Влияние струи на обтекание осесимметричного тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ

Том XVIII 1987

№ 4

УДК 533.6.011.32 : 629.7.024.36

ВЛИЯНИЕ СТРУИ НА ОБТЕКАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА

П. Л. Крапивский

Рассмотрена задача обтекания осесимметричного тела со струей, истекающей из кормовой части тела, потоком вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса. В рамках модели струи Тейлора [6] найдено точное решение задачи о потенциальном обтекании сферы и эллипсоида вращения со струей. Расчет пограничного слоя показал, что при сравнительно небольшом импульсе струи можно существенно уменьшить размер отрывной области на сфере.

Обтекание тела со струей представляет собой весьма сложную задачу гидродинамики. Ситуация не вполне ясна даже в простейшем случае, когда струя предполагается точечным источником импульса, помещенным на плоской стенке, а окружающая жидкость считается вязкой и несжимаемой. Определяющими параметрами задачи являются импульс струи М, плотность жидкости р и кинематическая вязкость V. Легко видеть, что задача оказывается автомодельной. В случае биения струи в безграничное пространство решение было найдено в работах

[1] и [2]. Однако, если источник импульса помещен в вершине конической (в частности, плоской) стенки, решение не существует [3] ни при каких конечных числах Рейнольдса (в данной задаче Не=]/М/р'/2. Эта ситуация напоминает «парадоксальное» автомодельное решение [4], которое, правда, существует при достаточно малых числах Рейнольдса. Отбросив условие прилипания на стенке, в работе [3] все же найдено решение автомодельной задачи. Это весьма необычное решение оказывается «вязким» во всем поле течения даже при больших числа 1?е. С другой стороны, в приближении пограничного слоя при Ке->оо существуют решения [5], описывающие ламинарные и турбулентные струи. Расход струи линейно увеличивается с увеличением расстояния от источника как для ламинарной, так и для турбулентной осесимметричной струи. Поскольку При Ие-ХХ) струя является тонкой, для вычисления внешнего потенциального решения Тейлор [6] заменил струю линией стоков постоянной интенсивности. В экспериментах [7] получено хорошее согласие с решением Тейлора. Интересно отметить, что такая модель струи имеет привлекательные теоретические свойства — автомодельное решение уравнений Навье—Стокса, описывающее течение, вызванное линией стоков интенсивности q в присутствии плоскости, перпенди-

кулярной этой линии, существует [8] при любых числах Re (в этой задаче Re = ^/v). Всюду далее используется эжекционная модель струи, в которой она заменяется линией стоков постоянной интенсивности.

Изучение влияния струи на обтекание тела естественно начать с тел простой формы, когда можно надеяться на получение аналитического решения для внешнего потенциального течения. Разумно также рассмотреть плохообтекаемое тело, так как влияние струи в этом случае будет особенно заметным и может привести к существенному затягиванию отрыва и перехода пограничного слоя. Поэтому рассмотрим обтекание сферы радиуса а стационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости со скоростью U на бесконечности при больших числах Re=t/a/v. Соображения симметрии подсказывают, что источник импульса естественно поместить в задней критической точке R = a, 0 = 0 (здесь R и 0 — сферические координаты с началом в центре сферы). Найдем внешнее потенциальное решение. Выделяя явно потенциал обтекания сферы и потенциал луча стоков постоянной интенсивности q, помещенных на луче 0 = 0, /?>а, представим полный потенциал скорости внешнего решения в виде

Ф = U COS 0 \R + -^-1 + [in /gcose-a + Z?, a\ + . (1)

I 2R2 J 4k [ I /?2sin2 0 ) J w

Здесь /?! = у а2 -(- /?2 — 2а/? соэб — расстояние до источника импульса, <р — искомый потенциал возмущенной скорости. Потенциал стоков, расположенных ' вдоль полуоси г > 0, в цилиндрических координатах имеет вид

со ______

д р ¿С______= д 1п ( гА-Уг^ + г2 }

4,1 .) Vг2-Г (г — С)2 4ть V г2 I’

і

В сферических координатах это и дает второй член в (1).

Подставляя ( дФ

непротекания ла ф

) в уравнение Лапласа ДФ = 0 и граничное условие = 0, получаем краевую задачу для потенциа-

R=a

ду

~dR

Д® — 0; (2)

- J------------; О)

R=a а 7?!

