Энергетическая оценка процесса качения пневматического колеса по деформируемому грунту Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.03.004.14 С.С. Синицын

Брянская государственная инженерно-технологическая академия

Синицын Сергей Сергеевич родился в 1947 г., окончил в 1970 г. Брянский технологический институт, доцент кафедры оборудования лесного комплекса и технического сервиса Брянской государственной инженерно-технологической академии. Имеет 87 научных работ в области изучения колесных машин. E-mail: [email protected]

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПРОЦЕССА КАЧЕНИЯ ПНЕВМАТИЧЕСКОГО КОЛЕСА ПО ДЕФОРМИРУЕМОМУ ГРУНТУ

Приведена методика расчета энергетических затрат на качение пневматического колеса в свободном режиме.

Ключевые слова: пневматическое колесо, качение, грунт, энергетические затраты.

Одним из наиболее сложных вопросов в теории колесных машин является взаимодействие эластичных колес с поверхностью качения. Исключительную важность для анализа и оптимизации процесса качения представляют энергетические затраты на деформацию грунта, составляющие большую часть суммарных потерь.

Имеющиеся в данной области наработки базируются на следующих допущениях: замена эластичного колеса жестким и использование упрощенных математических моделей шины (замена ее реальной поверхности цилиндром с различными вариациями [1], что характерно для сельскохозяйственных агрофонов).

Лесотранспортные машины работают главным образом в лесисто-болотистой местности, где имеет место сопоставимость деформаций эластичного колеса и почвогрунтов. Причем поверхность контакта весьма далека от цилиндрической и представляет собой совокупность плоской и криволинейной (в плоскости Z, У) зон.

Основной целью данной работы является исследование оптимизации энергетических затрат на деформацию грунта в процессе качения эластичного

колеса с использованием математических моделей, наиболее точно отображающих реальную картину их взаимодействия.

Для аналитического определения вида функциональных зависимостей, отражающих затраты энергии на образование колеи, используем «свободный режим» качения колеса, который является основой для определения

Расчетная схема взаимодействия колеса с опорной поверхностью: V - вектор линейной скорости; х, г - декартовы координаты; Мк - крутящий момент, подведенный к колесу от трансмиссии; М^- - момент сопротивления качению колеса; 5 - траектория перемещения элементарной частицы грунта из т. 1 в т. 2; д - элементарная реакция грунта; кг - глубина колеи; кш - деформация шины; Я - свободный радиус колеса; А = Я - Иш - кг

параметров взаимодеиствия и в других режимах, в том числе и в «ведущем» [2], а также разработанную автором математическую модель шины [3], наиболее полно описывающую реальную поверхность взаимодействия эластичного колеса с лесными почво-грунтами (см. рисунок).

Заменяя действительный путь частицы грунта по циклоиде £ его вертикальной составляющей к по оси 2 колеса, принимаем, что реакция ц грунта на элементарную площадку протектора шины будет пропорциональна глубине ее погружения в грунт. Сумма произведений этих сил на координаты Х их приложения определяет момент сопротивления М качению колеса вследствие деформации грунта. Уравнение для М можно представить в следующем виде:

М

/

Я Ч^уУ^У- (!)

Поскольку </ = с _ [3]

(где А = Я-И-А, а ЬР/= ЪMJz, получим

. С € - \dxdy

Р!=\\-

(2)

2 - .

2 2 Я2 ъ2

получим

г К

л*

Ц-1

I д. •'". к- ъ-

\dxdy- ¡д.4 х

ц-2

2 2 К2 Ъ2

чц-2

хс1хс1у+^--2 X

2 2 || К- Ъ-

ч|1-3

хdxdy

(3)

Приняв х =Я и, Ь = Ь V и определив якобиан преобразования I = ЯЬ >0, для первого интеграла получим рекуррентное соотношение

Р

и- 1

1-

V

= ЪЯ^~1 ¡\yll-u2 -V211 \idujv.

Перейдя к полярным координатам и = г созф, V = г 8 икр, приведем интеграл к следующему виду:

2 2 х _ У_

Я2 ь 2

1

хdxdy —

и-1

а Я

ц-1

2 2 __У_

Я2 Ь2

\ц-1

хdxdy -

;

П /2 Г / I-\ Ц- 1

2 I совср^Н л/1-Г2 Г2аг. (4)

1

22

рал

Преобразуем внутренний интег-

Г

\\~г2 J г2¿Г,

В данных выражениях (1) и (2) У представляет собой ось координат, перпендикулярную плоскости, а к0 -базовую деформацию почвогрунта, численно равную 0,01 м.

Разложив (2 - Л)ц в степенной ряд и поставив вместо 2 его значение из характеристического уравнения поверхности шины

который является частным случаем интеграла от биноминального дифференциала [4]:

¡хт4хИ+Ь^сЬс, (5)

где т = 2;

ц-1

Полученный интеграл не подходит ни под один из трех случаев выражения его через элементарные функции. Тогда, применив подстановку / = г2, преобразуем его к виду

1 Г _Ц-1 1

2 о

(6)

ш

ш

ш

ш

ш

0

0

0

г

а это есть частный случай интегрального представления неполной бета-функции [4]

(7)

которая может быть выражена через гипергеометрическую функцию F(a, b; с; х) следующим образом [4]:

Р

+1>;. (8)

Гипергеометрическая функция, в свою очередь, может быть выражена через гамма-функцию [4]:

Тогда

Г\~fi;-a-b~ ГЪ-а^Г ъ-ъ

(9)

