Расчет околозвукового обтекания трехосного эллипсоида Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том X/

19 80

М 4

УДК 533.697.242

СРЫВНОЕ ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТКИ ПЛАСТИН

Л. А. Симонов

Рассмотрено срывное обтекание решетки полубесконечных пластин. Рассчитаны размеры срывной зоны, потери полного давлении и силы, действующие на пластины. Ланы характеристики ступени осевого компрессора, включающей в себя в качестве рабочего колеса решетку пластин.

Срывное обтекание решетки пластин конечной длины было рассмотрено Г. Ф. Проскурой*. Рассмотрим более простую задачу -срывное обтекание решетки иолубесконечных пластин потоком несжимаемой жидкости, что дает возможность в более отчетливой форме вскрыть причины возникновения срыва и уровень возникающих при этом потерь.

1. Геометрии решетки определяется шагом * и углом установки пластин } (рис. 1).

Г. Ф. П рос кур а. Гидродинамика турбомашин. М., Машгиэ. 1954.

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XI 19 8 0

М 6

УДК 629.735.33.015.3.024

РАСЧЕТ ОКОЛОЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ТРЕХОСНОГО ЭЛЛИПСОИДА

В. В. Вышинский

С помощью метода релаксации решается задача построения поля течения при бесциркуляционном обтекании пространственных тел околозвуковым потоком невязкого газа. Излагается метод расчета и приводится алгоритм решения поставленной задачи. Точность метода исследуется на примере расчета осесимметричного обтекания эллипсоида вращения. Рассматриваются докритический и сверхкри-тический режимы обтекания. В заключение приводятся результаты расчета околозвукового обтекания трехосного эллипсоида потоком газа, набегающим под нулевым углом к наибольшей хорде.

Расчет пространственных околозвуковых течений при наличии на поверхностях тел местных сверхзвуковых зон и внутренних скачков уплотнения является важной практической задачей аэродинамики.

Сложность задачи с математической точки зрения состоит в смешанном эллиптико-гиперболическом характере нелинейных дифференциальных уравнений и необходимости допустить наличие разрывов в решении.

Существуют также общие трудности, присущие пространственным задачам. Онп связаны с вводом трехмерной поверхности и работе с ней, увеличением размерности задачи на единицу по сравнению с плоскими и осесимметричными течениями, особенностями реализации расчетных программ на ЭЦВМ, большим расходом оперативной памяти и времени вычисления.

В данной работе предлагается конечно-разностный метод расчета околозвукового обтекания пространственных тел тина фюзеляжа самолета, основанный на алгоритме релаксации [1]. В качесте исходного уравнения движения используется полное уравнение относительно потенциала.

Примеры применения метода релаксации к расчету околозвукового обтекания профилей, тел вращения и крыльев в рамках теории малых возмущений и с использованием полных уравнении относительно потенциала могут быть найдены в работах [2—4]

Обширная библиография но применению метода релаксации к расчету стационарных околозвуковых течений приведена в работе [о].

I. Рассматривается стационарное,изэнтроиическое, безвихре вое течение невязкого политроиического газа. Предполагается, что поле течения имеет плоскость симметрии, в которой лежит плоскость симметрии обтекаемой поверхности и ее наибольшая хорда.

Наряду с декартовой х, у, г используется цилиндрическая х, г, 0 система координат. Ось х обеих систем координат общая и связана с наибольшей хордой; ось у лежит в плоскости симметрии г = 0, образуя с осями х и г ортогональную систему координат. Угол 8 отсчитывается от отрицательной полуоси у в плоскости, перпендикулярной оси х (рис. 1).

Начало координат обеих систем лежит внутри обтекаемой поверхности в средней точке наибольшей хорды.

Уравнения движения в цилиндрической системе координат, записанные в безразмерной форме относительно потенциала возмущения ?, имеют вид:

___«=\ , /| 1* \ 1___да*\ _!_ !И± _ аз?

а- ) дх- \ а• ) дг- \ а-) г2 д<1- а*

_ 2 и а1 I о3ф _____ 2м.' _1_ , _у_ / ^ ю*

а- г д<) дх а1 г дг дО г \ а- )

дх дг ‘0.