¥ -» 0 при Я-*- оо. (4)

Вид граничного условия (3) подсказывает, что решение можно искать в виде

а , Г 1 ¿К /г'

т = -_ + а] . (5,

Действительно, граничные условия (3), (4) очевидным образом удовлетворяются, а в справедливости (2) можно убедиться либо непосредственно, либо с помощью следующего общего приема. Пусть ¡(Я, 0) —

произвольная гармоническая функция, стремящаяся к нулю на бесконечности. Тогда интеграл

СО

]'/(£, 6) 4f

R

тоже является гармонической функцией. Действительно, раскладывая f(R, 0) в ряд по полиномам Лежандра

г [ г\ СЧ V Рп (C0s в)

fi.Ri ®)— сп >

ns О

находим интеграл

00 со

f/W, e)=Eir£f-rÜ!S2

1

и убеждаемся, что он действительно является гармонической функцией. Поскольку в решении (5) f(R, Q) = l/Ri является гармонической функцией, то (5) является решением уравнения Лапласа.

Используя тождество

ос

Г =---= — íarcsh í~ ~~ R —-'l -f- arcsh (ctgQ) ,

J RRi a [ \ R sin 0 /

R

получаем окончательное выражение для потенциала

Ф U cos 6 \R + -g-1 + -5- [in ( * c°s 6 ~ fl- + * a) -

L 2^2 j ' 4K I \ 7?2sin2 6 I

—Í. + а rcsh ( *~*c" ■) + »rcsh (clg fl)] . (6)

Скорость на поверхности сферы дается формулой

1/= — С/sin в Г1 + —q--------- 1-+-cos°l. (7)

2 [ 6 sir.3 0 J '

График зависимости V= 1/(9) при различных значениях q представлен на рис. 1 (/=—?— = 0; 0,1; 0,5).

\ бтг аи

Расчет пограничного слоя на сфере, скорость на внешней границе которого представлена формулой (7), проводился с помощью метода [9]. Результаты работы [10], где дается сравнительный анализ точности и эффективности ряда методов, используемых для расчета течения в пограничном слое, показывают, что выбранный метод принадлежит к числу наиболее простых и экономичных в смысле потребных ресурсов ЭВМ и обеспечивает хорошее совпадение с опытными данными. Для определения перехода ламинарного слоя в турбулентный использовался полуэмпирический метод, изложенный в работе [9]. Полная вязкость Vjkj в области перехода определяется с учетом коэффициента перемежаемости у: V3(j> = v + YvT. Трехслойная модель турбулентной вязкости vT берется в соответствии с работой [И] и базируется на экспериментальных данных. Значение вязкости в каждой из зон определяется

Рис. 1

заданием градиента давления и числа Ие по толщине вытеснения. Положение точки отрыва находилось по нулевому значению местного коэффициента трения. Поскольку данный метод предназначен для расчета сжимаемого пограничного слоя, то необходимо взять достаточно малое значение числа М. Оно было выбрано равным 0,1.

На рис. 2 представлен график зависимости положения точки отрыва 0отр от безразмерного расхода I. При числе Рейнольдса Ке = = 2,8• 106 0отр, как видно из рис. 2, имеет постоянное значение 00^=174° в диапазоне 0,04</<0,2, а при />0,25 течение становится безотрывным. Таким образом, основной эффект — почти полное устранение отрыва — достигается уже при сравнительно небольших значениях / ~ 0,04, что может оказаться важным с точки зрения практических приложений.

Зависимость положения точки перехода от } 0Пер = 0пер(-О представлена на рис. 3. В целом ясно, что при небольших / можно кардинально уменьшить размер отрывной области, существенно затянуть переход и, тем самым, значительно уменьшить сопротивление. В заключение отметим, что связь ПЛОТНОСТИ СТОКОВ 9 с импульсом струи М, получаемая из автомодельного решения [5] для турбулентной осесимметричной трубы, имеет вид

д = 0,404 УЩ- (8)

В общем случае эжекционные свойства епутной турбулентной струи моделируются полулинией стоков переменной интенсивности q(z). При отсутствии спутного потока, т. е. для затопленной струи, q(z) = = const. Для епутной струи вдали от источника q{z)-+ 0. Описанный метод расчета потенциального течения применим и в случае переменной интенсивности стоков, причем функция q (z) должна находиться из более точного рассмотрения взаимодействия струи со спутным потоком [12—14].

Оценим влияние уменьшения q(z) на обтекание сферы. Предположим, что q(z)=q на примыкающем к сфере отрезке длины L, q(z)=0 при z<L + a. В качестве L возьмем расстояние, на котором итах/и = 3, где «щах — скорость на оси струи. Отсюда находим / = 4/а«116/. Поскольку данная модель струи удовлетворительно описывает только безотрывный режим, при Re = 2,8-106 имеем />0,04, />4,64. Решение задачи имеет вид

Коэффициенты определяются из граничного условия непротекания и не приводятся ввиду громоздкости. Численное вычисление показало, что при /=5 касательная скорость на поверхности сферы отличалась от (7) менее чем на 1%. Еще лучше численные результаты описываются асимптотической формулой

справедливой при /^>1.

