CC BY
9
УДК 517.987.5
С.С. Бельмесова, Л.С. Ефремова
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского (Национальный исследовательский университет)
О квадратичных отображениях некоторого однопараметрического семейства,
близких к невозмущенному отображению
Для однопараметрического семейства квадратичных отображений плоскости К2 вида ^(х,у) = (ху,(х — ц)2) при ^ £ (0,1] доказано существование однопараметрического семейства неограниченных инвариантных кривых, каждая из которых является графиком строго убывающей на интервале (^, + то) функции переменной х.
Ключевые слова: квадратичное отображение, якобиан, инвариантная кривая.
I. Введение
Существует обширная библиография, посвященная изучению полиномиальных отображений плоскости (см., например, [1-17]). В данной работе рассматривается новое однопараметрическое семейство квадратичных отображений
Дм(х,у) = (ху,(х — /л)2),
(1)
где (х,у) — произвольная точка плоскости Д2,
/ е (0,1].
Задача изучения динамики отображений однопараметрического семейства (1) при / е [0,2] сформулирована в [14]. В [15] доказано отсутствие неограниченных (^-предельных множеств у отображения Д2(х,у) = (ху,(х — /)2) (задача существования неограниченных (^-предельных множеств траекторий отображения Д2 сформулирована А.Н. Шарковским в [18]). В [16] изучены общие свойства отображений семейства (1) при / е (0,2]. В [17] дано полное описание динамики невозмущенного отображения До и развита техника работы с мономами.
Отметим наиболее близко относящиеся к данной работе статьи [2-6], в которых в основном численно исследованы некоторые аспекты динамики отображения Лотки-Вольтерра (см. [2, 3]) и логистических отображений плоскости (см. [4-6]).
Данная работа является продолжением [14-17]. В ней доказано существование однопара-метрического семейства неограниченных инвариантных кривых, каждая из которых является графиком строго убывающей непрерывной функции переменной х, определенной на неограниченном интервале (/, + ж).
Обозначим через п-ю (п ^ 1) итерацию отображения Дм, а через /м,п(х,у) и д^п(х,у) — первую и вторую координатные функции соответственно. Тогда для любого п ^ 0 справедливы рекуррентные соотношения:
/м ,о(х,у) = х, ,1(х,у) = ху,
п-2
¡м,п (х,у) = 1м,1(х,у) ■ Л(/мЛх,у) — (2)
i=0
при любых п ^ 2;
дм,о(х,у) = У, дм,1(х,у) = (х — /)2, дм ,2(х,у) = (ху — /)2,
/ п-3 \ 2
дм,п(х,у) = ( !м,1(х,у) ■ П(/мЛх,у) — /)2 — /)
(3)
при любых п ^ 3.
Перейдем к формулировкам основных результатов статьи.
Так, следующее утверждение представляет собой нелокальную теорему существования однопараметрического семейства С^гладких неявных функций, определяемых равенством /м,п(х,у) = / +1 и проходящих через неподвижную точку (/ + 1;1) отображения Дм. Отметим, что в [9] приведен вариант локальной теоремы о неявной функции, отличный от используемого в данной работе классического варианта (см. раздел 3).
Теорема А. Пусть Д м — квадратичное отображение вида (1). Тогда при любых п ^ 2 и / е (0,1] существует С 1-гладкая по х на неограниченном интервале (/, + ж) строго убывающая сюръекция у = Пм,п(х) этого интервала на интервал (0, + ж), являющаяся решением уравнения /м,п(х,у) = /+1 на интервале (/, + ж) и такая, что пмп(/ +1) = 1.
Формулируемое ниже утверждение проясняет природу существования однопараметрического семейства неограниченных инвариантных кривых.
Теорема В. Пусть Дм — квадратичное отображение вида (1). Тогда последовательность С1-гладких по х на интервале (/, + ж) функций {пм,п(х)}п^1 при любом / е (0,1] сходится в С0-норме на каждом отрезке [а',Ь'] С (/, + ж) к сужению на [а',Ь'] некоторой непрерывной строго убывающей сюръекции у = ц* (х) интервала (/, + ж) на интервал (0, + ж), график которой есть неограниченная Дм — инвариантная кривая, проходящая через неподвижную точку (/ +1; 1).
Предложение С. Пусть F, — квадратичное отображение вида (1). Тогда при всех р € (0,1] для любой точки (x,y), лежащей на неограниченной инвариантной кривой y = п, (x), справедливы предельные равенства:
1) если x € (р,р + 1), то
lim f^,2n(x,vl(x)) = Р
n—^
lim gß,2n(x,nl(x)) = +ж
все необходимые построения будем проводить с использованием прообразов прямой х = р.
Свойство 3 [15]. При любом р € (0,2] отображение Е^ имеет вполне инвариантный треугольник (инвариантность понимается в смысле включения; в случае выполнения равенства используется термин «вполне инвариантное множество»):
д,
^
lim f,,2n+i(x,n*n(x)) = +ro,
n—у + oo
lim g,,2n+i(x,Vu(x)) = 0;
n—^
2) если x € (р +1, + ж), то
lim f,,2n(x;n*ß(x))=+^,
lim g,,2n(x,n*ß(x))=0
n—►+oo
lim fß,2n+1(x,V*u (x)) = Р,
lim gß,2n+i(x,nl(x)) =
n—>+oo
Свойство 4 [16]. При всех р € [0,2] квадрант = {(х,у) : х > р + 1,у > 1}\{(р + 1; 1)} не содержит никаких прообразов критической линии х = р.
В первом квадранте плоскости Д2 выделим ограниченный квадрат:
= {(х,у) : 0 < х < /+1,0 <у< 1}\{(р+1; 1)}
и неограниченные множества:
2\ = | (х,у) А4 < х < А4 + > + 1;
[ х(х — р)2 )
II. Предварительные сведения
В этой части статьи приведены общие свойства отображений семейства (1).
Свойство 1 [16]. При всех р € [0,2], р =1, отображения семейства (1) имеют три неподвижные точки: Ах(0; р2) с мультипликаторами Ах(Ах) =0 и А2(Ах) = р2, А2(р + 1; 1) с мультипликаторами А^о = (1 ± а/9 + 8/.4)/2, Аз(р — 1; 1) с мультипликаторами А^о = (1 ± а/9 — 8р)/2.
При р = 1 точки Ах и Аз совпадают.
Неподвижная точка Ах(0; р2) является стоком при р € (0,1) и седлом при р > 1; неподвижная точка А2 (/+1; 1) является источником при любом р > 0; а неподвижная точка Аз(р — 1; 1) является седлом при р € (0,1), стоком при р € (1,3/2), эллиптической точкой при р = 3/2 и источником при р > 3/2.
