О градиентно-подобных потоках на локально-тривиальных расслоениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, 2015, том 5(33), №1-2, 25-30

УДК 517.938

О градиентно-подобных потоках на локально-тривиальных расслоениях1

Е. Я. Гуревич*, С. Х. Зинина**

* Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики, 603155, Нижний Новгород, E-mail: [email protected]

**Мордовский государственный университет имени Н.П.Огарева, 430005, Саранск, E-mail: [email protected]

Аннотация. В работе получена топологическая классификация трехмерных многообразий, допускающих градиентно-подобные потоки, неблуждающее множество которых принадлежит притягивающим и отталкивающим инвариантным замкнутым поверхностям. Показано, что такие многообразия являются локально-тривиальными расслоениями над окружностью (то есть фактор-пространствами прямого произведения поверхности §э на отрезок [0,1] по отношению эквивалентности (г, 1) ~ (т, 0), где т: §э ^ §э — некоторый гомеоморфизм). Получены достаточные условия, при выполнении которых склеивающий гомеоморфизм т изотопен периодическому гомеоморфизму.

Ключевые слова: структурно-устойчивые динамические системы, градиентно-подобный поток, локально-тривиальное расслоение над окружностью.

1. Введение

Напомним, что гладкий поток / на связном замкнутом многообразии Mn размерности n > 1 называется градиентно-подобным, если его неблуждающее множество Qft конечно и состоит только из гиперболических состояний равновесия, и для любых различных седловых состояний равновесия p,q € Qf t инвариантные многообразия Wq пересекаются трансверсально. Непустое пересечение Ws П Wq, где p,q — различные седловые точки потока /*, называется гетероклиническим, при этом в случае dim(Wp П Wq) = 1 компонента связности пересечения Wp П W'U называется гетероклинической траекторией.

Градиентно-подобные потоки занимают особое место среди структурно-устойчивых потоков. Во-первых, относительно простая структура множества особых траекторий позволяет получить законченные результаты по топологической классификации таких систем. Эта задача, помимо чисто математической привлекательности, имеет и прикладное значение, так как градиентно-подобные потоки моделируют детерминированные процессы в естественных и социальных науках. Во-вторых, градиентно-подобные потоки обнаруживают замечательную связь между динамикой и топологией несущего многообразия, что позволяет в ряде случаев получить относительно простой метод различения самих многообразий.

С. Смейл (S. Smale) в работе [6] (Theorem A) показал, что градиентный поток функции Морса на произвольном многообразии Mn (оснащеннном римановой метрикой) может быть сколь угодно близко аппроксимирован (в C 1-топологии) градиентно-подобным потоком, что доказывает существование таких потоков на любом многообразии.

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (грант 15-31-50394 мол_нр).

© Е. Я. ГУРЕВИЧ, С. Х. ЗИНИНА

В работе [2] получены достаточные условия, при выполнении которых несущее ориентируемое трехмерное многообразие диффеоморфизма Морса-Смейла является локально-тривиальным расслоением над окружностью (что означает наличие по крайней мере одной циклической фазовой переменной), и продемонстрировано приложение этого результата для решения проблемы о существовании сепараторов (гетероклинических траекторий) в магнитном поле плазмы. В настоящей работе этот результат используется для топологической классификации трехмерных многообразий, допускающих градиентно-подобные потоки, неблуждающее множество которых принадлежит притягивающим и отталкивающим инвариантным замкнутым поверхностям. Для точной формулировки результатов приведем несколько определений.

Пусть 8д — ориентируемая поверхность (замкнутое двумерное многообразие) рода д, т: 8д ^ 8д — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм (гомеоморфизм склейки). Обозначим через пространство орбит действия группы Г = {^г,г € Ъ}, порожденной степенями гомеоморфизма 7: Т2 х К Т2 х К, определенного формулой ^(г, г) = (т(г), г — 1) и через рд,т: х М ^ М^т естественную проекцию. Естественная проекция индуцирует на структуру топологического многообразия. В силу классических результатов любое компактное трехмерное топологическое многообразие допускает гладкую структуру, причем единственную, поэтому в дальнейшем будем предполагать многообразие гладким.

