CC BY
55
УДК 517.9 DOI: 10.24411/2500-0101-2018-13303
0 СООТВЕТСТВИИ БАЗИСНЫХ МНОЖЕСТВ А-ЭНДОМОРФИЗМОВ И А-ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
Н. В. Исаенкова1", Е. В. Жужома2Ь
1 Нижегородская академия Министерства внутренних дел Российской Федерации, Нижний Новгород, Россия
2Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»,
Нижний Новгород, Россия "[email protected], [email protected]
Ранее авторами был введён класс диффеоморфизмов Смейла — Виеториса, который содержит ДЕ-отображения Смейла. В статье рассматривается класс А-диффеоморфизмов Смейла — Виеториса, определяющийся с помощью базовых А-эндоморфизмов многообразий, размерность которых меньше размерности несущих многообразий А-диффеоморфизмов. Показано, что имеется взаимно однозначное соответствие между базисными множествами базового А-эндоморфизма и А-диф-феоморфизма Смейла — Виеториса. Для назад-инвариантного базисного множества базового А-эндоморфизма приводится точное описание соответствующего нетривиального базисного множества А-диффеоморфизма Смейла — Виеториса. На основе полученного описания строится бифуркация между различными типами соленои-дальных базисных множеств.
Ключевые слова: соленоид, аксиома А, базисное множество, бифуркация.
Введение
В работе [1] была предложена конструкция построения нетривиальных базисных множеств А-диффеоморфизмов с помощью растягивающихся эндоморфизмов. А именно, были введены так называемые ДЕ-отображения (основные понятия и факты теории динамических систем см. в обзорах [2; 3] и книгах [4; 5]). Напомним определение ДЕ-отображения Смейла (аббревиатура ДЕ формируется из первых букв Derived from Expanding map).
Определение 1. Пусть T — замкнутое многообразие и N — n-мерный диск, n > 2. Тогда ДЕ-отображение Смейла является косым отображением вида
f : Т х N ^ Т х N, (x,y) ^ (#i(x), 92(х,у)) ,
где g1 : Т ^ Т — растягивающее отображение (будем называть его базовым), а отображение
g2|{x}xw : {x} х N ^ (gi(x)j х N
Результаты настоящей работы о взаимно однозначном соответствии между базисными множествами базового А-эндоморфизма и А-диффеоморфизма Смейла — Виеториса получены при финансовой поддержке РНФ (проект 17-11-01041), результаты, посвящённые построению бифуркации между различными типами соленоидальных базисных множеств, получены в рамках Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ в 2018 году (проект Т-95).
является равномерно сжимающим отображением n-мерного диска {x} х N в n-мерный диск {g1(x)} х N для каждой точки x Е T.
Более того, отображение f должно быть диффеоморфизмом T х N ^ f (T х N) на свой образ. Смейл [1] показал, что если размерности dim T, dim N многообразий T и N удовлетворяют соотношению dim N > dim T + 1, то такие отображения существуют (здесь используется известная теорема Уитни об аппроксимации гладкой иммерсии вложением), и более того, пересечение Pi>0fi(T х N) является гиперболическим растягивающимся аттрактором отображения f. Нетрудно показать, что Pi>0fi(T х N) локально гомеоморфен произведению пространства RdimT на канто-рово множество.
Для случая, когда T = S1 — окружность с линейным растягивающим отображением gi : T ^ T степени d > 2, и N = D2 — двумерный диск, то пересечение Pi>0fi(S1 х D2) = S(f) является топологическим соленоидом. Можно сказать, что Смейл ввёл топологические соленоиды в гиперболическую динамику.
Напомним, что впервые определение соленоида было дано Виеторисом [6] в 1927 г. (независимо соленоид был введён ван Данцингом [7] в 1930 г., см. обзор [8]). Конструкция Смейла была обобщена Вильямсом [9; 10] и Блоком [11]. Вильямс предложил вместо гладких многообразий T рассматривать ветвлённые многообразия, сохранив в качестве базового отображения g1 растягивающую иммерсию. Это обобщение позволило Вильямсу классифицировать ограничения гиперболических диффеоморфизмов на растягивающиеся аттракторы (т. е. получить классификацию внутренней динамики растягивающихся аттракторов). Блок [11] сохранил в качестве T гладкое многообразие, но вместо растягивающего отображения g1 рассматривал А-эндоморфизмы (т. е. эндоморфизмы с гиперболическим неблуждающим множеством, в котором плотны периодические точки). Поскольку Смейлом [1] для А-диффеоморфизмов была уже доказана теорема о спектральном разложении неблуждающего множества на базисные множества, то конструкция Блока позволила ему доказать теорему о спектральном разложении для П-устойчивых А-эндоморфизмов. Отметим, что связь между базисными множествами базовых А-эндоморфизмов и соответствующих А-диффеоморфизмов в работе [11] не рассматривалась. Авторами статьи в работе [12] было предложено очередное обобщение конструкции Смейла. А именно, вместо базового растягивающего отображения g1 было предложено рассматривать d-накрытия, d > 2. В работе [12] были описаны возможные топологические типы базисных множеств для случая T = S1, N = D2. Мотивацией такого обобщения конструкции Смейла являлось то, что подобные отображения возникают при изучении бифуркаций седло-узловых циклов [13; 14]. Кроме этого, Я. Б. Зельдович и др. (см. [15-17]) предположили, что отображения, подобные отображению Смейла, могут быть полезны при изучении проблемы динамо о возникновении достаточно больших магнитных полей астрофизических тел (см. также [18]).
Идеологически данная статья является развитием работ [11; 12]. Основная её цель состоит в изучении связи между базисными множествами А-диффеомор-физмов Смейла — Виеториса и базисными множествами базовых А-эндоморфиз-мов. Отметим, что в общем случае неблуждающее множество А-диффеоморфизма Смейла — Виеториса не совпадает с инвариантным соленоидальным множеством, а разбивается на тривиальные и нетривиальные базисные множества. Мы показываем, что имеется взаимно однозначное соответствие между тривиальными (нетривиальными) базисными множествами базового А-эндоморфизма и А-диффеомор-физма Смейла — Виеториса. Для назад-инвариантного базисного множества ба-
зового А-эндоморфизма приводится точное описание соответствующего нетривиального базисного множества А-диффеоморфизма Смейла — Виеториса. На основе полученного описания строится бифуркация между различными типами соленои-дальных базисных множеств, которую можно рассматривать как разрушение (или рождение) соленоидального базисного множества в случае n = 3.
