Предельная Теорема для времени попадания Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 2. При всех п > N справедливы следующие утверждения:

(Р) или п = - то Т Ч ч

траекторию периода Ч

(а) если Q=Qi(—) или q_q (Р), то Tq имеет единственную периодическую

(в) при q е I q (Р)q (Р) I существует равно две периодические траектории периода q .

I 1 q ' 2 q J

Теорема 3. Мера Лебега множества J равно нулю, т.е. Л( J) = 0.

Список литературы

1. Khanin K.M. and Vul E.B. Circle Homeomorphisms with weak Discontinuities. Advances in Soviet Mathematics. V. 3, 1991, Р. 57-98.

2. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М. Наука, 1980.

3. Каршибоев Х.К. Поведение ренормализаций эргодических отображений окружности с изломом// Узб. матем. журнал. Ташкент, 2009. № 4. С. 82-95.

ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПОПАДАНИЯ

Каршибоев Х.К.

КаршибоевХайрулло Киличович - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра высшей математики и информационных технологий, Самаркандский институт экономики и сервиса, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в этой работе доказана предельная теорема для функции распределений фП^) (t) времени k — го попадания в Vn (Хь ) при k > 2.

Ключевые (лова: гомеоморфизмов окружности, времени попадания, число вращения.

Рассмотрим сохраняющий ориентацию гомеоморфизмов окружности Tf с поднятием f

т.е.

Tfx = f (x) (mod 1), x e S1 = R1 / Z1 = [0,1),

где f (x) - непрерывная, строго возрастающая функция на R , удовлетворяющая условию f (x + 1) = f (x) +1, x e R1. Функция f называется определяющей функцией или поднятием гомеоморфизма Tf . Отметим, что поднятие f определено с точностью до аддитивной целой константы, но эта неоднозначность устраняется начальным условием 0 < f (0) < 1. А. Пуанкаре показал, что для любого x e R существует конечный предел lim f ( )(x) _ р , здесь и всюду в дальнейшем f (n)(x) -обозначает П -ую итерацию функции

f (х) . Число р =р} называемое числом вращения, не зависит от выбора X и является важнейшей числовой характеристикой гомеоморфизма TJ .

Предположим, что число вращения р = р иррационально. Пусть разложение р в непрерывную дробь имеет вид: р = [к1,к2,...кп,.], kn > 1. Обозначим Р„ =^ k к ]

qn " 2"" п '

п > 1. Числа Чп -называются временами первого возвращения и удовлетворяют разностному уравнению: qn+l =кп+^п + qn_l, п >1, q0 = 1, qx =кг

Пусть Хо £ 5 . Положим х. = , г > 1. Заметим , что при нечётном п точка X лежит слева от Х0 , а при чётном п - справа. Обозначим через V (х ) замкнутый

ь/п п \ 0 '

отрезок соединяющий точки X и X . V (Хп ) - называется п - ой ренормализационной

Чп Чп+1 п ^ 0'

окрестностью точки Х0 . Определим отображение Пуанкаре я : V (х0) — V (х0):

| ТЧп+1 х, если х £ [ х , х), я (х) = \ у Ч- 0

п {Т/"х, если х е[ х0, хч ]. По общей схеме метода ренормализационной группы (РГ) главным является изучение поведение отображения Пуанкаре Яп (х) при п — ж. Поскольку длина отрезка Vn (х0)

экспоненциально стремится к нулю и Чп —> Ж при п —> Ж, поведение яп (х0 ) удобно

изучить в новых перенормированных координатах. Введем перенормированные координаты Z на Vn (х0): х = х0 + z(х0 - хч ). Отсюда видно, что в новых координатах

х0 — 0, х — — 1. Обозначим через ап и (—,Ьп ) перенормированные координаты точек

х^ ^ и хч +ч соответственно. В новых координатах отображению Яп (х)

соответствует следующая пара (/ , gn ) :

/Чп+1 (х0 + z(х0 — х )) — х0 — в,,

^(z) -^-^-^-, z £[—1,0],

х0 — хЧп

г \ Г" (х0 + z(х0 — хчп )) — х0 — Рп т ,

gn (z) =-п-, z £[0,ап ].

х — х

0 Чп

Хорошо известно, что преобразование ренормгруппы в множестве гомеоморфизмов окружности с изломами имеет периодические траектории. Обозначим через X множество пар строго возрастающих функций (/(х), х £[—1,0]; g(х), х £[0,а]), удовлетворяющих следующим условиям:

a) /(0) = а, g(0) = —1, /(—1) = g(а), /(—1) < 0, /(2)(—1) > 0;

b) у(х) е С2+8([—1,0]), g(x) е С2+8([0,а]), при некотором 8 > 0.

