CC BY
47
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И То м ХШ 19 82
№ 2
УДК 629.735,33.015.3.025.1
РАСЧЕТ ОКОЛОЗВУКОВОГО БЕСЦИРКУЛЯЦИОННОГО ОБТЕКАНИЯ СИЛЬНО СПЛЮСНУТОГО ЭЛЛИПСОИДА
В. В. Вышинский
С помощью конечно-разностного метода, основанного на применении алгоритма релаксации, рассчитывается околозвуковое бесциркуляционное обтекание сильно сплюснутого эллипсоида, рассматриваемого как крыло малого удлинения. Эллипсоид обтекается потоком под нулевым углом атаки без скольжения и со скольжением. Используется полное уравнение относительно потенциала, для решения которого применяется конечно-разностная схема второго порядка точности. Приводятся результаты расчета до- и сверхкрити-ч;еского режимов обтекания.
При создании численных методов расчета пространственных околозвуковых течепий возникают трудности как общего характера, присущие всем про-странствепным задачам (прежде всего большой расход оперативной памяти), так и трудности, связанные с большим объемом вычислений, что объясняется недостаточно высокой эффективностью применяемых в околозвуковой газовой динамике алгоритмов. Сложность практической реализации заставляет вводить упрощающие предположения, без которых методы расчета (например, [1]) даже в случае использования самых современных ЭВМ оказываются слишком громоздкими и дорогостоящими для инженерной практики.
В настоящее время создаются расчетные методы, например [2, 3], использующие в качестве уравнений движения упрощенные уравнения или уравнения теории малых возмущепий и упрощепные соотношения для граничных условий на теле. Эти методы позволяют вести расчет околозвукового обтекания произвольных крыльев, учесть влияние фюзеляжа. Однако, как показывают результаты работы [4], их точность недостаточна в случае расчета обтекания толстых крыльев, применяемых на пассажирских н транспортных самолётах.
В используемом в дапной работе методе [5] упрощения не коснулись уравнений движения и граничных условий на теле: применяются полное уравнение для нотенциала и точные условия непротекания на теле. Ограничивается класс рассматриваемых задач. Течение предполагается бесциркуляционным, что является хорошим приближением в случае расчета обтекания удлиненных тел под малыми углами атаки, а также поверхностей, имеющих одну и более нло-скостей симметрии. Последнее обстоятельство позволяет применить метод для расчета околозвукового обтекания крыла, составленного из симметричных профилей, под нулевым углом атаки в потоке как без скольжения, так и со скольжением. Используемое в методе [5] нреобразование координат заставляет ограничиться рассмотрением крыльев малого удлинения, форма которых в нлане ограничена вынуклой гладкой кривой. Поверхность крыла в отличие от метода [6], в котором иснользуются эллипсоидальные координаты, что ограничивает класс
рассматриваемых поверхностей эллипсоидами, может быть достаточно произвольной и задаваться как аналитически, так н таблицей координат.
1. Рассматривается стационарное, изэнтропическое, безвихревое течение невязкого газа. Предполагается, что поле течения имеет плоскость симметрии, в которой лежит плоскость симметрии крыла. Используется декартова х, у, z и цилиндрическая х, г, 0 системы координат. Ось х обеих систем общая н связана с корневой хордой крыла. Ось у принадлежит плоскости симметрии г — О, образуя с осями х и z правую ортогональную систему координат. Угол 6 отсчитывается от отрицательной полуоси у в плоскости yz. Вектор скорости набегаю-
щего потока Uao* принадлежащий плоскости симметрии, образует с осью х угол а, так что потенциал возмущений у связан с полным потенциалом Ф соотношением
f (лг, г, 6) = Ф (*, г, 6) — cos а х —- sin а г cos 0,
а компоненты скорости равны и *= cos о ух, v = sin a cos 0 -f- fr, w — — sin a X XsinO+4Pe/r. ‘ '
Уравнение движения в цилиндрической системе координат, записанное в безразмерной форме для потенциала возмущений, в этом случае имеет вид:
/. а2\ , /. wa\ /, а?3\ 1 2 uv
а?)Чгг+[1~ а2 j г* —
2 uw 2vw v {, *®,2\ sinnr2«w „ / w* \ 7
- fx,-+ — I1 + -ф) + “Г [-*г anв - (1 - *г) со» ej = о,
где а — скорость звука, определяемая нз уравнения Бернулли.
