CC BY
29
ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПРОЦЕССА КАЧЕНИЯ ПНЕВМАТИЧЕСКОГО КОЛЕСА ПО ДЕФОРМИРУЕМОМУ ГРУНТУ
Синицын С.С., Синицына Т.С. (БГИТА, г. Брянск, РФ)
They Are Received accounting dependencies, allowing conduct the energy estimation of the interaction of the wheel machines with soil.
Одной из наиболее сложных проблем в теории колесных машин является вопрос взаимодействия эластичных колес с поверхностью качения. Исключительную важность для анализа процесса качения и его оптимизации представляют энергетические затраты на деформацию грунта, составляющие большую часть суммарных потерь на качение колеса.
Имеющиеся в данной области исследований наработки базируются главным образом на двух допущениях - замена эластичного колеса жёстким и использование упрощенных математических моделей шины, таких как замена её реальной поверхности цилиндром с различными вариациями [1], что характерно для сельскохозяйственных агрофонов.
Лесотранспортные машины работают главным образом в лесисто- болотистой местности, где имеет место сопоставимость деформаций эластичного колеса и почво-грунтов. Причем, поверхность контакта весьма далека от цилиндрической и представляет из себя совокупность плоской и криволинейной (в плоскости Z, Y) зон.
Поэтому основной целью данной работы является исследование энергетических аспектов качения эластичного колеса по деформируемой опорной поверхности с использованием математических моделей , наиболее точно отображающих реальную картину их взаимодействия.
Для аналитического определения вида функциональных зависимостей, отражающих затраты энергии на колееобразование, используем «свободный режим» качения колеса, который является основой для определения параметров взаимодействия и в других режимах, в том числе и в «ведущем» [2], а также разработанную автором математическую модель шины [3], наиболее полно описывающую реальную поверхность взаимодействия эластичного колеса с лесными почво-грунтами (рисунок 1).
Заменяя действительный путь частицы грунта по циклоиде S его вертикальной составляющей h по оси Z колеса, принимаем, что реакция q грунта на элементарную площадку протектора шины будет пропорциональна глубине её погружения в грунт. Сумма произведений этих сил на координаты Х их приложения определяет момент сопротивления Mf качению колеса вследствие деформации грунта. Уравнение для Mf можно представить в следующем виде
/ / / / / М« , X [ / 1 \
1 , 0 VI Мр i
Л
2 __X ///
' 7
'ш
Рисунок 1 - Расчетная схема взаимодействия колеса с опорной поверхностью: V - вектор линейной скорости; х, г - декартовы координаты; Мк -крутящий момент, подведенный к колесу от трансмиссии; Мf - момент сопротивления качению колеса; ^ - траектория перемещения элементарной частицы грунта из точки 1 в точку 2; q - элементарная реакция грунта; ИГ - глубина колеи; НШ - деформация шины; Я - свободный радиус колеса; А = Я - Иш - НГ.
м f = Ц q(x, у )ах • Ф.
(1)
Поскольку q = с[(г - А)/И0 ] [3], где А = Я - И - А , а = Ш^^, то тогда получаем
•С (г - А) хdxdy
(2)
В данных выражениях (1 и 2) У представляет собой ось координат, перпендикулярную плоскости рис. 1, а И0 - базовую деформацию почво-грунта, численно равную 0,01 м.
Разложив (г-А) в степенной ряд и поставив вместо г его значение из характеристического уравнения поверхности шины, а именно:
2 =
2 2 1 х у
1---— , получим
Я 2 в 2
ю
г
Pf =
C_
hV h0
jj R V-1
-\V
-1
1 -
У
Rx
xdxdy -
R V
-2
2 2 1 - i__
R2 e2
2
xdxdy +
+
v(v - 11 a 2 jj r v-3
1
-3
^ i__y_
R2 e2
xdxdy...
(3)
Приняв, что х =Я и, а в = в V, и определив якобиан преобразования 1=Я в >0, для первого интеграла получаем рекуррентное соотношение
a R V
-1
1!
-\V
-1
1-
X
У
R2
xdxdy = eR V-1 jjV 1- u 2 -v 2
v-1
udu, dv.
