CC BY
44
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЧАГИ Том XVI 1985
№ 5
УДК 532.517.4
ПОЛУЭМПИРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТА перемежаемости, УСЛОВНО ОСРЕДНЕННЫХ СКОРОСТЕЙ И ВТОРЫХ МОМЕНТОВ В ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКАХ
В. А. Сабельников
Предлагается полуэмпирическая модель для определения коэффициента перемежаемости, условно осредненных скоростей и вторых моментов в турбулентных потоках. Уравнения для перечисленных характеристик выводятся из уравнения для совместной плотности вероятностей скорости и концентрации примеси. В уравнениях модели содержатся дополнительные слагаемые, которые характеризуют обмен веществом, импульсом и энергией между турбулентной и нетурбулентной областями течения. На основе модели проведен расчет перечисленных характеристик на автомодельных участках свободных турбулентных течений и во внешней части пограничного слоя на пластине. Результаты расчетов сравниваются с имеющимися в литературе экспериментальными данными.
Начало исследованию условно осредненных характеристик турбулентности положено в [1, 2] (условное осреднение производится с помощью функции перемежаемости, равной единице в турбулентной и нулю в нетурбулентной областях течения). К настоящему времени получена достаточно обширная эмпирическая информация о статистических характеристиках поля скорости и концентрации примеси турбулентной области течения и за ее границами. Вместе с тем попытки теоретического описания перемежаемости пока единичны (ссылки на работы, посвященные этому вопросу, имеются в [3—5]*), а сама проблема создания методов расчета турбулентных течений с учетом перемежаемости по существу остается открытой.
В работе предлагается полуэмпирическая модель для определения коэффициента перемежаемости, условно осредненных скоростей и вторых моментов в турбулентных потоках. Эта модель основывается на использовании уравнений для условно осредненных характеристик, выведенных ранее в [5]. Получены численные решения уравнений модели на автомодельных участках свободных турбулентных течений. Результаты расчетов сравниваются с имеющимися в литературе экспериментальными данными.
* В [3, 4] содержится также подробное обсуждение понятия перемежаемости и сделана попытка дать строгое определение этого понятия.
1. Основные уравнения и замыкающие соотношения. Уравнения для условно осредненных моментов различных гидродинамических параметров (скорости, концентрации примеси и т.д.) в турбулентных потоках выписаны в [5]. В [5] эти уравнения выведены из уравнения для совместной плотности вероятностей скорости и концентрации примеси. Повторим кратко основные этапы этого вывода.
Главную роль в [5] играют условные плотности вероятностей, которые вводятся посредством индикатора турбулентной жидкости. Как показано в опытах (см., например, [6, 7]), в качестве индикатора можно использовать концентрацию пассивной примеси (или температуру при малых перегревах среды). Сказанное объясняется тем обстоятельством, что концентрация примеси вне турбулентной области течения принимает постоянные значения. Если ограничиться рассмотрением обычных струйных течений и пограничных слоев, то таких значений два или одно. В силу линейности уравнения диффузии эти значения можно считать равными нулю и единице. Например, при истечении из сопла струи, содержащей некоторую примесь, концентрация примеси равна единице в неосредненном ядре струи и нулю в спутном потоке.
Рассмотренная особенность диффузии примеси в турбулентном потоке приводит к тому, что значения концентрации примеси нуль и единица наблюдаются с конечной вероятностью, т. е. выражение для совместной плотности вероятностей скорости и концентрации содержит слагаемые, пропорциональные дельта-функциям *. Общая формула для этой плотности вероятностей имеет вид:
Р(и, г) — 7о Рп, о (я) 8(г) + ч1Р„, ! (и)8(2 — 1) + чЯДв, г) =
= тЛ(и> 2) + (1 —т)Р„(и, г), Р1 (и, г) = г) [0 (г) - 0 (г— 1)],
Р„ (и, г) = то (1 - тГ1 Рп, о (и) 8 (г) + Т1 (1 - ч)”1 Рп, 1 (и) 8 (г - 1),
Т0 + Т1 + ? = !.