Заметим, что в рамках конструкции Смейла — Вильямса были построены интересные примеры растягивающихся аттракторов в работах [19-23]. Боте [24] классифицировал соленоиды Смейла на 3-многообразиях. Он первым доказал, что ДЕотображение Смейла S1 х D2 ^ S1 х D2 может быть продолжено до диффеоморфизма некоторого замкнутого 3-мерного многообразия M3 D S1 х D2 (см. также работы [25-27]).
Пусть N — (n — к)-мерный диск, где n — к > 1. Для подмножества N1 С N определим его диаметр diamN1 = maxa,beNl{pN(a,b)}, где pN — метрика на N. Обозначим через Tk = S1 х ■ ■ ■ х S1 k-мерный тор, к Е N.
k
Определение 2. Сюръективное отображение g : Tk ^ Tk называется d-накрытием, если д — сохраняющий ориентацию локальный гомеоморфизм степени d >
2. Хорошим примером d-накрытия является сохраняющее ориентацию линейное отображение Ed : Tk ^ Tk, которое задаётся целочисленной к х к матрицей с определителем, равным d.
Определение 3. Отображение
F : Tk х N ^ Tk х N, (t,z) —^ (g(t),w(t,z)) (1)
называется косым отображением Смейла, если выполнены условия:
• F : Tk х N ^ F (Tk х N) является диффеоморфизмом на свой образ;
• g : Tk ^ Tk — d-накрытие, где d > 2;
• для любого t Е Tk ограничение w|{t}xN : {t}хN ^ TkхN является равномерно сжимающим вложением
{t} х N ^int ({g(t)} х N), (2)
т,. е. существуют числа 0 < А < 1, C > 0, такие, что
diam(Fn({t} х N)) < CAndiam({t} х N), Vn Е N. (3)
Если g = Ed и N = Dk+1, то F является ДЕ-отображением Смейла [1].
Определение 4. Диффеоморфизм f : Mn ^ Mn, где Mn — замкнутое n-мерное многообразие, называется диффеоморфизмом Смейла — Виеториса, если существует некоторое n-мерное подмногообразие Tk х N С Mn, такое, что ограничение f kfcxn == F является косым отображением Смейла. Будем называть Tk х N С Mn базовым многообразием косого отображения Смейла.
Положим H1>oF1(Tk х N) <= S(f). Полностью аналогично трёхмерному случаю, рассмотренному в [12], можно доказать, что множество S(f) = S является притягивающим, инвариантным и замкнутым, и определено ограничение f |s : S ^ S, которое является гомеоморфизмом.
Отметим, что если диффеоморфизм Смейла — Виеториса является А-диф-феоморфизмом, то базовый эндоморфизм является А-эндоморфизмом, и наоборот [11]. Следующая теорема показывает, что существует тесная связь между базисными множествами А-диффеоморфизма f |B и базисными множествами базового А-эндоморфизма д.
Теорема 1. Пусть f : Mn ^ Mn — А-диффеоморфизм Смейла — Виеториса некоторого замкнутого n-мерного многообразия Mn и пусть Tk х N = B С Mn — базовое многообразие косого отображения Смейла f |B = F, F : Tk х N ^ Tk х N, (t, z) i—> (g(t), o(t, z)). Пусть П — базисное множество d-накрытия g : Tk ^ Tk и S = f^F1 (TkxN). Тогда вПр-1(П) содержит единственное базисное множество П6 диффеоморфизма f, где p1 : Tk х N ^ Tk — естественная проекция на первый множитель. Кроме того, справедливы следующие утверждения.
1. Если П — тривиальное базисное множество (изолированная периодическая орбита) d-накрытия д, то nS также является тривиальным базисным множеством.
2. Если П — нетривиальное базисное множество d-накрытия д, то П6 также является нетривиальным базисным множеством.
3. Если П — назад-д-инвариантное базисное множество d-накрытия д, П = д-1(П) (отсюда следует, что П — нетривиальное базисное множество), то П& = S Пр-1(П).
В случае когда k = 1 и базовое многообразие T1 = S1 есть окружность, можно показать (см. [28]), что нетривиальное базисное множество неособого А-эндоморфизма окружности единственно и всегда является назад-инвариантным. Таким образом, как следствие из теоремы 1 будет верно следующее предложение, в котором мы получаем обобщение основного результата работы [12].
Предложение 1. Пусть f : Mn ^ Mn — А-диффеоморфизм Смейла — Виеториса некоторого замкнутого n-мерного многообразия Mn и T1 х N = B С Mn — базовое многообразие косого отображения Смейла f |B = F. Тогда неблуждающее множество NW(F) диффеоморфизма F принадлежит S = f^>0F1 (T1 х N) и NW(F) содержит одно нетривиальное базисное множество A(f), которое является либо одномерным растягивающимся аттрактором, и A(f) = S, либо нульмерным базисным множеством, и NW(F) состоит из A(f) и конечного (ненулевого) числа изолированных стоковых периодических точек, и конечного числа (возможно, нулевого) седловых изолированных периодических точек с устойчивым индексом Морса, равным единице. Обе возможности можно реализовать.
Предложение 1 показывает, что имеются как минимум два типа нетривиальных базисных множеств. Естественно изучить вопрос о бифуркациях от одного типа к другому. Эти бифуркации можно рассматривать как бифуркации разрушения (или рождения) соленоидальных базисных множеств. Мы представим такую бифуркацию для 3-мерной сферы S3.
Теорема 2. Существует однопараметрическое семейство А-диффеоморфизмов Смейла — Виеториса f : S3 ^ S3, 0 < р < 1, непрерывно зависящих от параметра р, таких, что
• для р = 0 неблуждающее множество NW(f0) состоит из одномерного растягивающегося аттрактора (соленоидального аттрактора Смейла) и одномерного сжимающегося репеллера (соленоидального репеллера Смейла);
• для p > 0 неблуждающее множество NW(/р) состоит из двух нетривиальных нульмерных базисных множеств и конечного числа изолированных периодических орбит.
Из доказательства вытекает, что в построенном семействе каждый диффеоморфизм / П-устойчив.
1. Основные определения
Обозначим через End(M) пространство C1-эндоморфизмов M ^ M, т. е. пространство C1-отображений многообразия M на себя.
Определение 5. Эндоморфизм g называется неособым, если g является локальным диффеоморфизмом.
Мы рассматриваем неособые эндоморфизмы g Е End(M), которые не являются диффеоморфизмами (если не оговорено противное).
Определение 6. Пусть g Е End(M). Точка x Е M называется неблуждающей, если для любой её окрестности U(x) = U существует некоторое число m Е N, такое, что gm(U) П U = 0. Объединение неблуждающих точек образует неблуждающее множество, которое мы обозначим через NW(g).
