CC BY
53
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И ТомХШ 198 2
М 5
УДК 532.517.4
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ КОНЦЕНТРАЦИИ ПАССИВНОЙ ПРИМЕСИ В СЛОЕ СМЕШЕНИЯ
В. А. Сабельников
Проанализировано распределение вероятностей концентрации в турбулентном плоском слое смешения на основе уравнения, лолу-ченногг в [I]. Метод решения этого уравнения разработан ранее в [2). В отличие от рассмотренных в [1, 2] случаев дальнего следа и основных участков струй в слое смешения нельзя пренебрегать вероятностью наблюдения в нетурбулентной жидкости значения концентрации, равного единице, что заставляет рассматривать дополнительное уравнение для этой величины.
Приводятся результаты численного решения сформулированной краевой задачи и сопоставление с экспериментальными данными.
1. Распределение вероятностей концентрации Р(с) в слое смешения (после соответствующего нормирования концентрации) имеет вид [1—3] .
Р(е)“'То8(с) + 718(с — 1)+-,'ЯДс), Я,(с) = Iе(*) — Ъ(с — 1)]/^), | (1Л
Т0 + Т1-Н = Ь 0<с<1. \
Здесь Р((с) — условное распределение вероятностей концентрации в турбулентной жидкости; с — концентрация; Р—гладкая функция; 6(5) = 0, в < О И 6(5)=: 1, 5 > 0; ]0 и 7, — вероятности наблюдения в нетурбулентной жидкости значений концентрации ноль и единица соответственно; 7 ~ коэффициент перемежаемости или вероятность наблюдения турбулентной жидкости; 5 — дельтафункция Дирака.
Полуэмпирическое уравнение для распределения вероятностей Р(с) выведено в [1], Измерения, выполненные в [4] (после выхода [1]), показывают, что принятая в [1] линейная зависимость условно осредненной скорости при заданном значении концентрации (пь)с непригодна при больших значениях амплитуд пульсаций концентрации, В данной работе для условно осредненнбй скорости используется другая формула, аппроксимирующая установленную в [4] зависимость при больших концентрациях. В результате имеем, уравнение:
т. ЫЦ | дУк(с)Р ■„_„ , дл & Р,
' к' дхь дхк ‘ ^ 'е дсз '
4— «Ученые записки ЦАГИ» № 5
49
‘оЛс)=‘{ик)е — {аь) = дка V 1 1/(5), 1/- 1^0 + 5(1+(й252)-1'2,
5 —{С —<с))а 1, У0 = — | Р(е)$(1 +
I/, = | Я(с)^(1 + (О2 5®)—1;,2 4Сш
Здесь хк— координаты (А=1, 2, 3,); Ы= О {дсдх*)2 — мгновенная скалярная диссипация (£) — коэффициент молекулярной диффузии); ик — гидродинамическая скорость; з- = ((с — (с))2), о2( = = ((с—{c)t)'i)t — полная дисперсия концентрации и дисперсия по турбулентной жидкости соответственно; ?* = ((£“-(с))(и*—(и*))) — поток вещества; символы ( ) и ( )г— безусловное (полное) и условное (по турбулентной жидкости) осреднения соответственно; «> — функция координат, определяемая из условия неотрицательности плотности вероятностей.
Уравнения для функций Р(, т0, и 7 получаются из (1.2) с использованием приема, предложенного в [1] (подробнее см. в [3]). В стационарном случае они имеют вид:
Система уравнений (1.3) — (1.7) не замкнута, так как в нее входят не выражающиеся через распределение вероятностей Р({с) функции; скалярная диссипация в турбулентной жидкости (Л/)„ поток вещества дк и поле средней скорости { ик } (если поток вещества и иоле средних скоростей известны, то средняя концентрация находится из осредненного уравнения диффузии). Здесь, как и в [2], эти функции считаются заданными (например, из эксперимента).
Б [2] показано, что уравнение для коэффициента перемежаемости (1.7) эквивалентно условию нормировки распределения вероятностей. Далее нам будет удобнее рассматривать уравнение (1-7). Одно из уравнений (1.5) — (1.7) можно заменить алгебраическим выражением (являющимся следствием условия нормировки
(1.3)
/40, лЛ) = /г(1, **)=о,
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
з2 = То<с>2-г Т1 (1 - (с))2 + ц[а?+ - <с})2], <0=1! -Ь тг<с>,.
