Расчет невязкого околозвукового обтекания крыла с фюзеляжем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIV 1983

№ 2

УДК 629.735.33.016 3

РАСЧЕТ НЕВЯЗКОГО ОКОЛОЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ КРЫЛА С ФЮЗЕЛЯЖЕМ

В. И. Савицкий

Задача о невязком околозвуковом обтекании произвольного крыла с фюзеляжем рассматривается в рамках теории малых возмущений. Для решения задачи осуществляется преобразование системы координат. Задача решается релаксационным методом с использованием следящей конечно-разностной схемы. С помощью нестационарной аналогии проводятся выбор конечно-разностной аппроксимации уравнения и граничных условий, а также выбор коэффициента релаксации. Результаты проведенных расчетов удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.

В течение последнего ряда лет численные методы расчета невязкого околозвукового потенциального течения получили значительное развитие. Успешное применение метода релаксаций для расчета плоских и осесимметричных течений с местными зонами сверхзвуковой скорости (см. работы [1, 2]) дало возможность распространить этот метод на трехмерные течения. В работах [3 — 5] приведен ряд расчетов околозвукового обтекания изолированных крыльев в рамках теории малых возмущений. В работах [6, 7] численно решалось уравнение для потенциала с точной постановкой граничных условий на поверхности тела. В работе [6] осуществлен расчет околозвукового обтекания несущего крыла простой геометрии, в работе [7] — расчет околозвукового бесциркуляционного обтекания сильно сплюснутого эллипсоида. В рамках теории малых возмущений выполнен ряд расчетов околозвукового обтекания крыла с бесконечным цилиндрическим фюзеляжем [8] и совместно с конечным фюзеляжем [9]. С помощью теории мплых возмущений в работе [10] численно решается задача околозвукового обтекания крыла прямоугольной формы в плане совместно с полубесконечным фюзеляжем с учетом влияния границ потока.

В настоящей статье рассматривается задача невязкого околозвукового обтекания крыла произвольной формы в плане с произвольной круткой и с произвольной формой профиля сечения совместно с бесконечным цилиндрическим фюзеляжем. Исполь-

зуемое в работе основное уравнение отличается от уравнений работ [3—5, 8—10] дополнительными членами, что позволяет более точно определить месторасположение и интенсивность скачка уплотнения, возникающего при околозвуковом обтекании стреловидного крыла с фюзеляжем. Для численного решения рассматриваемого уравнения теории малых околозвуковых возмущений впервые применяется следящая конечно-разностная схема [11]. Обычно для численного решения уравнения теории малых околозвуковых возмущений используется конечно-разностная схема [1],

а-)

Рис. 1

как это сделано в работах [3—5, 8—10]. При разработке численной схемы в настоящей работе используется переход к нестационарной аналогии [12].

Записанное в декартовой системе координат (см. рис. 1, а) используемое в работе уравнение для потенциала возмущений имеет вид:

-А (ухх + 2<ру <рху + 2?г 9хг) + В (?уу + ®гг — 2ср_у уху 2©г <рЛ.г) = 0, (1)

где А —

1-М2.

(Т +- 1)Моо?д

1+1

; 5=[1 —(т—1) Моо ?*]■

В уравнении (1) подчеркнут член, меняющий знак в зависимости от знака коэффициента А. Знаком А определяется вид используемой конечно-разностной аппроксимации для производных ухх, уху, <рхг, заключенных в первые круглые скобки уравнения (1).

Условие непротекания на поверхности крыла записывается в общепринятом линеаризованном виде:

— а.

(2)

где г = гп(х, у) — координата поверхности крыла, а а —угол атаки.

1 Крыло

2 Фюзеляж

3 ВихреВая тент

!+ Расчетная сетка

Условие непротекания на бесконечном цилиндрическом фюзеляже имеет вид:

®у Пу + <рг я2 = О, (3)

где я —вектор местной нормали к поверхности фюзеляжа.