На поверхности тела выполняется условие непротекания, на бесконечности задается невозмущенный набегающий поток. Расчет околозвукового пространственного обтекания выполнен по методу, изложенному в работе [5].
При решении трехмерных задач уменьшение шага разностной сеткн в два раза по всем направлениям н увеличение числа узлов в восемь раз приводят к восьмикратному увеличению затрат машинного времени при выполнении одной итерации релаксационного процесса, Удвоенне числа узлов в направлении набегающего потока требует, как минимум, удвоения числа итераций. Таким образом, повышение точности аппроксимации в четыре раза для разностной схемы второго порядка точности требует удвоения сетки и приводит к шестиад-цатикратиому увеличению затрат машинного времени.
Для сокращения времени вычислений используется алгоритм удвоения сеток [7], где вначале. решение строится на редкой сетке. Для нее задается исходное приближение и осуществляется расчет обтекания при заданных условиях в набегающем нотоке. По известным значениям потенциала <р на редкой сетке для рассматриваемого режима а с помощью линейной интерполяции находятся значения у в промежуточных узлах, и расчет повторяется на удвоенной сетке. При этом потребное число итераций на удвоенной сетке для удовлетворения заданному критерию сходимости релаксационного нроцесса значительно ниже, чем в случае прямого расчета на этой же сетке от одного и того же исходного приближения.
Повышение эффективности при использовании алгоритма удвоения объясняется как заданием хорошего начального приближения, полученного на редкой сетке, так и тем, что высокочастотные для данной сетки возмущепия в решении гасятся быстрее. Те же возмущения для удвоенной сетки являются низкочастотными.
В стандартной схеме расчета используется 100 итераций на сетке до удвоения и 100 для расчета на удвоенной сетке. Их число может быть уменьшено при последовательном расчете близких режимов.
Последовательный расчет на сетках до и после удвоения позволяет для повышения точности численных решепий использовать экстраполяцию к пределу по Ричардсону [8]. Решение, полученное на сетке до удвоения, и решение на удвоенной сетке ¥2/2/2й имеют второй порядок точности. Экстраноля-Ция ПО формуле 2J 2Й = 4/3 т|/22/ ^ — 1/3 ^ 2/ 2k , где ср£ 2/ 2Й представляет собой значения yfjk, взятые в узлах удвоенной сетки, дает решение <р с повышенной точностью.
Выбор коэффициентов в приведенной формуле обеспечивает для схемы второго порядка точности в случае линейных уравнений четвертый порядок аппроксимации. Применение экстраполяции к пределу обосновано для самых разных задач, включая нелинейные н многомерные [8]. В данном случае экстраполяция по Ричардсону используется эвристически без строгого обоснования из-за отсутствия доказательства теоремы о разложении. Даже в случае нелинейных уравнений эллиптического типа в общем случае отсутствует доказательство теоремы об аппроксимации решением разностного уравнения решения исходного дифференциального уравнения [9]. Подтверждением применимости экстраполяции могут служить лишь численные эксперименты.
В качестве примера на рис. 1 приведены результаты расчета при = = 0,975 обтекания полутела вращения с применением экстраполяции к пределу
Рис. 1
(сплошная линия). Результаты расчета на сетке до удвоения нанесены штриховой линией, после удвоения — штрихпунктирной линией. Используется достаточно редкая сетка {69x25x9}, на которой эффект удвоения и экстраполяции проявляется более отчетливо. Полученный результат имеет приблизительно ту же точность, что и расчет на сетке {93X25X9}. Как видно, экстраполяция не приводит к сглаживанию скачка и позволяет при той же точности использовать более редкие расчетные сетки.
2. Возможность применения используемого метода для расчета околозвукового обтекания симметричных крыльев малого удлинения демонстрируется на примере сильно сплюснутого эллипсоида с полуосями a = 0,5, 6 = 0,7, с = 0,05. Для расчета используется сетка с числом узлов после удвоепия {93X25x25} и неравномерным разбиением по 0. Время расчета одного режима по стандартной схеме для ЭВМ БЭСМ-6 составляет около трех часов. Поток пабегает в плоскости симметрии 2 = 0, что соответствует случаю обтекания под нулевым углом атаки. В качестве исходного приближения используется точное решение для обтекания того же эллипсоида потоком несжимаемого газа.
