Об одном семействе гомеоморфизмов окружности с одной точкой излома Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ГОМЕОМОРФИЗМОВ ОКРУЖНОСТИ С ОДНОЙ ТОЧКОЙ ИЗЛОМА Каршибоев Х.К.

я «'

'^чяш

КаршибоевХайрулло Киличович - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра высшей математики и информационных технологий, Самаркандский институт экономики и сервиса, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в данной статья изучено однопараметрическое семейство гомеоморфизмов окружности с одной точкой излома. Доказано, что в случае рационального числа вращения число периодических траекторий не превышает двух.

Ключевые слова: гомеоморфизмов окружности, ренормализация, число вращения.

Рассмотрим однопараметрическое семейство отображений единичной окружности [1]:

Tqх = {f (x, Q)}, x e S1 = [0,1), Qe [0; 1]

где скобка {•}- обозначает дробную часть числа, а

f (х, Q) -удовлетворяет следующим

условиям:

a) при фиксированном Q, f (х; Q) -непрерывная монотонно возрастающая функция;

b) f(0;0) = 0, f (х +1;Q) = f (х;Q) +1, для любого х e R1;

c) f ( х; Q)

c) J K ' ' > const > 0; CQ

d) t0 : [0; 1] ^ [0; 1] непрерывная кривая;

e) при каждом фиксированном Qe[0;1], Cf (х; Q) > const > 0' для

сх

Ух e S1 \ {t0(Q)}, f (х; Q) e C2+s (S1 \ {t0(Q)}), при некотором s > 0 и

f;(t0(Q),Q) = c(Q)* 1. f+(t0(Q),Q)

Обозначим pQ число вращений, отвечающее тг [2]:

fQ

f (n)(х, Q)

Pq = lim ^---L

n ^<x> n

Из условий d) — e) вытекает, что ^х при каждом фиксированном значении параметра имеет только одну точку излома t0 (Q) ■ Число c(Q) называется величиной излома Tq .

-с(п)

Всюду в дальнейшем мы будем обозначать через / — П -ую суперпозицию функции

f . Легко видеть, что ро монотонно (не строго) зависит от параметра О . Заметим, что

каждому рациональному _ Р_ отвечают невырожденный отрезок (значений О таких, что

Ч

р, в том время как иррациональному р отвечает единственно О ). ро = — Ч

Пусть а _ | Р1 Р2 | с (0 1) - интервал Фария П — го уровня [1]:

Я1 Ч2.

1) Р2Ч1 — Р1Ч2 = 1

2) Все рациональные числа внутри интервала А имеют вид Ар1 + /р2 . Рациональное

+ /Ч2

число с минимальным знаменателем равно Р1 + Р2 .

Ч1 + Ч2

Выберем произвольную точку Хр на окружности и отрезок траектории этой точки

{Х1 = Т(ОХ0,0 < У < Ч1 + Ч2}. Обозначим А(1) и Д(02) отрезки [Хд, Хд ] и

[Хд , Хд ] , соответственно. Обозначим также образы этих отрезков под действием То

д(1) д(2) [1] через А у и А j [1]:

А® = Г А®, А(2) = Т Д(02) .

Следующее утверждение было доказано в [1] и в нашей ситуации работает без каких-либо изменений.

Лемма 1. Предположим (^) 61 Р1 Р2 |. Отрезок траектории

I Ч\ Ч2 )

{Ху = Т^Х0,0 < I < Ч1 + Ч2} разбивает окружность на непересекающиеся отрезки

Ау , 0 < У < д2 и а(2), 0 < j < д1

О->

(1) 0< и л(2)

}

Обозначим построенное разбиение А, Х0). Положим

и = шгБ 1 1п /' < да, и = и+11п /'(Х0 — 0) + 1п /'(Х0 + 0) | ,

п = шах(щ, П2), Р = тах(Р1, Р2). Рассмотрим произвольную траекторию УУ = ТОоУ0, У0 е такую, что Уу Ф Х0 = 0, 0 < г < Ч2.

Лемма 2. Предположим р(Т) е Р1 + Р2 Р или р(Т) = Р . Тогда

I Ч1 + П2' Ч )

- п—1 -

е~и< ПГ'(Уг) < еи.

г =0

Пусть a Pi P2 | - интервал Фарея n — го ранга [1], а Am, m < n - некоторой

" I 42 )

интервал Фарея ранга m, содержащий An. Пусть p(T) £ An. Выберем Дn -произвольным элемент разбиения ^(Am, /0), содержащий Дn. Обозначим через | Д |.

Лемма 3. Положим X = (1 + e_u) 2 < 1.

| Д n |< const X -m | Дт |, | Дп |< const I1.

