Сингулярные сопряжения и вероятностные распределения для отображений окружности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

СИНГУЛЯРНЫЕ СОПРЯЖЕНИЯ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ ОКРУЖНОСТИ

Джалилов Ш.А.

Щ

Джалилов Шухрат Ахтамович - старший преподаватель, кафедра высшей математики, Самаркандский институт экономики и сервиса, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в этой работе изучается сопряжение между критическим

отображением и отображением окружности с одной точкой излома.

Ключевые слова: гомеоморфизмов окружности, времени попадания, число вращения.

Классификация гомеоморфизмов окружности является важной проблемой в теории одномерных отображений. Первый фундаментаьный результат в этом напралении принадлежит А. Данжуа (см. [Де]). Классическая теорема Данжуа

утверждает, что C2 — диффеоморфизм окружности 51 = В}/1}«[0,1) с иррационалным числом вращения р = Р/ топологически эквивалентен линейному повороту / (х) = X + р(mюd1), X е 51, т.е. существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм р такой, что р о / = / о р. Хорошо известно, что всякий гомеоморфизм окружности / с иррациональным числом вращения строго эргодичен т.е. обладает единственной вероятностной мерой [I = [. Замечательном фактом является то, что сопряжение р между / и / можно определить при

помощи инвариантной меры [о : ор(х) = [([х0, х]), X е 51, где точка х0 фиксирована. Последнее соотнощение показывает, что сопряжение ( единственно, с точностью до аддитивной константы. Таким образом, р(х) является функцией распределения для инвариантной меры [. Вопрос о гладкости сопряжения р и проблема об абсолютной непрерывности инвариантной меры [ тесно связаны.

Проблема гладкости для класса диффеоморфизмов окружности сопряжения хорошо изучена (см. [Ар], [М0], [Эр.], [ у0], [КО]). Для С2+Е — гладких

диффеоморфизмов окружности / с типичным иррациональным числом вращения р^ вероятностная инвариантная мера [ является абсолютно непрерывной

относительно меры Лебега на окружности ([СХ], [КО]).

Естественным обобщением диффеоморфизмов является гладкие гомеоморфизмы с критической точкой или с изломами.

Определение 1. Точка xcr е S1 называется неплоской критической точкой гомеморфизма f порядка (2m +1), m е N, если в некоторой 5 — окрестности Us{xcr)=(xr —5,xcr +5), 5 > 0, точки xCT, функция f е C2m+1(Us(xcr)) ф 0, и

f"(xcr ) = f"(xcr ) = ... = f (2m+l) (xcr ) = 0, f (2m+l) (xcr ) Ф 0.

f называется критическим отображением, если оно обладает единственной неплоской критической точкой нечетного порядка. Типичным примером

критического отображение Арнольда f (x) =-sin 2лх (mod l), X е S1.

2ж

Йоккоз показал, что критическое отображение f с иррациональным числом вращения р0 = рf топологически эквивалентен линейному повороту fр. Грачек и

Свентек доказали, что сопряжение р между C3 — критическим отображением f и fр является сингулярной функцией т.е. р"(x) = 0 п.в. (по мере Лебега Л) на S\ Следовательно инвариантная мера критического отображения сингулярная

относительно меры Лебега Л на S\

Множество всех критических отображений с неплоской критической точкой Xcr

порядка (2m +1) и с иррациональным числом вращения р обозначим через

Cr (m Р)

Проблема гладкости сопряжения у/ между двумя отображениями

f1, f2 е Cr (m, р) называется проблемой жёскости (ПЖ).

ПЖ для критических отображений окружности изучена в работах де Мело и де Фария, Д.Хмелёвым и М.Ямпольским, К.Ханиным и А.Теплинским. Доказано, что

если f1, f2 е Cr (m, р) и число вращения р является иррациональным "ограниченного типа" (т.е. элементы разложения р в непрерывную дробь

ограничены в совокупности) то сопряжение у между f и f2 принадлежит c1 (s 1) Другим простейщим классом гомеоморфизмов окружности с особенностями являются гомеоморфизм окружности с изломами. Точка Xe называется точкой излома

f, если существуют конечные односторонные производные f '(xe + 0) > 0, и они

f '(xe — 0) . й

не совпадают, число G f = —-г Ф 1, называется величиной излома и является

, f f" X + 0) '

инвариантным при гладкой замены переменной. В работе А.Джалилова и К.Ханина [Дж Хан] доказано, что инвариантная мера гомеоморфизма

f е C2+e(s1 \ {xe }),£> 0, c иррациональным числом вращения является

сингулярной относительно мера Лебега Л на окружности S1.

ПЖ для гомеоморфизмов с одной точкой излома изучен в работах Теплинского и Ханина [Теп Хан] и др.

Пусть гомеоморфизмы f е C2+e(s1 \ {xe}),i = 1,2,... имеют одну точку излома xe, Gfi =Gf^ =G и рf = р^ = р. В работе [Кон Хан] доказано, что для

типичных иррациональных чисел вращения р сопряжение у является С1^1) дифеморфизмом.

