CC BY
25
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м XI 1 9 80 Мб
УДК 532.517 4
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СКОРОСТИ И КОНЦЕНТРАЦИИ В ТУРБУЛЕНТНОЙ И НЕТУРБУЛЕНТНОЙ ОБЛАСТЯХ СВОБОДНЫХ ТЕЧЕНИЙ
В. А. Сабельников
Получены уравнения для условных распределений вероятностей полей скорости и концентрации в турбулентной и нетурбулентной областях перемежающихся свободных течений несжимаемой жидкости.
При больших числах Рейнольдса область турбулентного движения в свободных течениях, согласно работам [1, 2], в каждый момент времени отграничена от нетурбулентной области резко выраженной границей, имеющей неправильную форму, которая случайным образом изменяется во времени (в нетурбулентной области из-за механизма дальнодействия через пульсации давления также существуют пульсации скорости, но они носят потенциальный характер). Основные представления об этом явлении, получившем название перемежаемости, в настоящее время опираются на целый ряд тонких экспериментальных исследований, выполненных в основном в последние 10—15 лет (достаточно полная библиография содержится в работах (3, 4]), в которых получены данные о статистических характеристиках турбулентности в турбулентной и нетурбулентной областях порознь. Используемые в экспериментах методы условного усреднения, основанные на введении индикаторной функции /(лт, /), по определению равной единице, если точка (лг, находится в турбулентной области, и нулю — в противном случае, требуют адекватного теоретического описания.
В данной заметке для этой цели предлагается использовать условные распределения вероятностей интересующих нас полей в турбулентной и нетурбулентной областях.
1. Уравнения для условных распределений выводятся из известных в литературе уравнений для безусловных распределений
[5—8). При этом вид уравнений для условных распределений зависит от способа формирования индикаторной функции. В настоящее время в экспериментальных исследованиях применяется достаточно широкий набор индикаторных функций. Следуя работам [3] и [9], в качестве индиктора турбулентности примем концентрацию динамически пассивной примеси*, обозначив ее буквой 5. Этот выбор основывается на недоказанном строго свойстве уравнений Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса, состоящем в том, что траектории жидких частиц не выходят за границу области турбулентного движения 113), вследствие чего концентрация примеси в нетурбулеитной области может принимать лишь постоянные значения. В большом количестве важных в приложениях задач свободных турбулентных течений таких значений лишь два. В силу линейности уравнения диффузии за них можно принять 5 = 0, 1 (в качестве примера укажем на задачу о распространении турбулентной струи в затопленном пространстве; здесь 5 = 0— в затопленном пространстве, 5=1—в потенциальном ядре струи, а все промежуточные значения 0<5< 1 — в турбулентной области),
Для индикаторной функции в рассматриваемом случае, следовательно, имеем соотношения
/=1, 0<*<1,
/ = 0, в — 0; 5 = 1.
2. Точные (но не замкнутые) уравнения для совместных конечномерных распределений вероятностей скорости и концентрации, полученные из уравнений Навье — Стокса и диффузии, приведены в работах [5—8]. Поскольку способ вывода уравнений для любых конечномерных условных распределений является общим, то для иллюстрации этого способа достаточно рассмотреть лишь уравнение для одноточечного распределения вероятностей скорости и концентрации:
[¿- + («'“ УХ(1) )]/,(!)=- fUv.ii) ух.) Д'1 (*’, х™) («<2> М )2 X Х/,(1.2)1х.= ^|) <*»«*&«> - V ((и(2>?ит) IV,/(1,2)]^)=х(1^‘ Я<2> </*»_
V
*(2> (д,<*>/0 • 2)Ы=*о>“,2) (1)
где Д~* — интегральный оператор, обратный оператору Лапласа (см., например, [5]); V — кинематический коэффициент молекулярной вязкости, О — коэффициент молекулярной диффузии.