Р(с)} Т0 + Т1 +Т=1 из (1 1).
Из-за отрицательного коэффициента перед второй производной уравнение (1.3) принадлежит к типу обратно параболических уравнений, для которых, как известно [5], решение существует не при всяких начальных данных, а при существовании решения задача Коши является некорректной. Некорректность проявляется в том, что уменьшение масштаба малых возмущений в начальных условиях приводит к увеличению скорости их разрастания. В результате решение быстро и полностью искажается. В [2] предложен метод регуляризации этой некорректной задачи. Он заключается в следующем. Уравнение (1.3) интегрируется по времени—подобной координате (в нашем случае это продольная координата х) в обратном направлении, начиная с бесконечности. В качестве „начальных11 условий на бесконечности задаются автомодельные решения уравнения (1.3)*.
Здесь важно подчеркнуть, что поскольку для струй и следов при х -► оо происходит вырождение пульсаций концентрации, то, казалось бы, можно воспользоваться непосредственно следующим „начальным" условием Ит РДс) о (с). Однако такое условие
X -*■ со
не позволяет однозначно выделить решение (1.3). Необходимо знать и закон, по которому распределение вероятностей Р((с) стремится к дельте-функции, что и разрешается с помощью автомодельных решений. .
Кроме этого, автомодельные решения можно рассматривать и в качестве главного члена в асимптотическом разложении решения уравнения (1.3) в окрестности бесконечно удаленной точки х=оо (конкретный вид этого разложения зависит от разложений ( и( ) , (с) и (N>1 при х^-оо).
В [2] показано, что получение автомодельных решений уравнения (1.3) связано с преодолением ряда трудностей из-за своеобразной структуры уравнения, которому удовлетворяют автомодельные решения. Это уравнение, в отличие от (1.3), уже является уравнением параболического типа, но со знакопеременным коэффициентом при производной по времени — подобной координате, вследствие чего оба направления по указанной координате являются равноправными, а уравнение приобретает свойства, близкие к свойствам эллиптических уравнений, Постановка краевой задачи и решение уравнения для автомодельных распределений вероятностей для случаев дальнего следа и основных участков струй (когда можно считать, что ,у1~0) содержатся в [2].
Анализ и решение уравнения для автомодельных распределений вероятностей является принципиальным моментом в предложенном в [2] методе регуляризации рассматриваемой некорректной задачи, поскольку интегрирование уравнения (1.3) в обратном направлении может быть осуществлено уже известными приемами.
2. В слое смешения характерное изменение значений концентрации не зависит от продольной координаты х (и равно единице). В этом случае для распределения вероятностей концентрации может существовать строгая автомодельная форма. В связи с этим отметим, что в рассмотренных в [2] случаях течений в струе и в следе автомодельная форма распределений вероятностей достигается лишь асимптотически при а'->со. Это обстоятельство связано
* Здесь следует, однако, отметить, что глобальное решение, выстраиваемое с помощью описанной процедуры, может оказаться неединственным.
с тем, что значения случайной величины с лежат в конечном интервале а диапазон характерного изменения значения
концентрации зависит от х.
Представим автомодельное распределение вероятностей концентрации в слое смешения в следующем виде:
г (с, х, у) = а-1 /(£, %), с = 0-1 (с- (с),), г = у/х. (2.1)
Введенная в (2.1) функция /должна удовлетворять следующим условиям:
из которых первое является условием нормировки, второе следует из определения {су(, третье — из определения а2.
Преимущество представления (2.1) в сравнении с другими представлениями [например, F=g(c,z)\ заключается в непосредственном выделении интервала тех значений концентрации, где происходит основное изменение функции ЯДс).
Дисперсия концентрации по турбулентной жидкости о2, входящая в определение функции /, находится из уравнения, получающегося из (1.3) после умножения его на (с — <с)*)* и интегрирования по всем значениям с:
При 7=1 (2.2) переходит в обычное уравнение баланса для полной дисперсии о2.