Известно, что множество NW(g) является замкнутым и вперёд-инвариантным, т.е. g(NW(g)) С NW(g).
Определение 7. Множество O(x0) = {x^-— называется g-орбитой точки x0, если g(xj) = xi+1 для любого целого числа i.
Определение 8. Орбита {x^-— называется периодической, если существует целое p > 1 такое, что gp(x^ = xi+p для любого i Е Z.
Очевидно, что неблуждающее множество NW(g) содержит все периодические g-орбиты.
Определение 9. Орбита O(x0) называется гиперболической, если существует непрерывное разложение касательного расслоения
— —
To(x,)M = U Tx, M = Es ф E“ = U EJ, ф EJ,
i=i=
инвариантное относительно производной Dg, такое, что
||Dgm(v)|| < cpm||v||, ||Dgm(w)|| > c-1p-m||w|| v Е Es, w Е Eu, Vm Е N
для некоторых констант c> 0, 0 < p < 1 и римановой метрики на TM.
Заметим, что неустойчивое (растягивающее) подрасслоение Eu(x0), вообще говоря, зависит от отрицательной полуорбиты {xi}0=^o. Другими словами, возможно неравенство Eu(x0) = Eu(y0) при x0 = y0 и O(x0) = O(y0). Что же касается устойчивого (сжимающего) подрасслоения Es(x0), то оно зависит только от точки x0 [29].
Определение 10. Будем говорить, что неособый эндоморфизм g Е End(M) удовлетворяет аксиоме А или, что то же самое, g является A-эндоморфизмом, если
• периодические g-орбиты плотны в NW(g), верно равенство g(NW(g)) = NW (g);
• все g-орбиты в NW(g) гиперболические, а соответствующие подрас-
слоения Es, Eu непрерывны на компактных частях g-орбит.
Напомним, что спектральная теорема Смейла утверждает, что неблуждающее множество А-диффеоморфизма f распадается на непустые, замкнутые, инвариантные и транзитивные множества, NW(f) = Q1 U ... U Qk, которые называются базисными множествами. Аналогичная теорема для А-эндоморфизмов была доказана в работах [11; 29].
Следуя Вильямсу [9; 10], введём понятие обратного предела для отображения g : T ^ T.
Определение 11. Рассмотрим множество Пд = {(to,ti ,...,tj,...) е tN : g(ti+1) = ti, i > 0 }, наделённое стандартной топологией произведения счётного семейства, в которой база задаётся следующим набором (е, г)-окрестностей точек {t0, t1, . . . , ti, . . .} е Пд:
U = < {^}0° е ]^[ : xi е U£(ti), 0 < i < r для некоторых е > 0, r е N I д
Определим отображение сдвига (так называемый обратный предел) по правилу g : ^ П, g(t0 ,t1, . . . ,ti, . . .) = (g(t0), t0, t1, . . . ,ti, . . .) , (t0 ,t1, . . . ,ti, . . .) е ]^[ .
д д д
Известно, что g является гомеоморфизмом [10; 30].
2. Доказательство основных результатов
Обозначим через p1 : Tk х N ^ Tk, p2 : Tk х N ^ N естественные проекции p1(t, z) = t и p2(t, z) = z. Слой {t} х N <=f Nt расслоения p1 будем называть t-листом. Из (1) получаем, что F = f |B переводит t-лист в g(t)^^^
Для t е Tk и е > 0 обозначим е-окрестность точки t через U£(t), т. е. U£(t) = {x е Tk : g(x,t) < е}, где q — метрика на Tk.
Следующая лемма описывает символическую модель ограничения f |g (см. также [9; 10]).
Лемма 1. Пусть f : Mn ^ Mn — диффеоморфизм Смейла — Виеториса замкнутого n-мерного многообразия Mn и пусть Tk х N = B С Mn — базовое многообразие косого отображения Смейла f |B = F вида (1). Тогда ограничение f |S сопряжено обратному пределу d-накрытия g : Tk ^ Tk, где S = П^>0F1 (Tk х N). Более того, справедливы следующие утверждения.
1. Для каждой точки t0 е Tk множества F(Nti), ..., F(Ntd) попарно не пересекаются:
F(Nt0) П F(Nt0) = ^ i = 3, 1 < i,j < d,
где d точек t0, t"^, ..., t0 е Tk составляют прообраз g-1(t0).
2. Для любой точки p е S существует единственная последовательность точек {ti}0=0, ti е Tk, и соответствующая последовательность U-листов {Nti }0=0, таких, что
• p е ••• С Fi(Nti) С Fi-1(Nti-i) ••• С F(Nti) С Nt0, p = n^F^);
• ti = g(ti+1), i > 0.
3. Если g : Пд ^ Пд суть обратный предел отображения д : Tk ^ Tk, где Пд = { (to,ti ,...,ti,...) е TN : g(ti+i) = и, i > 0 } и точке p = n^F i(Nti) соответствует последовательность P(t0,t1,... ,ti,...), то отображение
0 : & ^ Д, p I—» P(to, 11,... ,ti,...), Р е &,
д
является гомеоморфизмом.
4. Имеет место равенство 0 о F|& = g о 016.
Доказательство. Для n = 3 и Tk = S1 лемма 1 доказана в [12]. Доказательство в данном более общем случае полностью аналогично, и мы его опускаем. □
Лемма 2. Пусть t = {t0,t1,... ,ti,...,} е Пд, д(^'1+1) = ti, i > 0. Если ti е NW(д) для всех i > 0, то t е NW(g) и 0-1(t) е NW(F).
Доказательство. Имеем t = {t0,t1,... ,ti,... , } = {gr(tr),gr-1(tr),... ,tr,...}. Возьмём (e, г)-окрестность V точки t, которая определяется по правилу
V = {{gr (xr ),gr-1(Xr ),...,xr,...} : gl(Xr) е Us (дг(Еj) , 0 < i < r }.
Так как д, д2, ..., gr являются равномерно непрерывными отображениями, то существует 0 <5 < e такое, что из x е Us(y) следует дг(х) е U£(дг(у)) для всех 0 < i < r. Поскольку tr е NW(д), то существует n0 е N такое, что дП0 (Vs(tr)) П Vs(tr) = 0. Отсюда следует, что существует точка x0 е Vs (tr) такая, что дП0 (x0) е Vs (tr).
Возьмём x0 = {gr (x0), gr-1(x0),... ,x0,...} е Пд. Так как x0 е Vs (tr), gi(x0) е U£ (gi(tr)) для всех 0 < i < r, то x0 е V. Поскольку gn°(x0) е Vs(tr), gn0+i(x0) е U£ (gi(tr)) для всех 0 < i < r, то
gn0 (x0) = { gn0+r (x0 ),gn»+'-1(x0),.. .,gn0 (x0),...} е V.