При обтекании крыла с его задней кромки сходит вихревая пелена. Пренебрегая сворачиваемостью вихревой пелены, в соответствии с теорией малых возмущений делаем предположение, что вихревая пелена лежит в плоскости z = 0. Учитывая, что при переходе через вихревую пелену остаются непрерывными давление и направление потока (в теории малых возмущений это эквивалентно непрерывности и при переходе через z = 0), приходим к выводу, что скачок в значении ? при переходе вихревой пелены не зависит от координаты л: для у = const. Таким образом, условие Жуковского — Кутта записывается:

[® (z= + 0) — ® (z = — 0)].Г>,3 к = Г (у), (4)

где Г(у) = [<р (2 = -f-0) — o(z = — 0)]Х=Л-3 к, а х3. к —координата задней кромки крыла;

«?г (z = 4-0) = <р, (г = — 0). (5)

Граничные условия на бесконечном удалении от конечного крыла, рассматриваемого совместно с бесконечным цилиндрическим фюзеляжем, установленным под нулевым углом атаки, по всем направлениям, за исключением направления вниз по потоку, имеют вид:

X -Э- — ОО, у -*■ + ОО, Z -5- + 00, ср -> 0. (6)

На бесконечном удалении от крыла вниз по потоку (в плоскости Трефтца) основное уравнение (3) сводится к двумерному уравнению Лапласа

®уу + fzz — 0 (7)

со следующими граничными условиями:

?у пу + Г-Рг nz = 0—на кривой, соответствующей сечению бесконечного фюзеляжа плоскостью Трефтца;

т(,=+ч)-?(,—щ=| ^<у) пр;

I 0 при (у -> + оо) О, ср (г -► ± оо) -> 0, 9 (у -> + оо) О,

(8)

где величина укр определяет полуразмах крыла.

Рассматривая комбинацию крыло — фюзеляж, симметричную относительно плоскости у == 0, запишем условие симметрии

У = 0; <Ру = ?ху = 0. (9)

Прежде чем перейти к разностной аппроксимации основного уравнения и граничных условий, осуществим, следуя [3], преобразование системы координат, при котором рассматриваемое крыло произвольной формы в плане переходит в прямое крыло с хордой профиля сечения, равной единице

х* = ■ х~еЛу\' • (Ю)

(у) — £і (У)

Здесь функции x = g^{y) и x = g2(y) задают форму передней и задней кромок крыла на всех его участках за исключением центрального (лежащего „внутри“ фюзеляжа) и концевого (см. рис. 1, б).

После такого преобразования прямые л:* = 0 и 1 описывают переднюю и заднюю кромки крыла соответственно. Осуществим также переход от бесконечного физического пространства к конечной расчетной области. Переходим от координат х*, у, г к координатам £, т), С по формулам:

2 а.

Е = (1— ах) th

— ах при А'* •< О, ? = 2ах (х* — 0,5) при 0<**< 1,

2 = 0

а

,) th

7]= 1

(**-1)

+ ах при х > 1

1—th [Ду (у —уд)] ~ і + Л (yR ay)

С = th (аг z),

(И

где ах — масштабный коэффициент, с помощью которого можно задавать количество расчетных точек на профиле; ау и ^—коэффициенты „растяжения“ пространства, а координата у = yR соответствует границе области с наименьшим шагом расчетной сетки по оси Оу. Это преобразование обеспечивает равномерное распределение плотности узлов расчетной сетки по профилю сечения

1 3

крыла. В конкретных расчетах — <ах<^~j-, ау и а2 имеют порядок единицы, а значение yR соответствует координате корневого сечения крыла (или радиусу фюзеляжа).

В новой системе координат (см. рис. 1, в) выполняются условия:

% (X* = + оо) = + 1; 1

Yj(y= + оо) —+ 1; | (12)

С (2 = ± °°) — ± 1 • J

При этом расчетная сетка с равномерным шагом в новых переменных соответствует сетке с переменным шагом в исходной системе координат.