Пусть f*: М3 ^ М3 — градиентно-подобный поток на связном замкнутом ориентируемом гладком многообразии М3. Обозначим через г множество всех его состояний равновесия, размерность неустойчивого многообразия которых равна г € {0,1, 2, 3}, и положим £1 г = П*г и П2г.

Будем говорить, что поток f* принадлежит классу С(М3), если множество £1 г представляется в виде дизъюнктного объединения двух подмножеств £а, £г таких, что каждая компонента связности множеств А = ШЦ и П0г, ^ = Ш! и П3г является ручно

^а I ^г I

и и 2

вложенной ориентируемой поверхностью .

Применив утверждение теоремы из работы [2] к сдвигу на единицу времени вдоль траекторий потока f* € С(М3), получим следующий результат.

Предложение. Если поток f* принадлежит классу С(М3), то существует число д и сохраняющий ориентацию гомеоморфизм т: 8д ^ 8д такой, что М3 диффеоморфно многообразию МдТ.

В разделе 3 мы показываем, что поток f* € С(М3) накрывается потоком Г* на 8д х М таким, что Г*(8д х г) = §д х г для любого г € Ъ, ограничение потока Г* на множество 8д х г задается формулой Г*|§эхг(г, г) = (Г*(г), г), где г € 8д, и потоки Г*, Г* топологически сопряжены3 для всех г,] € Ъ.

Будем говорить, что поток f* принадлежит классу С*(М3), если потоки Г0 и Г* топологически сопряжены посредством изотопного тождественному гомеоморфизма.

Классу С*(М3), например, принадежат потоки, являющиеся локально прямыми произведениями градиентно-подобных потоков, описываемые следующей конструкцией.

2Поверхность N С М3 называется ручно вложенной, если для любой точки х £ N существует окрестность их С М3 и гомеоморфизм Нх : их ^ К3 такие, что НхN П их) = Оху.

3Потоки f ' на многообразии М называются топологически сопряженными, если существует гомеоморфизм Н: М ^ М такой, что для любого Ь £ К выполняется соотношение = Н^ гЬГ1.

Пусть S1 = R/z — окружность, : S2 — S'2, ф2 : S1 — S1 — градиентно-подобные потоки, ф>2 : R — R — поднятие потока ф*2. Определим поток Ф* на Sg х R формулой Фь(х,т) = (ф\(х), фь2(т)), z € Sg,r € R. Если т : Sg — Sg — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм, такой, что для каждого фиксированного t € R либо ф\т = тф\, либо ф\т = т-1ф1, то формула ф* = pg,Tкорректно определяет поток ф* : — M, называемый локально-прямым произведением потоков ф1,ф>2.

В настоящей работе уточняется изотопический класс гомеоморфизма склейки, что решает вопрос топологической классификации многообразий, допускающих потоки из класса G*(M3), в силу следующей классической леммы.

Лемма. Пусть гомеоморфизмы т : Sg — Sg ,т' : Sg — Sg изотопны. Тогда M^,T ,M^T, диффеоморфны.

Напомним, что, согласно классификации Нильсена и Терстона (J. Nielsen, W.Thurston, см. [4],[7]), множество всех изотопических классов отображений т: Sg — Sg представляется как объединение четырех непересекающихся подмножеств T1,T2,T33,T4 со следующими свойствами.

1. если гомотопический класс {т} отображения т принадлежит подмножеству T1, то {т} содержит периодический гомеоморфизм;

2. если {т} € T2, то {т} содержит приводимый непериодический гомеоморфизм алгебраически конечного типа;

3. если {т} € T3, то {т} содержит приводимый гомеоморфизм, не явяющийся гомеоморфизмом алгебраически конечного типа;

4. если {т} € T4, то {т} содержит псевдоаносовский гомеоморфизм.