Обозначим через дЕ^(х,у)/д(х,у) и 1 (Ем) = ёе^дЕм(х,у)/д(х,у)) матрицу Якоби и якобиан отображения Е^ соответственно.
Свойство 2 [15]. При любом р > 0 справедливо 1(Е^) = | 2(ху /) х I =0, если точка (х; у) лежит либо на прямой х = 0, либо на прямой х = р. Для произвольных точек (0; у) и (р; у)(у € Д1,Д1 — вещественная прямая) верны равенства Ем(0,у) = Е2(р,у) = (0,р2).
Отсюда следует, что прообраз произвольного порядка п ^ 2 критической линии х = 0 совпадает с прообразом (п — 1)-го порядка критической линии х = р. Выберем прямую х = р в качестве основной критической линии отображения Е^ и
Т2 = {(х,у) х > р + ■ < у < 1};
T3 = { (x,y) : x > р +1,y <
At+ 1 x(x — р)2 J '
T4 = (x,y) : 0 <x <р + 1,1 < y <
р +1
Укажем, что непрерывные ветви кривых у = и У = ' пРохоДяЩие через неподвижную
точку А2(/ + 1; 1), принадлежат первому и второму прообразам прямой х = р +1 соответственно.
Определим множества (рис. 1):
= DU Ti и T2;
D'ß,Ai = DßAl U T3 U T4;
P1 = \ (x,y) : 0 < x < р +1, y > 1,
М+1^ ^ А* +1
P2 = < (x,y) : x > р + 1,0 < y < 1,
р + 1 А*+ 1
< У < -
( x - р) 2
и
и
x
x
Рис. 1. Разбиение первого квадранта плоскости x0y
Свойство 5 [16]. Пусть Fß — квадратичное отображение вида (1), где м G (0,1]. Тогда
1) множества Dи D1 Ai инвариантны относительно Fß;
2) для любой точки (x,y) G D1 справедливы равенства limn^+TO fp,n(x,y) = lim„^+TO gß,n(x,y) =
3) для любой точки (x,y) G D'
,Ai справедливы
равенства
lim f^n(x,y) = o, lim gß,n(x,y) = м2• (4)
n—>+oo
n—>+oo
Заметим, что при м
(0,1] выполнено Ам С ОмАг. Поэтому для любой точки (х,у) е А.м справедливы равенства (4).
Для того чтобы сформулировать утверждение о существовании периодических орбит периода два у отображения Дм при / е (0,2], определим множества
П1 = (0,/) х (1, + ж), П2 = (/ +1, + ж) х (0,/2).
Свойство 6. Невозмущенное отображение До имеет неограниченную инвариантную кривую х2у = 1, все точки которой, за исключением неподвижных точек А 2(/+1; 1) и Аз(/—1; 1), являются периодическими точками периода два (см. [17]).
Отображение Дм при любом / е (0,2] имеет единственную периодическую орбиту В периода два, образованную точками Д!((м2 +1 - у^+Т)/м;м2/(1 - у/^ТТ)2) и В2((м2 + 1 + у/М1ТТ)/м;М2/(1 + лД^П)2)] причем В1 е П1 П Р1, В2 е П2 П Р2; для мультипликаторов орбиты В выполнены равенства
Л12 (Д) = так, что орбита В образова-
на источниками.
Доказательство. В самом деле, координаты периодических точек периода 2 удовлетворяют системе уравнений
xy(x — m)2 = x
(xy — м)2 = y•
(5)
Разрешая (5) относительно х и у, при любом / е (0,2] находим координаты точек
Дх((м2 + 1 - у/^ТТ)/м;м2/(1 ~ у/мтТТ)2), д2((м2 + 1 + у/ц2 + 1)/ц\ц2/{1 + у/М2 + 1)2), образующих единственную периодическую орбиту В периода два.
Для определения типа точек нам понадобятся матрицы Якоби:
Ji
dFß (x,y)
J
2 =
d(x,y)
dFß (x,y)
/
(l-v^+i")2
1-yV + l
M2 + l-yV + l
M
\ 2-
\ M
d(x,y)
Определим матрицу
(1+yV+i y-9 1+yV + l \ " ' M
2 + l + yV + l
J *
J2 • Jl —
Л 0 0 Л
( l-2v^TT-A M(M4i-vgTI) (1 + а/М2 + 1)2
(1-v^TT)2 w
Тогда характеристическое уравнение det J*
\
имеет вид
Л2 — Л — 4(m2 + 1) = 0.
(6)
Решая (6), находим = (1 — \/17 + 16^2)/2 и Л2 = (1 +у/17+16М2)/2. Так как при любом / е (0,2] выполнено |Л1,2| > 1, то точки В1 и В2 — источники отображения Д2. Покажем для определенности, что
Д1((м2 +1- + Аг/(1-у^ТТ)2)бД1пп1.
Действительно, так как при всех / е (0,2] справедливы равенства
Ar + 1 - vV +1 Л/Л*2 + 1(л/м2 + 1 — 1)
м
/-t Л/ /-i2 + 1
м
' vV + 1 + 1
2 _(1 + V^TT)2
(l- у^ТТ)2
1
м2
1
то имеем
о < ^Ij"1 < At fi + 11 +J_ ) > 1.
vV + 1 + 1 VA« V M2
(7)
2
в
0
и
2
ц
M
и
2
Следовательно, Bi € Щ. Убедимся в том, что Bi € P1. В самом деле,
р
+ 1 - vV + 1
р
2
М (1 - у^+ 1)2
P\J'fj? +1
—р—1=
vV + I-I р
— р — 1 =
-VÄ7+1 + 1 + ,
vV + I-I
= —1 +
vV + i-i
= —1 +
MvV + i + i)
-1 +А/1 + Л + - >0
для всех р
M2 + l-yV + l _
р2 р (0,2]. Тогда имеем
.г'«|п, = 1-^- • -^ > и + 1 (см.
определение множества Р1). Последнее вместе с неравенствами (7) означает, что точка Вх лежит в неограниченном криволинейном секторе, границами которого служат неограниченная непрерывная дуга {(х,у) : 0 < х < р,у = } и луч
|(ж,г/) : х = (л,у > Применяя аналогичные
рассуждения, получаем, что В2 € Р2 П П2 при любом р € (0,2]. Свойство 6 доказано.
Проводя непосредственные вычисления с использованием формул (2), (3), убеждаемся в справедливости следующего утверждения.
Свойство 7. Пусть Е^(х,у) — квадратичное отображение вида (1). Тогда частные производные координатных функций /п(х,у) по переменной х при п = 2 вычисляются по формуле
df,,2 (x,y) df,,i(x,y)
dx
dx
(f,,0(x,y) — р)2 +
+2Utl(x,y)(U,oM ~ M) 9Uf*'y), (8)
а при любом n ^ 3 по формуле
df,,n(x,y) df,,i(x,y)
2
dx
dx
J(U,i(x,y) — р)2 +
¿=0
+2f,,i(x,y) x
Частные производные df,n(x,y)/dy вычисляются по формулам, полученным из (8) и (9) заменой df,i(x,y)/dx на df,,i(x,y)/dy при любом 0 < i < n — 2.