Рассмотренный приближенный метод учета влияния струи на обтекание сферы легко распространяется и на другие осесимметричные тела. Изложим кратко ход соответствующих вычислений в случае обтекания эллипсоида вращения, удлиненного вдоль по течению. Пусть

а—1 большая полуось эллипсоида; Ь — малая полуось; с = у¿2________¿2 __

лоловина расстояния между фокусами; е = с/а — эксцентриситет. Внешнее потенциальное решение по аналогии со случаем обтекания сферы ищем в виде

Ф — U cos 6 + -/г 1п(-

R cos 0 — а — 4 + R2

R cos 0 — а + Ri

-L-Уг p«(cos6> "Т~ ¿d j^n+l

Ф = — Ua

+ ■

х x +1

— In -----------

2 к — 1

1

In-

+ e

1

— ek

4л

[>.(■

2e 1 — e 1 — e2 R cos 0 — a + /?,

[* +

sin2 0

Cl 1 -j- О

Первый член в (9) представляет собой потенциал обтекания непроницаемого эллипсоида [12], а 1 и ц выражаются через эллиптические координаты g и г):

R cos 6 = с ch ? cos ч], X = chS,

R sin 6 = с sh S sirnr), [a=cost].

Для возмущенного потенциала cp получаем следующую краевую задачу:

Д<р = 0;

df

д\

х=х„

<р -> 0 при X -»оо.

(10)

Здесь Х = Х0=------уравнение поверхности эллипсоида в эллиптических

е

координатах, а функция х(м-) находится в результате громоздких вычислений и имеет вид

2Х02

1 ------------ {JL

Х2о~1

+

"V 2X2-1

1 — (X

Xo(l-rt- Vl-pV 2Xg — 1 — p. '

Общее решение уравнения Лапласа, которое зависит только от 1, и |1, не имеет особенностей и стремится к нулю на бесконечности, имеет вид [12]

<р

(11)

л=0

где рп(|л), <2п(А)—функции Лежандра первого и второго рода.

Из (10), (11) ясно, что спС1п(Хо) является коэффициентом разложения функции х(м-) в РЯД по полиномам Лежандра Рп((х). Используя соотношения ортогональности для полиномов Лежандра, окончательно находим, что решение краевой задачи (10) имеет вид (11) с коэффициентами

2 п + 1

[QnWl 1

(12)

Случай обтекания сферы можно извлечь из полученного решения (9),

(11), (12) путем предельного перехода е-Ч), сК-^Я, ¡л-нюэ 0.

Рассмотренный метод учета влияния струи на обтекание тела применим не только в осесимметричном, но и в плоском течении. При

этом вместо (8) имеем следующую связь (переменной) плотности стоков q = q(x) с импульсом струи М:

М/рх. (13)

Несколько примеров обтекания плоских тел со струей, моделируемой распределением стоков (13), дано в работе [13]. Там же приведены экспериментальные данные, показывающие устранение отрыва на цилиндре при увеличении импульса струи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Л андау JI. Д. Об одном новом точном решении уравнений

Навье—Стокса. — ДАН СССР, 1944, т. 44.

2. Squire Н. В. The round laminar jet. — Quart. J. Mech. Appl. Math.,

1951, vol. 4.

3. S q u i r e H. B. Some viscous fluid flow problem I: Jet emerging from

a hole in a plane wall. — Phil. Mag., 1952, vol. 43.

4. Гольдштик М. А. Одно парадоксальное решение уравнений Навье—Стокса. — ПММ, 1960, т. 24, № 4.

5. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974.

6. Taylor G. I. Flow induced by jets. — J. Aero. Space Sci., 1958,

vol. 25.

7. Wygnanski I. The flow induced by twodimensional and axisym-turbulent jets issuing normally from an infinite plane surfaces. — Aeronaut.

Quart. 1964, vol. 15.

8. Г о л у б и н с к и й А. А., Сычев В. В. Об одном автомодельном решении уравнений Навье—Стокса. — Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. 7,

№ 6.

9. Albers J. A., Graig J. L. Computer program for calculating laminar, transitional and turbulent boundary layers for a compressible axisym-metric flow. —NASA 7ND-7521, 1974.

10. Stafford T. W. Calculating of chin friction in two-demensional transonic turbulent flow. — AEDC-TR-79-12, 1979.

11. Meller G. L. The effect of pressure gradient on a turbulent flow near a smooth wall. — J. Fluid. Mech., 1966, vol. 24.

12. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука,

1973.

13. Wygnanski I. The effect of jet entrainment on loss of thrust for a two-dimensional symmetrical jet — flap aerofoil. — Aeronaut. Quart., 1966, vol. 17.

14. Г и невский А. С., Маслов Л. А. Расчет продольного обтекания тела вращения с учетом эжекции реактивной струи. — Ученые записки ЦАГИ, 1974, т. 5, № 5.

Рукопись поступила 3]1П 1986 г.