Гомеоморфизм т : Sg — Sg называется периодическим, если существует r > 0 такое, что тr(x) = x для любой точки x € Sg. Определения остальных гомеоморфизмов, упомянутых в перечислении 1-4, имеется, например, в обзоре [1]. Топологическая классификация периодических гомеомофизмов поверхностей получена Нильсеном в [5].

Основной результат работы заключается в следующей теореме.

Теорема 1. Если f * € G*(M^tT), то т € Tb

В основе доказательства теоремы 1 лежит теорема 2 (теорема о централизаторе4), доказываемая в разделе 2.

Напомним, что диффеоморфизм f : Mn — Mn называется диффеоморфизмом Морса-Смейла, если его неблуждающее множество üf состоит из конечного числа периодических гиперболических точек и инвариантные многообразия различных седловых периодических точек пересекаются трансверсально. Диффеоморфизм Морса-Смейла f : Mn — Mn называется градиентно-подобным, если из условия WpS П W'U = 0 для различных точек p,q € üf следует dim Wu < dim W^. В случае n = 2 последнее условие означает, что диффеоморфизм f : M2 — M2 Морса-Смейла является градиентно-подобным тогда и только тогда, когда инвариантные многообразия различных седловых точек не пересекаются.

4Централизатором гомеоморфизма f: М ^ М называется множество всех гомеоморфизмов т: М ^ М таких, что ^т = т^.

Теорема 2. Пусть ф: 8д ^ 8д — градиентно-подобный диффеоморфизм и т: 8д ^ 8д — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм такой, что фт = тф. Тогда т € Т1.

2. Доказательство теоремы о централизаторе

Пусть ф: §д ^ §д — градиентно-подобный диффеоморфизм. Обозначим через 0гф множество всех периодических точек, размерность неустойчивого многообразия которых равна г, г € {0,1,2}, положим Аф = и Офф и Вф = §д \ Аф.

Из условия фт = тф следует, что т(0гф) = Оф, т(Аф) = Аф. Следовательно, для любой точки р € существует число тр > 0 такое, что ттр (р) = р и тг(р) = р для всех 0 < г < тр, и для любой сепаратрисы I € Аф еуществует число т1 > 0 такое, что тт (¡) = I и тг(1) = I для 0 < г < тг. Покажем, что для любых двух сепаратрис I, ¡' € Аф выполняется равенство тг = тр.

Пусть Ьш = {¡0,... ,1и-\} С Аф — множество одномерных сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизма ф, в замыкании которых содержится сток ш. Обозначим через 50 С W| замкнутую кривую, ограничивающую диек По с точкой ш внутри, и пересекающуюся с каждой сепаратрисой из множества Ьш в единственной точке. Положим хг = ¡г П 50, г € {0,... ,к — 1}. Не уменьшая общности предположим, что индексация сепаратрис выбрана таким образом, что точки х1,...,хк разбивают 50 на к отрезков, причем внутри отрезка с граничными точками хг, хг+1 нет других точек из множества Ьш П 50, г € 0,...,к — 2. Положим = тт (Б0), х? = ¡г П , г € {1, 2,... }. Так как отображение т : 5о ^ , ] = 1, 2,..., является сохраняющим ориента-

цию, оно индуцирует перестановку д? на множестве индексов {0,... ,к — 1} такую, что д? (г — 1,г,г + 1) = (п — 1, п,п + 1)(тод, к), г,п € {0,... ,к — 1}. Кроме того, если т^ = пгтш — период сепаратрисы ¡г, то дП1 (г) = г. Тогда дП1 (г — 1) = г — 1, дП1 (г + 1) = г + 1, откуда следует, что тг1_1 = т^+1 = т¡1. В силу произвольности выбора индекса г отсюда следует, что тгп = тдля любых г,п € {0,... ,к — 1}. Теперь для доказательства того факта, что все неустойчивые сепаратрисы из А^ имеют имеют одинаковый период, достаточно доказать, что множество Аф связно. Заметим, что Аф аттрактор диффеоморфизма ф, то есть существует такая окрестность и множества А^ что ф(и) С и,