Как следствие получаем, что gn° (V) П V = 0 и t е NW(д). Известно, что сопрягающее отображение переводит неблуждающее множество в неблуждающее множество, и в силу леммы 1 0-1(t) е NW(F). □
Предложение 2. Справедливы следующие равенства:
Р1 [NW (f |b)] = Р1 [NW (F)] = NW (д).
Доказательство. Поскольку проекция р1 является непрерывным отображением, то верно включение p1 [NW(F)] С NW(д). Возьмём t0 е NW(д). Так как д суть А-эндоморфизм, то д [NW(д)] = NW(д) [11; 29]. Значит, существует последовательность {tj,|i = 0,1,...} С NW(д), такая, что д(^+^ = ^ для любого i > 0.
Согласно лемме 2, если t = {t0, t]_,... ,ti,..., } е NW (g), то 0-1(t) е NW (F). Из определения отображения 0 получаем 0-1(t) е p-1(t0). Таким образом, NW(д) С Р1 [NW (F)]. □
Лемма 3. Если (t0,z0) е & является неблуждающей точкой отображения f и 0(t0,z0) = {ti}i>0, то имеет место включение ti е NW(д) для всех i > 0.
Доказательство. Из предложения 2 вытекает, что p1 [NW(f |b)] = p1 [NW(F)] = NW(д). Следовательно, t0 е NW(д). Так как F& : & ^ & суть диффеоморфизм, то F-1 (NW(F)) = NW(F) и F-1(h,z0) = (h, z-\) е NW(F) = NW(fo). Согласно лемме 2, t1 е NW(д). Продолжая рассуждения аналогичным образом, показывается, что ti е NW(д) для всех i > 0. □
Предложение 3. Пусть (t0,z0) Е & — неблуждающая точка отображения f и e(t0,z0) = |^г}г>о- Если t0 принадлежит базисному множеству П отображения g, то ti Е П для всех i > 0.
Доказательство. Согласно лемме 3, ti Е NW(g) для всех i > 0. Поскольку множество П вперёд-д-инвариантное, то ti Е П для всех i > 0. □
Лемма 4. Пусть П — нетривиальное базисное множество отображения g и t0 Е П. Если две точки (t0,z\), (t0,z2) Е & принадлежат неблуждающему множеству отображения f, то (t0,zi) и (t0,z2) принадлежат одному и тому же базисному множеству f.
Доказательство. Обозначим за Пj такое базисное множество F, которое содержит точки (t0,zj), j = 1, 2. Ясно, что П^ С &. Мы должны доказать справедливость равенства П1 = П2. Для этого достаточно показать существование неблуждающей точки q Е NW(F), такой, что каждая из двух точек (t0,z1) и (t0,z2) содержится в ^-предельном множестве q.
Пусть tj = 9(t0,zj) = {t0, tij),..., t(j),...}, j = 1,2. Согласно предложению 3, t(j) Е П для всех i > 0, j = 1, 2. Поскольку базисное множество П транзитивно, существует такая точка х0 Е П, что её положительная полуорбита O+(x0) плотна в П, clos (O+(x0)) = П.
В силу предложения 2, существует точка х0 = {х0,х1,... ,xi,...} Е Лg, такая, что xi Е П для всех i > 0. Рассмотрим произвольную (е, г)-окрестность U(t1) точки t1. Так как д, д2, ..., gr являются равномерно непрерывными отображениями, существует такое 8 > 0, что из включения х Е Us(y) следует включение gi(x) Е U£(y) для всех 0 < i < r. Поскольку полуорбита O+ (x0) плотна в П, существует такое п0 Е N, что gn0(x0) Е Us(t(1)). Следовательно, gn0(x0) Е U(t1). Значит, t1 = 0(t0,z1)
принадлежит ^-предельному множеству точки x0. Аналогичным образом можно показать, что t2 = e(t0,z2) тоже лежит в ^-предельном множестве точки x0. Так как в — сопрягающее отображение, то точки (t0,z1) = e-1(i1) и (t0,z2) = 9-1(t2) принадлежат ^-предельному множеству точки q = в-1(ж0) Е NW(F). □
2.1. Доказательство теоремы 1
Нам известно, что p1 [NW(F)] = NW(g). Значит, & Пр-1(П) содержит базисное множество диффеоморфизма f. Допустим, что П — тривиальное множество, т. е. П является изолированной периодической орбитой
П = Orbg(q) = {q,g(q),... ,gp-1 (q),gp(q) = q}, где q Е Tk и p Е N — период q.
Согласно определению 1 косого отображения Смейла ограничение диффеоморфизма F = f |B на втором множителе N содержит непрерывный растягивающийся аттрактор. Таким образом, Nq X fp(Nq) X ■ ■ ■ X fmp(Nq) X ■ ■ ■ и пересечение Hm>0 f mp(Nq) = Q — единственная точка. По аналогии пересечение nm>0fmp(Ngi(q)) также является единственной точкой f i(Q) для каждого 0 < i < p — 1.
Из условия (1) получаем, что {Q, f (Q),... , fp-1(Q), fp(Q) = Q} — изолированная периодическая орбита Orbf (Q), такая, что NW(F) Пp-^П) = Orbf(Q). Таким образом, Orbf (Q) = П& — это единственное базисное множество F, которое содержится в & П p-^П).
Пусть П является нетривиальным базисным множеством. По лемме 4 базисное множество диффеоморфизма F лежит в & П p-^П) и не совпадает с ним. Поэтому П& — это единственное базисное множество f, содержащееся в & Пp-^П).
Рассмотрим случай, когда П является назад-д-инвариантным базисным множеством д. Из равенства П = д-1(П) следует, что П — тривиальное базисное множество, поскольку д — d-накрытие, d > 2. Согласно лемме 2 каждая точка пересечения S П р-1(П) является неблуждающей точкой диффеоморфизма f. Из леммы 4 следует, что S П р-1(П) — единственное базисное множество. Таким образом, теорема 1 доказана. □
Примеры. Рассмотрим три эндоморфизма д* : T2 ^ T2, i = 1,2, 3, каждый из которых является 2-накрытием. Эндоморфизм д1 определяется матрицей
Нетрудно проверить, что д1 является эндоморфизмом Аносова, и T2 суть единственное базисное множество эндоморфизма д1. Соответствующий А-диффеоморфизм Смейла — Виеториса f имеет в базовом множестве единственное базисное множество, скажем П1, локально гомеоморфное прямому произведению двумерного диска на канторово множество. Таким образом, П1 является двумерным нетривиальным базисным множеством. В качестве д2 возьмём А-эндоморфизм T2 ^ T2, построенный в работе [31], с одним одномерным нетривиальным базисным множеством и одним тривиальным базисным множеством. Эндоморфизм д2 полусопряжён эндоморфизму д1. Соответствующий А-диффеоморфизм Смейла — Виеториса будет иметь ровно одно одномерное нетривиальное базисное множество и одно тривиальное базисное множество. В качестве д3 возьмём А-эндоморфизм T2 ^ T2 с одним нетривиальным нульмерным базисным множеством и несколькими тривиальными базисными множествами. Такие эндоморфизмы построены в работе [29] с использованием эндоморфизма Шуба [32].