III. Существование неограниченных ветвей неявных функций, заданных равенством f^,n(x,y) = ß + 1, n ^ 1
При каждом n ^ 1 рассмотрим уравнение
f,,n(x,y) = р + 1, (n > 1). (10)
Заметим, что при любых n ^ 1 справедливы равенства
f,,n (x,y)\Ä2 = р +1, g,,n(x,y)\Ä2 = 1. (11)
Наша ближайшая цель — доказать теорему A, то есть установить существование строго убывающих непрерывных ветвей нелокальных неявных функций, определяемых уравнениями (10) при каждом n ^ 1, при условии, что графики этих ветвей проходят через неподвижную точку ^2(р + 1; 1). Доказательство этого утверждения мы разобьем на ряд шагов, проделанных в леммах 1 — 4 и теореме 1.
Лемма 1. Пусть F, — квадратичное отображение вида (1), тогда при любом n ^ 1 верны неравенства (dfß<n(x,y)/dx)\Ä2 > 0 и (df,,n(x,y)/dy)\Ä2 > 0.
Доказательство. Для определенности, вы-| ^ > q ДрИ п _ ^ справедливо
числим
dx \ Ä2
равенство (д/мд(х,у)/дх)|л2 = у1л2 = 1. Используя (8), при п = 2 имеем
(д/м,2(х,у)/дх)|л2 = 3 + 2р > 0.
Предположим, что при любом 3 ^ т ^ п
(д/^ш.(х,у)/дх)1л2 > 0.
Используя принцип математической индукции, формулы (9) и (11), при т = п + 1 получим
dfß,n+i{x,y) | ^ = f df^njx^)
dx 2 V dx
+ (fß,i(x,y)~ А4) П (Лм (x,y) - A t)2 + •• •
dx
dfß,n{x,y) dx
+
i=0,i=i n-2
+
i=0,i=j n—3
+ (и,п-2(х,у) — A«) Y[(fß,i(x,y) -
i=0
дх
Из леммы 1 и классической локальной теоремы о неявной функции [19] вытекает
Следствие 1. Пусть Е^ — квадратичное отображение вида (1), р € (0,1]. Тогда для любого п ^ 1 существуют окрестность точки А2(р + 1; 1) и(п)(А2) = иЙпЛ(р + 1) х ие„,2(1) и С 1-гладкая строго убывающая неявная функция у = уп(х) :
2
р
х
А
2
ибп,1(/ +1) ^ и£п<2(1), определяемая уравнением (10) при любом х е и$пд(/ + 1), и такая, что уп(/ + 1) = 1.
Более того, при п = 1 для любого х > 0 выполнено у1 < 0, а при п = 2 для любого х > / выполнено у2 < 0.
Перейдем к другим точкам множества Р ^ Р 2, лежащим на кривых /мп(х,у) = / +1.
Определение 1. Точки одновременного пересечения трех кривых /мп(х,у) = / +1, /м,п+1(х,у) = / +1 и /м,п+2 (х,у) = /(п > 1) будем называть тройными точками и обозначать че-(3)
рез мп '. Точки одновременного пересечения двух кривых /м,п(х,у) = / +1 и /м,п-1 (х,у) = /(п > 1) будем называть двойными точками первого типа и обозначать Мп'1.
Точки одновременного пересечения кривой /м,п(х,у) = / + 1 с каждой кривой (х,у) = / при любом ] ^ п + 3, п ^ 1 будем называть двойными точками второго типа и обозначать Мп*'22 (см. рис. 2).
Рис. 2. Взаимное расположение /?,п(х,у) = ц + 1 и /р,т(х,у) = ц в Р1.
кривых
Следующее утверждение позволяет обосновать корректность определения 1.
Лемма 2. Пусть Дм(х,у) — квадратичное отображение (1), / е (0,1]. Тогда
2.1. при любом нечетном п ^ 1 кривая /м,п(х,у) = / +1 имеет в Р1 хотя бы одну тройную точку М^, хотя бы одну двойную точку первого типа Мп2,1) и счетное множество двойных точек второго типа М^2-22;
2.2. при любом четном п ^ 1 кривая /м-п(х,у) = / +1 имеет в Р2 хотя бы одну тройную точку Мп3 , хотя бы одну двойную точку первого типа Мп2,1) и счетное множество двойных точек второго типа М(2'2);
2.3. других точек пересечения кривых /м,п(х,у) = / + 1 и /м,т(х,у) = /(п,т > 1), отличных от указанных в п. 2.1 и п. 2.2 в Р1 и Р2, нет.
Доказательство. Убедимся в справедливости утверждения (2.1). Проведем рассуждения для счетного множества двойных точек второго
типа, лежащих в Р1 . Покажем, что при любых нечетном п ^ 1 и ] = п + к, где к ^ 3, система
/м,п(х,у) = / + 1 /м-п+к(х,у) = /
имеет решение в Р1. Положим
/м-п(х,у) = и, (/м-п-1(х,у) — /)2 = V. (12)
Возьмем произвольно и зафиксируем точку (х,у) на кривой /м-п(х,у) = / +1 в Р1. Из задания отображения (1) следует, что при нечетном п — (/м,п-1(х,у),дм,п-1(х,у)) е Р2, при четном п -(/м,п-1(х,у),дм,п-1(х,у)) е Р1. Так как / е (0,1], то при нечетном п — и ^ / +1, о е [0,1], при четном п — и ^ / +1, V ^ 1. Используя (1) и (2), получаем, что для любого к ^ 2 справедлива формула
к-2
/м-к(и,о) = ио(и — /)2\\ (/м^(и^) — /л)2.
В системе
/ +1
ио(и — /)2Т\к=1(/мЛи,о) — /)2 = /
(13)
положим
к-2
Фк (и,о) = ио (и — /)2 (/м^(и^) — /)2 — /.
i=1
Определим функцию
к-2
Фк (о) = Фк(/+1,о) = (/+1)о Л (/м^(/+1,о)—/)2—/.
i=1
Положим Фк (0) = Фк(о) = —/. Исполь-
зуя непрерывность функции Фк(о) на отрезке [0,1], формулу (11) и классическую теорему Боль-цано-Коши об обращении непрерывной функции в нуль, укажем точку о* е (0,1) такую, что Фк (о*) = 0. Таким образом, показали, что система (13) имеет хотя бы одно решение (и*к,о*) при любом к ^ 3, причем и *к = / +1, о * е (0,1). Рассмотрим систему
/м-п(х,у) = и*к (/м-п-1(х,у) — /)2 =
(14),
и покажем, что при п = 2т — 1, т ^ 1, она имеет решение в Р1 .
