СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕНОРМАЛИЗАЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕНОРМАЛИЗАЦИЙ Каршибоев Х.К.

«кf,

■ - f

Каршибоев Хайрулло Киличович - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра высшей математики, Самаркандский институт экономики и сервиса, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в данной работе доказано, что для параметров an, bn, mn, cn верна следующая оценка: | Qn + bnmn — Cn const • an где числовая

последовательность {An }n_j принадлежит l2, т.е. ^Д2 <сю•

Iи= 1 принадлежит 12, т.е. <

И=1

Ключевые слова: ренормализация, гомеоморфизмов окружности, число вращения.

Рассмотрим сохраняющий ориентацию гомеоморфизм Т^ единичной окружности

Т/х = {/ (х)}, х е 51 = [0,1) (1)

где скобка {•}- обозначает дробную часть числа, а (х)-определяющая функция Т^ , удовлетворяет следующим условиям:

(с) (х) -непрерывная, строго возрастающая функция на Я1; (с2 ) {(X + 1) = /(х) + 1 для любого х е Я1; (сз ) гомеоморфизм Т^х в точке х = хъ имеет излом, т.е. существуют конечные односторонние производные f' (хъ + 0) > 0 и

Г'(хь - 0) * /'(хъ + 0);

(с4) f' (х) -абсолютно непрерывная функция на [хъ, хъ + 1] и f" е Ьр (51; dl) при некотором р > 1.

(х ) - Г'(- 0) т

Число ^ ь> у,(х + о) называется величиной излома 1у в точке X — X, . Условие (^4 ) называется условием гладкости Кацнельсона и Орнстейна.

Пусть число вращения р — р(Ту) иррационально и разложение р в непрерывную дробь имеет вид:

Положим

^ — к2,...,кп ], п > 1. Чп

Числа Яп -удовлетворяют разностному уравнению:

Чп+1 — К+Чп + Чп—^ Чо —1, Я1 — kl, п >1.

Обозначим особую точку X, через Хо и рассмотрим ее итерации, т.е. X1 — Т^Хо, I > 1. Обозначим А^ — А^ ^о )-замкнутый отрезок соединяющий точки X,, и Xq .

о Чп

Обозначим через Уп — Уп (Xо ) замкнутый интервал соединяющий точки Xq и X . Ясно, что Уп — А(ог) и А(0п+1). Интервал Уп -называется П -ой ренор-

мализационной окрестностью точки Xо. Определим отображение Пуанкаре по формуле:

1(п)

Лп(x):

ТЧп+1 X, если X еА^Л^},

(2)

T?nx, если X еА(п+1)

I у .Л С! I * о

По общей схеме метода ренормализационной группы (РГ) нас интересует главным образом поведение отображения Пуанкаре Лп (X), при п —.

Поскольку длина отрезка Уп экспоненциально стремится к нулю и Чп —> при

п —> &, поведение Л (X) удобно изучить в новых перенормиро-ванных координатах.

Введем перенормированные координаты 2 на V :

IX — .Хо тг

2 —-—, X еУп (3)

X0 — Xqn

Xq Xо

Обозначим а —-. Очевидно, что а > 0. При X е V ,

п ^ п г п'

X0 — Xqn

соответствую-щие координаты 2 принимают значения от — 1 до ап. В новых координатах отображению Лп соответствует следующая пара (Уп, £п ) :

<

. , ч fq"+1 (Х0 + z(Х0 — Xq, )) — Х0 — Pn+1

fn (Z) =-

х0 х% (4)

,ч Л" (х0 + г(х0 - хЧп )) - х0 - Рп

8п (2 ) =-^-,

х0 хЧп

Пара функции (, £ ) называется " -ой ренормализацией отображе-ния 7 п . Положим Аи) = ТА( " , I > 1, П > 1 . Пусть для определенности " -нечетное число, тогда имеет место соотношение х„ ^ хп ^ X .