Переходя к полярным координатам u = r ■ cos p, v = r ■ sin p, приводим ин-
теграл к следующему виду:
(
jj R V
1
a
1
2
1
X
у2
-\V-1
R2 e2
7TÍ2 r / Г-
xdxdy = 2 j cos pdpj [V1
- r
v-1
r 2 dr.
(4)
После преобразований внутреннего интеграла получаем
г / \М-1 |(1- г 2 ) 2 г 2 Сг, 0
а это не что иное, как частный случай интеграла от биноминального дифференциала [4]
| хт (ах" + в^сЫ, (5)
о И -1
где т = 2, р = •
Полученный интеграл не подходит ни под один из трёх случаев выражения его через элементарные функции. Тогда, применяя подстановку I = г2, преобразуем его к виду
, 1
1r V-1 — — j(1- 1t2 dt,
2 0
(6)
а это есть частный случай интегрального представления неполной бета-функции [4]
г
Вх(р, д) = { (1-1)^-1 (7)
0
которая может быть выражена через гипергеометрическую функцию F (а, в; с; х) следующим образом [4]:
X
Р
Р
F (p, (1- q ) (p +1), x 1.
(8)
X
2
e
a
a
a
2
e
a
J
0
0
J
Гипергеометрическая функция, в свою очередь, может быть выражена через гамма-функцию, а именно [4]:
F (а, в; с; х) =
Г(с)Г(с - а - в) Г(с - а)Г(с - в)
(9)
Тогда
„2 1
1' — л- 112 (1 -1^ =
xp Г(с)Г(с-а-в)_ г2
2 Р
Г (р+\)Г ( и+\
2Р Г(с-а) Г(с-в) 2Р Г(1) Г( | и+1
Взяв внешний интеграл в уравнении (4), получим
Л *
м-1
1 -
2 2 X у
-1
Я 2 в 2
л+1 2 р Г(Р+1)
хdxdy =■
вR л+1г,
2
Г (1)Г (
(10)
Так как Р) = р Г(р), а Г(1)=1, то приводим правую часть уравнения (10) к следующему виду:
вЯ л+1 х Г22Р х Гм+!
Г,
р+
л+1 2
Г (Р ) .
(11)
Использовав для гамма-функций асимптотическую формулу, получаем
ц, ^ л 3+л
2 (Е\ 2
Г,
л+1 2
Г
2
= Г
2 ) ' ( Р+/+11 Г (2+/ I У I 2
2
Г2
= Л 2Ж е
2 i л
л 1 2
Тогда
Л Я л
-1
1
1 -
2 2 X у
лл
-1
Я2 в2
хdxdy = ■
2вЯ л+1г2р л/2
л
.1,5
Г (р).
(12)
Решив последующие интегралы уравнения (3), для жесткого колеса окончательно получаем
2свЯ л+1г2 р 42 Г(р)
Рж
И/ л1,5
■(1 - А).
Я
(13)
Проинтегрировав уравнение (3) в диапазоне от 0 до г1, определяем потери на деформацию грунта эластичным колесом
2свЯл+х42 V. А„
(14)
Р =
Рр К л"
С учетом того, что
(г22р - Г12р)(1 - АУ.
г2 =
1 -
Я2
1 =
1 (Я - Иш )2 г, 1 /т
1--Я2— , Г(Р)= ^
имеем
2
0
х
ю
2
ю
2
РЭ =
свк
К м
1,5
Л2 "
1-Л
Я2
Я-Нш Я
л2
-эЛ
(Я-лу =
(15)
свя 42я
нМ м15
\
1 (Я-Нр-Иш )2 1 {Я-кш)
Я2
-3^
Я2
(Н р + Нш )м
После разложения
! (Я-Нр-Нш )2
1 Я2
и
! (Я-Нш )2
в биноминальный
Я2
ряд и соответствующих преобразований окончательно получим
р/э =—(Нр + Нш)М • (16)
знм м1,5
Сопротивление грунта качению колеса может быть определено если известна работа, затрачиваемая на образование колеи. В свою очередь эта работа пропорциональна перемещению точки поверхности колеса в грунте из положения 1 (рисунок 1) в положение 2 по циклоиде Б, которое может быть заменено нормальным перемещением Н по оси Ъ колеса.