Воспользуемся формулой (2), получим
/м- 2т-2 (х,у) 2(х,у)
(/м,2т-2 (х,у) — /)2 = о*
Разрешая уравнения относительно /м<2т-2(х,у) и дм,2т-2(х,у), находим /м,2т-2(>,у) = Д + лЛ"" =. Положим X.
дм,2т-2 (х,у) = у.
м+
-—. Так как и
' 2т—2 м+
то х**т-2 е (// + 1), у,
А4 +
2т-2 = V о* ,
к = / +1, о* е (0,1),
е (1, + ж), то есть
и
о
и
(/м,2т-2 (х,у) 2(х,у)) е Р1. Рассмотрим си-
стему
/м,2т-2 (х,у) = х2т-2
д м,2т-2(х,у) = у 2 т-2 '
Применяя формулы (2) и (3), находим
/м,2т-з(ж,г/) = А4 + \JyLZ2;
*
х2т-2 дМ,2т-3(х,У) = -;-, .
/ + V у2т-2
Полагая
Положим
/ + \ у2т^
2т 2
А4 + л/У'
2т-2
и учитывая, что / < х2т-2 < / +1, у2т-2 > 1 получаем х2т-3 > / + у*2т-3 е (0,1). Тогда (/м,2т-з(х,у), дм,2т-з(х,у)) е Р2. Из системы
/м-2т-3(х,у) = х2т-3 дм,2т-3 (х,у) = у2т-3 '
используя (2) и (3), найдем
/м,2т-4(ж,г/) = А4 + \JvLZЗ>
*
х2т-3 9^2т-А{Х,у) = -;-
/ + V у2т-3
че-
Обозначим А4 + у/У2т-з и рез х2^_4 и у2т_4 соответственно. Так как
2т-3
(/ +1, + ж), у2т-3 е (0,1),
то
(/м,2т-4 (х,у),дм,2т-4(х,у)) е Р1. Убедимся в том, что система
/м^т-^^^-У^ — х2
дм,2т-^х,у) = у2
(15)
имеет решение (/м,2т--1(ху), д^т-^Аху)) в Р1 при любом нечетном г > 2 ив Р2 при любом четном г ^ 2.
В самом деле, как было показано выше, при г = 2, 3 система (15) имеет решение в Р2 и Р1 соответственно. Предположим, что при любом нечетном 1 ^ г ^ г (15) имеет решение в Р1, при любом четном 1 ^ г ^ г — в Р2. Покажем, что система (15) имеет решение при г = г + 1, лежащее в Р1 при нечетном г или в Р2 при четном г.
Рассмотрим систему
/M'2m—i— 1 (х,у) = x2m-i-1 дм'2т-^1(хУ) = y2m—i—1
Используя (2) и (3), получаем
и,2т-г-2(х,у) = А4 + фЪт-г-П
дм,2т--2(ху) =
ь2т-—1
А4+
х2т — -2 = / + \/ у2
т—ъ—1 1
2т—г—1
£>2т — г—2 /—*-*
л + V y2m—i— 1
Согласно предположения индукции, при четном г х2т-—1 е (/ +1, + ж), у2т-—1 е (0,1)
х2т-—2 е (// + ^ у2т-—2 е (1, + тогда
(/м'2m-i-2(x,y),gM'2m-i-2(x,y)) е Р1. При нечетном г
х2т-—1 е (// У2т-г-1 е (1, + ж)
х2т-—2 е (/ +1, + у2т-—2 е (0,1),
то есть (/M'2m—i—2(х,у),дM'2m—i—2(х,у)) е Р2. Следовательно, система (15) при любом нечетном г > 2 имеет решение в Р1, а при любом четном г ^ 2 в Р2. Применяя формулы (2) и (3) к уравнениям системы (15) 2т раз, получим ж'д = А4+
уо
такие, что (х0,у0) е Р1. Таким об-
разом, показали, что система (14) имеет хотя бы одно решение в Р1 при нечетном п.
Утверждение (2.1) леммы 2 доказано при любом нечетном п ^ 1 и при любом ] = п + к, где к > 3.
Аналогично убеждаемся в справедливости утверждения (2.2).
Завершая доказательство леммы 2, заметим, что система уравнений
/м-п (х,у) = / + 1 /м-т(х,у) = /
(16)
где т = п, не имеет решений при т ^ п — 2, так как в противном случае получили бы, что / = —1. Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве утверждений (2.1) и (2.2), убеждаемся в том, что решения системы (16) при т ^ п — 1 совпадают с координатами точек, указанных в п. 2.1 и 2.2.
Лемма 2 доказана.
Заметим, что определитель матрицы Якоби отображения Д^ при любом п ^ 1 имеет вид
д/м ,п(х,у)/дх д/м ,п (х,у)/ду ддм ,п(х,у)/дх ддм ,п(ху)/ду
3(ДЦ) =
Применяя формулу (9), получаем
3 Д) = 2/м ,п— 1 (х,у)(/м ,п-1(х,у) — /)х ( ддм,п-1(х,у) д/м ,п-1(х,у)
дх
ду
и
х
2т — 3
у
2т— 3
и
дд^,п-1(х,у) д/цп-1(х,у)
ду
дх
Следовательно, если /,,п-1(х,у) = р, то 1 (Е£(х,у)) = 0. Поэтому в двойных и тройных точках кривых /,,п(х,у) = р +1, указанных в лемме 2, возможно нарушение условий классической локальной теоремы о неявной функции.
Положим Р, = (Р1 и Р2)\П1 и обозначим через Z* — множество всех тройных и двойных точек пересечения алгебраических кривых
/,,п\р^ (х,у) = р + 1 и /,,ш\р^ (х,у) = р, при любом п ^ 1 и любых т, определяемых леммой 2, здесь /^п\р» означает сужение /,,п на Р,.
Определим непустые множества
С,+ 1,п = {(х,у) : /^,п\р„ (х,у) = р + 1}
С,,п = {(х,у) : и,п\р„ (х,у) = р}. Положим
+ ^
д) = и (см+1,п+1 П С^п),
п=1
Z(2'1) = Z(2'1) и (С,+ м П С,,о);
^2'2) = и(См+1,п П ( У С^)),
п=1 j=n+3
-^-оо
Z(22) = ^2'2) и (См+1,0 П (и С^));
j=з
Zl3) = и (С,+ 1,п П С,,п+1 П С,,п+2 ),
п=1
z(3) = z(3) и (С,+1,0 П С,,1 П С,,2),
тогда z * = z (3)и z(2,1)и z(2,2).