В автомодельном случае для слоя смешения в приближении пограничного слоя (что соответствует пренебрежению потоком вещества в продольном направлении) из (1.3) — (1.7) и (2.2) получим:
У
Со-------а/ 1 (сУи С1 = 10 ~ (с) 1)1
(2.3)
/(Со. г) = /(С1, г) = 0;
(2-4)
(2.5)
[_ иг + * _|_ иг,) Т' = - тг; - ТАаГ2 [МЫ _ ]; (2.7)
[- иг + V] (Т «*>' = - (с2т | Щ2/^)' - 2э,т | Щ/еЦ (с)'-
Здесь
Л = а2Л-і(мг-г>— 1V); В=;(—иг + ъ + Ш)а'1а{к~і С +
—(~ (■—■ иг -)- V -(- И/) ( с } £ <3{ Н 1; С = — (— иг V -Ь о, И 1 -(-
Функция и, V, <3 и /г, входящие в коэффициенты уравнений
(2.3) — (2.8), описывают соответственно поля продольной и поперечной средних скоростей, поперечного потока вещества и скалярной диссипации в турбулентной жидкости:
Здесь и1 — скорость истечения свободного потока в затопленное пространство. Далее для определенности считается, что и ->■ 1 и с-» 1 при г-*оо. Функция V в экспериментах обычно не измеряется. Ее можно определить косвенным путем из осредненного уравнения
неразрывности г>= гйи (если положить, как это обычно делается,
и -^О при и->1).
Решение уравнения (2.3) ищется в области — оо<,г<оо, :0 < С < С.. Функции Со(г) . и ^ (г) неизвестны, поскольку, они выражаются через о( и ( с > и их определение является частью задачи.
3. Коэффициент А в (2.3) меняет знак на линии С = С* (г); при С > С* Л > 0 и Л<0 при £<С*. Ниже показано, что в рассматриваемых нами случаях справедливо неравенство С0 < С* < С], т. е линия С* = 0 целиком расположена в области интегрирования. Из-за знакопеременности коэффициента Л оба направления по времени — подобной координате г равноправны. Как и в [2], наибольший физический интерес представляет тот случай, когда коэффициент Л ->0 при 2-> + оо и, следовательно, точки г== + оо являются особыми для уравнения (2.3). По физическому смыслу задачи следует, что в бесконечно удаленных точках должны быть выполнены следующие условия:
Вопрос о том, по какому закону приближаются указанные функции к своим предельным зависимостям, далеко не тривиален. Поступим аналогично [2]. Представим функцию / при + в виде асимптотических рядов, главные члены которых описываются автомодельными зависимостями (в [2] содержатся ссылки на ряд экспериментальных работ, согласующихся с этим предположением). Простые рассуждения (аналогичные приведенным в [2]) показывают, что главные члены не зависят от г и что Нт а~1 (с) ( = (и_,
2-*— оо
Пта-'П — ( с ) ;) = (о+, где а>_ и <о+ — постоянные, значения которых
и(г)= < «! ) /ии v{z)= < щ.) 1иг, <72 = —^УгСКг), {Ы)^Ц1х 1к(г).
и
1
Т->0, 10->1, Р,(с)->о(с), 2->— оо,
ї-*0. її-*1. То-^О. РЛс)-+°(с— 1), 2-^оо.
надлежит найти.
Пусть главные члены в асимптотических разложениях функций {с), к и и имеют следующий вид (ради краткости функции, которые стоят перед экспонентами, не выписываются):
Главные члены разложений функций 10, и ] аналогично [2] ищем в виде
Здесь />±>0, а± > О-—пока произвольные постоянные, подлежащие определению в дальнейшем.
Подстановка указанных разложений в (2.3)-—(2.8) даст уравнения для функций /+ = Нш/ и /_ = Нш/. В качестве примера выпи-
шем здесь лишь уравнение для /_ (после соответствующих преобразований это уравнение получается из уравнения для /<*,, приведенного в [2]):
**_г_ +■ ф_т](6_т] — а_)(о_/^_ [Ь-(2'Ь-— 1)т] + а_(1 — ?_)]/_ = 0;
7] = 1 О)-1 С, /_ (ш_) = /_ (оо) = 0, (ВІ ((й_) == а_ ------ Ь-\
здесь Ь- = а_ (1 со^), Ф_ = ІішР2ІР~\ штрихом обозначено диф-
ференцирование по С.
Уравнение и краевые условия для функции /+ следует из приведенных соотношений для функции /_ после преобразования С-* —£ и замены индекса плюс на минус.
Решение краевой задачи для функции /_ получено в [2]. В частности, в [2] приведены зависимости значений а_ и ш_ от параметра Ф_. Точно такие же зависимости имеют место между а+, о)+, параметром ф+.