Пусть разложение p в непрерывную дробь имеет вид p(f (X, Q)) = P = [ki,k2,...kn]kn ^ 2.

q

Обозначим J (P) отрезок значения параметра Q таких, что p(Q) = p. Зафиксируем

q q

некоторой q (P) и обозначим f = f^, Tf = Tf ■ Для рационального числа вращения

q Q

p всегда существует по крайней мере одна периодическая траектория периода q . Пусть

q

{y, 0 < i < q — 1} произвольная периодическая траектория. Обозначим [yi, У2 ]

отрезок, образованный траекторий {y(i), 0 < i < q — 1} и содержащий особую точку to . Перейдем к перенормированным координатам:

X = У2 + (У1 — У2) z

и определим функцию, отвечающую jq в перенормированной системе координат:

f (z) = —^~[Tf (У2 + (У1 — У2 z)) — У2], z £ [0, 1]. У1 — У2 f

Обозначим d перенормированную координату точки to :

d = (t0 — У2)/( У1 — У2)

и определим функцию Fj (z), z £ [0, 1] :

Fd (z) =

zC z £ [0, d]

d (1 — c2) + c2 + z(c — 1) d (1 — c2) + zc2

z £ [d, 1]

d(1 — c ) + c + zc(c — 1) Теорема 1. Существует константа c3 > 0 такая, что

f (z) — Fd (z) 2 < c3Ans. (1)

J\J d\ ) c 2([0,]\{d}) 3 Доказательство. Рассмотрим разбиение окружности, порождённое траекторией (y(i), 0 <i < q — 1). Обозначим Д0 = [y1,У2], Дi = TqД0, 1 < i < q — 1. Очевидно

Tq Д0 =Д0. Не трудно показать [1], что Д < const X ,1 < i < q — 1. Функцию f (z) можно представить как суперпозицию двух функций f и f^, отвечающих отображениям Tq : Д0 ^ Дь TQ—1: Д1 ^ Д = Д0. Определим отнисигспьньк координаты шутри отрезков Д. :

х = Tf У2 + (Т/У1 — Tf У2)z ■

Тогда функции f и f2 можно записать в виде: 1

М Z0) =

(Т^У1 — Тв У2)

[T0 (У2 + (У1 — У2) z0) — ТвУ2]

f2( Z1) =-[Tq —1(Te У2 + (Te у1 — Tq у2 ) z1) — У2]

У1 — У2

При этом

В работе [1] доказано

f (z) = f2(f1(z)). (2)

f2( Z1) —

Мхл

1 + z1(M — 1)

где ln M = £ J TM. dy =

=1L 2 f '(У)

q—1 f( y)

2 J dy

г=0 L 2 f (У)

< const Xns

C 2([0,1]) A

— J д„ 2 f ■ (y)

(3)

f'(У)

Поскольку

J ™ dy

L 2 f' (y)

< const X

n, получаем

fг( Z1)--1--< const Xs

1 + z1(c — 1) C2 ([0,1])

Легко видеть, что функция f (zq ) близка к кусочно-линейной функция fd (Z0 ) , где

dy = ln c — J

i 2 f' (y)

(5)

f (У) dy (4)

fd (z0) =

z0

c 2(1 — d) + d

2 2 d(1 — c ) + zqc

c 2(1 — d) + d

zq e [0, d]

, z0 e[d,1]

(6)

Поскольку |Ло| < const X справедлива оценка: Используя (2)-(6) получаем (1).

Из теоремы 1 вытекает выпуклость f (z) при 0 < c < 1 и вогнутость при c > 1.

Действительно, прямым вычислением легко убедится, что d 2

—Fd (z) > 2c2(1 — c), z * d при 0 < c <1 dz

4Fd(z) <--|(c — 1), z * d при c > 1. dz "

Положим

N =

11 1 2 ln(-|c — 11 min(—,c2))

s ln X V c3

Обозначим интервал j (p) _

q

Q1(E), Q2(E)

q

q

Положим j = [0,1] \ J j(E).

0<E<1 q

Обозначим меру Лебега на [0,1] через X .

Теперь сформулируем основные результате нашей работы.

Ч

Теорема 2. При всех п > N справедливы следующие утверждения:

(Р) = , то Т п п

траекторию периода д

(а) если ) или q_q (Р), то Jq имеет единственную периодическую

(в) при q е I q (P)q (P) I существует равно две периодические траектории периода q .

I 1 q ' 2 q )

Теорема 3. Мера Лебега множества J равно нулю, т.е. X( J) = 0.

Список литературы

1. Khanin K.M. and Vul E.B. Circle Homeomorphisms with weak Discontinuities. Advances in Soviet Mathematics. V. 3, 1991, Р. 57-98.

2. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М. Наука, 1980.

3. Каршибоев Х.К. Поведение ренормализаций эргодических отображений окружности с изломом// Узб. матем. журнал. Ташкент, 2009. № 4. С. 82-95.

ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПОПАДАНИЯ

Каршибоев Х.К.

КаршибоевХайрулло Киличович - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, кафедра высшей математики и информационных технологий, Самаркандский институт экономики и сервиса, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в этой работе доказана предельная теорема для функции распределений фП^) (t) времени k — го попадания в Vn (Хь ) при k > 2.

Ключевые (лова: гомеоморфизмов окружности, времени попадания, число вращения.

Рассмотрим сохраняющий ориентацию гомеоморфизмов окружности Tf с поднятием f

т.е.

Tfx = f (x) (modi), xeS1 = R1 /Z1 = [0,1),

где f (x) - непрерывная, строго возрастающая функция на R , удовлетворяющая условию f (x + 1) = f (x) +1, x e R1. Функция f называется определяющей функцией или поднятием гомеоморфизма Tf . Отметим, что поднятие f определено с точностью до аддитивной целой константы, но эта неоднозначность устраняется начальным условием 0 < f (0) < 1. А. Пуанкаре показал, что для любого x e R1 существует конечный предел lim f ( )(x) _ р , здесь и всюду в дальнейшем f (n)(x) -обозначает П -ую итерацию функции