II)

где скорость звука а- ; компоненты скорости

1 дт

Уравнение Бернулли

а- — 1'* — V)-

<!г_

дг

ни —

д^

дЧ

у. — 1

•ЧЦ* 1)

замыкает систему уравнении.

Рассматривается бесциркуляционное обтекание, условия на бесконечности имеют вид:

•5------0.

(2)

(3)

Граничные

(4)

В иоле течения отсутствует особая поверхность вихревого следа (скачка потенциала).

Поверхность обтекаемого тела предполагается гладкой, в случае осесимметричного обтекания она может иметь острую носовую и кормовую части. Возможен расчет обтекания полубесконечных тел. Течение считается безотрывным, на поверхности тела г = К(х, Ь) накладывается условие непротекания

Яо I?

Краевая задача (1) —(5) в случае течения несжимаемого газа имеет единственное решение (6). Имеется также доказательство теоремы существования и единственности для „достаточно мед-ленных“ трехмерных дозвуковых течений. В общем случае пространственных околозвуковых течений доказательство теоремы существования и единственности решения поставленной задачи отсутствует. Более подробно этот вопрос обсуждается в работе [7].

Наличие в течении продольной плоскости симметрии позволяет ограничиться половиной пространства При этом возни-

кают дополнительные краевые условия на плоскости симметрии 6 = 0, г, которые выражаются в обращении в ноль нечетных производных по 0.

Уравнения движения переписываются в переменных р, 0 внутри параллелепипеда — 1<5< 1, 0<р< 1, 0-<0<г. Преобразование бесконечной области вне тела в конечную посредством аналитического преобразования независимых переменных, как показывают исследования работы [8], позволяет повысить эффективность счета и сократить затраты машинного времени при реализации вычислительной процедуры на ЭЦВМ.

Расчетная сетка {х, г, в физических переменных является неравномерной. Ее сгущение регулируется параметрами, входящими в функции, осуществляющие отображение бесконечного физического пространства во внутренность расчетного параллелепипеда,

^ехР(“ГГ?): (6)

г_3 ? ■ I/?(■*, 0), хб|-0,5; 0,51 (7)

1 - р I 0 , х 6 (— 0,5; 0,5) I

Выбор положительных параметров г, 3, 7, 2 направлен на создание наиболее редкой (экономной) сетки, обеспечивающей приемлемую точность расчета. Параметры з, 3, 7 для положительной и отрицательной полуосей х (т. е. положения и величины сгущения сетки) могут быть различными.

Уравнения (1), (2), (4), (5) в переменных ;, ?, И имеют следующий функциональный вид:

р I ? • д2 у . Ьа у . д- у . т . °ш г . _ ду . , _ 0.

<Э:г ’ д'Л ' * д; д? д; д'л д? о» д; дч ’ ’

X =а-

I -;а

/ до \ I д- \ !

11 = и I — , ■ ; V = V ' ; «' = VII — , — I . (9)

I д\ д', / IФ / Уду дЬ)

?|;*±1 = 0; ?'с.=1 = 0; (10)

-Ё5-|=0/^; ^-1. (11)

дь » \ д; 0» I

Форма поверхности тела входит в уравнение движения о в виде функции Ц(х, 6), ее первых и вторых производных. В со отношение для граничных условий на поверхности тела (11) входя; R{x, 0) и ее первые производные. Решение задачи (8)—(11) ведется с помощью конечно-разностного метода в переменных р, U ш пространственной ортогональной сетке с постоянным шагом внутри параллелепипеда конечных размеров.

Производные аппроксимируются всюду разностными операторами второго порядка точности. Алгоритм вычисления учитывает смешанный эллинтико-гиперболпческий характер уравнении посредством применения смешанной конечно-разностной схемы.

Для аппроксимации производных по ; в местной сверхзвуковой зоне используются обратные разности. Для всех производных в дозвуковой области ноля течения и производных, не содержащих дифференцирование по $ в сверхзвуковой области, используются эллиптические разностные операторы, в основе которых лежат центральные разности.

Полученное конечно-разностное уравнение может быть записано в виде системы нелинейных алгебраических уравнений. Число уравнений равно числу узлов расчетной разностной сетки.