На рис. 2 приведены сечения поверхности тела г(х, 0) (штриховые линии) и распределение чисел М (х, 6) (сплошные линии) для сверхкритического режима обтекания с числом М^^О.93.
То же решение на рис. 3 представлено в декартовой системе координат, где эллипсоид рассматривается как крыло эллиптической формы в плане с удлинением А =1,78 и набором, состоящим из профилей эллиптической формы с 10%-ной относительной толщиной. Распределение чисел М представлено эпюрами М (х) в сечениях у = const. Штриховая линия, соединяющая начальные и конечные точки эпюр, соответствует распределению чисел М (jc, у) для плоскости 2 = 0 (передняя и задняя кромки). В силу симметрии результаты получены для 1/4 пространства и представлены для 1/4 поверхности эллипсоида. Насечками на кривых М (х) отмечено положение звуковых точек. Коэффициент волпового сопротивления, отнесенный к площади крыла в плане, равен 0,02.
в-0,5, b-9,1. с-№
Рис. 3
Расчет обтекания того же эллипсоида со скольжением (поток набегает в плоскости 0 под углом р=45° к оси х) представлен на рис. 4 и 5. На рис. 4 для верхней половины г>0 эллипсоида приведены результаты расчета докритического обтекания с числом №^*=0,8. Эпюры М (х) для сечений у ~ const = А симметричны относительно плоскости х — 0 эпюрам М (х) для сечепий у =—А. На передней и задней кромках отмечены положения критических точек
Режим сверхкритического обтекания с числом Мса = 0,93 представлен на рис 5. Появление скачков нарушает свойство симметрии, имеющее место для докритического обтекания. Границы местной сверхзвуковой зоны отмечены па рис. 5 насечками на кривых М(х). Отмеченная выше симметрия эпюр М (г, у) на докритическом режиме обтекания обусловливает нулевые значения аэродинамических сил. На сверхкритическом режиме (Мга = 0,93) появление скачков приводит к ненулевому значению аэродинамических коэффициентов. Коэффициенты сопротивления и боковой силы в системе координат, связапной с крылом, равны приблизительно 0,01.
а-0,5: b-OJ; с-0,05
v~0,5. b-OJ, MM5
Рис. 5
Приведенные результаты, учитывая их высокую точность (применяется схема второго порядка аппроксимации для полного уравнения относительно потенциала), могут служить для проверки точности создаваемых приближенных методов расчета околозвукового обтекания произвольных крыльев, использующих в качестве уравнений движения упрощенные уравнения или уравнения теории малых возмущений. Выбор эллипсоидов в качестве обтекаемых тел обусловлен простотой и высокой точностью аналитического задания поверхностей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Jameson A. and Caughey D. A. Numerical calculation of the transonic flow past a swept wing. New York University. „ERDA Report" COO—3017—140, 1977.
2. Vooren J. van, S 1 о p f f J. W., H u i z i n g G. H., Essen A. van. Remarks on the suitability of various transonic small perturbation equations to describe three-dimensional transonic flow. IUTAM Symposium Transsonicum II, Gottingen, 1975.
3. В о р р е С. w. Computational transonic flow about realistic aircraft configurations. ,AIAA Paper* N 78—104, 1978.
4. Henne P. A. and Hicks R. M. Transonic wmg analysis using advanced computational methods. „А1АА Paper* N 78-105, 1978.
5. Вышинский В, В. Расчет околозвукового обтекания трехосного эллипсоида. .Ученые записки ЦАГИ“, т. XI, № 6, 1980.
6. Clap wo? thy G. J., Duck P. W. and Mangier K- W. The calculation of steady inviscid flow around non-lifting bodies. IUTAM Symposium Transsonicum II, Gottingen, 1975.
7. Федоренко P. П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.*, т. 1, № 5, 1961.
8. Марчук Г. И., Ш а й д у р о в В. В. Повышение точности решений разностных схем. М., „Наука*, 1979,
9. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М., Изд. иностран. лит., 1961.
Рукопись поступала 19J1X 1980
