О некоторых особенностях турбулентных течений с нулевым избыточным импульсом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Т о м VI

197 5

М 4

УДК 532.517.4

О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ С НУЛЕВЫМ ИЗБЫТОЧНЫМ ИМПУЛЬСОМ

На основе уравнения Рейнольдса для осредненного движения, в котором учитываются нормальные турбулентные напряжения и уравнения для пульсационной энергии проведено исследование законов автомодельного развития турбулентного следа с нулевым избыточным импульсом на большом удалении от источника возмущения (дальний след). Учет нормальных турбулентных напряжений в уравнении Рейнольдса приводит к особенностям в структуре турбулентности в рассматриваемом течении, отличающем его <эт обычных автомодельных турбулентных течений. Основные отличия заключаются в следующем: возмущения продольной средней скорости затухают пропорционально среднему квадрату пульсационной скорости; отношение турбулентного напряжения сдвига ии к среднему квадрату пульсационной скорости падает вниз по потоку. Показано, что эти особенности связаны с тем, что в отличие от обычных автомодельных турбулентных течений степень деформации жидких частиц в следе с нулевым избыточным импульсом падает по потоку. Указана связь полученных результатов с линейной теорией однородной деформации однородной турбулентности.

Подробный обзор известных экспериментальных исследований турбулентных следов за самодвижущимися симметричными телами на режиме установившегося прямолинейного движения, т. е. когда сила тяги в точности уравновешена силой сопротивления, содержится в работах [1, 2]. В работе [1] указано также на необходимость расширения понятия известного принципа автомодельности [3] для того, чтобы охватить указанный класс течений.

В настоящей статье, используя несколько видоизмененный метод анализа, предложенный в [3], исследуется возможность автомодельного развития турбулентного следа с нулевым избыточным импульсом.

1. Рассмотрим для определенности плоскую задачу. Основные формулы (5) и выводы будут справедливыми и для осесимметричной задачи.

Уравнение Рейнольдса для осредненного движения и уравнение для пульсационной энергии в следе на большом удалении от источника возмущения (дальний след) при больших числах Рейнольдса в приближении пограничного слоя с точностью, достаточной для нашего исследования, имеют вид [3]

В. А. Сабельников

тт дУ — .дні;

и' дх +-------Тх------+ ~ду~

(1)

(2)

= ц2 х)2

Здесь их — скорость свободного потока, и—дефект продольной средней скорости в следе; и, V, т — компоненты вектора пульсационной скорости; р — пульсации давления; черта сверху — символ усреднения.

В уравнении (2) первые два члена в правой части описывают порождение, третий — диффузию, четвертый (е)—диссипацию пульсационной энергии.

Интегрируя уравнение (1) по поперечной координате у, получим интеграл количества движения, который по условию равен нулю

+ 00

1= | [и1и+й2 — уЦс1у = 0. (3)

—00

Пренебрежение вкладом нормальных компонентов тензора напряжений Рейнольдса в этот интеграл (а также в уравнении (1)], используемое по аналогии с обычными струйными течениями, где 1ф 0, в известных в литературе методах расчета таких течений [2, 4, 5] является несправедливым, так как интеграл в этом случае равен нулю. Результаты экспериментальных исследований [1], в которых измерялся непосредственно поток импульса, связанный с пульсациями скорости, подтверждают сделанный вывод.

Учет нормальных турбулентных напряжений приводит к новым эффектам, на которых мы и остановимся.

2. Выясним условия, при которых возможно автомодельное развитие турбулентного следа за самодвижущимся телом. Результаты работы [1] показывают, что при автомодельном развитии рассматриваемого течения масштабы осред-ненного и пульсационного движений различаются между собой. Поэтому для распределения средних и пульсационных параметров по сечению следа принимаются следующие формулы:

и = u0{x)f{у\)\ = у//0; «а= Он);

<?5 = 9og(T)); “^tog-iaOn);

s = 1°. d (if)); -ijrqtv +JU=qlh (t|);

(4)

здесь и0, /0, q0, то — масштабы среднего и пульсационного движений.

Подставляя соотношения (4) в уравнения (1) —(2), получим безразмерные уравнения:

т0 dx J т0 dx т0 dx т0 dx ’

10 dq0 Ц1 dlf) 2т0 Цо 1р dUQ

^2 dx & д0 dx ^ ~ дЗ f 8ю q0 йх — ^ ^

+ (^-^2)п/'-2Л'-2^,

где штрихи означают дифференцирование по iq.

Коэффициенты при различных членах в этих уравнениях должны быть пропорциональны друг другу. Поскольку коэффициенты при h', g[2 и d равны постоянным, то все остальные коэффициенты должны также равняться постоянным (зачение нуль отбрасывается из физических соображений). Легко показать, что этому требованию можно удовлетворить лишь после пренебрежения в уравнении для пульсационной энергии членом, описывающим ее порождение. Возможность пренебрежения этим членом на автомодельном режиме развития следа экспериментально установлена в работе [1].