Чтобы избежать громоздких обозначений, в (1) и ниже используется сокращенная запись — совокупность всех независимых переменных любой функции в какой-либо точке х{1) обозначается просто номером точки, например,/(лс(1\ /) = /(1), /, (и(1), 5(|)1д^1), /) =
* Предложенный метод очевидным образом переносится на тот случай, когда индикатором турбулентной жидкости служит поле вихря (в работе (10) отличие вихря от нуля считается необходимым свойством турбулентной жидкости). Заметим, что из-за векторного характера этого поля средств измерения вихря пока вообще не разработано, если не считать работы [II], где предложена конструкция термоанемометрического датчика с четырьмя чувствительными элементами для приближенного измерения одного компонента вектора вихря в направлении основного потока. Теоретическое описание поля вихря в турбулентном потоке дано в работе [12].
Связь между безусловными и условными распределениями можно получить, если использовать определение индикаторной функции и формулу полной вероятности Бейеса. Для распределений, входящих в (1), эта связь записывается следующим образом:
/,(1) = </(1)>/,(1|/=1) + <8/(1)>/,(1|/ = 0);
Л(1,2) = </(1)/(2)>/2(1|/=1, 2|/-1)+ 2
</(1)о/(2)>/:,(1 ¡/ = 1, 2|/ = 0) + <8/(1)/(2)>/2(1|/=
= 0, 21/= 1) + <8/(1)о/(2)>/,(11/ = 0, 2|/=*0),
где о/ = 1 — /; ( ) —символ безусловного усреднения.
Для дальнейшего важно подчеркнуть, что связь (2) для двухточечных распределений неприменима, если расстояние между рассматриваемыми точками порядка масштаба Колмогорова(v3/(е))* *, (г) —средняя скорость диссипации энергии турбулентности.
Так как в нетурбулентной области концентрация принимает лишь значения 0 и 1, то соответствующие условные распределения в (2) содержат 3-функции:
/1(1|/ = 0) = а(1)/,(1|/=0, S-O)*(S«0 + P(»)/. (1|' =
= 0, s= 1)8(1 -s*0);
/,(11 / = 1, 2|/ = 0) = а(2)/,(1 |/= 1, 21/ = 0, 5 = 0)8(5(2>)+
+ Р(2)/,(1|/=1, 21/ = 0, s — 1)8(1 - 5<2’);
/:(1 I /=0, 2| /= 1) = ®(1)/г (1 ¡/ = 0, 5 = 0, 2|/= 1)8 (*•)) +
+ Р(1)Л(1|/ = 0, 5=1, 2|/= 1)8(1 — SC»);
м 1 / = 0), 21 /=0) = я (I) в (2) /2 (11 /=0, s = 0, 21 / = 0, s = 0>О(«<>})О(5<2>) -Н «(1)?(2)/.(1 |/ = 0, 5 = 0, 21/ = 0,
5 = 1)8 (s(1>) 8(1 — 5<2>) -+• а (2) Э(1)/о (1 | / = 0, 5=1, 21 /=0, s = 0) 8(1-5(,))8(5<*>)+р(1)р(2)/2(1|/=0, 5=1, 21/ = 0,
5= 1)5(1 — s(1))3(l —5(2>);
«0V) + P(^)=1;
здесь a(/V), $(1V) — вероятности наблюдения в нетурбулентной области в точке Jf(V) значений концентраций 0 и 1 соответственно.