Пользуясь леммой 2 и свойством образов, получаем
Е,^ (^2,1)) = Z (2-1),
Е,^ (^2)) = Z (2'2), Е, \ р^ ^(3)) = Z(3).
(17)
Справедлива
Лемма 3. Пусть Е, — квадратичное отображение (1) с р € (0,1]. Тогда для любой точки (хо; уо) € Z*, лежащей на непрерывной ветви кривой /,,п(х,у) = р +1, проходящей через неподвижную точку А2(р + 1; 1), справедливы неравенства: (д/,,п(х,у)/дх)1(Хо;уо) > 0,
(д/,,п (х,у)/ду) 1 (хо;уо) > 0(п > 3).
Доказательство. В силу формулы (9) достаточно убедиться в том, что при всех п ^ 3, 0 ^ г ^ п — 2 справедливы неравенства
/,Лх,у) > р, (18)
(д/,,г (х,у)/дх) 1 (хо;уо) > 0 (19)
и при всех п ^ 3, 1 ^ г ^ п — 2
(д/,4х,у)/ду)1(хо;уо) > 0. (20)
Пусть для определенности (хо,уо) — двойная точка первого типа, то есть
/,,п(хо,уо) = р + 1 /,,п-1(хо,уо) = р
(21).
Применим метод математической индукции для доказательства неравенств (18)— (20). При п = 3, пользуясь формулой (2), находим единственное решение системы (21) во множестве Р,:
хо = р + р/ р +
А4 + 1 р
Уо = ( А4 + ) / ( А4 + У А4/ (А4 + ' М + 1
Тогда /,,о(хо,уо) = хо > р, /,д(хо,уо) = хо уо > р+1. Кроме того, (д/,,о(х,у)/дх)|(хо;уо) = 1 > 0,
(д/,,1(х,у)/дх) 1 (хо;уо) = уо > 0 и (д/,,1(х,у)/дх)|(хо;уо) = хо > 0. Следовательно, при п = 3, г = 0,1 справедливы неравенства (18), (19) и при п = 3, г = 1 справедливо неравенство (20). Применяя формулу (9), получаем (д/,,з(х,у)/дх)|(хо уо) > 0, (д/,,з(х,у)/ду)|(хоуо) > 0. Таким образом, при п = 3 лемма 3 справедлива.
Предположим, что формулы (18), (19) верны для любого п ^ 3, 0 ^ г ^ п — 2 и неравенство (20) — для любого п ^ 3, 1 ^ г ^ п — 2. Убедимся в справедливости (18), (19) при п +1, 0 ^ г ^ п — 1 и (20) при п +1, 1 ^ г ^ п — 1. Для доказательства неравенства (18) рассмотрим систему
/,,п+1(хо,уо) = р +1 /,,п (хо,уо) = р
Пользуясь первым из включений (17), получаем
Е,(хо,уо) = (/,,п-1(хо,уо),д,,п-1(хо,уо)) € ^2,1).
(2 1)
Из определения множеств Z\ и Р, следует, что для любого п ^ 3 /, ¿(хо,уо) > р. Справедливость неравенств (19) и (20) следует из предположения индукции и формулы (9) для (д/,п-1(х,у)/дх) > 0, (д/,п-1(х,у)/ду) > 0. Таким образом, неравенства (18), (19) справедливы для п +1 и 0 ^ г ^ п — 1, а неравенство (20) — при п + 1, 1 ^ г ^ п — 1.
Завершая доказательство леммы 3, воспользуемся формулой (9), для определенности применяя ее к вычислению частной производной (д/,п+1(х,у)/дх) > 0. Имеем
д/м,п+1(.гуу) = дх
= ди'£*,у) ■ П(иЛ^у) ~ А4)2 + 2
г=о
X ((Шх>у) - А4) п (Лм(^) -
+
г=1
+... +
i=0'i=1 п1
i=0'i=r п-2
дх
i = 0
Так как для любого 0 ^ г ^ п — 1 выполнены (18) и (19), то (д/м,п+1(х,у)/дх) > 0.
Лемма 3 доказана.
Следствие 2. Пусть Д — квадратичное отображение (1), / е (0,1], г0(х0; у0) е 2*. Тогда для любого п ^ 1 существуют окрестность точки г0(х0; у0) и(п)(г0) = и$>пд(х0) х и^^Ы) и С 1-гладкая строго убывающая функция у = Уп(х) : и$'п,1(х0) ^ и£'П'2(у0), определяемая уравнением (10) при любом х е и$> д(х0), и такая, что уп(х0) = у0; при этом при любых х е и§> д(х0) и п ^ 3 справедливы неравенства (д/мп(х,у)/дх) > 0, (д/м,п(х,у)/ду) > 0.
Так как /мп (х,у), дм-п(х,у) — полиномы при любом п ^ 1, то в силу леммы 2 множество 2* счетно. Последнее вместе со следствием 2 означает, что множество См +1п(п ^ 0) содержит точки, не принадлежащие 2*. Определим непустое множество , полагая
= (у См,п+1)*.
п=0
Из формул (17) следует, что для любой точки (х; у) е справедливо включение
Дм(х,у) е С2*.
(22)
Лемма 4. Пусть Д м — квадратичное отображение (1), / е (0,1]. Тогда для любой точки г0(х0; у0) е , лежащей на непрерывной ветви кривой /м,п(ху) = / + 1, проходящей через неподвижную точку А2(/ + 1; 1), справедливы неравенства: (д/мп(х,у)/дх)1(хо;уо) > 0, (д/м,п(х,у)/ду^хОуО) > 0(п > 3).
Повторим рассуждения, проведенные при доказательстве леммы 3, и убедимся в справедливости неравенств (18)—(20). Заметим, что в отличие от леммы 3 доказательство леммы 4 основано на использовании взаимного расположения непересекающихся алгебраических кривых /м-п(ху) = / +1, /м,т(х,у) = / в Рм. В частности, для доказательства неравенства (18), важную роль при п = 3 играют два случая: 4.1. г0(х0; у0) е Рм П Р1; 4.2. г0(х0; у0) е Рм П Р2.
4.1. Если г0(х0; у0) е Рм П Р1, то пользуясь формулой (2) и определением множеств Р и Р1 сразу получаем /мд(х0; у0) = х0у0 > /.
4.2. Пусть г0(х0; у0) е Рм П Р2. В силу формулы (2) /м,з(х,у) = /м,2(х,у)(/м,1 (х,у) — /)2. Откуда получаем, что /мд(х,у) = / является асимптотой для /мз(х,у) = / +1. Так как при всех
/ < х < / +1 строго убывающая ветвь кривой /мз(ху) = / +1 лежит выше строго убывающей ветви кривой /м,1(х,у) = / и кривые /мд(х,у) = / и /мз(ху) = / +1 не имеют общих точек, отличных от А2(/ +1; 1) (см. лемму 2), то взаимное расположение кривых /мз(ху) = /+1 и /м,1(х,у) = / не меняется и при х > / +1. Пользуясь определением множества Р2, убеждаемся в том, что /мЛ(х0у0)= х0у0 >/.