Используя соотношения Q-+v(— оо)(с), г-* — со и (1— < с» г, г-*со (полученные из уравнения для средней концентрации), можно показать, что С*-»— с»-1, г->оо и г-* — оо. Так как, согласно
[2], со± >1, то легко видеть, что предельные значения С* при г:-»+—оо лежат между С0 и Получить такое же строгое доказательство, что С0<С*<С! и при промежуточных значениях г не удается. Оценка С* на основании экспериментальных данных (ссылки на них см. в п. 4) показывает, что неравенство С0<С*<С! выполняется. Расчеты, о которых речь пойдет ниже, подтверждают этот результат.
Способом, аналогичным использованному выше при получении главных членов в асимптотических разложениях функций / и ^ при г-++со, можно проанализировать и последующие члены в разложениях/ и 1 [асимптотические разложения функций ( с ) , Н и (иг—у) считаются заданными]. Исследование показывает, что все члены
( с > ->ехр[—р^(г)\, Л-^ехр \—рї(г)], г-+ — со,
(1— <0)-*ехр[ — р+(г% к-* ехр[ —/>+(;г)], г-^оо, /?±(г)>0 (і= 1,2), (о2т—^О.
г-*— оо; {с) { = {с) !г,
г -* оо: {с) ( = {1— {с)
в этих разложениях определяются однозначно. Важно, однако, отметить, что указанные разложения не могут быть полными, так как при их получении игнорируется одно из краевых условий по координате г. Например, в разложение функции / при г-»оо можно добавить член вида ехр[—а.+ р+ (г)] ср+ (С), где а+— постоянная (аналогичный член при этом появляется и в разложении коэффициента перемежаемости ?). Для функции <р+ получается неоднородная краевая задача, анализ которой показывает, что постоянная а+ остается неопределенной. Функция <р+ имеет, однако, лишь теоретическое значение, поскольку содержится в непорядковом члене разложения. Такая ситуация является характерной в асимптотических разложениях решений параболических уравнений со знакопеременным коэффициентом при производной по времени—подобной координате (см., например, [6]).
Таким образом, в первом приближении можно считать, что в области, где коэффициент перемежаемости заметно меньше единицы, интенсивность пульсаций концентрации в турбулентной жидкости является постоянной. При ф+ = 0 имеем о, < с ) -1 = 0,555 при 2 < 0 и оД1 — ( с ) () 1 =0,555 при 2>0. Это значение получено ранее в [1] для случая струй и следов. В [7] приводится обработка экспериментальных данных разных авторов, подтверждающая справедливость приведенного значения интенсивности пульсаций концентрации.
4. Поскольку постановка краевой задачи для уравнения, аналогичного (2.3), содержится в [2], этот вопрос здесь не обсуждается. Решение задачи находилось конечно-разностным методом, описанным в [2]. С помощью замены переменных г' = 2, £ = (С—С0)Х Х(^1 — С0)—1 область интегрирования преобразовывалась в полосу —оо < 2 < со. Краевые условия, соответствующие 2-*- +со, ставились при 2_ = — 0,35 и 2+ = 0,25. Параметры Ф_ и ф+> от которых зависят функции /_ и /+ и асимптотика коэффициента перемежаемости т, полагались равными нулю [в этом случае /+ (С)*=/_(—С)]. Основные расчеты выполнены на сетке с равномерными шагами Д 2 (12_ | + 120 и Д? = 1 /50.
Профили средней продольной скорости и средней концентрации брались из экспериментальных данных [8 — 11]. Опытные данные по скалярной диссипации в слое смешения в литературе,, по-видимому, отсутствуют. В расчетах функция к принималась постоянной, а ее значение оценивалось по формуле из работы [12]. Согласно этой оценке й=1,2-10—2.
На рис. 1 приведено сопоставление результатов расчета коэффициента перемежаемости 7 с опытами [8 — 11] (1 — расчет, 2— ~[и> 1с [8], 3— [9], 4 — Та, 1с [10], 5 — 7В, уе [11]. Нижние индексы и и с
обозначают, что данные по коэффициенту перемежаемости получены по полю скорости (путем регистрирования сигнала и полю концентрации (путем регистрирования сигнала дс/д^ соответственно.