хр Г tf _ r2

2 Р

2Р

1 ' -- \t2 i,-tji dt = 2 0 2р г

Взяв внешний интеграл в уравнении (4), получим

-\ ц-1

я*

ц-1

1-

X

R'

z_

Ъ2

xdxdy -

Ц+1

2

r<S f и+1

(10)

Так как F(1+ р = р Г(р), а Г0) = 1, то приведем правую часть уравнения (10) к следующему виду:

ЫР+хг?рГ,

^)

Г,

Г

<р J

(11)

(1+1

р+

Р /3 =

cbR V2n

К Ц1, cbR V2n

1,5

1-

i Л2

Использовав для гамма-функций асимптотическую формулу, получим

Г

р+

Г

(1+1

(1+1

2

= Г

ф

п е

v2y

2+^

y[2n~t

6 2

3+(1

Тогда

Я^л

(О 1

2 2 R2 b2

N(1-1

xdxdy =

2bR'l+lr2p42

/

Ц

1,5

Г

«о

(12)

Решим последующие интегралы уравнения (3) и для жесткого колеса будем иметь

PfM -■

(1-Л)<13) Проинтегрировав уравнение (3) в диапазоне от 0 до г1, определим потери на деформацию грунта эластичным колесом:

2сй/гц+1л/2 /V

7„Ц 1,5 ho Ц -

(14)

С учетом того, что i

А2

R2

R2

имеем

- 3

1-

f R-h > _ш

R

-( R-i)

ц _

ho Ц1,5

г ъ-k-kZ ,

R2

1-

R2

(15)

2

г

0

M-

2

2

2

2

2

3

После разложения

V

! К-К я2

и

II

!

Я2

в биноминальный ряд и соответствующих преобразований окончательно получим

2сЬъ42П

р

/э

ък ц1'5

(16)

Сопротивление грунта качению колеса может быть определено, если известна работа, затрачиваемая на об-

разование колеи. В свою очередь, эта работа пропорциональна перемещению точки поверхности колеса в грунте из положения 1 (см. рисунок) в положение 2 по циклоиде которое может быть заменено нормальным перемещением к по оси 2 колеса.

С учетом того, что кг = 2 - Л, работа, затрачиваемая на образование колеи за один оборот эластичного колеса, описывается следующей зависимостью:

4,6=2

Я 2 п Я ,

\ Му \ М |

0

V к0 J

Мг —

\ Му \ М/ \ с

Ь2 (2-Л^

V к0 J

(17)

Интегрируем первый тройной интеграл по аг и а/:

Г,

2пЯ 2 с( Л

. ц+ 1

а,Ь;с; х

— л/п —

' 2 Г

и+ 3

+1

I

Ч - ^

V

Я

-\ц+1

2 а2

1-У~

Ь2

Му.

(18)

Поскольку X = 1--, р = —,

Я2

2

/

тогда

После замены переменных у = иЬ, и2 = / выражение принимает следующий вид:

Г,

Вх(р,д) = 2-.ll-Д^л/я

ц+з ]

К 2 Г,

■ = 1

Г

А1

К Г,

Я

д+1 1

Полученный интеграл есть частный случай интегрального представления неполной бета-функции Вх (р, ц) (уравнение (7)), которая аналогичным образом (8) и (9) может быть выражена через гипергеометрическую функцию Я(а, Ь; с; х) ив общем виде через гамма-функцию

г1

ф+1 * ((.1+3 ~2

Окончательно для первого тройного интеграла получаем

I \н-+1

Г

2иЪсЯ^2 [ Л

Я

Л.11-4

(1+3

~2~,

Я2 Г,

после преобразований будем иметь:

г

2тг-^ЬсЯ^к^

(1+3 '

К 4 + С ^ и +4 ' ^

2

(20)

а,Ь;с; х

ГС~а"ГС~ Ь

г<:г,

Проведем аналогичные выкладки для второго тройного интеграла:

Гг

ц+ЗЛ

Ап^ЪсЯ^И^1

ц+3 1 2 ,

К4 + С г<

1-

С учетом того, что Г(р+1) = р Г(р), Г( 1) = 1, а имеем

Я"

1-

д2

(21)

к

Л

Ь

2

Я . 1

Ь . 1

Я . 1

с

0

0

Як

0

Л

0

4

Л

2

2

С учетом того, что А = R - Нг - hш, разлагаем выражение в скобках в биноминальный ряд и, ограничившись линейным приближением этого ряда, окончательно получаем

Г,

4п4ПЬсК+2

Аоб - '

3

П Г

(22)

м

Таким образом, получена аналитическая зависимость для определения работы, затрачиваемой на деформацию грунта колесом в свободном режиме качения. Эта зависимость доведена до инженерного уровня и содержит параметры грунта и шины, а также легко определяемые по таблицам значения гамма-функции.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ксеневич И.П., Гоберман В.А., Го-берман Л.А. Наземные тягово-транспортные системы: Энциклопедия. Т. 1-2. М.: Машиностроение, 2003.743 с.

2. Левин М.А. Теория качения деформируемого колеса. М.: Наука, 1989. 270 с.

3. Синицын С.С. Математическая модель колеса с эластичной шиной // Эксплуатация лесовозного подвижного состава: Меж-вуз. сб. науч. тр. Изд-во УПИ, 1985. С. 34-41.

4. Янке Э.Я. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 832 с.

S.S. Sinitsyn

Bryansk State Academy of Engineering and Technology

Energy Assessment of Pneumatic Rolling Process along Deformed Soil

Wheel

The technique is provided for calculating energy costs on pneumatic wheel rolling in the free mode.

Keywords: pneumatic wheel, rolling, soil, energy costs.