* В самом общем виде это распределение можно записать:

U = U0f (т)); и2 = ?о = 42 = qlg(.iY, м = Ъ gnг =

= <j$/Z.e0-d(S); ^q2v+pv = vlh{Z); i = ylL0; к) = у//0. Но результаты работы [1] позволяют ограничиться указанным случаем, что соответствует:

V0 = Чо‘, k\Lо = const; l0/Ls 0 = const.

В этом приближении имеем четыре независимых соотношения (предполагается, что g1 Ф gi):

с) _fL_-С;

’ ■'о dx ' > (jlUo ’

’ т dx Яо dx

(5)

Справедливость соотношений (5) экспериментально подтверждена в работе [1 ]». где они были найдены другим способом.

3. Если предполагать, что вырождение возмущений происходит по степенным законам

и0~х~т; ч1~х~ т0 ~ х~9-, 1<,~хр, (6)

то из выражений (5) получим три связи между четырьмя показателями степеней:

т=п; т = 2(1—р); ^.= 3(1 — р). (7)

Так как в рассматриваемом случае интеграл количества движения (3) равен нулю, то получить численные значения для показателей степени на основании лишь соображений размерностей нельзя. Не помогает использование уравнения и для момента второго порядка по у (ср. с [4]):

+ оо +оо

Л_ | [£/,£/ + & — у* dy= | у2^р.йу=-2 ^Ил/уЛу, (8)

— 00 —оо }

которое после введения турбулентной вязкости, предполагаемой постоянной в сечениях следа (что подтверждается опытом [1]), можно записать в виде

+оо +оо

| [и1и + й* — и2]у^у = — 2чг ^ШуфО-,

—00 —СО

_ dU “u = v* -^Г-

(9)

После подстановки в уравнения (8) или (9) выражений (4) мы опять придей к ранее полученным соотношениям (а —с) из (5). Этот результат сохраняется при использовании моментных уравненей (как по у, так и по U) любого порядка.

Итак, численное значение степеней должно определяться или на основании эксперимента (в опытах [1] р = 0,25), или на основании решения уравнений какой-либо полуэмпирической модели для турбулентных напряжений (ответ при этом может зависеть от значений эмпирических постоянных, входящих в уравнения модели).

Заслуживают внимания следующие особенности в автомодельном развитии турбулентного следа с нулевым избыточным импульсом:

— возмущения средней скорости затухают пропорционально среднему квадрату пульсационной скорости — соотношение с в (5);

— отношение напряжения Рейнольдса сдвига т0 к среднему квадрату пульсационной скорости падает с ростом х

*о1Яо~х~1+р; (10)

и0 _ и010

— характерное число Re* =------------(см. [3] и [6]) также уменьшается

вниз по потоку

и2

Re* = ~х~1+р . (11)

4. Отличие рассматриваемого течения от обычных автомодельных течений, где qolUo — const; x0/^g = constH Re^ = const (const зависят лишь от типа течения) [3], можно понять, если в качестве характеристики, определяющей развитие турбулентности, выбрать степень деформации жидких частиц (турбулентных

молей) в течении. Уравнение для степени деформации а предложено в работе [6]. В нашем случае оно имеет вид

Последнее соотношение показывает, что в отличие от обычных автомодельных турбулентных течений, где Од (х) = const, степень деформации жидких частиц в следе с нулевым избыточным импульсом падает с ростом х. Это и приводит к тому, что структура турбулентности в рассматриваемом течении не-достигает равновесного состояния, характерного для большинства турбулентных течений. ,

Сопоставление выражений (10) —(13) показывает, что справедлизы следующие соотношения:

Интересно отметить, что линейная теория однородной деформации, вызванной градиентом средней скорости, однородной турбулентности при а, мало отличающемся от нуля (в' следе с нулевым избыточным импульсом реализуется именно этот случай), также приводит к соотношению (14) [6]. Пропорциональность характерной степени деформации и характерного числа Рейнольдса, выражаемая соотношением (15), для других типов течений установлена в работе [6].

В заключение подчеркнем, что изложенные выше результаты являются справедливыми до таких х, когда еще

’ Автор благодарит Гиневского А. С. за вниманиё к работе и полезное обсуждение полученных результатов.

1. Naudascher Е. Flow in the wake of self-propelled bodies and related sources of turbulence. Journ. FI. Mech.,'Vol. 22, pt. 4, 1965.

2. Гиневский А. С. Теория турбулентных струй и следов. М., „Машиностроение', 1969. ’ ■

3. Таунсенд А. А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом, гл. V, М., Изд. иностр. лит,, 1959.

верны, гл. XIV, § 8. М., „Мир*, 1964.

5. Онуфриев А. Т. Турбулентный след в стратифицированной среде. ПМТФ, № 5, 1970.

6, Townsend A. A. Entrainment and the structure of turbulent flow, i970, Journ. FI. Mech., vol. 41, pt. 1.

(12>

На автомодельном режиме

a = a0 (X) ? (f|),

и из уравнения (12), используя (6), (7), получим

аа(х) ~ х~1+р.

(П>

(14)

(15>

Re = Jhk. » 1.

ЛИТЕРАТУРА

4. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и ка-

Рукопись поступила 31jV 1974 г.