(1.1)
Здесь » = («!, и2, Ыз)—вектор скорости, г(0«г< 1) — концентрация примеси; Рп о и Рп 1 — плотности вероятностей скорости в нетурбулентной области течения при условии, что 2=0 и 1 соответственно; Рг{и, г) и Рп(и, г) —совместные плотности вероятностей скорости и концентрации примеси в турбулентной и нетурбулентной областях течения соответственно; у — коэффициент перемежаемости, уо и 71 —вероятности наблюдения значений концентрации примеси 2 = 0 и 1, 6 — дельта-функция; 0 —функция Хевисайда: 6 = 0 при г<0, 0=1 при
2>0, Т7 — гладкая функция г.
Если выражение для Р(и, г) в (1,1) проинтегрировать по 2 в бесконечно малой окрестности 2 = 0, то получим плотность вероятностей Рп, <>(»)• Проделав ту же операцию в окрестности 2=1, найдем Рп, Ли). Рассмотренная процедура позволяет получить из уравнения для безусловной плотности вероятностей Р(и, г) несколько уравнений для условных плотностей вероятностей ** [ясно, что этот результат обусловлен присутствием сингулярных функций б(г) и 6(2—1) в соотношениях (1.1)].
* Это утверждение справедливо только при числе Рейнольдса, равном бесконечности. При конечном числе Рейнольдса имеет место некоторое «размазывание» дельтафункций. Оценка этого эффекта приведена в [3, 4].
** Аналогичный прием используется при выводе уравнения для условной плотности вероятностей концентрации примеси в турбулентной жидкости Рг{г) в работе [4].
Уравнение для Р(и, г) возьмем в форме, выписанной в [4, 5, 8]:
дР . дР д п 1 ^ д* Р, д3 /1
^п-+«г-з— =-з—шг Р------------<ГО>-----г - -^-т11 (1-2)
д( ' * дх-, ди-1 1 з ди) дг1 к >
со ¡=<др1дх1'>и.г-
Здесь £— время, х = (хи х2, л:3) — радиус-вектор точки в декартовой прямоугольной системе координат, р— давление, поделен-
ч /I дщ ди! \г\ /( дг \2\
ное на плотность, (е ) + <^>=0^-^-)/—
скорость диссипации энергии турбулентности и скалярная диссипация, V и И — коэффициенты молекулярной вязкости и диффузии соответственно; угловыми скобками обозначено безусловное осреднение (например, символ < ><, г означает, что осреднение производится по турбулентной области течения и при заданном значении концентрации примеси),
<е>=Т<«>/, =
Условно осредненный градиент давления шг = {др!дх1)а,г не выражается через рассматриваемую плотность вероятностей. В работах [3, 8, 9] оператор ^аппроксимировался следующим выражением:
г>= ^г("; + т <«*>8» + °») ’
и\ = щ— <ыг>, Та = (д2)1 < В ) , <
&1) = ( и.) ,
К = 2,4 — эмпирическая постоянная. Тензор О и в (1.3) имеет нулевой след, т. е. /)гг = 0. Конкретный вид компонент этого тензора для дальнейшего анализа несуществен.
Заметим, что более общее выражение для оператора «г можно получить, если в (1.3) добавить слагаемое, пропорциональное производной д/дг. Это слагаемое, однако, не сказывается на уравнениях для плотностей вероятностей скоростей, получаемых из (1.2) после интегрирования по г.
В отношении (1.3) сделаем следующие два замечания. Во-первых, представление члена, описывающего в уравнении для плотности вероятностей (1.2) силы давления, в виде произведения ацР справедливо только для плотностей вероятностей, не содержащих дельта-функций (подробнее см. [5]). Во-вторых, аппроксимация (1.3) должна также содержать член, ответственный за процесс диффузии энергии турбулентности вследствие пульсаций давления (см. [9]). Для развиваемой ниже полуэмпирической теории первое замечание не имеет принципиального значения. Пренебрежение членом, указанным во втором замечании, можно рассматривать как некоторое приближение, основывающееся частично на экспериментальных данных и широко используемое в по-луэмпирических моделях турбулентности (см., например, [10]).