и WS = и ф(и) = §д \ Оф. Если Аф несвязно, то WS также несвязно, но тогда и

ф гек ф

Т \ Офф несвязно, что противоречит теореме о разбивающих множествах. Напомним, что теорема о разбивающих множествах утверждает, что любое связное п-мерное многообразие не может быть разбито не несвязные компоненты подмножеством топологической размерности меньшей п — 1 (см., например, [3]). Положим тг = т.

Построим изотопию Н(х,£): 8д х [0,1] ^ 8д, соединяющую т с некоторым периодическим отображением т'.

Для точек р € положим Н(р,£) = т(р) для любого £ € [0,1]. Пусть Ь € Аф — множество всех сепаратрис таких, что никакие две сепаратисы из Ь не принадлежат одной орбите гомеоморфизма т. Для каждой сепаратрисы ¡0 € Ь положим ¡г = тг (¡0), г € {1,...,т — 1}. Обозначим через ег: [0,1] ^ c¡ ¡г гомеоморфизм такой, что ег(0) является седловой точкой. Для г € Ът положим тг = е—^1тег, для в,Ь € [0,1], х € ¡г положим }гг(в,£) = тг(«)(1 — £) + Нг(х,1) = ег+1(Нг(е—1(х),1)). Для любой сепаратрисы

т— 1

¡0 € Ь определим изотопию Нг0: О (¡о) х [0,1] ^ О(^) на множестве О(^) = У ¡г,

г=о

положив Н[0(х) = Нг(х) для любой точки х € 1г, г £ {0,... ,т — 1}. Искомую изотопию Н на множестве Аф определим, положив Н|о(г0)х[о,1] = Ы0 для любой сепаратрисы 10 € Ь.

Доопределим потроенную изотопию на множестве Вф. Обозначим через В2 С К2 стандартный единичный шар с центром в начале координат и через 81 его границу. Пусть П € Пф - множество всех точек таких, что никакие две точки из не принадлежат одной орбите гомеоморфизма т. Для каждой точки а0 € П2 обозначим через тао ее период и положим аг = тг(а0), г € {1,..., тао — 1}. Обозначим через вг: В2 — непрерывное отображение такое, что вг(О) = аг и вг является гомеомофизмом всюду, кроме, возможно, множества Хг, состоящего из конечного числа замкнутых дуг и точек. Для г € ^тао, Ь € [0,1] определим гомеоморфизм дг*: В1 — В1, положив дг,*(х) = в-+11 (Н(вг(х),Ь)) для х € 82 \ Хг и доопределив д^* в точках множества Хг так, чтобы для всех точек х, х' € Хг таких, что ег(х) = вг(х'), выпонялось условие дг*(х) = дг,г(хг). Продолжим по радиусам гомеоморфизм дг* внутрь шара В2 и обозначим полученный гомеоморфизм через Сг,г. Далее искомая изотопия определяется точно также, как в предыдущем абзаце. Доказательство закончено.

3. Топологическая классификация многообразий, допускающих потоки из класса С*(Ы3)

В этом разделе излагается доказательство теоремы 1. Пусть /* € С(М3) и Т — компонента связности множества Аи^. В работе [2] (см. доказательство теоремы) доказано, что существует д > 0 и непрерывное отображение Н: §д х [0,1] — М3 такое, что отображения Н|звх(о,1): §д х (0,1) — М3\Т, Н|§эх{о}: §д х {0} — Т, Н|§эх{1}: §д х {1} — Т являются гомеоморфизмами. Положим Н|§эх{0} = Н0 (Н|§эх{1} = Н1) и т = Н—1Н1: §д — 8д. Тогда многообразие М^т гомеоморфно многообразию М3 при помощи гомеоморфизма Н, отображающего класс эквивалентности [(г, Ь)] точки (г, Ь) € Вд х [0,1] в точку Н (г,Ь).