Неравенство (18) установлено при п = 3, г = 0,1. Применяя формулу
(9), получаем (д/м,з(х,у)/дх)1(х0у0) > 0, (д/м,з(х,у)/ду)1(х0;у0) >
Таким образом, при п = 3 лемма 4 доказана.
Рассуждая по индукции при п ^ 3 и пользуясь формулой (22), убеждаемся в справедливости леммы 4 для любого п ^ 3.
Перейдем к нелокальной теореме существования неявной функции, определяемой равенством
(10).
Теорема 1. Пусть Д м — квадратичное отображение (1), / е (0,1]. Тогда существует универсальная окрестность и(А2) = (а,Ь) х (е,й) ((а,Ь) С (/, + ж)) неподвижной точки А2(/ + 1;1) и при любом п ^ 2 выполнено следующее условие: С1-гладкая по х на открытом интервале (а,Ь) строго убывающая сюръекция у = пм,п (х) этого интервала на интервал (с,£), являющаяся решением уравнения (10) на интервале (а,Ь), и такая, что Пм,п (/ + 1) = 1.
Доказательство. 1. Возьмем произвольно и зафиксируем п ^ 2. Согласно леммы 1 существует окрестность ип(А2) = иЙпд(/ + 1) х иеп^2Ч1) и С1-гладкая строго убывающая неявная функция у = уп (х), определяемая уравнением (10) при любом х е и$п 1(/ + 1), такая, что уп (ибп,1(Р + 1)) = ие п ,2(1) и уп (/ +1) = 1. Обозначим (/ +1 — 8п, / + 1 + 8п) через (ап,Ьп). Доопределим уп(х) на границах интервала (ап ,Ьп), положив уп (а™) = Ишх^а7+0 уп (х) и уп(Ьп) = 11шх^ь7-0 уп(х). Заметим, что (уп(х))' = 0 для любого х е [ап,Ьп]. Действительно, во всех внутренних точках отрезка [ап,Ьп] выполнено (уп(х))' < 0. Для граничных точек N1^; уп (ап)) и Ь^; уп №)) достаточно рассмотреть случай N1 и Ь1 е 2*. Так как на границе отрезка [а,п,Ьп] выполнены условия лемм 3-4, то (у1г(х)У = < 0 для любого
х е [а,п,Ьп]. Применяя локальную классическую теорему о неявной функции, укажем окрестности точек N1 и Ь1 и(N1) = ивкдЮ х ^^(уп(ап)),
и(Ь1) = ивк,1(Ьп) х ие^М№)) и ^-гладкие строго убывающие функции у = у2^1 (х) и у = УпЬ 1 (х), определяемые равенством (10) при любом х е и$ 1д(ап) и х е и$ 1 ^(Ьп) соответственно, такие, что у^ (и^л(а{)) = иеЮ),
У2пЬ1 (и&1п ,1(Ьп)) = ие (М (Ьп)). Множество и^дЮ и и&1п л(Ьп) и (ап,Ьп) по построению — интервал. Положим
Usi ДЮ U Usi ,1(6П) U (aï,6ï) = К,6П). Функцию, определенную на интервале (аЩ ЪЩ ), обозначим через y = y2(x). Заметим, что (а",6") С (аПЬП) и Уп(x) = У2(x) |(an. Таким образом, построили расширение функции y1 (x) на интервал (а^ЪЩ). Повторяя проведенные рассуждения, через & шагов построим вполне упорядоченную систему к интервалов:
К,6П) С (аПЬП) С ... С (аЩ-1,Ъ1-1) С К ЪЩ)
и С п-гладкую строго убывающую неявную функцию y = yl (x), определяемую равенством (10) для любого x G ( кую, что yl (K,b£)) = (yl (ЪП ),yl (an)) и y1 1(x) = yt (x)l(an_ 1 ,bl_1 ) для к > 1. Опишем (к + 1)-й шаг. Применим локальную классическую теорему о неявной функции и укажем окрестности точек Nk(arn ,yп (аЩ )),
Lk(ЪП,уП(ЪП)) U(Nk) = Un,i(an) x U^MК)),
U(Lk) = USinд(ЬП) x Ue]%a(ykn(ЪЩ)) и Сп-гладкие строго убывающие функции y = (x) и
У = уП+1'Ьк (x), определяемые равенством (10) при любом x G Ugi д(аЩ) и x G Ugi ,1 (ЪЩ) соответственно, такие, что y^(U^дЮ) = Ue^yк)), Укп'Ьк (USin,1(ЪП)) = Ue]i}2(ykn(ЪЩ)). По построению множество д(аЩ) U U5i д^Щ) U (а^ЪЩ) — интервал. Положим
2. Убедимся в том, что множество значений функции у = п,,п(х) (интервал (сп ,Сп)) не зависит от п ^ 2. В самом деле, в силу пункта 1 х = П-п (у) (где х = п-,п(у) — функция обратная к у = П,,п(х)) задает диффеоморфизм интервала (сп,Сп) на интервал (а,Ь). Повторяя рассуждения предыдущего пункта 1, убеждаемся в том, что область определения функции х = п—1п(у) не зависит от п. Полагая (с,С) = п,,п((а,Ь)), убеждаемся в справедливости теоремы 1.
Следствие 3. Пусть Е, — квадратичное отображение (1), р € (0,1]. Тогда справедливы равенства (а,Ь) = (р, + то),(с,С) = (0, + то).
Действительно, при п = 2 имеем »?м,2(х) = • Следовательно, непрерыв-
ная ветвь графика функции у = п,,2(х), проходящая через неподвижную точку А2(р + 1; 1) определена на интервале (р, + то), причем П,,2 ((р, + то)) = (0, + то). Поэтому для любого п ^ 2 в силу теоремы 1 (а,Ь) = (р, + то),(е,с1) = (0, + то).
Справедливость теоремы А вытекает из лемм 1-4 и теоремы 1.
Теорема А доказана.
IV. Доказательство существования неограниченной инвариантной кривой
и&1,1(ап) и и^ д(ьп) и (ап,ьп) = К+1).
Функцию, определенную для любого х € (ап+1 ,Ьп+1), обозначим через у = ук+1(х). Заметим, что (ап,Ьп) С (ап+1,Ьп+1) и уЧп(х) = у^х)^К). Таким образом, построили расширение функции
ук(х) на интервал (ап+1,Ьп+1).