Уравнения для условных плотностей вероятностей Р„, о(и), Рп,1(и), Р((и), Рп(и), Р,{а, г), Рп(и, г), полученные из (1.2) с помощью описанного выше способа, имеют вид:
(1.3)
L [То Pn, о (и)] = — Q0 (и), L [Tl Pn,, (и)] = — Q,(»),
L [TP,(e)] = Q0 (u) + Q, («)_ <£> ,
LK{-l)Pn (и)] = - Qo (И) — Qi («),
I [( 1 - T) P„ (», 2)1 = - Q0 (») 8 (Z) — Qa (a) 8 (2- 1),
¿hF(., »)1 = - <ЛО ” -<fi *f<“' *> ,
d*2 3 ди| (1.4)
Pt(u, z) = F (и, Z)[6(Z) — 6(2— 1)],
¿1 l = -^tJ-+“.^r-L-'/-K[ 11.
d*,- dui
Q0(u) = mePt(u\z = 0), Ql{u) = tnlPt(u\z = 1),
m0=(N) >0, OTl = -(yV)f-^l >0.
L àz J2=o dz Jz=i
Здесь Pt(u\z) — условная плотность вероятностей скорости в турбулентной области течения при заданном значении концентрации примеси. Подчеркнем, что P,(tt|;2 = 0) фРп, о(я) И Pt[u\z=V)i= Pn, 1 (я).
Физический смысл величин Qo(») и Qi (и) в (1.4) достаточно прозрачен. Они описывают взаимодействие, т. е. обмен массой, импульсом и энергией, между турбулентной и нетурбулентной областями течения. Отметим, что в уравнениях для плотностей вероятностей в нетурбулентной области течения Рп, 0 (и), Рп,\(и), Р„{и) и Рп(и, Z) по вполне
понятным причинам отсутствуют слагаемые, связанные с диссипацией энергии турбулентности и неосредненных концентрационных неоднородностей.
Уравнения для условно осредненных моментов получаются умножением уравнений в (1.4) на различные комбинации из произведений скоростей и концентрации и последующим интегрированием по и я z. В частности, уравнения для коэффициента перемежаемости и моментов скорости первого и второго порядков, осредненных по турбулентной жидкости, имеют вид
дч . д <«/■>, 7 • • , •
dt dxi
àf<ui>t ( d~i <«,•>, Cuj>t _ 0 дч&ц (
dt + dxj — Ti — dxj +
+ ma(ut) ti z=0 + ml (Ui) t, z=u
àlRij ¿Y <uk>t R\j _ t à <«;>, d <«;>,
dt dxk 1 dxk jk dxk
u
~ T-3 < e ) 8,7 + /И0 ( и[(и])( г=0 + z=b (1 5)
#// = ( Иг Uj } ¡, Sijk = ( Ui Uj II h } И/ — { Ui )
( и *и.{ ) t г = j u'{ u'f Pt (и | z) d3 u,
= **/(». Z)dsudz =-------------------<И/>),
-}-ц = І (и* «>/ 4- и'/ ш,) Р( (Я, г) & шіг = Я// —8/у + •
= 2 —-Та
2. Уравнения для струйных течений. Рассмотрим достаточно медленно расширяющиеся свободные турбулентные течения (струи, следы за телами). В таких течениях уравнения (1.5) для коэффициента перемежаемости, условно осредненных скоростей и квадрата пульсационной скорости, если привлечь хорошо известные соображения для оценки различных слагаемых в уравнениях движения (см., например, [2]), принимают вид:
д-{<и>( < ^ д-{у1 <г’>,
У ду
дх------------1" -----------------17---------= т> т = т0 + ти
< и > „ > 1^. = _ я(2 А.
Л* * ¿У у1 ду 1 ду
— #774 < к )/—<“>) + ™о( < и ) <,2=о— ( « ) ()Ч~1 +
+ «і(<в><.*=і — <м)<)т-1.
/ и \ д <«>/ , / <? <1>>, ^ (#22 — #22) г,( 1 <?7
{и) * —дї— + ( ® > *—д~у— “----Ту-----^22т "¿7
— ЯТй\ ( V > { V ) ) + /тг0 ( < V ) и г=о— < г» ) ^Т1 +
+ «і( < ® > и г = 1— < ® ) /) 7 1,
' іМ I ^ 4 д/*1ь _ ері д<«>/ 1
<»>/-лг+<®>/-^г--2^»—ар-----------------------гг-
(2.1)
дУ ду у‘ ду
—5**2 — --------2ЯТи 1 (/?** — Яы) + т0 ( ( и£ и'ь ) <,г=о —
т ау
— /?йа) Т-1 ~Ь т1 ( ( ик Чк ) <. 2=1 —Рйй)т-1 — 2 ( £ ) I
Показатель степени і равен нулю для плоских, единице — для осесимметричных течений.
