Энергетическая оценка работы пневматического колеса в свободном режиме Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА РАБОТЫ ПНЕВМАТИЧЕСКОГО КОЛЕСА В СВОБОДНОМ РЕЖИМЕ

Синицын С.С., Синицына Т.С. (БГИТА, г. Брянск, РФ)

They Are Received accounting dependencies, allowing conduct the energy estimation of the interaction of the wheel machines with soil.

Для аналитического определения вида функциональной зависимости, отражающей затраты энергии на качение пневматического колеса в свободном режиме используем математическую модель колеса [1] и расчетную схему, представленную на рисунке 1, где приняты следующие обозначения: Мк - момент, подведенный к колесу от силовой передачи; Mf - момент сопротивления качению колеса; S - траектория перемещения элементарной частицы грунта из (■) 1 в (■) 2 при качении колеса (часть циклоиды); hr - глубина колеи; hm - деформация шины; A = R- hm - hp.

Рисунок 1 - Расчетная схема взаимодействия колёса с опорной поверхностью

Заменяя действительный путь частицы грунта по циклоиде 5 его вертикальной составляющей ^ принимаем, что реакция q грунта на элементарную площадку протектора шины будет пропорциональна глубине её погружения в грунт. Сумма произведений этих сил на координаты Х их приложения определяет момент сопротивления Мf качению колеса вследствие деформации грунта. Уравнение для Мf можно представить в следующем виде

М f = Ц q(x, У) • dy.

(1)

а

Поскольку q = c[(z - A)/h0] [1], где A лучаем

R - h - A , а SPf =Mf jz, то тогда по-

Pf=л

C(z - A)1" xdxdy

(2)

Разложив (2-Л) в степенной ряд и поставив вместо 2 его значение из характеристического уравнения поверхности шины, а именно:

z

z = .

2 2 , x2 y

1---— , получим

R 2 в 2

Pf =

C hV h0

f

Л R v_1

2 2

1 _ x__

R2 в2

\v _i

xdxdy _

J

МЦ

m

R V

2

22 x y

~\M _ 2

1---

R2 в2

+

a 2 JJ r v_3

m

i

22 ^ x__

R2 в2

xdxdy +

\V _3

xdxdy...

(3)

Приняв, что х =R и, а в = в v, и определив якобиан преобразования I=R в >0, для первого интеграла получаем рекуррентное соотношение

JJ R V

_1

m

1_

2 2 x y

R2 в2

xdxdy = вR V _1 JJ4

~2-2 v _1

1 _ u _v udu, dv.

Переходя к полярным координатам u = r ■ cos р, v = r ■ sin р, приводим интеграл

к следующему виду:

JJ RV

_1

\

1_

2 2 x y

R2 в2

'\V_1 л

я/2 r /■ г-

xdxdy = 2 J cos pdpJ I v 1

_ r

V _1

r 2 dr.

(4)

После преобразований внутреннего интеграла получаем

r / \V_!

J(1_ r2 У

_ r ) 2 r dr,

а это не что иное, как частный случай интеграла от биноминального дифференциала [2]

| xm (ахп + в^сЪ, (5)

/-1

где m = 2, р = ■

2

Полученный интеграл не подходит ни под один из трёх случаев выражения его через элементарные функции. Тогда, применяя подстановку * = г1, преобразуем его к виду

1 г /-1 -

11(1-*/ *2сИ, (6)

2'

а это есть частный случай интегрального представления неполной бета-функции [2]

Вх (р, д ) = { *Р-1 (1-1)*-1 с*, 0

которая может быть выражена через гипергеометрическую функцию F (а, в; с; х) следующим образом [2]:

m

j

о

о

m

J

0

о

хр

р

^(р, (1 - q) (р + 1); л). (8)

В этих выражениях х = г2; р = 1 + ^ = 3;

1 3 2

Л -1 1 + л

q = 1 +

2 2

Поскольку для полученной гипергеометрической функции справедливы следующие соотношения:

С - в - . = (р + ,)-р-[,-Е11 ] = ЦЕ >- 0;

с - а = (р +1)- р = 1 ^ 0;

С -. = (р +,)-(,-¡+1 ] = р + ЦЕ > 0,

то она может быть выражена через гамма-функцию, а именно:

f = (а, в; с; х) = Г(с)Г(с-а-в) . (9)

У Г{с-а) Г(с-в)

Тогда

2 1 2 р Г(р+:)Г(Л+!

1 2 (1 -,* = ХР Г(с)Г(с-а-в) = ^х_НС

2 о 2Р Г(с-а)Г(с-в) 2Р Г(1)Г( +л+1

р+ 2

Взяв внешний интеграл в уравнении (4), получим

(

Я *л

-1

V

2 2 1_Х__ У_

*2 в2,

у

Г-1 ^Л+\2Р Г(р+1)ГЕ+1

вЯ 2

хёхёу =-х-. (10)

р Г(1)Г(р+Е+1,

Так как Р) = р Г(р), а Г(1)=1, то приводим правую часть уравнения (10) к следующему виду:

вЯЛ+1 х г2р х Г,

л+1 2

л+1

р+

Г(р). (11)

^ р+Л 2

Использовав для гамма-функций асимптотическую формулу, получаем

а Л

Г(л+1 Л=^Же 2 [Л| 2

Г( Л+1 ^ = Г(, л^ =л/^

Тогда

ж е

2 V

Л 3+Л

2 2

р+ЛП" Г ИГ2ж е , 2

Л д"

-1

а

1 -

2 2 X У

V

-1

Л 2 в 2

хдхйу = ■

2вк м+Ч2 р42

м

1,5

Г (р) ■

(12)

Решив последующие интегралы уравнения (3), для жесткого колеса окончательно получаем

2свЯм+1т^р42 Гр^ А,

Р

fж

(1 — )■ Л

(13)

К м15

Проинтегрировав уравнение (3) в диапазоне от 0 до г1, определяем потери на деформацию грунта эластичным колесом

2свЯ м+1У2 Г(р^ ^ р

fэ

К м15

(Г22Р - Г12Р Ь - А)

(14)

С учетом того, что

г2 =

1 -

Л2

Г1 =

1 (Л - )2 Г/ ч 1 К

1--, Г(Р] = 2 ,

имеем

Р

./э

свЯ

Им и0 м15

II

А2

Л2

ГЛ - и л2

Л иш

з\

V Л у

(Л - А)

м

свЯ 42ж

и0 м15

1

! (Л - Иг - Иш )2 1 (Л - Иш)

Л2

-3 ^

(15)

Л2

(И Г + Иш м

После разложения

1 (Л - Иг - Иш )2 „ (Л - Иш)

1--;- и .,1----

Л2

Л ^

в биноминальный ряд и соответствующих преобразований окончательно получим

^(ИГ + Иш )м ■ (16)

/ =

3Им м1,5

Таким образом, в результате проведенных исследований процесса взаимодействия эластичного колеса с деформируемой опорной поверхностью, получена аналитическая зависимость для определения работы, затрачиваемой на деформацию грунта колесом в свободном режиме качения. Достоинством этой зависимости является её доведение до инженерного уровня, поскольку она содержит только параметры грунта и шины.

Литература

1. Синицын, С.С. Математическая модель колеса с эластичной шиной. / С.С. Синицын // Эксплуатация лесовозного подвижного состава: Межвуз. сб. науч. тр./ Изд-во УПИ - 1985. -С. 34-41.

2. Янке, Э.Я.Справочник по специальным функциям. / Э.Я. Янке. - М.: Наука, 1979. -

832 с.

2

3

1

1

2

у

3