Продолжая индуктивную процедуру, построим счетную, возрастающую по включению систему интервалов:
(а™,Ъ™) С (а^ЪЩ) С ... С 1,Ъ^ 1 ) С
С (ап,Ьп) С (ап+1,Ьп+1) С ...
В силу теоремы Бэра-Хаусдорфа [20] существует трансфинит V не выше второго класса, такой, что
I[a'n,Ъ'n) = t^+b^+J
и, следовательно,
уЩ (x)
УЩ+1
(x)
Пусть [а',Ь'] — произвольный отрезок интервала (р, + то), содержащий точку (р + 1). Заметим, что в силу теоремы Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на компакте, сужение Е,|(р1ир2)п([а',ь']хД1) равномерно непрерывно, а последовательность функций {п,,п|[а',ь'](х)}п^1 равномерно ограниченна. Имеет место
Лемма 5. Пусть Е, — квадратичное отображение (1), р € (0,1]. Тогда последовательность функций {п,,п|[а',ь'] (х)}п^1 равностепенно непрерывна.
Доказательство. Для определенности будем считать, что р < а' < Ь' = р +1. Пусть (х1,у{), (х2,у2) — произвольные точки множества (Р1 и Р2) П ([а',Ь'] х Д1), такие что у1 = П,,п(х1), у2 = П,,п(х2). Воспользуемся равномерной непрерывностью отображения Е,. Тогда для каждого е > 0 найдется такое ¿1 > 0, что |/,д(хьу1) — /,,l(x2,У2)| < е и |д,д(х1,у1) — д,д(х2,у2)| < е, как только |х1 — х2| < ¿1, |у 1 — у21 < ¿1. Пользуясь формулами (2) --(3), получаем
Положим (ап ,Ьп) = (а,Ь), у£(х) = п,,п (х). Таким образом, при каждом п ^ 2 построили С1 -гладкую строго убывающую функцию у = П,,п (х), область определения которой (интервал (а,Ь)) не зависит от п ^ 2. Более того, построенная функция у = п,,п(х) является строго убывающим диффеоморфизмом интервала (а,Ь) на интервал (сп,Сп).
lf^,1(x1 ,У1) - fM,1(x2,У2)| = = |x1 • r/vAx^ - x2 ■ nм,n(x2)| < £ (23)
l9^,1(x1 ,У1) - Я^Л^^^ =
= |(x1 - /)2 - (x2 - /)2| < £.
и
Из неравенства 0 < х — / < 1 и формулы (24) следует, что
1(х1 — ¡л)2 — (х2 — /)21 = 1(х1 — х2 )^(х1 — /+х2 — /)1 <
< 1х1 — х2 I ■ 2 <£.
Отсюда 1х1 — х21 <£/2.
Положим 8 = шт{$1,£/3} < £/2. Воспользуемся неравенством (23). Имеем
£ > 1х1 ■ Пм,п(х1) — х2 ■ Пм,п(х2)1 =
= 1х1Пм,п(хл)—х2Пм,п(х2)—х1Пмп(х2)+х1Пмп(х2)| > > 1пм ,п(х1) — Пм ,п (х2) I ■ 1х11 — х — х21 ■ 1'Г/м ,п(х2)1. Получаем
|»?М,п(-г'1) - 1Ь,п(Х2)1 < -1-1- - <
|х1 |
<
£ + £ • \'Пм,п(х2)1
В силу равномерной ограниченности последовательности функций {пм,п(х)}п^1 на отрезке [а',Ь'] существует К > 0, такое, что 1пм,п(х)1 < К при любых х е [а',Ь']. Следовательно,
£ + 8 ■ К £ ■ (2 + К) <-;— < —о—;— < £ь
а' 2 ■ а'
Лемма 5 доказана.
Отметим, что при выполнении условий леммы 5 каждая из последовательностей функций {Пм,2п1[а' ,Ь'](х)}п^1 и {Пм,2п+11[а''Ь' ](х)}п^1 является равностепенно непрерывной. Тогда, используя классическую теорему Арцела [21] и лемму 5, получаем, что существуют сходящиеся подпоследовательности {пм,2пк 1[а',Ь'](х)}к^1 и {Пм'2пт + Л[а''Ь'] (х)}т^1.
Введем естественное отношение порядка " — " на множестве графиков функций у-1 = пм^(х) при любых г ^ 1, х е [а',Ь']. Будем говорить, что уг предшествует у8 (уг — у8), если при любом х е [а',Ь'], г = я, г, в ^ 1 выполнено Пм,г (х) < пм(х). Прежде чем сформулировать соответствующее утверждение о взаимном расположении графиков функций у = пмп 1[а',ь'](х) напомним, что
3 (Дп)1А2 = ( — 1)п2п(/ +1)п.
Справедлива
Лемма 6. Пусть Д — квадратичное отображение вида (1), / е (0,1]. Тогда
6.1. при любом х е [а',/ + 1) справедливы соотношения:
у1 — уз — ... — у2т-1 — ... — У2п — ... — у 4 — у2, п,т > 2;
6.2. при любом х е (/ +1,Ь'] справедливы соотношения:
У2 — У 4 — ... — У2т — ... — У2п-1 — ... — У3 — У1, п,т ^ 2;
6.3. при х = / +1 у-1 = у2 = 1.
Доказательство. Для определенности убедимся в справедливости утверждения 6.1. Заметим сразу, что из задания множества Р1 следует справедливость соотношения
У1 — Уп — У2(п > 3).
1. Покажем сначала, что последовательность {У2п+1}п^1 монотонно возрастает. Применим метод математической индукции. При п = 1 имеем: У1 — уз. Предположим, что при любом 1 ^ т ^ п выполнено
У1 — Уз — ... — У2п-1 — У2п+1
(25)
и убедимся в справедливости соотношения (25) при п +1. Предположим, что это не так. Тогда существует 1 ^ д ^ п, такое, что У2д-1 — У2п+з — У2q+l. Так как неподвижная точка А2(/ + 1; 1) — источник, то найдется окрестность и^ (А2) = и(^(л +1) х и^(1), в которой Д^-1 является диффеоморфизмом. Учитывая справедливость равенств Д2'1-1(у2^1) = У0, Дlq-1(У2q+l) = У2, имеем
Д1Ч Ч^-1 ^ (м+1)
) — (у2п+з |
и(1Ч) (м+1)
)—
— Дlq-1(y2q+l|
и(ч) (м+1)
и У0 — У2п-2ч+4 — У2.
Следовательно, часть кривой У2п-2^4, исходящей из неподвижной точки А2(/ +1; 1), содержится в Т3. Последнее невозможно, так как при любых п ^ 3 и х е [а',Ь'] уп лежит в Р1 и Р2. Таким образом, сделанное предположение неверно, и У1 — У3 — ... — У2п+1 — У2п+3.