В уравнениях (2.1) наряду с первыми и вторыми моментами скорости содержатся следующие неизвестные величины: т0, ян,
( И ) (, г-0, ( И ) (, 2=1» ( ® 2=0, { V У 2=Ь
( 11к Чк ) 2=0, ( и*/ И* ) *, 2 = Ь 5**2, ( £ ) /.
Для аппроксимации величин /та0> и условных средних ( )/,* используем соображения, изложенные в [5]. В результате получим
Щ = аТ^1 Т70. гп\=- “ТТЧїі. да = аГГ1Т(1-1), Т, = в2/<ЛО. а2 = ((2- < г > )’> ,
'й0 (< и.) 1,2=0 — <и)/) + Оті( < И ) л 2=1— < ч)()=<9М{и)п — <и>/),
«*о( <«><. *=о— <«> /) + я*і( <®> л г=1-<'У)/) = Ч>1"г((г'}„— <®)*),
Ото ( ( ) Л *=0 Ркк) Ч- ^1 ( ( И* И* } <, 2=1 Ркк) ==
= /тг(Р*й — /?^), Я** = ((и* — < щ ) „)2)
(2-2)
Здесь <>п — символ условного осреднения по нетурбулентной области течения, и ср2 — эмпирические постоянные. Их значения должны быть подобраны обычным для полуэмпирических теорий путем — из условия наилучшего соответствия результатов расчета с экспериментальными данными.
Третий момент 5**2 совместно с неучтенной при записи уравнения для /?** корреляцией < (р — (р > ¿(V — < V ) () > ( будем аппроксимировать с помощью градиентного соотношения
п д*Ь г* ***/2
ду <в>/
(св — эмпирическая постоянная), подобно тому, как это делается в двухпараметрических моделях турбулентности [10].
Условные и безусловные моменты скорости, присутствующие в (2.1) и (2.2), связаны следующими соотношениями:
} (2.3)
(и) =тг < И > * + (1 - т)< “ > „» < ® > = т < ® > < 4- 0 — т) (®)я.
#12='Г^2 4-(1 —т)#?2 + т(1—Т)( ( и >*—<»>„)(< V > ,— < V > „),
#22 = Т/?22 + (1-Т)#22 + Т(1-Т)((^)<-(^>Я)г,
Ккк — Ч&кк + (1 — 7) #** + Т (1 - т) ( < «Й > / - < > „)2-
В аппроксимации величин та и входит временной масштаб пульсаций концентрации Тг. Поскольку основная задача состоит в исследовании моментов скорости, то масштаб Тг целесообразно связать с масштабом времени пульсаций скорости Ти- Следуя [10], будем считать, ;что рассматриваемые масштабы пропорциональны, т. е.
Тя = гТа, (2.4)
где г — эмпирическая постоянная; рекомендованное в [10] значение лежит в диапазоне г = 0,51.
С целью упрощения дальнейшего анализа примем следующие допущения:
/& ^-1(1(2.5)
Первое соотношение в (2.5) основывается на результатах измерений в [6, 7, 11, 12]. Связь между #22 и /?** в (2.5) является аналогом соотношения между безусловными моментами, полученного из уравнений для рейнольдсовых напряжений в предположении квазиравновесия между процессами порождения и диссипации энергии турбулентности (см., например, [10]). Заметим, что в уравнение для в (2.1)
входит разность (#22— #22). Расчеты, результаты которых приведены в п. 3, показывают, что влияние этого слагаемого весьма мало. По-видимому, этот вывод сохранится и при более строгом подходе.
Соотношения (2.2) — (2.5) еще не замыкают полностью систему уравнений для условно осредненных моментов в турбулентной жидкости, поскольку в них фигурируют безусловно осредненные характеристики <«>, <«>, Яш и <е>. Замыкание будет достигнуто, если для определения этих характеристик использовать, например, & — е (1г = Якк/2) модель турбулентности (см. обзор [10]).
