопротивлений, что зависит от его ориентации к набегающему потоку. Поэтому исследование выполняется в предположении, что орты /, ], к декартовой системы координат жестко связаны с главными центральными осями эллипсоида

= 1,

который в тексте будет фигурировать в виде уравнения (при а=1)