Чп+1 0 Чп

Система отрезков = {Д/^, 0 < I < Чп; А*0 ,0 < j < Чп+1 }

образует разбиение окружности. При этом соседние два отрезки из <^п пересекаются

одной лишь концевой точкой. Мы покажем что пара функции ([п (2), (г))

являются почти дробно-линейными функциями.

Рассмотрим семейство пар дробно-линейных функций вида

а + (а + Ът) 2 - ас + (с - Ът) г (5)

Га,Ъ,т(2) = ^ ^ ч , ^а,Ъ,т,с(2) = 7 ч . ()

1 + (1 - т)г ас + (т - с)г

Это семейство играет исключительно важную роль в теории гомеоморфизмов с изломами, поскольку ренормализации (^, ) таких гомеоморфизмов приближаются к семейству пар вида (5), в пределе при п —> &. Более точно, справедливо следующее утверждение. Пусть Tf -произвольный гомеоморфизм,

поднятие функция ^ , удовлетворяет условиям (с) - (с4), а число вращения Р = р(Тг) иррационально. Положим сп = 0 для чётных п и сп = — для

а

х — х

нечётных, где а -величина излома. Обозначим ъ = Чп+Чп+1 0 ,

xqn Хо

a Х0 xqn+j .

Un =

qn 0

В настоящем работе мы покажем, что параметры an, bn, mn, Cn -асимптотически линейно зависимы при n —> &.

Теорема 1. Пусть поднятие гомеоморфизма Tf удовлетворяет условиям

(cj) — (c4 ) и число вращения р = p(Tf ) иррационально. Тогда при всех n > 1

для параметров an, bn, mn , Cn дробно- линейных функций Fn (z) и Gn (Z) справедливо следующее соотношение

|а„ + Ъш„ — с\ < const а • к ,

n

где последовательность \Лп }n=j Е l2 зависит только от гомеоморфизма Tf .

Доказательство. Заметим, что отображения отвечающие функциям (/п,§п)

коммутируют,

поскольку они определяются степенями одного и того же

гр _ '+Чп+

гомеоморфизма окружности Ту . Пусть п -четно. Обозначим в — |

/"(у)

2/'(У)

Оу

0 < г < Чп+1. Имеем ехр £ Вг

излома.

Чп+1—1 Л

ее

V г—о у Если п -нечетно, то

( Чп+1 —1 Л

Гу (у) Оу — а, где СТ -величина

Я./" '(У)

ехр

Л У) 2/'

(Чп+1—1 Л

(Ев]

V г—0 У

тп+1

1 а

Таким образом

тп+1 — Сп ■ еХР ЕВ

V г—о у

Лемма 1. Имеет место следующее равенство

т

п+1

— Сп (1 + ап • ап—1(тп — 1))еХР(^п)

где

п

да

(6)

\у\<const • аа 1Лп, {Д,1 е/

п п—1 п? V п п—1

Доказательство. Обозначим О. относительную координату точки . внутри

г Чп+2 +г

отрезка [ +.; X ]:

О

X • X

г+Чп+2

X • X

, 0 < г < Чп+1

г+Чп

Очевидно, что

О0 — ап • ап+1 .

В силу теоремы 1

где

О = °от, ехР(^ )

г 1 + О0(тг ехР^— 1)

/ г—1 Л г—1

тг. — ехр

Е в,, т — ЕУ. .

V^—0 У

Легко видеть, что В.. — Ь. • В. +

,—0

Чп+1—1

и Е^ — ^п , {^п }Г—1 е /2.

.—о

Поскольку

1п(1 + Ьо (тг+1 ехРТ+1 — 1)) — 1п(1 + Ьо (тг ехРТ — 1)) —

— 1п

— 1п

1 +

Ь0тг ехрт • Вг

Ь0 т1 ехрт

о'";

1 + Ь0 (тг. ехр т. — 1) 1 + Ь0 (тг. ехр тг — 1)

-• (ехр(В. +т<+1 — т. ) — 1 — В,)

. Ь0 т. ехр тг. Ь0т ехрт

1 + 0 г Л+ 0 г 1ч(ехр(В + у) — 1 — В)

1 + Ь0 (тг. ехр тг — 1) 1 + Ь0 (тг. ехр т. — 1)

Ь0т. ехрт, • Вг.