В настоящей работе, однако, с тем, чтобы исключить влияние на оценку пригодности новых замыкающих соотношений (2.2) гипотез замыкания, использованных при получении уравнений & — е модели турбулентности (или какой-либо другой модели),поля <«>, <и> (а,следовательно, и /?1г), Якк и <е> предполагаются известными из эксперимента; коэффициент диффузии Бг в соотношении для третьего момента рассчитывался по формуле
й, = -?*-, Dg = -[Sllll2+((p-(p))(v-(v)))}/-^. (2.6)
При этом диффузионный поток безусловно осредненной энергии (т. е. величина [5**2+ < (р— (Р > )(®— ( V )) > ]) определялся из уравнения баланса энергии.
Перед тем как перейти к численному решению уравнений для условно осредненных моментов, рассмотрим качественные особенности в поведении условно осредненной поперечной скорости <£><■ С этой целью сравним уравнение для у в (2.1) с аналогичным уравнением из [4]. Имеем:
< V ) ,= ( V > + ({V — < V )) (г - ( г >) > а“2 (1 — т) -г“1 < г ) .
На автомодельных участках струй и следа за круговым цилиндром выражение для ( V ) „ используя формулы из [4], можно привести к виду
{V ) (V ) Н—11 Т7----------------1 ~~ Ц-м5.
2 <г*>{Кг>]-1
Здесь F = S — для следа, F -*■ const_npn S-> + oo— для струй; %=.ylL(x), L = х — для струй, L = Yxd — для следа, d — ширина или диаметр сопла для струй и диаметр цилиндра — для следа; 1-Н
us= u0(d/x) 2 , и0 — скорость на выходе из сопла для струй и скорость свободного потока для следа.
Как показано в [4], lim ( zz) J { z ) 2 = constÄ 1,31. Следова-
£-► + 00
тельно, ( v > t при S -» + ос имеет следующие асимптотические представления:
1) ( v ) t ~ lus — для следа*,
2) < v > t — us — для плоской струи,
3) ( v > t — S-1 us — для осесимметричной струи.
Практически те же результаты можно получить и без привлечения
уравнения для у из [4]. Для этого надо проинтегрировать уравнение для у в (2.1) по поперечной координате от нуля до некоторого значения у. Появляющиеся при этом интегралы достаточно просто оцениваются, если учесть, что коэффициент перемежаемости уменьшается при у-*-+оо по экспоненциальному закону, в то время как другие характеристики изменяются существенно слабее.
Установленные приближенные зависимости для <и>< (расчеты, результаты которых будут представлены в п. 3, подтверждают их) качественно согласуются с результатами немногочисленных измерений в струях, в следе и внешней части пограничного слоя [6, 7, 12, 14].
* Заметим, что в [13] допущена ошибка — считается, что в следе <»/ ~
~ <1>> ~ u2s ~ Щх.
3. Расчет автомодельных течений. Система уравнений (2.1), замкнутая с использованием соотношений (2.2)—2.6), была применена для расчета коэффициента перемежаемости, условно осредненных скоростей и энергии турбулентности на автомодельных участках в плоской и осесимметричной затопленной струях, следе за круговым цилиндром, слое смешения на начальном участке затопленной плоской струи, а также во внешней части пограничного слоя на пластине. Во всех перечисленных течениях, за исключением слоя смешения, yi ~ 0. В расчетах профили безусловно осредненных скоростей { v ) , (и) , квадрата
пульсационной скорости Ruu и диссипация энергии ( е ) , как уже отмечалось в предыдущем разделе, задавались из опытов.
В рассматриваемых случаях уравнения (2.1) приводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Процедура получения таких уравнений достаточно проста и они здесь не выписываются.
Сделаем лишь следующие замечания по постановке краевой задачи. Все уравнения (за исключением только уравнения для энергии турбулентности) в (2.1) — первого порядка. Следовательно, к каждому из них надо поставить одно граничное условие (для уравнения энергии— два). Для течений, имеющих ось или плоскость симметрии, полагалось: lim т = 0, (v) t — 0 при у = 0. В слое смешения считалось, что
у~++<х>
< v ) tzx ( v ) при 7 ж 1.
Из условия наилучшего соответствия результатов расчета с экспериментальными данными получены следующие значения эмпирических постоянных: а=2,4 при г=0,5 (отметим, что в [5] для а получена оценка а^2,3), ф1 = 0,08, ф2=0,075.