2. Применяя аналогичные рассуждения, убеждаемся в том, что последовательность {у2п}п^1 монотонно убывает.
3. Покажем, что для любых т, п выполнено У2т-1 — У2п. Возможны следующие случаи:
г) т = п; гг) т > п; ггг) т < п.
г) Проводя рассуждения, аналогичные п. 1, убеждаемся в справедливости соотношения у2т-1 — у2п при т = п.
гг) Пусть т > п. Так как последовательность {У2п}п^1 монотонно убывает, то для т > п имеем: У2т — У2п. Кроме того, при т = п У2т-1 — У2т. Следовательно, у2т-1 — У2п при т > п.
ггг) Предположим, что т < п. Из случая г) следует, что у2п—1 — У2п. Пользуясь тем, что последовательность {у2п+1}п^1 монотонно возрастает, получаем У2т-1 — У2п-1 — У2п.
Лемма 6 доказана.
)
В силу лемм 5-6 и рекуррентной формулы (2) справедливо
Следствие 4. Пусть F, — квадратичное отображение (1) и р € (0,1]. Тогда каждая из последовательностей {r/,,2n\[a',b'] (x)}n^i и {v,,2n+i\[a',b'](x)}n^i строго убывающих функций сходится в С°-норме к некоторой непрерывной убывающей (хотя бы в широком смысле) функции
y = n,(x).
В силу того, что отрезок [a',b'] выбран произвольно, существует непрерывное расширение функции y = n,(x), определенной на отрезке [a',b'], до непрерывной монотонно убывающей на интервале (р, + ж) функции y = п,(x).
Лемма 7. Пусть F, — квадратичное отображение (1) и р € (0,1]. Тогда график функции y = п, (x) есть F,-инвариантная кривая, определенная на интервале (р, + ж), со значениями на интервале (0, + ж).
Доказательство. Возьмем произвольно x € (р, + ж) и покажем, что F,(x,n* (x)) С {(x,y) : x € (р, + ж),у = п,(x)}. При x = р +1 утверждение справедливо. Пусть x = р +1. Предположим для определенности, что x € (р,р + 1). Тогда
F,(x,n,(x)) = F,(x, lim п,,п(x)) = = lim F,(x,n,,n (x)) =
n—
= lim (x • n,,n(x),n,,n-i(x • n,,n(x))) =
n—+
= (x • п,(x),n,(x • п,(x))) = (x',n,(x')).
Лемма 7 доказана.
Так как отображение F, переводит прямую x = C в прямую y = Ci (C,Ci € Ri), то в силу леммы 7 справедливо
Следствие 5. Пусть выполнены условия леммы 7. Тогда функция y = п, (x) строго убывает на интервале (р, + ж).
Справедливость теоремы В следует из лемм 5--7.
Теорема В доказана.
Пользуясь формулой (1) и свойством 1 отображения F,, убеждаемся в справедливости предложения С.
Таким образом, в статье установлено существование однопараметрического семейства неограниченных инвариантных кривых у отображений семейства (1) при р € (0,1].
Полученные результаты позволяют перейти к изучению асимптотического поведения траекторий точек рассмотренных здесь квадратичных отображений.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке ФА Рособразование, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», 2009 — 2011 гг., грант HK-13/9.
Литература
1. Lyubich M. Dynamics of quadratic polynomials, I-II // Acta Mathematica. — 1997. — V. 178. — P. 185-297.
2. Balibrea F, Guirao J.G., Lampart M., Llibre J . Dynamics of a Lotka-Volterra map // Fund. Math. — 2006. — V. 191. — P. 265-279.
3. Swirszcz G . On a certain map of a triangle // Fund. Math. — 1998. — V. 155. — P. 45-57.
4. Lopez-Ruiz R., Fournie'i—Prunaret D. Complex behavior in a discrete coupled logistic model for the symbolic interaction of two species. // Math. Biosci. Eng. — 2004. — N. 1. — P. 307-324.
5. Fournier—Prunaret D, Lopez—Ruiz R, Taha A.K. Route to chaos in threedimensional maps of logistic type. //Grazer Mathematische Berichte. — 2006. — V. 350. — P. 82-85.
6. Gardini L, Fournier—Prunaret D., Mira C. Some contact bifurcations in two-dimensional examples // Grazer Math. Ber. — 1997. — V. 334. -P. 77--96.
7. Mira C. Chaotic dynamics from the One-Dimensional Endomophism to the Two-Dimentional Diffeomorphism. — Singapore: World Scientific, 1987.
8. Li M.C., Malkin M. Bounded nonwandering sets for polynomial mappings //J. Dynam. Control Syst. — 2004. — V. 10, N. 3. — P. 377-389.
9. Li M.C., Malkin M. Topological horseshoes for perturbations of singular difference equations // Nonlinearity. — 2006. — V. 19. — P. 795-811.
10. Henon M. Numerical study of quadratic area preserving mapping //J. Appl. Math. — 1969. — V. 27. — P. 291-312.
11. Gonchenko S.V., Meiss J.D., Ovsyannikov I.I. Chaotic dynamics of three-dimentional Henon maps that originate from a homoclinic bifurcation // Regular and Chaotic Dynamics. — 2006. — V. 11, N. 2. — P. 191-212.
12. Гонченко С.В., Гонченко А.С. К вопросу о классификации линейных и нелинейных подков Смейла // Нелинейная динамика. — 2007. — Т. 3, № 4. — С. 423-443.
13. Gonchenko S, Li M.C., Malkin M. Generalized Henon maps and Smale horseshoes of new types // Inter. J. of Bifurcation and Chaos. — 2008. — V. 18, N. 10. — P. 3029-3052.
14. Бельмесова С.С., Ефремова Л.С. Об одно-параметрическом семействе квадратичных отображений плоскости // Труды 50-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». — 2007. — Т. 1, Ч. VII. — С. 8-11.
15. Бельмесова С.С., Ефремова Л.С. О неограниченных траекториях одного квадратичного отображения плоскости // Современная математика и ее приложения. — Тбилиси: Институт кибернетики АН Грузии, 2008. — Т. 53. — С. 48-57.
16. Бельмесова С.С. Предельное поведение траекторий некоторых полиномиальных отображений плоскости // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. — Суздаль. — 27 июня-2 июля 2008. — С. 39-41.
17. Бельмесова С.С. О динамике невозмущенного квадратичного отображения плоскости // Современные проблемы фундаментальной и прикладной математики: Труды 52-й научной конференции МФТИ — М., 2009. — С. 33-51.
18. «Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach. Tagungsbericht 20/1993.» — Low
Dimensional Dynamics. — 25.04.-1.05.1993. Problem list. — P. 17.
19. Еругин Н.П. Неявные функции. — Л.: ЛГУ, 1956.
20. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977.
21. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.
Поступила в редакцию 13.07.2010.