Перейдем в основном уравнении (1) и граничных условиях (2)— (9) к новым переменным т], С и используем для решения численный метод релаксации вдоль линий и алгоритм следящей конечноразностной схемы [11]. В расчетной области |£|-<1, 0<т]<1, |С|<1 строится равномерная сетка. При помощи замены производных их конечно-разностной аппроксимацией задача решения дифференциального уравнения (1) сводится к задаче решения системы алгебраических уравнений относительно неизвестной величины с? в узлах сетки

а* “ Ьь ВД + 'ff/t *+i = d* 0 3>

для всех внутренних точек столбца (г = const, j = const).

Для линеаризации уравнения (1) и образования системы уравнений (13) значения всех производных первого порядка ®л, <ру, ®г берутся из предыдущей п-й итерации. Их конечно-разностные аппроксимации записываются с помощью центральных разностей независимо от типа уравнения в данной точке. Конечно-разностные формулы для аппроксимации содержащихся в подчеркнутом

выражении уравнения (1) производных <?хх, уху, ухг в дозвуковой области течения (Л>0 для рассматриваемой точки), а также формулы аппроксимации содержащихся во вторых круглых скобках уравнения (1) производных <?уу, <?2г, <?ху, <?хг независимо от типа уравнения в данной расчетной точке записываются с помощью центральных разностей. При этом обращается особое внимание на сохранение диагонального преобладания матрицы, образованной левыми частями системы уравнений (13). В частности:

Уху (^'»

(Д5)2

х1 4-

2 ’

1.М) _ Лп)

\т< +1, /, к V;, у, к)

1 . ("г,»,*

I---/ '

2 ’

V

4Д;Дт

с 1с<л> _ш(л+1) ^

?*1, /+1 + к Тг—1, /+1, к)

_5 (а(п) _и(л+1) \

'ж/, /—1 \и + 1, /—1, к 1/—1, /—1. к)

,п с; / £.4 ____ |7,ДЛ) _ \ _

?«(<• У. й)---------4дед>- ■ [ V1+1, у, й+1 тг + 1. /, й—1.) /, 6+1

_ш(я+1) \].

• £—1, у, 6—1 у ] »

?уу (г, У, А)

'1У7

+

(ДТ))2

т1уУ

4Дтг)Д5

V |УЛ> _ со(л+1) 1

* № + 1. у—1, к ?г_ 1, у—г.

- МЯ), . , ь-ф<П+1>- , ь)

^ • I + 1. у—1, к тг—1, /—1. к)

■г (■.,(«+!) _,Лп+1)'\ ___ („(я) ___

1 .-л.1 \ , 1

> + Т у/~2

5 _т<л + 1) ^ г V

;уь /+1 № + 1./+1. * > г — 1, у+1, к) — Су/, У-1 А

Ъ) ?уг, у

+

+

4Дг,Д£

„(я)

Р/ + 1. /+1. /г

в(я+1) ^

П-1, У+1, А:;

(Д5)»

, Гв(«+1) _„(« + !) \

г- —, / №. А * /• ^

(14)

где индексы ('/г.) и (я + 1) указывают на принадлежность величины <р соответственно /г-й и (я+1)-й (текущей) итерации. Выбор формул (14) проводится с использованием перехода к нестационарной аналогии [12].

В области, где уравнение (1) имеет эллиптический тип, для записи производной ®хх

<?хх и. 1’ Ь) = —

(Д5)»

6 1 . — ’X 1+ ' ‘+1’ у ’ *

V ( о<л + 1> - щ(п+1) 1

л ( V;, /, к т/— 1, /, к)

Т1, У. А )

1 . X

(15)

используется релаксируемое значение у:

(16)

,.(л+1) (я) , г» + ,„(Я) \

?(, /, й = ?1, у, й Т “ ( ?«, /, к — /, к),

где й — коэффициент верхней релаксации, полученной с помощью 12

перехода к нестационарной аналогии и принимающей различные значения в различных узлах сетки:

Q:

(17)

'XI, J

где с . ■' %хі, і, \ . і . — характеристики преобразования си-

Х1+ 2 •1 Х1~т,]

стемы координат в точке, а ю — значение коэффициента релаксации на равномерной сетке в физическом пространстве (ш —1,7 -ч- 1,9).