1 + Ь0 (тг. ехр тг. — 1)

+ £.

Легко видеть, что

Чп+1-1

=^п, {г„ }Г=1е 1

¿=0

Получаем

^

1п

-т„

V сп У

Чп-1 Чп+1-1

х =х(ъды

ъ0т ехРТ • Я ^

V1 + ъ0(т, ехр Т, - 1)

9п+1-1_

= Х[1п (1 + ъ0(т

¿+1 ехр(т,+1

) -1)- 1п[1 + ъ0(т, ехрт -1)]]

+

+ - С) = 1п (1 + ъ0 (тп-1 ехР ТЧ„ - 1)) - 1п (1 + ъ0 (т0 ехР Т0 - 1)) +

Чп+1-1.

-С, ) = 1п (1 + ъ,{тП1 -1))+*

(п)

где

(п)

<ъ0 • (| Г„ I + \1п I). Ясно, что {*(И)}Г=1 е 12. Лемма 1 доказана.

Теперь продолжим доказательство теоремы 1. Обозначим Гп = ап + ъп • тп - сп. Используя утверждение леммы 1 легко показать, что

Гп = сп • ап • Гп-1 + 8п , где {Зп}Г=1 е 1

Поскольку

1 (- а„ • а„-1 ) _ ^ап-1,ъ„-1,сп-1 (

(7)

ъ

где

1)

а • а ,

п 1/ | ■ п

а

п—1

а

п—1

а

п—1

V

= /и-1(- ап • а„-1)- Гап-1,ъп-1,сп-1 (- ап • ап-1). Получаем:

= ап + ъп • тп - сп = ап + сп [1 - (ап-1 + ъп-1тп-1 )ап ] еХР(*п ) + — - сп =

(

1

л

— - ап-1 - ъп-1тп-1

V сп у

+ [спап (ап-1 + ъп-1тп-1 ) - сп ](1 - еХР(*п )) + -

= -с а г , + 8 ,

п п п-1 п '

где 8п = сп [ап (ап-1 + ъ«-1т«-1) -Ф - ехр(*п)) +

Учитывая теорему 1, получаем

тгУп

а

п-1

тп-п

= т„

ап-1

/п-1 (-апап-1 ) - ^^ (-апап-1 )

< const а • Я

где {Яп }&=1 е 12, откуда следует оценка (7) для 8п . Итерируя равенство (7) получаем:

Гп = г П(- ср,НЁ 8п I!(- с 8)

]=2 ¿=2 ]=,+1

1=0

1=0

1=0

¿=0

¿=0

+

¿=0

п-1

= с а

пп

а

п-1

а

п-1

Используя лемму 1, получим, что

I! (■

- cjaj J= cnan

X0 Xqn

X0 Xqt

= const a ä"

где Ä G (0;1). Имеем r < const a ^ Än ' • ö ■ Легко можно показать, что

V 7 n n / t '

если {ön } n=1 G l2 , тогда

n=1

J=2

Таким образом

\r I < const a Л , и Ian + bmn - cl < const аЛ , (Ли, e l2.

| n | n n^ | n n n n | n n~ ^ n) n=1 2

Теорема доказана.

Список литературы

1. 5>л Ханин К.М. Гомеоморфизмы окружности с особенностями типа излома // Успехи математических наук, 1990. Т. 45. Вып. 3(273). С. 189-190.

2. Katznelson Y., Ornstein D. The differentiability of the conjugation of certain diffeomorphisms of the circle // Ergodic Theory Dynam.Systems, 1989. № 9 (4). P. 643-680.

3. Джалилов А.А., Каршибоев Х.К. Предельные теоремы для времени попаданий отображений окружности с одной точкой излома // Успехи математических наук. Москва, 2004. Т. 59. Вып. 1(355). С. 185-186.

4. Каршибоев Х.К. Поведение ренормализаций эргодических отображений окружности с изломом // Узб. матем. журнал. Ташкент, 2009. № 4. С. 82-95.

'=2

да