Единственность решения полученной алгебраической системы не очевидна. Даже в случае нелинейных уравнений эллиптического типа отсутствует доказательство единственности решения соответствующей алгебраической системы. Вопросы существования решения, создания эффективной вычислительной процедуры и контроля сходимости решаются на основании численных экспериментов. Остается недоказанным, что решение аппроксимирующего разностного уравнения аппроксимирует решение дифференциального уравнения. Более подробно с этими вопросами можно познакомиться в работе [7].

Решение системы алгебраических уравнений ведется методом релаксации по сечениям ; = const. Параметр релаксации, исходя и ; численных экспериментов, выбирается равным 1 для гиперболических точек (точек разностной сетки, в которых местная скорость сверхзвуковая) и равным 1,7 для эллиптических точек (местная скорость дозвуковая).

При решении систем нелинейных уравнений в сечениях 3 = const можно ограничиться однократным обращением матриц соответствующих линейных систем. Матрицы неплотные девятидиагональные, обладают свойством диагонального преобладания.

Их обращение осуществляется с помощью простой итерационной процедуры |9) с итерационным параметром, равным единице

В качестве исходного приближения, начинающего релаксационный процесс, можно использовать невозмущенный набегающий поток:

<?=0.

Такое начальное приближение, в частности, удобно при построении поля течения около заостренных или полубесконечных тел. В случае затупленных тел лучшим исходным приближением является точное решение [10] для потенциального обтекания потоком несжимаемого газа эллипсоида, вписанного или близкого, в среднем, к поверхности заданного тела. Для эллипсоида вращения оно записывается простой алгебраической формулой, в случае

трехосного эллипсоида в каждой узловой точке расчетной сетки требуется вычисление эллиптического интеграла второго рода и нахождение корней кубического уравнения.

Для сокращения времени вычисления используется алгоритм полного удвоения сеток |3]. Последовательный расчет на двух сетках до и после удвоения позволяет для повышения точности численных решений использовать экстраполяцию к пределу по Ричардсону [11].

Так как дальнее поле течения сходится быстрее, то при расчете на удвоенных сетках в некоторых случаях ноле итераций релаксационного процесса можно ограничить ближайшей (на расстоянии порядка хорды) областью тела. Это также позволяет экономить время вычисления.

Контроль сходимости ведется как но полю невязок разностных уравнений, так и по распределениям чисел М(л, 0) по поверхности тела для ряда последовательных (по числу итераций) расчетов.

В результате решения определяется все поле течения ?(*, г, 0), находятся распределения чисел М(л, 6), коэффициента давления Ср(х, Ь), модуля 1](х, 6) и компонент и(х, Ь), у(х, 0), 1о(х, 0) скорости на поверхности тела, вычисляются аэродинамические коэффициенты Сх и Су.

При расчете обтекания поверхностей, заданных таблицами координат, поверхность предварительно выглаживается с целью устранения ошибок аппроксимации. Выглаживание и аппроксимация поверхностей осуществляются с помощью метода, изложенного в работе 112].

2. В качестве примера на рис. 2 приводятся результаты расчета осесимметричного обтекания 16%-ного эллипсоида вращения

околозвуковым потоком газа, набегающим вдоль наибольшей полуоси эллипсоида (о = 0,5; Л = с = 0,08). Эллипсоид вращения рассчитывается как трехмерное тело, но в этом случае возможно сравнение предлагаемого метода с имеющимися двумерными.

Представлены докритическпй Мее = 0,9 и сверхкритический М о = 0,975 режимы обтекания. Сплошными линиями нанесены результаты расчета но методу, изложенному в |2|, двойными и штрихпунктирными (Мзо = 0,9) по предлагаемому методу. Используется пространственная сетка с числом узлов после удвоения 69> Х47Х9. Сгущение сетки по х в области тела характеризуется величиной Дл'ши/ДХтш~5,3. Согласование с контрольным результатом удовлетворительное.

Решение при Моо = 0,975 получено на сетке с большим числом узлов по координате х (93X25X9) и сгущением Дл:тах Д.хтт ^ 9. Пунктиром представлены результаты расчета на сетке до удвоения, штрпхпунктиром — после удвоения. В качестве исходного приближения в первом случае используется точное решение (М =0) для 16%-ного эллипсоида |10|, во втором — предыдущий расчет для числа Мгс = 0,9.