Определим преобразование ренормализационной группы : X — X :

Яь (/(х), х е[—1,0]; g(x), х е[0,а]) = (/(х), х е[—1,0]; ~(х), х £[0,^

где ~(х) = —а~1/(g(-аx)), ~(х) = —а~1/(-аx), а' = —а1/(—1).

Положим С = f'(—0) • (^'(+о)) ', т.е. С - величина излома пары (f, g) в точке х = 0. в работе Вула и Ханина доказано, что при фиксированном С и числе вращения равным "золотому сечению", преобразование Rfr имеет единственную периодическую орбиту {(х), gi (х), , = 1,2} периода два. Функции (. (х, С,), gi (X, С1), , = 1,2 имеют вид:

(а, + схЩ , g.(x) =-аР,(Х — С)-,

Л ' р + р + а — с, )Х ' + (с,, — а, — )х

где а = С1 —Ро , а2 = С2 —Ро , С, = С, С2 = С-1, Р = Р2 = Р0, а число р0 1 1 + Ро' 2 1 + Ро' 1 ' 2 Р2 Ро

'0

.4 о3 ol(c +1)2

единст-венный корень уравнения р4 _ ^ъ f]2y ' _ ft +1 = 0 принадлежащий

c

интервалу (0,1). При помощи пар (f, gi), i = 1,2 определим гомеоморфизмы

окружности T : T (x) = /г (f (l—\x))\ если 0 < x < (1 + а,.)_1 и Тг (x) = /г (g, (/,_1(x}}),

если (1 + (Xi) < x < 1. Числа вращения этих гомеоморфизмов равны "золотому

сечению". Мы будем изучать гомеоморфизм Ту . Гомеоморфизм T2 изучается аналогичным

образом. Гомеоморфизм 7"1 переобозначим через Tb . Обозначим через B(Tb ) множество

всех C1 _ сопряженных с Ть гомеоморфизмов окружности.

Пусть П > 1 и Vn (x0 ) - n _ ая ренормализационная окрестность точки x0 Е S . Определим

Enn1 (x) = min{i> 1: T.xEVn( Ef)(x) = min{i > E^k_L)(x) : T.x Е Vn (x0)}, k > 1. Рассмотрим случайные величины D® (x) = E^) (x) _ E^k_1 (x) . Отметим, что Dn(1) (x) = E™ (x) принимает значения от 1 до qn+1, а D^) (x) принимает всего два значения: qn и qn+1. Введем нормированные случайные величины: D^n ^ (x) = q_1 Df) (x) . Задача состоит в изучении сходимости функции распределений для случайных величин D n) (x) при n ^ К, а также их предельные распределения.

Обозначим F(k)(/) = ^ ({x е S': Dt)(x) < t}), t Е R1. Отметим, что функции F(k\t)

совпадают с соответствующими функциями распределения для линейного поворота 7' . В работе де Фария и Коэло доказано, что в зависимости от числа вращения р предельное

распределение сходящейся подпоследовательности {F^1 (t)} является или равномерным, или непрерывным и кусочно-линейным на отрезке [0,1]. А в случае k > 1 предельное

распределение для сходящейся подпоследовательности {F^.^) (t)}является или

распределением случайной величины X = 1, или ступенчатым распределением с двумя точками разрыва.

—(k) 7

Обозначим через 0k)(t) функцию распределения Dn (x) относительно меры Лебега / : of) (t) = ¡({x е S1 : Dn) (x) < t}), t е R1.

Если диффеоморфизм т гладко сопряжен с линейным поворотом Тр, то для

последовательности {Ф(к) (^)} все приведенные выше утверждения, относящиеся к {р(к ^О},

также справедливы. С другой стороны, для гомеоморфизмов окружности с одной точкой излома (или с нескольким точками излома лежащими на одной орбите и с нетривиальным

произведением величин изломов) и с иррациональным числом вращения ру сопрягающий

гомеоморфизм Т является сингулярным.