Сравнение результатов расчетов для различных течений с имеющимися в литературе экспериментальными данными приведено на рис. 1—5. Результаты измерений на рисунках представлены сглаженными по экспериментальным точкам штриховыми кривыми, результаты расчетов — сплошными кривыми.
На рис. 1 дано сопоставление результатов расчета для следа за круговым цилиндром с экспериментальными данными [7].
= 5 — и" = (и0 <и»!их, 6-R° = Rkklu% их =
= ti0 [dl(x — х„)]Ч2, 6 =yl Y(x—x„)d, x/d=400, u0 d/v = 2,7-10*, x0= - 40 d
Диссипация энергии <■ г > в [7] не измерялась. В расчетах ее значения задавались в соответствии с профилем безразмерной диссипации ( г } У(х — х0)с1/и1, найденным в опытах [2]. Измерения условно осредненной поперечной скорости (V) 1 проводились также в [2]. Результаты этих измерений количественно мало отличаются от данных на рис. 1.
Сравнение результатов расчета для плоской и осесимметричной струи с экспериментальными данными [11] (плоская струя) и [15] (осесимметричная) приведено на рис. 2 и 3 соответственно. В [11] не изме-
= Яй*/“т. 5 - в» = <«>/«т, е - <ъ>/ит. 7 - =
2
= ит — продольная средняя скорость на плоскости
симметрии, 5 = у1(х—Хо), х0 = — 2(I, = 3-10*
Рис. 2
/ - т, 2-и°( = <и>11ат, 3-ъ°= <я>(1 ит, 4 -
Я? =' Якк1ит- 5 ~ и° = <и>/«т, 6-о» =
2
= <®>.!ат, 7 — /?° а= #£*/ит, ит — продольная
средняя скорость на оси симметрии I = у1(х — х0), ха к 0, и о «¿/и = ДО6
рялись величины <У> И <У>Э В [15]— <и>и <о>, 0>г, Я***. Профили <и>, изображенные на рис. 2 и 3, найдены в [11, 15] из уравнения неразрывности. В [11] приводится полученный таким же косвенным образом профиль При этом оказывается, что между
<у> и <Х)>г нет качественного различия (они близки даже количественно. Этот результат весьма сомнителен. По всей видимости, он обусловлен использованием ошибочного уравнения неразрывности для условно осредненных скоростей. К сожалению, в [11] это уравнение не выписывается. Однако из текста статьи можно предположить, что его вид совпадает с обычным уравнением неразрывности, в котором вместо безусловно осредненных скоростей фигурируют условно осредненные скорости, что противоречит первому уравнению в (2.1).
Качественный характер поведения рассчитанных профилей <u'^>t и в осесимметричной струе согласуется с результатами измере-
ний в [6], выполненными на небольших расстояниях от среза сопла (*/<¿=15) и в спутной струе [14].
На рис. 4 дано сравнение результатов расчета и измерений для слоя смешения на начальном участке плоской струи [16]. Средние скорости <и> и <и>< в [16] не измерялись Профиль изображен-
ный на рис. 4, рассчитан с помощью уравнения неразрывности.
Сравнение результатов расчета и измерений для внешней части пограничного слоя на пластине [12] приведено на рис. 5.
Средние квадраты пульсадионной скорости Яш и и диссипация энергии в П2] не измерялись. Величина Яш находилась по резуль-
татам измерений среднего квадрата пульсаций продольной скорости Ян на основе допущения о том, что степени анизотропии турбулентности в [12] и [17] одинаковы. Распределение безразмерной диссипации энергии <е>б/и® в расчетах задавалось из опытов [17] (в соответствии с соображениями, изложенными в [2]; эта величина в рассматриваемой области пограничного слоя не зависит от числа Рейнольдса).