Хорошее согласование результатов в этом случае позволяет использовать для расчетов но предлагаемому методу последнюю сетку, когда необходима высокая точность и допустим большой расход машинного времени. В некоторых случаях можно ограни

Рис. 2

читься использованием первой сетки, уменьшив число узлов НО координате г до 25.

Возможность добиться хорошего согласования с контрольными расчетами по методу, изложенному в |2], позволяет надеяться получить столь же хорошие результаты и в случае расчета обтекания произвольной гладкой пространственной конфигурации.

На рис. 3 представлены результаты расчета околозвукового обтекания (Мм = 0,95) трехосного эллипсоида с полуосями 0 = 0,5;

Рис. 3

6 = 0,12; с — 0,04. Поток набегает вдоль наибольшей хорды (под нулевым углом к полуоси а). Для расчета используется сетка с числом узлов 93X25X19. Ее отличие от последней сетки состоит в увеличении числа узлов по Ь до 19. Поверхность тела R(x, 6) представлена на рис. 3 сечениями 6 = const (пунктирные линии). В силу симметрии можно ограничиться областью 0<8<90°. В тех же сечениях 8 = const представлено распределение чисел М(х, 6) на поверхности эллипсоида. Насечками на кривых отмечены границы местной сверхзвуковой зоны, которая имеет пространственный характер. Как и в предыдущем примере, скачки проявляются слабо и имеют малую интенсивность.

В качестве исходного приближения используется точное решение (Моо = 0) для того же эллипсоида. На рис. 4 для сечения 0=20° представлены результаты расчета на сетках до удвоения (пунктирная линия) и после удвоения (штрихпунктирная линия). В результате экстраполяции к пределу по Ричардсону [11] получено распределение М(х, 6), которое представлено на рис. 4 сплошной линией. Удвоение расчетной сетки и применение экстраполяции по Ричардсону, так же как выбор оптимальной сетки, ведут к сокращению времени вычисления и экономии оперативной памяти при заданной точности расчета.

По полученному распределению коэффициента давления сг(х, 6) на поверхности тела находится величина волнового сопротивления Сх. Она отнесена к площади миделевого сечения эллипсоида.

Рис. 4

Рис. 5

На рис. 5 приведена зависимость С,(Мес), построенная по результатам расчета обтекания трехосного эллипсоида при числах М набегающего потока, равных 0,7; 0,9; 0,95; 0,975. Ненулевые значения волнового сопротивления при докритичеекпх скоростях объясняются погрешностью метода (в первую очередь ошибкой интегрирования).

Полученные результаты являются иллюстрацией возможности применения предлагаемого метода для расчета бесциркуляционного обтекания гладких пространственных конфигураций, заданных таблицами координат, при околозвуковых числах М набегающего потока.

ЛИТЕРАТУРА

1. Murman F.. М. and Cole J. D. Calculation of plane sieady transonic flows. AIAA Paper N 70—1S8, 1970.

2. Л и ф in и ц Ю. Б. К теории трансзвуковых течений около профиля. .Ученые^ записки ЦАГИ*, т. 4. № 5, 1973.

3. S о u t h J. С. and Jameson A. Relaxation solutions for inviscid axisymmetric transonic flow over blunt or pointed bodies. AIAA Computational Fluid Dynamics Conference, Palm Springs, California, July 1973.

4. Bauer F., G a r a b e d I a n P., К о r n D.p Jameson A. Supercritical wing sections II. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 1975.

5. Bailey F. R. On the computation on two- and three-dimensional steady transonic flows by relaxation methods. Progress in Numerical Fluid Dynamics, 1975, (Lecture Notes in Physics, 41).

6. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М., .Наука*, 1977.

7. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М., Изд. иностр., лит., 1961.

8. К о si а Р. К. and Rubin S. G. Transonic flow calculations in two- and three-dimensions. AFOSR TR—73, 1976.

9. Бахвалов H. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М., .Наука*, 1975.

10. К о ч и н Н. Е., К и б ё л ь И. А., Р о з е Н. В. Теоретическая гидродинамика. Ч. I. М.. Физматгиз, 1963.

11. Л1арчук Г. И. Методы вычислительной математики. М., .Наука”, 1977.

12. Вышински й В. В. Применение метода градиентов к задаче сглаживания поверхностей. .Ученые записки ЦАГИ*, т. 9, .V 6, 1978.

Рукопись поступила 3 VII 1979 г