Соответствующий А-диффеоморфизм Смейла — Виеториса будет иметь ровно одно нульмерное нетривиальное базисное множество и несколько тривиальных базисных множеств.
Перейдём к рассмотрению случая, когда T1 = S1 — это окружность, и d-накрытие д : T1 ^ T1 является неособым эндоморфизмом окружности S1. Важным шагом в доказательстве следствия 1 является следующий результат, который можно извлечь из [28] (для удобства читателя мы схематично приводим доказательство).
Лемма 5. Пусть д : T1 ^ T1 является неособым А-эндоморфизмом. Тогда неблуждающее множество NW(д) либо совпадает с T1, либо NW(д) представляет собой объединение некоторого канторова множества Е, ненулевого конечного числа изолированных притягивающих периодических орбит и конечного (может, быть, нулевого) числа растягивающих изолированных периодических орбит. Более того, для второго случая Е — это назад-д-инвариантное множество.
31
11
Доказательство. Допустим, что NW(д) = T1. Из работы Шуба [32] следует, что эндоморфизм д полусопряжён отображению Ed, Ed(t) = dt mod 1, которое является растягивающимся линейным отображением, т. е. существует такое непрерывное отображение h : T1 ^ T1, что выполняется равенство д о h = h о Ed. Согласно [33] h — это монотонное отображение. Следовательно, для каждой точки t Е T1 её прообраз h-1(t) — либо точка, либо замкнутый сегмент. Поскольку NW(д) = T1, то h не является гомеоморфизмом. Таким образом, найдутся точки t Е T1, для которых h-1(t) — (нетривиальные) замкнутые сегменты. Множество таких точек обозначим через у. Можно показать, что у счётно и инвариантно относительно Ed, Ed(x) = E-1(y) = х [5; 33]. Значит, множество h-1(y) будет инвариантным относительно д.
Поскольку h — сопрягающее отображение и х — инвариантное множество, то Е инвариантно относительно g. Кроме того, h является монотонным отображением, а х содержит всюду плотные орбиты. Значит, множество Е равномерно непрерывно. Как следствие получаем, что множество Е = T1 \ clos(h-1(x)) канторовского типа и состоит из неблуждающих точек эндоморфизма g. Более того, Е назади-инвариантно. Из работы [34] следует, что NW(g) состоит из Е, ненулевого конечного числа изолированных притягивающих периодических орбит и конечного (может быть, нулевого) числа растягивающих изолированных периодических орбит. □
2.2. Доказательство теоремы 2
Сперва построим двухпараметрическое семейство ge,s накрытий окружности степени d > 2 (d-эндоморфизмов), непрерывно зависящее от параметров е Е (0,1) и 5 Е [0,1/4). Пусть Us (x) является так называемой бамп-функцией, т. е.
• Us(x) = 1 для x Е [-5/2, +5/2], 0 <5 < 1/4;
• Us(x) = 0 для |x| > 5;
• US(x) > 0 для x Е [-5, -5/2] и US(x) < 0 для x Е [5/2,5].
Ключевую роль в доказательстве играет следующий результат, который имеет самостоятельный интерес (мы формулируем его в виде отдельного утверждения).
Лемма 6. Пусть
ge,S (x)
dx + (—d + e)xUS(x) mod 1 для е Е (0,1), 5 Е (0,1/4); dx mod 1 для е = 0, 5 = 0.
Тогда при е = 0 и 5 = 0 отображение ge,s является структурно устойчивым неособым d-эндоморфизмом окружности, таким, что его неблуждающее множество NW(ge,s) есть объединение единственной гиперболической притягивающей точки x = 0 и гиперболического канторова множества. Для е = 0 и 5 = 0 имеет, место равенство NW(go,o) = S1. Более того, ge,s ^ Ed (в пространстве эндоморфизмов, наделённом C0 топологией) при 5 ^ 0 и фиксированном е = 0.
Доказательство. Для е = 0 и 5 = 0 имеем
ge,s(x) = d + (—d + е) [xUS(x)' + Us(x)] = d + (—d + £)xUS(x)' + (—d + е)US(x).
Поскольку d + (—d + е)^(x) > е и xUS(x)' < 0, то g'eS(x) > е. Так как вне 5-окрестности VS (0) точки x0 = 0 отображение ge,s совпадает с линейным d-эндоморфизмом Ed(x) = dx mod 1, то ge,s является неособым d-эндоморфизмом. Из равенства g'es(0) = е Е (0,1) вытекает, что x = 0 — гиперболическая притягивающая точка. Решение уравнения dx + (—d + е^^ (x) = x даёт две неподвижные точки ±x* Е VS (0), такие, что
Us (±x*)
d1
d — е
> 1,
где
5
2
< x < 5.
Поэтому ^-предельное множество любой точки из (—x*,x*) есть x0 = 0. Следовательно, NW (ge , s) равно
NW(ge,S) = {xo}U (S1 \ Ufc>og-;,5 (-x*,x*)) ,
где C = S1 \Ufc>og£k(-x*,x*) является канторовым множеством. Для каждой точки x £ C имеем
g£>s(x) = d + (-d + e)xUS(x) + (-d + e)Us(x) > d + (-d + e)Us(x*) + (-d + e)xUS(x) =
= 1 + (-d + e)xUS(x) > 1.