В этом работе сформулируем и докажем предельную теорему для последовательности

функций распределения времени к — го попадания Фпк)(?), к > 1. Возьмем произвольный

гомеоморфизм окружности т £ В(Т0). Напомним, что еП)(х) означает времени к — го попадания точки х £ 51 в п — ый ренормализационный отрезок Vn. Обозначим D-k)(х) = е-)(х) — Епк—1)(х), х £ 51. Случайная величина D-k)(х) принимает всего два значения: Чп или Чп+1. Нормируем её разделивна на Чп+1: Пп)(х) = Ч—+1 ^пк)(х). Обозначим через Ф-П)(х) функцию распределения случайной величины Dn (х)

относительно меры Лебега I Теорема 1. [2]. Пусть к относительно меры Лебега задается следующим образом

Теорема 1. [2]. Пусть к > 1. Тогда функция распределения случайной величины D<-k)(х)

фП\t) =

0, если t < qnqn\\,

q -1

z l(Ti (a(0n+1) n*-ka(0n+1))) + i=0

q -1

+ £ l(Tj (a(0n) n*-кa(0n+1))), если q;q-+1 < t < 1; j=0

1, если t > 1.

Теорема 2. Пусть гомеоморфизм T e B(Tb ), к > 1 и ф;к) (t) -функция распределения

_ _ —(к) „ случайной величины Dn (х) ■ Тогда

1) для всех t e R существует конечные предел Цт фПк)(t) = ф(к)(t),

и^-да

причем Ф(к) (t) = 0, если t < 0, и ф(к)(t) = 1, если t > 1;

2) функция Ф(к )(t) является ступенчатой функцией на [0, 1] с двумя точками разрыва.

Доказательство теоремы 2. Предположим, что к > 1. Функция распределения

случайной величины DИ )(х) - ступенчатая функция, принимающая только три значения. Поэтому докажем существование предела ^ )(t) в три этапа.

я^да

1) D(„k)(t) = 0, если t < qn q-+j. Учитывая

lim = lim = p

n^m qn+1 n^m qn+1

получим, что Jim 0(k) q) _ q, если t < р .

n

n ^ю

2) Имеем

lim фПк)(t) = 1, если t ^ 1.

n

и^ю

3)Теперь докажем существование предела суммы

Чп —1 Чп+1 —1

Х/(Тг(А(0п+1) пя—к(А(0п+1)))) + X 1(Ту(А(0п) пя—к(Д^))) (1)

г=0 7=0

Сначала мы должны выяснить структуру множества Я}71 (Д(—+1) ) П Vn. Напишем явный вид функции Я-г х) :

1 I Т~Ч-х, если х £ [хЧ , хЧ ),

я~п{х) = 1 _ Чп Ч-+2'

1т Ч-+1 х, если х £ [ хч хч )

Функция Я 1 (х) , как видно из последней формулы, имеет разрыв только в точке х = хч . Следовательно, для любого интервала I С Vn область Я 1 (I) представляет собой интервал, если х^ £ I , или сумму двух интервалов, если I не содержит точку хч ^2 , или сумму двух интервалов, если хч £ I . Отсюда вытекает, что Лп +1) — к/ Лп +1К ^ы ) ' л(-) — к/ л(- +1)\ ^ы) "

А0 пя- (А0 0 = и(т, Ао пя- (А0 0 = и

га =1 р=1

где 0)т и (Ор - такие интервалы, что (й'т С А(—+1) , 1 < т < 11 (к);

ю"рсД—), 1 < р < 12(к). Отметим, что 11(к) + 12(к) < 2к . Сумму (1) обозначим 5п и

напишем в следующем виде:

11(к )ч- —1 12(к ) ч-+1—1

5п = X X 1(тг(()) + X X 1Т(В)).

т=1 г=0 р=1 у = 0

чп —1 ч-+1—1

В силу утверждения теоремы 2.6 [3] суммы X 1 (Т' (( )) и X 1 (ТУ ((р))

г=0 у=0

сходится при — — ж, отсюда следует, что существует конечный предел суммы 5п при 5 — ж. Теорема 2 доказана.

и

Список литературы

1. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980.

2. Вул Е.Б., Ханин К.М. Гомеоморфизмы окружности с особенностями типа излома // Успехи математических наук,1990. Т. 45. Вып. 3 (273). С. 189-190.

3. Джалилов А.А., Ханин К.М. Об инвариантной мере для гомеоморфизмов окружности с одной точкой излома // Ж. Функционал анализ и его приложения, 1998. № 32 (3). С. 11-21.

4. Coelho Z., de Faria E. Limit laws of entrance times for homeomorphisms of the circle // Israel J. Math.,1996. № 93. P. 93-112.