/—■т. 2- и£ = <а>1[и0, 3 — »0 = <1)>^и0, 4 — Р® =Я*й/“о>
2
5 — Ц° = <«>/«0. в — = <и>/и0. 7 — и0 — скорость
свободного потока, и0 х/ч и ЗЮ5, Е = (у — уд 5)/(* — хо)< Уй 5 -координата, в которой средняя продольная скорость равна и0/2, Уо 5 = = 0,0485 (х — х0), Х01с1 я — 0,11, «„ ¿/V = 1,4-105
1 - т, 2-и°{ = <и>//и00, 3-v0t = Со^/Ооо, 4 — Д® = <{и— <и>/)“>^2/«001 5 — ц° =
= <«>/«00, б — v^^ = (<о>< - СО)/«,*,, 7 — Я° = < (и — < и>)»>1/2/исо, «оо — скорость внешнего потока, и00Ь/1= 2,75-Ю-4, н«/“со =
= 0,045, 6 — толщина пограничного слоя,
И» — скорость трения
Рис. 5
Как видно из рис. 1—5, совпадение результатов расчета условно осредненных величин по предлагаемой в работе полуэмпирической модели с опытными данными в автомодельных течениях вполне удовлетворительное. Более определенные выводы относительно области применимости развитой модели могут быть сделаны только после использования ее для расчета неавтомодельных течений. Отсутствие экспериментальных данных, однако, не позволяет в настоящее время проделать этот этап работы по оценке модели, а также по ее уточнению.
В заключение отметим, что развитие методов расчета условно осредненных характеристик турбулентности наиболее актуально для описания химических реакций в турбулентных потоках. Сказанное подтверждается тем хорошо известным обстоятельством, что химические превращения происходят только во вполне турбулентной области течения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Corrsin S. Investigation of flow in an axially symmetric heated jet of air. — NACA Wartime Rep. W-94, 1943.
2. T a y h с e h д A. A. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом.—М.: Изд. иностр. лит-ры, 1959.
3. Кузнецов В. Р., Сабельников В. А. Перемежаемость и распределение вероятностей скорости в турбулентных потоках.— Успехи механики, 1981, т. 4, № 3.
4. Кузнецов В. Р., Сабельников В. А. Перемежаемость и распределение вероятностей концентрации в турбулентных потоках. — Успехи механики. 1981, т. 4, № 2.
5. Сабельников В. А. К вопросу об описании свободных турбулентных течений с учетом явления перемежаемости. Уравнения для условно осредненных характеристик турбулентности. — Труды ЦАГИ,
1979, вып. 1998.
6. С h e v г а у R., Tutu N. К. Intermittency and preferential transport of heat in a round jet. — J. Fluid Mech., 1078, vol. 88, pt. 1.
7. F a b r i s G. Conditional sampling study of the turbulent wake of cylinder. Part 1. — J. Fluid Mech., 1979, vol. 94, pt. 4.
8. Сабельников В. А. Модельное уравнение для распределения вероятностей скорости и концентрации при турбулентном смешении и диффузионном горении газов. — ФГВ, 1983, т. 19, № 2.
9. Сабельников В. А. Об использовании одноточечного распределения вероятностей скорости для описания турбулентных течений. — ПМТФ, 1982, № 5.
10. Launder В. Е. Heat and Mass transport. — In: Topics in Applied Physics, 12, Turbulence, ch. 6, Springer — Verlag, 1976.
11. Gut mark E., Wygnanski I. The planar turbulent jet. — J. Fluid Mech., 1976, vol. 73, pt. 3.
12. Kovasznay L. S. G., К i b e n s V., В 1 a с k w e 1 d e r R. F. Large-scale motion in the intermittent region of a turbulent boundary layer. — J. Fluid Mech., 1970, vol. 41, pt. 2.
13. Libby P. A. Prediction of the intermittent turbulent wake of a heated cylinder. — Phys. Fluids, 1976, vol. 19, N 4.
14. Antonia R. A., P r a b h у A., Stephenson S. E. Conditionally sampled measurements in a heated turbulent jet. — J. Fluid Mech., 1975, vol. 72, pt. 3.
16. Wygnanski I., Fiedler H. E. Some measurements in the self-preserving jet. — J. Fluid Mech., 1969, vol. 38, pt. 3.
16. Wygnanski L., Fiedler H. E. The two-dimensional mixing region. — J. Fluid Mech., 1970, vol. 41, pt. 2.
17. Klebanoff P. S. Characteristics of turbulence in a boundary layer with zero pressure gradient. —NACA Rep. N 1247, 1955.
Рукопись поступила 5/Ш 1984