Отсюда и из работы [34] следует, что g£,s структурно устойчивый. Далее, для любой точки x £ Vs (0) имеем
|g£,s(x) - Ed(x)| = |(-d + e)xUs(x)| < 8d ^ 0 при 8 ^ 0. Следовательно, g£,s ^ Ed при 8 ^ 0 в C0 топологии. □
Зафиксируем параметры e = 0, 8 = 0 и положим g£,s = g : S1 ^ S1. Рассмотрим теперь построенное согласно формулам (1)-(3) косое отображение Смей-ла F : S1 х Dn~l ^ S1 х Dn~l для n = 3. В силу леммы 6 неблуждающее множество NW(д) неособого А-эндоморфизма g : S1 ^ S1 состоит из единственной притягивающей неподвижной точки x0 и канторова множества П. Нам будет удобно считать, поменяв параметризацию окружности, что 1) x0 = 1/4; 2) ограничение д| [0,1/2] является диффеоморфизмом [0,1/2] ^ [0,1/2] с одной притягивающей неподвижной точкой x0 и двумя отталкивающими неподвижными точками 0, 1/2; 3) g|[1/2,1](x) = (2d - 1)x mod 1; 4) Dg(x0) = Л, где можно считать, что 0 < Л < 4 sin 2угт < 1. Тогда Un>0g-n (0,1/2) является устойчивым многообразием W s(x0) точки x0 и П = S1 \ Ws(x0). По построению Dg |п = 2d -1. Теперь на базовом многообразии B = S1 х D2 положим
F(t, z) = f g(t), Лг + - exp 2nit j , F : B = S1 х D2 ^ B,
где z = x + iy принадлежит единичному диску D2 C R2 = C. Поскольку Л < 1/4, то F(B) C intB. Якобиан F равен
DF (t,z)
Dg(t) 0
ni exp2nit Л/d2
(4)
где Id2 — единичная матрица. Нетрудно проверить, что F является диффеоморфизмом на свой образ.
В силу того, что g является А-эндоморфизмом, периодические точки g плотны в NW(g). Согласно лемме 2 периодические точки F также плотны в NW(F). Остаётся показать, что неблуждающее множество NW(F) имеет гиперболическую структуру. Здесь мы следуем предложению 8.7.5 [30]. Очевидно, касательное расслоение T(B) = T(S1 х D2) представляет собой сумму T(B) = T(S1) ф T(D2), и слой T(tz)(B) над каждой точкой (t,z) £ B является суммой одномерного и двумерного касательных пространств Tt(S1) = E1 = R, Tz(T2) = E2 = R2 соответственно. Из (4) следует, что E2 инвариантно относительно DF,
DF„
V23
0
ЛФз
V23 £ E2.
Кроме того, так как |Л| < 1, то E2 — устойчивое подрасслоение, Es = E2.
Возьмём точку q = (t,z) Е NW(F). Тогда pi(q) = t Е NW(gd). Если t = x0, то q является гиперболической (притягивающей) неподвижной точкой F. Для t Е П, рассмотрим конусы
cq = { : Vi Е Tt(S1),V:23 Е E;2, |Vi|> |V2a^ С T(B) = E1 0 E2.
Для (У) Е Cq в силу (4) получаем
df (!1 \ = (V1 \ _(2d - 1)01 Y
\V23j \v'23) \nivi exp 2nit + XV23)
Следовательно, |023| < |niexp2nitv1| + A|023| = n|v11 + A|023|. Учитывая неравенство A < 1/4, получаем
К1 = (2d - 1)|V1|
2d - 1,_ .. 2d - 1 / _ , Г Д
4 (4|v1|) > 4 ( nM + g M J >
>
2d - 1
4
n|V1| +
2d -”8
■|V23|
1
2d 1 2d 1
> 4 (n|v11 + A|v23 |) > 4 |v23 1,
поскольку > 4. Таким образом, Q)1) Е Cq(q) и DF(Cq) С Cq(q). Как следствие для любого к Е N получаем
DFk(Cq_fc(q)) С DFk-1(Cq_fc+i(q)) С ■ ■ ■ С DF(C^) С C(
k1
Чя)) С DF (CF~k+1(q)) С ■ ■ ■ С DF (CF-1(q))
Докажем, что пересечение этих вложенных конусов является прямой. Для этого возьмём
0
023
IV1 w23
Cq ,
Е CF-k(q),
v'k
Vk3
DFk
k( V1 023
k
wk
k
w 23
DF
w 1
w23
Обозначим |0j | = vj, |wj | = wj, 01 = (v1, 0), w 1 = (w1,0), v1 > 0, w1 > 0. Тогда
013
v1
w23
w11
niV1 exp 2nit + A023 niw 1 exp 2nit + Aw231
(2d — 1)v1
ni exp2nit(w1'V1 — v1te 1) A
+
V23
V1
w 23 w1
(2d — 1)v1 w1 ' 2d — 1
так как w1V1 — v1 w 1 = |w 1|01 — |0l|w 1 = 0. Следовательно
w1
A 023 w23
= 2d — 1 V1 w1
со ( A V 023 w23
vk k wk V2d — 1y V1 w1
стремится к 0 при к м то. Поэтому последовательность вложенных конусов сходится к некоторой прямой, например Eq, причём ограничение DF на Eq является равномерно растягивающим отображением.
В работе [24] было показано, что косое отображение Смейла F : S1 х D2 м S1 х D2, построенное на основе растягивающего эндоморфизма окружности, может быть продолжено до диффеоморфизма трёхмерной сферы S3. В [25] доказано, что для любого линзового пространства Lpq, включая S3, существует диффеоморфизм Lp,q м Lp,q с одним соленоидальным аттрактором Смейла и одним соленоидаль-ным репеллером Смейла. Используя методы работ [24; 25] (см. также [9; 11; 26]), можно показать, что косое отображение Смейла, построенное на основе неособого А-эндоморфизма окружности, также может быть продолжено до диффеоморфизма S3. Это завершает доказательство теоремы 2. □
Список литературы
1. Smale, S. Differentiable dynamical systems / S. Smale // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1967. — Vol. 73. — P. 747-817.
2. Аносов, Д. В. Исходные понятия. Элементарная теория / Д. В. Аносов // Итоги науки и техники. Соврем. проблемы математики. Фундамент. направления. — 1985. — Т. 1. Динамич. системы — 1. — С. 156-204.
3. Гринес, В. З. Грубые диффеоморфизмы с базисными множествами коразмерности один / В. З. Гринес, Е.В.Жужома, О. В. Починка // Соврем. математика. Фундамент. исслед. — 2015. — Т. 57. — С. 5-30.
4. Гринес, В. З. Введение в топологическую классификацию диффеоморфизмов на многообразиях размерности два и три / В. З. Гринес, О. В. Починка. — М.; Ижевск : РХД, 2011. — 424 c.
5. Aranson, S. Kh. Introduction to Qualitative Theory of Dynamical Systems on Closed Surfaces / S. Kh. Aranson, G. Belitsky, E. Zhuzhoma. — American Mathematical Society, 1996. — P. 425-437.
6. Vietoris, L. Uber den hoheren Zusammenhahg kompakter Raume und Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen / L. Vietoris // Mathematische Annalen. — 1927. — Vol. 97. — P. 454-472.