Определим на 8д хК поток Г*, накрывающий поток /*, положив 7(х, т) = (т(х), т — 1), Г*(х,т) = Р*(х,т) = Н-1(/*(Н(х,т))) для х € §д, т € [0,1] и Г*(х,т) = 7г(Р*(^~г(х,т))) для х € Вд,т € [г,г + 1],г € Ограничение потока Г* на множество 8д х г задается формулой хг = (Г* (г), г), где г € 8д, и для любого г € ^ поток Г* топологически сопряжен потоку Г0 посредством гомеоморфизма тг.

Из условий, определяющих класс С*(М3), следует, что существует изотопный тождественному гомеоморфизм Нг: 8д — 8д такой, что Г* = НгГ*Н-1. Обозначим через дг: Вд х [0,1] — 8д изотопию, соединяющую тождественное отображение с гомеоморфизмом Нг и определим отображение Н: §д х К — §д х К следующим образом:

((х,т),т € [—1,1 у,

Н (г, т) = [ дг(х, 2(т + 1 — г)),т € [г — 2 ,г];

[дг(х, 2(г + 2 — т)),т € [г, г + 1 ],г € Z \ {0}.

Тогда поток Г'* = НГ*Н-1 накрывает поток / и обладает дополнительным свойством Г'*(х) = Г'0(х) для любого х € 8д. Отсюда следует, что поток Г'0 коммутирует с отображением склейки НтН-1, которое, в силу теоремы о централизаторе, изотопно некоторому периодическому гомеоморфизму. Следовательно, гомеоморфизм т также изотопен периодическому гомеоморфизму. Доказательство закончено.

Авторы благодарят В.З.Гринеса и О.В.Починку за плодотворные обсуждения, а также признательны рецензенту за конструктивные замечания.

Список цитируемых источников

1. Арансон С. Х, ГринесВ. З. Топологическая классификация каскадов на замкнутых двумерных многообразиях // УМН. — 1990. — Т.45, №1. — С. 3-39.

Aranson, S. Kh.; Grines, V. Z. The topological classification of cascades on closed two-dimensional manifolds. // Russ. Math. Surv. — 1990. — Vol.45, no.1. — P. 1-35.

2. ГринесВ. З, ГуревичЕ. Я., ЖужомаЕ. В., Зинина С. Х. Гетероклинические кривые диффеоморфизмов Морса-Смейла и сепараторы в магнитном поле плазмы // Нелинейная динамика — 2014. —Т.10, №4. — С. 427-438.

GrinesV.Z.; GurevichE. Ya., ZhuzhomaE. V., ZininaS.Kh. Heteroclinic curves of Morse-Smale cascades and separators in magnetic field of plasma. (Russian. English summary)// Nelinein. Din. — 2014. —Vol.10, no.4. — P. 427-438.

3. Hurewicz W., Wallman H. Dimension Theory. Princeton Mathematical Series, V. 4. Princeton University Press, Princeton, N. J. — 1941.

4. Nielsen J. Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flachen I // Acta Math. — 1927. — Vol.50. —P. 189-356.

5. Nielsen J. Die Struktur periodischer Transformationen von Flachen // Danske Vid. Selsk. Math.-Fys. Medd. — 1937. — Vol.15. — P. 1-77.

6. SmaleS. On Gradient Dynamical Systems // Annals of Math. — 1961. — Vol.74, no.1. — P. 199206.

7. Thurston W On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). — 1988. — T. 19. — №2. — С. 417-431.

Получена 30.05.2015 Переработана 23.06.2015