Для сверхзвукового течения (Л<0 в рассматриваемой расчетной точке) конечно-разностные аппроксимации производных <?хх, ?лту> входящие в подчеркнутое выражение в круглых скобках уравнения (1), записываются в соответствии со следящей схемой [11]. Выбор конечно-разностных аппроксимационных формул осуществляется с помощью нестационарной аналогии. Сохраняется также диагональное преобладание матрицы левых частей системы уравнений (13):

?хх (*. J. k) — -х1’ ’

(Д 1)2

X (?!"/, ft — Ті—2, і, ft)

<pxy(i,j, = L

(AS)*

y(J«) _e(n) . \

X V'Pi, /. ft —2, >, ft J

+

ДїДт)

'XI, j — \ \TI, ! — \, k T( — — 1, ftj

и Т. Д.

(18)

Формулы (14), (15), (18) получены с учетом направления последовательного прохождения расчетных узлов сетки: в плоскости % — const для каждого столбца т] = const расчет ведется в направлении уменьшения Tj; расчет значений <р для каждой плоскости Е —const ведется в направлении увеличения Е.

Условие непротекания на поверхности фюзеляжа запишем в конечно-разностном виде: при лг>-0

Лп+ -) = *’■ /. к

(«у )3, Дт)

•n «,(»)

■ ’I . , 1 Vi, /+1, /і

УУ + Т

ї

(«г)/.

Д£

при О

2ft +

1 Vi, /, ft+1

(«Л

Дт,

. 1

У/ + т

(Яу)/.

Л k

АС

.г& + ■

т/,/. *

(«у)/,

АЧ

•л

’I . . 1 V,-, /+1, ft

У/+ тг

<"*)/. ft Г , J») J / ("yV ft . ("*)/, ft r

ДС 1 Гі' '• k~l 2 / Af] yy + — AC **-i-

(19)

— WB> Vi, j, k>

(20)

где коэффициент релаксации «в выбирается экспериментально и лежит в пределах = 0,5 -s- 0,7. Соответствующим образом проводится конечно-разностная аппроксимация остальных граничных условий (см., например, [4]). Полученная с учетом граничных условий система алгебраических уравнений (13) решается методом последовательных исключений.

Изложенный численный метод был реализован в виде программы расчета околозвукового обтекания крыла с бесконечным цилиндрическим фюзеляжем. Типичный расчет околозвукового обтекания крыла с фюзеляжем на расчетной сетке 46X30X22 на ЭВМ типа БЭСМ-6 требует около 60 минут машинного времени.

Для определения пределов применимости разработанного метода по сходимости итерационного процесса был выполнен ряд расчетов околозвукового обтекания прямых, стреловидных без сужения и стреловидных с сужением крыльев совместно с фюзеляжем. Расчеты околозвукового обтекания модельной комбинации крыло — фюзеляж (крыло с 12%-ным симметричным профилем Жуковского с удлинением /.= 10, сужением т] —3 и стреловидностью у = 30°, цилиндрический фюзеляж с относительным диаметром Ь/Х = 0,15) демонстрируют применимость разработанной программы для расчета околозвукового обтекания подобных компоновок в широком диапазоне чисел Мсо и углов атаки а: от малых значений М до Мсо = 0,98; при Мх = 0,80 до а = 6°-ь7°; при Мте = = 0,90 до а = 4° ч-5°; при Моо = 0,95 до а = 3°-ь4°.

Сравнение результатов расчета околозвукового обтекания центрального сечения прямого крыла большого удлинения по предлагаемому методу и результатов расчета околозвукового обтекания профиля [2] позволило осуществить выбор оптимальных параметров расчетной сетки. Рис. 2 демонстрирует удовлетворительное согласование результатов расчета с применением оптимальной сетки (сплошная кривая) и результатов расчета [2] (пунктирная кривая).