Уравнения для условных одноточечных распределений вероятностен скорости в нетурбулентной области /,(1|/ = 0, 5 = 0) и
/,(1|/ = 0, s = 1) получаются после подстановки (2) и (3) в (1)
и интегрирования по 5(1> в г—окрестности точки 5(,) = 0(г —0) в первом случае И ТОЧКИ 5(1> =1 — во втором. При этом необходимо иметь в виду замечание о неприменимости соотношения (2) при ЛГ(2)->• х(и и воспользоваться тем. что в нетурбулентной жидкости вязкий и диффузионный члены в уравнениях Навье — Стокса и диффузии равны нулю. В результате получим следующие уравнения:
[¿ + (“(,)V,u))]fo(l)/,(Ш=0, 5 = 0)=-
X(<*'. *<2>)(«<2>v,<2>)2 [<8/(1)7(2)>а(1)/о(1 |/ = 0, 5 = 0,
21 / = 1) + <8/(1)8/(2)> а (1)(а (2)/2 О I / = 0, 5 = 0,
(5)
21/ = 0, s = 0) 8(s(J)) + ?(2)/2(11/ = 0, s = 0, 2|/=0, s = 1) o(l - *»))]\x. =xii)d3u<2>ds<2> - D j (V2>[Д,(2)</(1) X X /(2) >/2 (11 /= 1. 21 / - l)U=jr<„ <*3 «(2) d^j i(I)= ,:
To(i) = <s/(i)>«(i);
[ж + (и0) **<»>] 7, (1)/. (11 / = 0, 5= 1) = - f((V„(1) V,.) X X Д“1 (*', Jc(2>) («<2) ?,<2>)2 [< 8/ (1) /(2)> ? (1 )/2 (11 /=0, s = 1,
2\I= 1) + <V(1)*/(2)>P(1)(«(2)/2(11/ = 0, s= 1,
21 / = 0, s = 0) 8 (s<2>) -f Э (2)/2 (l|/= 0, s- 1, 2|/ = 0,s=l)X X 3 (1 - *»))] =x(t) d и(2) + D [ (> [ Д ;r(2)< / (1) / (2) >ДХ
X(1 |/=1, 21/= l)]x(2)=jr(j>^3i<1)=1_0;
T,(1) = <3/(1)>P(1).
Ясно, что уравнение для условного одноточечного распределения вероятностен скорости и концентрации в турбулентной области /, (1|/ = 1) имеет вид:
[ж + («(1) V,<n)]T(l)/i(l |/= I)---f{(v„d) V,.)Д-1 (*', *<2>) X
X (и(2) Vjr<2))2 [< ^ (1) / (2) > /2 (1 /=ь 2|/=1) + </(1)8/(2)>Х Х(«(2)/2(1|/=1, 2 /=0, s = 0)8(s<«) + P(2)/2(l|/=l,
21 /= 0, s = 1) 8(1 - *<•>))]\х, я x(l) d* о<2> d**> - v С (и**) Vu(„) X
X Ко» < /(1) /(2) > /, (\ | /=--1, 21 /= 1 )]xW=xiu d* e< W>-
-D-^irfs(*)|A^)</(l)/(2)>/f(l|/=lt 21/ = DU^d, X
Xrfs«(2> </s<2>;
T(l) = </(1)>.
Уравнение для одноточечного распределения вероятностей скорости в турбулентной области получается из выражения (6) после интегрирования по
¡1Г+(*(1Ч*<1ф(1)Л(1|/=1)=- лЯ)Х
X (И(2) V^,)2 [</ (1) /(2) > /, (11 / = 1, 21 / = 1) +
+ </(1)8/(2)>((«(2)/,(1|/=1, 21/ = 0, s = 1)X
х 8(1 - s<2>))] }^(1) #W ds<» - V J («(2>(v„(„) X
(6)
[V)</(l)/(2)>/,(l|/-l, 2|/=l)l^_,(1)rf‘«iWW) + + D ((> [Дл(2></ О) / (2)> f, (11 / = 1, 21 / = 1 )U,,(„ X
dtumdsfb] m -Dj l>>[Ax(2)</(l)/(2)>/s(l I/= 1, )*(!)=+0 I.'
21 /= 1)Ы2)=Х,1) ¿<3) «(2) <*«<*> | 1(1)в1_0;
1
р1(1|/=1)=[/1(1|/=1)*(».
о
Отметим еще раз, что перемежаемость проявляется асимптотически при числе Ке-* со. Только в этом смысле необходимо понимать уравнения (4) —(7). Существенно также, что все предельные операции в уравнениях (1), (4) — (7)х' — лг(1) и лг<2)-*(1) следует проводить после того, как выполнена первая предельная операция Ие-^оо*.