Обозначим через Вг (р, <) множество всех гомеоморфизмов с одной точкой

излома хв.

В настоящей работе изучается сопряжения между критическим изучается сопряжения между критическим отображением и отображением окружности с одной точкой излома.

Теорема 1. Пусть ре (0,1) иррациональное число, < е (0,1)^(1, + и т е N. Предположим, чтот гомеоморфизмы окружности / е Сг (р, т) и g е Вг (р, <) удовлетворяют следующим условиям:

(а) / е С(2т+1)(Ц(хс)), при некотором 5 > 0, и / е С2(51 \ Ц(хс));

(в) g е С2+е(5* \ {хе}) при некотором е > 0.

Тогда сопрягающий гомеоморфизм у между / и g является сингулярным т.е.

у/'(х) = 0 п.в. (по мере Лебега) на окружности 51.

Замечание 1. Удверждение теоремы 1 имеет место для критических отображений / с несколькими неплоскими критическими точками лежащими на одной орбиты и для кусочно- гладких гомеоморфизмов g с несколькими точками излома, с тем же иррациональным числом вращения р = р^ = р&.

Теперь при помощи сопряжения у определим вероятностную меру [ на отрезке [0,1] Пусть [а, в] ^ [0,1] Положим

[Да в§=У(в) — У(а) (1)

Применяя теорему Картеодеори [Кар] [ можно продолжить на < — алгебру В-борелевских подмножеств отрезка [0,1]

Теорема 2. Пусть критическое отображение / и отображение с одной точкой излома g удовлетворяет условиям теоремы 1. Тогда вероятностная мера порождённая сопряжением у между / и g, является сингулярной относительно меры Лебега Л на [0,1]

Рассмотрим гомеоморфизм / е С 2+е(5:\ {хв}), е > 0, с одной точкой излома х , величиной излома </ и иррациональным числом вращения р = р/. Хорошо

известно [Хан], что любое иррацинальное число ре (0,1) однозначно разлагается в бесконечную непрерывную дробь

р=-—1-=[к К

к1+-р-

к2 +... +-

2 кп +...

Где е N, i = 1, 2,.... Иррациональное число р е (0,1) называется иррациональным числом "ограниченного типа", если последовательность элементов

{kn }"=1 ограничена. Отметим, что гомеоморфизм f G C^S1 \ {z(1), z(2),..., z(с изломами в точках z( ^, i = 1, k, и удовлетворяющему условию var log f '(k) < +œ,

S1

с иррациональным числом вращения р = Pf топологически эквивалентен линейному повороту f т.е. f = f 0 (.

Напомним, что ((x) = ßf ([0, x]), Vx G S1. Теперь определим две важныеи функции t(x) и t(x) на окружности, характеризующие инвариантную меру ßf :

t(x) = lim ln ^ ^ + s)~(x)= limf^ s^0 ln| S\ ln| S\

-( \ 7—ln((x + s)—((x\ — lnßf([x,x + s])|

t(x ) = lim —!-¡—:-1 = lim —!-¡—:-L

s^0 ln| s\ ln|s|

функции r(x) и t(x) называются соответственно нижным и верхным показателями сингулярности инвариантной меры ßf.

Заметим, что любой гомеоморфизм окружности f с иррациональным числом вращения является эргодическим т.е. любое f — инвариантное подмножество A т.е. f 1 (A) = A имеет ßf — меру 0 или 1. Кроме того, если гомеоморфизм f с конечным числом изломов удовлетворяет условиям теоремы Данжуа, то он является эргодическим меры Лебега X.

Легко убедиться, что обе функции t(x) и t(x) являются f — инвариантными т.е. T_(f (x)) = r(x) и z(f (x)) = t(x), для Vx G S1. Отсюда, а также из эргодичности f относительно вероятностных мер ßf и X следует, что обе эти функции являются почти постоянными по мере ßf и X. Эти постоянные обозначим Tßf), ?(ßf ) и t(X),t(X) соответственно.

Теорема 3. Пусть гомеоморфизм f G C2 (S1 \ {xe}) с одной точкой излома

xe, f > const > 0, на S\ Предположим, что число вращения Pf является иррациональным "ограниченного типа". Тогда (а) 0 <T(ßf )^(ßf )< 1;

(в) 1 < t(X) < t(X) < +œ.

Отметим, что аналогичное утверждение для гомеоморфизмов f G C2+^(s1 \ {xe}) s > 0, с одной точкой излома xe было доказано в работе [Дж].

Список литературы

1. Корнфельд И.П., Синай Г.Я., Фомин С.В.: Эргодическая теория. М.: Наука, 1980.

2. Katok A., Hasselblatt B.: Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

3. Herman M.: Measure de nombre de rotation, Geometry and Topology. Lecture Notes in Mathematics, Berlin, Heidelberg, New York: Springer. 597, 271-293, 1977.

4. Khanin K.M., Vul E.B. Circle homeomorphisms with weak discontinuities, Advances in Soviet Mathematics. № (3). Pp. 57-98, 1991.

5. Swiatek G. Rational rotation number for maps of the circle, Comm.Math. Phys. № 119 (1). Pp. 109-128, 1988.