7. Van Danzig, D. Uber topologisch homogene Kontinua / D. van Danzig // Fundamenta Mathematicae. — 1930. — Vol. 14. — P. 102-105.
8. Takens, F. Multiplications in solenoids as hyperbolic attractors / F. Takens // Topology and Applications. — 2005. — Vol. 152. — P. 219-225.
9. Williams, R. F. One-dimensional non-wandering sets / R. F. Williams // Topology. — 1967. — Vol. 6. — P. 473-487.
10. Williams, R. F. Expanding attractors / R. F. Williams // Publications mathematiques de l’IHES. — 1974. — Vol. 43. — P. 169-203.
11. Block, L. Diffeomorphisms obtained from endoomorphisms / L. Block // Transactions of the American Mathematical Society. — 1975. — Vol. 214. — P. 403-413.
12. Жужома, Е. В. О нульмерных соленоидальных базисных множествах / Е.В.Жужома, Н. В. Исаенкова // Мат. сб. — 2011. — Т. 202, № 3. — С. 47-68.
13. Ильяшенко, Ю. С. Нелокальные бифуркации / Ю. C. Ильяшенко, Вейгу Ли. — М. : МЦНМО, 1999. — 415 c.
14. Тураев,Д. В. О катастрофах голубого неба / Д. В.Тураев, Л. П. Шильников // Докл. Акад. наук. — 1995. — Т. 342. — С. 596-599.
15. Арнольд, В. И. Топологические методы в гидродинамике / В. И. Арнольд, Б.А.Хесин. — М. : МЦНМО, 2007. — 392 с.
16. Вайнштейн, С. И. О происхождении магнитных полей в астрофизике (Турбулентные механизмы «динамо») / С. И. Вайнштейн, Я. Б. Зельдович // Успехи физ. наук. — 1972. — Т. 106. — С. 431-457.
17. Childress, S. Stretch, Twist and Fold: The Fast Dynamo / S. Childress, A. Gilbert. — Lecture Notes in Physics. — Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 1995. — 412 p.
18. Жужома, Е. В. О топологической структуре магнитного поля областей фотосферы / Е.В.Жужома, В. С. Медведев, Н. В. Исаенкова // Нелинейная динамика. — 2017. — Т. 13, № 3. — С. 399-412.
19. Жужома, Е. В. О классификации одномерных растягивающихся аттракторов / Е.В.Жужома, Н. В. Исаенкова // Мат. заметки. — 2009. — Т. 86, вып. 3. — С. 360370.
20. Bothe, H. Transversally wild expanding attractors / H. Bothe // Mathematische Nachrichten. — 1992. — Vol. 157. — P. 25-49.
21. Farrell, F. New attractors in hyperbolic dynamics / F. Farrell, L. Jones // Journal of Differential Geometry. — 1980. — Vol. 15. — P. 107-133.
22. Jones, L. Locally strange hyperbolic sets / L. Jones // Transactions of the American Mathematical Society. — 1983. — Vol. 275, no. 1. — P. 153-162.
23. Robinson, C. Classification of expanding attractors: an example / C. Robinson,
R. Williams // Topology. — 1976. — Vol. 15. — P. 321-323.
24. Bothe, H. The ambient structure of expanding attractors. II. Solenoids in 3-manifolds / H.Bothe // Mathematische Nachrichten. — 1983. — Vol. 112. — P. 69-102.
25. Boju Jiang. 3-manifolds that admit knotted solenoids as attractors / Boju Jiang, YiNi, ShichengWang // Transactions of the American Mathematical Society. — 2004. — Vol. 356. — P. 43-82.
26. Jiming Ma. The realization of Smale solenoid type attractors in 3-manifolds / Jiming Ma, Bin Yu // Topology and its Applications. — 2007. — Vol. 154. — P. 3021-3031.
27. Jiming Ma. Genus two Smale-Williams solenoids in 3-manifolds / Jiming Ma, Bin Yu // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2011. — Vol. 20. — P. 909-926.
28. Жужома, Е. В. Классификация накрытий окружности / Е. В. Жужома, Н. В. Исаенкова // Тр. МИАН. — 2012. — Т. 278. — С. 96-101.
29. Przytycki, F. Anosov endomorphisms / F. Przytycki // Studia Mathematica. — 1977. — Vol. 58, no. 3. — P. 249-285.
30. Robinson, C. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos /
C. Robinson. — Studies in Advanced Mathematics. Boca Raton et al. : CRC Press, 1998. — 520 p.
31. Куренков, Е. Д. О существовании эндоморфизма двумерного тора со строго инвариантным сжимающимся репеллером / Е. Д. Куренков // Журн. Средневолж. мат. об-ва. — 2017. — Т. 19, № 1. — С. 60-66.
32. Shub, M. Endomorphisms of compact differentiable manifolds / M. Shub // American Journal of Mathematics. — 1969. — Vol. 91. — P. 175-199.
33. De Melo, W. One-Dimensional Dynamics / W. deMelo, S.vanStrien. — Berlin, Heidelberg, New York : Springer-Verlag, 1993. — 605 p.
34. Nitecki, Z. Nonsingular endomorphisms of the circle / Z.Nitecki // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. — 1970. — Vol. 14. — P. 203-220.
Поступила в редакцию 21.06.2018 После переработки 21.07.2018
Сведения об авторах
Исаенкова Наталья Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, информатики и информационных технологий, Нижегородская академия Министерства внутренних дел Российской Федерации, Нижний Новгород, Россия; e-mail: [email protected].
Жужома Евгений Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры фундаментальной математики, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Нижний Новгород, Россия; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2018. Vol. 3, iss. 3. P. 295-310.
DOI: 10.24411/2500-0101-2018-13303
ON THE COMPLIANCE OF THE BASIC SETS OF A-ENDOMORPHISMS AND A-DIFFEOMORPHISMS N.V. Isaenkova1", E.V. Zhuzhoma2,b
1 Nizhniy Novgorod Academy of the Ministry of Internal Affairs of the Russian Federation, Nizhniy Novgorod, Russia
2National research University "Higher school of Economics", Nizhniy Novgorod, Russia "[email protected], [email protected]
We consider a class of Smale — Vietoris A-diffeomorphisms that are defined using basic A-endomorphisms of manifolds, the dimension of which is less than the dimension of the supporting manifolds of A-diffeomorphisms. The class of Smale — Vietoris diffeomorphisms contains DE-mappings of Smale. We show that there is a one-to-one correspondence between the basic sets of the basic A-endomorphism and Smale — Vietoris diffeomorphisms. For back-invariant basic set of basis A-endomorphism there is an accurate description of the corresponding non-trivial basic set of Smale — Vietoris A-diffeomorphism. Using the description obtained, one constructs the bifurcation between different types of solenoidal basic sets.