Уравнения (4) —(7), так же как и уравнение (1), из которого они получены, не замкнуты. Из функций, входящих в эти уравнения, в экспериментальных исследованиях в настоящее время в основном замерялись пока лишь моменты условных одноточечных распределений (см., например, работу [3]), коэффициент перемежаемости 7 = </> и корреляционная функция индикатора турбулентности </(!)/(2) > [14], но уже имеется ряд работ, в которых измерялись условные распределения вероятностей скорости и концентрации в струях (см., например, работу [15]).
Из (4) — (7) стандартным образом можно получить незамкнутые уравнения для условно осредненных одноточечных моментов поля скорости и концентрации в турбулентной и нетурбулентной областях, и, в частности, уравнение для коэффициента перемежаемости ч (заметим, что это уравнение будет несколько отличаться по форме от соответствующего уравнения, приведенного в работе [16], так как в [16] при его получении использовались полу-эмпирические допущения). Эти уравнения подробно рассматриваются в работе [17]. Там же предлагается полуэмпирический метод замыкания этих уравнений, и проанализирован ряд задач, что дало возможность объяснить некоторые из эффектов, полученных в экспериментах.
В заключение автор считает своим приятным долгом поблагодарить В. Р. Кузнецова за ценные советы и обсуждение работы.
* На это обстоятельство автору было указано В. Р. Кузнецовым.
ЛИТЕРАТУРА
1. Corrsin S. Investigation of flow in an axially symmetric heated jet of air. 1943, XACA \VR, W-94.
2. Corrsin S.. Kistler A. L. The free—stream boundary of turbulent flows 1955, NACA Rep. N 1244.
3. Antonia R. A., Prabhy A., Stephenson S. E. Conditional sampled measurements in a heated turbulent jet. .J. Fluid iMech.", vol. 72, pt. 2, 1975.
4. С h e v г а у R.. Т u I и N. К. Intermittency and preferential transport of heat in a round jet. „J. Fluid Mech.*, vol. 88, pt. 1, 1978.
5. Монин А. С. Уравнения для конечномерных распределений вероятности ноля турбулентности. ДАН СССн, т. 177, № 5. 1967.
6. Lundgren Т. S. Distribution functions in the statistical theory of turbulence. .Phys. Fluids", vol. 10, N 5, 1967.
7. Улин и ч Ф. P. Статистическая динамика турбулентной несжимаемой жидкости. ДАН СССР, т. 183, № 3, 1968.
8. Иевлев В. М. Уравнения для конечномерных распределений вероятностей пульсирующих величин в турбулентном потоке. ДАН СССР. т. 208, № 5, 1973.
9. Becker Н. A., Hottel Н. С., Williams О. С. The nozzle-fluid concentration field of the round, turbulent, free jet. .J. Fluid Mech.*, vol. 30. pt. 2. 1967.
10. Монин А. С. О природе турбулентности. .Успехи физических наук*, т. 125, вып. 1, 1978.
11. Kovasznay L. S. G. Quarterly Progress Report of Aero-
nautics Department. Contract Nord — 8036-JHB-3D, the Johns Hopkins Univ.. I-Mar. 31, 1950.
12. Новиков E. А. Кинетические уравнения для поля вихря. ДАН СССР. т. 177 № 2, 1967.
13. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Механика сплош-
ных сред. М., ГИ'ГТЛ, 1953.
14. Kovasznay L. S. G.. Kibens V., Blackwelder Р.. F. Large-scale motion in the intermitteut region of a turbulent boundary layer. ..I. Fluid Mech.*, vol. 41, pt. 2, 1970.
15. La Rue J., Libby P. A. Temperature fluctuation in the
plane turbulent wake. .Phys. Fluids“, vol. 17, N 11, 1974.
16. Кузнецов В. P. Вероятность концентрации пассивной
примеси в турбулентных потоках с поперечным сдвигом. .Изв. АН СССР. МЖГ*. №■ 5, 1972.
17. Сабельников В. А. К вопросу об описании свободных турбулентных течений с учетом явления перемежаемости. Уравнения для условно осредненных характеристик турбулентности. Труды НАГИ, вып. 1998, 1979.
Рукопись поступила 10 VI/ 1979