На рис. 3 приведено сравнение расчетного и экспериментального [13] распределения коэффициента давления по хорде профиля

м^=о,8;а-о;л^ю, х=о; rj--i.ii/L-o,

М^-^,85,acs0симметричныйпрофиль С=12/ , сетка (Ь6*30%22) г=0

сетка. ‘t6A30*22 ,12/симметричный прщрин Жунобсного

Ср

сечения прямого крыла (/ = О, Х=Ю, тг] = 1, симметричный профиль с = \2%) в его центральном сечении; эксперименту соответствуют кружки, число Не = 3-106.

На рис. 4 представлен пример расчета околозвукового обтекания стреловидного крыла ЙАЕ „А" в сравнении с результатами эксперимента (кружки, Не=1,5-10б), приведенными в работе [14].

Ма<г0,8;а=2°‘, Су-О,18 ’профильКАЕ 101с=9%; сетка (_82*'30Н2)

1=0,15

Крыло имеет угол стреловидности, вычисленный по полухорде /1/2 = 30°, удлинение >.==6°, сужение 11 = 3 и образовано с помощью профиля ИАЕ-101 с относительной толщиной с = 9%. Результаты проведенных расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными.

На рис. 5 приведены расчеты околозвукового обтекания изолированного крыла (х = 30°, X = 10°, т]=1ге=12%) под нулевым

Рис. 4

ср

4,50

-0,25

1=0,12

0,9У-Ю-.Х’Ж] у-1 ','11/1-0,1', симметричный профиль с=12'к сетка (62*30^2) %

углом атаки (сплошная кривая) и крыла совместно с бесконечным цилиндрическим фюзеляжем с относительной толщиной D\L — 0,1 (пунктирная кривая). Приведенные данные показывают, что область интерференции крыла и бесконечного цилиндрического фюзеляжа распространяется по размаху на расстояние, равное приближенно 1,5 ч- 2 хордам корневого сечения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Murman Е. М. Cole J. D. Calculation of plane steady transonic flows. „А1АА J.', vol. 9, N 1, 1971.

2. Лифшиц Ю. Б. К теории трансзвуковых течений около профиля. „Ученые записки ЦАГИ‘, т. IV, № 5, 1973.

3. В а 1 1 h a u s W. F., Bailey F. R. Numerical calculation of transonic flow about swept wings. „AIAA“ Paper N 72—677, 1972.

4. H a 11 M. Q., F i r m i n М. C. P. Recent developments in methods for calculating transonic flows over wings. ICAS Paper N 74—18, 1974.

5. В о о p p e C. W. Calculating of transonic wing flow by grid embedding. „А1АА' Paper N 77—207, 1977.

6. J a m e s о n A., С a u g h e у D. A. Numerical calculation of the transonic flow past a swept wing. N.-Y. University ERDA Report COO 3077-140, 1977.

7. Вышинский В. В. Расчет околозвукового бесциркуляционного обтекания сильно сплюснутого эллипсоида. „Ученые записки ЦАГИ“, т. Х111, № 2, 1982.

8. К 1 u n k е г Е. В., Newman P. A. Computation of transonic

flow about lifting wing-cylinder combinations. „J. Aircraft', vol. 11, N 4, 1974.

9. Boppe C. W. Computational transonic flow about realistic aircraft configurations. .AIAA" Paper N 78 — 104, j978.

10. Третьякова И. В., Фонарев А. С. Трансзвуковое обтекание тел типа крыло — фюзеляж с учетом влияния границ потока. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XII, № 6, 1981.

11. Jameson A. Iterative solution of transonic flows over airfoils and wings, including flows at Mach, „Comm. Pure and Appl. Math.“, vol. 27, 1974.

12. О a r a b e d i a n P. R. Estimation of the relaxation factor foi

small mesh size. „Math. Tables aids Comp.“, vol. 10. 1956.

13. Боксер В. Д., Кириллов Л. Н., Николаева К. С., Серебрийский Я. М. Околозвуковое обтекание корневого сечения стреловидного крыла в симметричном случае. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XII, № 1, 1981.

14. Lock R. С. Research in the UK on finite difference methods for computing steady transonic flows. Symposium Transsonicum II, Springer — Verlag, 1976.

Рукопись поступила 31 j VII 1981 ?.