Сопротивление грунта качению пневматического колеса в «Свободном» режиме Текст научной статьи по специальности «Математика»

СОПРОТИВЛЕНИЕ ГРУНТА КАЧЕНИЮ ПНЕВМАТИЧЕСКОГО КОЛЕСА В «СВОБОДНОМ» РЕЖИМЕ

Синицын С.С., Синицына Т.С. , Надеин А.Н., Никитин Е.Е.

(БГИТА, г.Брянск, РФ)

They Are Received accounting dependencies, allowing conduct the energy estimation of the interaction of the wheel machines with soil.

Для аналитического определения вида функциональной зависимости, отражающей затраты энергии на качение пневматического колеса в «свободном» режиме используем расчетную схему, представленную на рисунке 1, где приняты следующие обозначения: Мк - момент, подведенный к колесу от силовой передачи; Mf - момент сопротивления качению колеса; S - траектория перемещения элементарной частицы грунта из (■) 1 в (■) 2 при качении колеса (часть циклоиды); ИГ- глубина колеи; Иш - деформация шины; А = R - Иш - Иг.

Рисунок 1 - Расчетная схема взаимодействия колёса с опорной поверхностью

Сопротивление грунта качению колеса может быть определено если известна работа, затрачиваемая на образование колеи. В свою очередь эта работа пропорциональна перемещению точки поверхности колеса в грунте из положения 1 в положение 2 по циклоиде S, которое может быть заменено нормальным перемещением по оси ъ колеса.

С учетом того, что ^ = z - A, работа колееобразования за один оборот эластичного колеса описывается следующей зависимостью:

V

X

777

Аоб — 2

• 4 * И

V Я2 2лЯ V в2

I Лу I Я I

0 0 А

^ - л"м

с

ко

Я, 1-

! (* -К )2

Я2 2лЯ V

I ау I л I

у

^ - ^"

с

Я - к

ко

(1)

После интегрирования первого тройного интеграла по Лг и получаем:

I-

2лЯ^2с '

к£(М + 1)

1 - А| V Я)

/и+1

в, 1--

Я2

в

Лу.

(2)

После замены переменных у — ив, и — г выражение принимает следующий

вид:

2лвсR^+2 Г А^ к£(м +1)1 Я

м+1 ^

Я2 ^ -1

I (1 - г) г 2 сИ

о

(3)

Полученный интеграл есть частный случай интегрального представления неполной бета-функции [1]:

х

Вх( р,д)—I гр-1 (1 - г У-1 Лг,

о

1 ¡и + 3 , А2

где р — —, а —-, х — 1---.

д Р 2' а 2 Я 2

Выражая бета-функцию через гипергеометрическую функцию вида Г(а, в; с; х) приходим к следующему выражению

В

х

(ра)

х

р

Р

Г(р, (1 - а); (р + 1);х).

Поскольку для полученной гипергеометрической функции справедливы следующие соотношения:

с - а - в — (р +1)- р -

/

¡л + 3 ^ !Л + 3

1 -

V 2 )

2

^ 0;

с - а — (р +1)- р — 1 ^ 0;

с - в

(р +1)

¡л + 3 ~2

р+

¡л + 3 2

^ 0.

то она может быть выражена в общем виде через гамма-функцию:

в

2

в

0

0

2

1

^а,в;с; х )

Г (с ) Г (с-а-в ) Г (с-а ) Г (с-в )

Г (р+1) Г (и+3

2

Г (1)Г (р_и+>

с учетом того , что Г(р+1) = р Гр , Г(1) = 1, а Г(0 5) = 4л получаем

Г(и+34 77 1 Г V 2

F(а,в;с;х) =

2 Г

и+4

А2 1

Поскольку х = 1--, а p = —, то тогда

R2 2

Г

Вх( р^)

2

A2 1

Х—^Л

и+3 4

Г

R2 2 Г

1 A2

1--- х

ии+3 4

R2 Г

и+4 ] V R ^ (и+4

Окончательно для первого тройного интеграла имеем следующее выражение:

1_ Г/

2лвсR и+2 '

иии(и +1)

1 - -

V R у

ли+1

1-

А

2

х

и+3 2

R2 Г

и+4

или после преобразований:

Г

2^всЯ и+1

Лии(и + 1) Г (и+4

2

1 -

А'

Я'

(4)

Проведя аналогичные выкладки для второго тройного интеграла, получим:

Г,

4лл[лвсR и+1Н и+1

нии(и +1)

и+3 2

Г

ил+4

V

1 -

А

2

Я2

1

! (Я - )2

Я2

(5)

С учетом того, что А= Я -hГ - hш разлагаем выражение в скобках в биноминальный ряд и, ограничившись линейным приближением этого ряда, окончательно получаем

Г,

Аоб =

4л*[лв&и+2

и+3

нии (и + 1) Г (и+4

(6)

2

1

2

2

2

Таким образом, полученная зависимость вполне может быть использована для практических целей, поскольку включает в себя легко определяемые по таблицам значения гамма-функций и общепринятые параметры грунта и шин.

Литература

1. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979.- 832 с.