На рис.2 приведено сопоставление результатов расчета среднеквадратичного отклонения пульсаций концентрации о с опытами [8], [10,11] (/ — расчет, 2—[8], 3— [10], 4 —[11]). В отличие от расчетного экспериментальный профиль дисперсии концентрации имеет два максимума. В [10] приведены соображения, показывающие, что появление одного из максимумов, расположение которых не совпадает с расположением максимального значения градиента средней
Рис. 1 Рис. 3
Рис. 2 Рис. 4
концентрации, связано с тем, что в профиле дисперсии о2 в начальном сечении в пограничном слое вблизи стенки сопла имеется резкий максимум, медленно расплывающийся вниз по течению. А поскольку измерения проводятся на расстоянии порядка пяти тепловых толщин пограничного слоя, этот максимум еще сохраняется.
На рис. 3 приведены полученные в расчетах распределения вероятностей концентрации в турбулентной жидкости /(£, г) при нескольких значениях поперечной координаты г. В области, где коэффициент перемежаемости мало отличается от единицы, функция / близка к нормальной и хорошо аппроксимируется несколькими первыми членами ряда Грамма—Шарлье, включающими асимметрию и эксцесс (/ — 2 = — 0,35, 2 — г = — 0,05, 3—г = 0,25).
Изменение вида распределения вероятности концентрации качественно согласуется с немногочисленными экспериментальными данными [10 — 11], которые, однако, из-за трудностей в их интерпретации (см., например, [10]) здесь не приводятся.
На рис. 4 приведено сопоставление расчетных и экспериментальных профилей асимметрии А ={ (с—( с } )3) о-3 и эксцесса £== < (с — < с ) )4>з—4 {/ — А и 2 — Е (расчет); 3 ~ А и 4 — Е (эксперимент) [UJ}. Соответствие можно считать удовлетворительным. Имеющееся расхождение на краях слоя смешения объясняется трудностями проведения измерений в этой области и наличием шумов в комплексе измерительной аппаратуры.
5. Результаты, полученные в [2] и в настоящей работе, показывают, что уравнение для распределения вероятностей, выведенное в [1], после надлежащей регуляризации и постановки краевой задачи может служить эффективным средством исследования процессов молекулярного смешения в турбулентных течениях. Это уравнение позволяет решить новый класс задач по диффузии в турбулентных течениях, когда важную роль играет перемежаемость.
Автор искренне благодарит В. Р. Кузнецова за обсуждение вопроса об аппроксимации условно осредненной скорости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кузнецов В. Р. Вероятность концентрации пассивной примеси в турбулентных потоках с поперечным сдвигом. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1972, №5.
2. Сабельников В. А. Теоретическое и численное исследование распределения вероятностей концентрации в свободных турбулентных потоках. „Изв. СО АН СССР, ФГВ", т. 18, № 2, 1982.
3. Сабельников В. А. К вопросу об описании свободных
турбулентных течений с учетом явления перемежаемости. Уравнения для условно осредненных характеристик турбулентности. Труды ЦАГИ, вып. 1998, 1979. •
4. Голованов Ю. В. Экспериментальное исследование статистических характеристик турбулентных пульсаций концентрации примеси в затопленной струе. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, МФТИ, Долгопрудный, 1977.
5. Л и о н с Ж. Л., Латтес Р. Метод квазиобращения и его приложение. М., „Мир“, 1970.
6. Steawartson К. Multistructured bondary layers on flat plates and related bodies. „Adv. Appl. Mech.“, vol. 14, 1974.
7. Кузнецов В. P. Смешение до молекулярного уровня и развития химической реакции в турбулентном потоке. „Изв. АН. СССР, МЖГ“, 1977 № 3.
8. Sunyach М. et MathieuJ. Zone de melange d’un jet plan-fluctuations Induites dans le сбпе a potential-intermiltence. Int. Journ,
Heat Mass Transfer vol. 12, N 12, 1969.
9. Wygnanski I., Fiedler H. E. The two-dimensional mixing region. „J. Fluid Mech.“, vol. 41, N 2, 1970.
10. Кузнецов В. P., Расщупкин В. И. Распределение вероятностей и условное осреднение в турбулентных потоках. Изв.
АН СССР, МЖГ\ 1977, № 6.
11. Batt R. G. Turbulent mixing of passive and chemically reacting species in a lov-speed shear layer. „J. Fluid Mech“, vol. 82, N 1, 1977.
12. Зимонт В. Л., Мещеряков E. А., Сабельников В. A. Простая модель для учета молекулярного смешения при турбулентном горении неперемешанных газов. ,Изв. СО АН СССР, ФГВ“. т. 14,
№ 3, 1978.
Рукопись поступила 31III 1981 г.