Keywords: solenoid, axiom A, basic set, bifurcation.
References
1. Smale S. Differentiable dynamical systems. Bulletin of the American Mathematica Society, 1967, vol. 73, pp. 747-817.
2. Anosov D.V. Iskhodnye ponyatiya. Elementarnaya teoriya [Initial concepts. Elementary theory]. Itogi nauki i tekhniki. Sovremennye problemy matematiki. Fundamental’nye napravleniya [Results of science and technology. Modern problems of mathematics. Fundamental directions], 1985, vol. 1, Dinamicheskiye sistemy — 1 [Dynamic systems — 1], pp. 156-204. (In Russ.).
3. GrinesV.Z., Zhuzhoma E.V., PochinkaO.V. Rough diffeomorphisms with basis sets of codimension one. Journal of Mathematical Sciences, 2017, vol. 225, no. 2, pp. 195219.
4. GrinesV.Z., PochinkaО.V. Vvedeniye v topologicheskuyu klassifikatsiyu diffeomorfizmov na mnogoobraziyakh razmernosti dva i tri [Introduction to the topological classification of diffeomorphisms on manifolds of dimension two and three]. Moscow, Izhevsk, RKhD Publ., 2011. 424 p. (In Russ.).
5. Aranson S.Kh., Belitsky G., ZhuzhomaE. Introduction to Qualitative Theory of Dynamical Systems on Closed Surfaces. American Mathematical Society, 1996. Pp. 425-437.
6. Vietoris L. Uber den hoheren Zusammenhahg kompakter Raume und Klasse von zu-sammenhangstreuen Abbildungen. Mathematische Annalen, 1927, vol. 97, pp. 454-472.
7. Van Danzig D. Uber topologisch homogene Kontinua. Fundamenta Mathematicae, 1930, vol. 14, pp. 102-105.
8. Takens F. Multiplications in solenoids as hyperbolic attractors, Topology and Applications, 2005, vol. 152, pp. 219-225.
9. Williams R.F. One-dimensional non-wandering sets. Topology, 1967, vol. 6, pp. 473487.
10. Williams R.F. Expanding attractors. Publications mathematiques de l’IHES, 1974, vol. 43, pp. 169-203.
11. Block L. Diffeomorphisms obtained from endomorphisms. Transactions of the American Mathematical Society, 1975, vol. 214, pp. 403-413.
12. Zhuzhoma E.V., Isaenkova N.V. Zero-dimensional solenoidal base sets. Sbornik: Mathematics, 2011, vol. 202, no. 3, pp. 351-372.
13. Il’yashenko Yu.S., VeyguLi. Nonlocal bifurcations. Moscow, MTsNMO Publ., 1999. 415 p.
14. TuraevD.V., Shil’nikov L.P. O katastrofakh golubogo neba [About blue sky disasters]. Doklady Akademii nauk [Doklady of Academy of Sciences], 1995, vol. 342, pp. 596-599. (In Russ.).
15. Arnol’dV.I., HesinB.A. Topologicheskiye metody v gidrodinamike [Topological methods in hydrodynamics]. Moscow, MTsNMO, 2007. 392 p. (In Russ.).
16. Vainshtein S.I., Zel’dovich Ya.B. Origin of magnetic fields in astrophysics (Turbulent "dynamo" mechanisms). Soviet Physics Uspekhi, 1972, vol. 15, no. 2, pp. 159-172.
17. Childress S., Gilbert A. Stretch, Twist and Fold: The Fast Dynamo. Lecture Notes in Physics. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1995. 412 p.
18. Zhuzhoma E.V., Medvedev V.S., Isaenkova N.V. O topologicheskoy strukture magnitnogo polya oblastey fotosfery [On the topological structure of the magnetic field in the photosphere regions]. Nelineynaya dinamika [Russian Journal of Nonlinear Dynamics], 2017, vol. 13, no. 3, pp. 399-412. (In Russ.).
19. Zhuzhoma E.V., Isaenkova N.V. On classification of one-dimensional expanding attractors. Mathematical Notes, 2009, vol. 86, no. 3, pp. 333-341.
20. BotheH. Transversally wild expanding attractors. Mathematische Nachrichten, 1992, vol. 157, pp. 25-49.
21. Farrell F., Jones L. New attractors in hyperbolic dynamics. Journal of Differential Geometry, 1980, vol. 15, pp. 107-133.
22. Jones L. Locally strange hyperbolic sets. Transactions of the American Mathematical Society, 1983, vol. 275, no. 1, pp. 153-162.
23. Robinson C., Williams R. Classification of expanding attractors: an example.
Topology, 1976, vol. 15, pp. 321-323.
24. BotheH. The ambient structure of expanding attractors. II. Solenoids in 3-manifolds. Mathematische Nachrichten, 1983, vol. 112, pp. 69-102.
25. Boju Jiang, YiNi, Shicheng Wang. 3-manifolds that admit knotted solenoids as attractors. Transactions of the American Mathematical SocieAy, 2004, vol. 356, pp. 43-82.
26. JimingMa, Bin Yu. The realization of Smale solenoid type attractors in 3-manifolds. Topology and its Applications, 2007, vol. 154, pp. 3021-3031.
27. JimingMa, Bin Yu. Genus two Smale — Williams solenoids in 3-manifolds. Journal of Knot Theory and its Ramifications, 2011, vol. 20, pp. 909-926.
28. Zhuzhoma E.V., Isaenkova N.V. Classification of coverings of the circle Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2012, vol. 278, pp. 88-93.
29. Przytycki F. Anosov endomorphisms. Studia Mathematica, 1977, vol. 58, no. 3, pp. 249285.
30. Robinson C. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. Studies in Advanced Mathematics. Boca Raton et al, CRC Press, 1998. 520 p.
31. KurenkovE.D. O sushchestvovanii endomorfizma dvumernogo tora so strogo invariantnym szhimayushchimsya repellerom [On the existence of an endomorphism of a two-dimensional torus with a strictly invariant compressible repeller]. Zhurnal Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva [Journal of Middle Volga Mathematical Society], 2017, vol. 19, no. 1, pp. 60-66. (In Russ.).
32. Shub M. Endomorphisms of compact differentiable manifolds. American Journal of Mathematics, 1969, vol. 91, pp. 175-199.
33. De Melo W., van Strien S. One-Dimensional Dynamics. Berlin, Heidelberg, New York, Springer-Verlag, 1993. 605 p.
34. Nitecki Z. Nonsingular endomorphisms of the circle. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 1970, vol. 14, pp. 203-220.
Accepted article received 21.06.2018 Corrections received 21.07.2018