С учетом того, что Нр = 2 - Л, работа колееобразования за один оборот эластичного колеса описывается следующей зависимостью:
Аоб = 2
1—
я л-
У
Я2 2жЯ | йу | й1 | с
0 0 л
V Н0 у
-
I (Я-Нш)2
I Я2 2пЯ | йу | й1
ял 1-
Я Н
У
v н0 у
й2
(17)
После интегрирования первого тройного интеграла по й2 и й1 получаем
2жЯ м+2 с '
нМ(м +1)
1 —
v Яу
ЛЛ М+1
в, 1-
1
Я2
V
1
У
М+1
йу •
(18)
После замены переменных у = ив, и = г выражение принимает следующий вид:
2жвсЯ
м+2
нм(м +1)
1 -
ЛЛ М+1
в—
Я
Я2
1 (1 - г)
0
М+1 2
г 2 йг.
(19)
Полученный интеграл есть частный случай интегрального представления неполной бета-функции Вх (р, д) (уравнение 7), которая аналогичным образом (зависимости 8 и 9) может быть выражена через гипергеометрическую функцию Я(а, в; с; х) и в общем виде через гамма-функцию
3
2
у
3
3
2
в
в
2
в
с
0
0
2
2
в
0
2
1
F(а,в;с; х)
Г (с ) Г (с-а-в )
Г (р +1) Г (л+3
2
Г (с-а ) Г (с-в ) г(1)г( л+3
Iрл3
С учетом того , что Г(р+1) = р Гр , Г(1) = 1, а Г(0 5) = 4Ж получаем
Г
^а,в;с; х) =
л+з 2
2 Г
л+4
Поскольку х = 1--, а р = ~, то тогда
Я2
Г
Вх (р^) =
= 2,
1 А2 1 ,
1---х — ^ж
л+3 4
Г
Я2 2 Г
= ыж
л+4
1 А'
1--- х-
л+3 4
я2 Г
л+4
2 ) i 2
Окончательно для первого тройного интеграла получаем следующее выражение:
Г/
2жвсЯ л+2 Г А^ л+1
илл(л +1)
1 - — V Я)
у[Ж
1 А2
1--— х ■
л+3 2
Я
2Г
л+4 2
После преобразований приводим к следующему виду:
Г(
2ж4ЖвсЯ л+1Ил+1
л+3
Ил (л + 1) Г(л+41 V
1 -
А2
Я2
(20)
Проведя аналогичные выкладки для второго тройного интеграла, полу-
чим
Г,
4ж4ЖвсЯ л+1Ил+1
ил (л +1)
л+3 2
Г
л+4 2
1 -
А2
я :
1
! (* - Иш )
Я2
(21)
С учетом того, что А= Я -ИГ - Иш, разлагаем выражение в скобках в биноминальный ряд и, ограничившись линейным приближением этого ряда, окончательно получаем
А0б = +2 • . (22)
ил (л +1)
Г,
л+4
Получена аналитическая зависимость для определения работы, затрачиваемой на деформацию грунта колесом в свободном режиме качения. Досто-
2
2
4
2
2
2
инством этой зависимости является её доведение до инженерного уровня: она содержит параметры грунта и шины, а также легко определяемые по таблицам значения гамма-функции.
Список использованных источников
1. Наземные тягово-транспортные системы. Энциклопедия. Т 1-2 [Текст] / И.П. Ксе-невич, В.А. Гоберман, Л.А. Гоберман. - М.: Машиностроение, 2003. - 743 с.
2. Левин, М.А. Теория качения деформируемого колеса [Текст] / М.А. Левин. - М.: Наука, 1989. - 270 с.
3. Синицын, С.С. Математическая модель колеса с эластичной шиной [Текст] / С.С. Синицын // Эксплуатация лесовозного подвижного состава: Межвуз. сб. науч. тр./ Изд-во УПИ - 1985. - С. 34-41.
4. Янке, Э.Я.Справочник по специальным функциям [Текст] / Э.Я. Янке. - М.: Наука, 1979. - 832 с.
