О типах ячеек ω-устойчивых потоков без периодических траекторий на поверхностях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, 2015, том 5(33), №1-2, 43-49

УДК 517.938

О типах ячеек ^-устойчивых потоков без периодических траекторий на поверхностях1

В. Е. Круглое*, Т.М.Митрякова*, О.В.Починка**

* Нижегородский Государственный Университет имени Н.И. Лобачевского, 603950, Нижний Новгород.

** Национальный Исследовательский Университет Высшая Школа Экономики 603155, Нижний Новгород.

E-mail: KruglovSlava21@mail.ru, tatiana.mitryakova@yandex.ru, olga-pochinka@yandex.ru

Аннотация. В классических работах А. А. Андронова, Л. С. Понтрягина, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера, М. Пейшото (М. Peixoto) топологическая классификация потоков с конечным числом особых траекторий на поверхностях следовала из канонического описания динамики в областях (ячейках), на которые эти траектории делят несущее многообразие. В настоящей работе описаны все допустимые ячейки для класса ^-устойчивых потоков без периодических траекторий па ориентируемых поверхностях. Полученное описание позволяет представить динамику рассматриваемых потоков комбинаторным образом. Ключевые слова: поток, ^-устойчивость, ячейка

1. Введение и формулировка результатов

Традиционный подход к качественному изучению динамики потоков с конечным числом особых траекторий на поверхностях состоит в выделении на несущем многообразии областей с предсказуемым поведением траекторий — ячеек. Такой взгляд на непрерывные динамические системы восходит к классической работе А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина [1] 1937 года, в которой они рассмотрели систему дифференциальных уравнений x = v(x), где v(x) — C 1-векторное поле, заданное в круге на плоскости, граница которого является кривой без контакта, и нашли критерий грубости этой системы.

В работах Е. А. Леонтович-Андроновой и А. Г. Майера [4], [5] рассматривался более общий класс динамических систем и их классификация также была основана на идеях о выделении множества специальных траекторий, относительное положение которых (схема Леонтович-Майера) полностью определяет качественную структуру разбиения фазового пространства динамической системы на траектории. Основной трудностью в обобщении этого результата на случай произвольных ориентируемых поверхностей положительного рода является возможность нового типа движения - незамкнутая рекуррентная траектория. Отсутствие таких траекторий для грубых потоков без особенностей на 2-торе была Д0КЭЗЭ.НЭ. А.Г. Майером [6] в 1939 году. В 1971 М. Пейшото в работе [10] обобщил схему Леонтович-Майера для структурно устойчивых потоков на произвольных поверхностях и получил топологическую классификацию таких потоков, опять-таки изучив все допустимые ячейки для них. В 1976 году Д. Нейманом и Т. О'Брайеном [7] на произвольных поверхностях были рассмотрены, так называемые регулярные потоки —

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований IIIIV ВШЭ в 2015 году (проект «Динамические системы и их приложения»), Российского фонда научных исследований (гранты N 13-01-12452 офи-м и 15-01-03689-а) и Российского Научного фонда (грант 1441-00044).

© В.Е.КРУГЛОВ, Т.М.МИТРЯКОВА, О.В.ПОЧИНКА

потоки без нетривиальных периодических траекторий, которые включают в себя описанные выше потоки как частный случай. Они ввели полный топологический инвариант для регулярных потоков — орбитальный комплекс, который представляет из себя пространство орбит потока, оснащенное некоторой дополнительной информацией.

В настоящей работе описываются все допустимые ячейки для класса О, состоящего из П-устойчивых потоков без периодических траекторий па ориентируемых поверхностях. О

топологической классификации таких потоков со стороны ячеек позволит в дальнейшем описать их динамику комбинаторным образом, подобно [3], и решить для них проблему реализации, подобно [8]. Более детально.

Пусть Б — ориентируемая поверхность, т.е. сфера с ручками или без (см. Рис. 1). Гладким потоком па поверхности 5 называется гладкое отображение / : Б х М ^ Б с групповыми свойствами:

1) / (х, 0) = х Ух £ Б;

2) /(/(х,г),в) = /(х,г + в) Ух £ Б, У в,г £ м.

В дальнейшем будем полагать, что /*(х) = /(х,г) при х £ Б, г £ М.

Рис. 1. Примеры поверхности Я

Траекторией или орбитой точки х £ Б называется множество Ох = £ М}.

Полагают, что траектории потока ориентированы в соответствии с возрастанием параметра г. Точка х называется неподвижной точкой пли состоянием равновесия, если Ох = {х}. Точка х £ Б называется блуждающей точкой потока /*, если существует окрытая окрестность их точки х такая, что /*(их) П их = 0 для всех г > 1. В противном х

щих) точек потока /1 называется его блуждающим множеством (неблуждающим множеством). Неблуждающее множество потока /* обозначается 1. Неподвижная точка х потока /1 называется гиперболической, если собственные значения линеаризации потока х

Пусть d — метрика на Б. Тогда гиперболичность неподвижной точки х влечет существование у нее устойчивого и неустойчивого многообразий, определяемых следующим

образом:

WS = {y £ S : d(x, f \y)) ^ 0 при t ^ WU = {У £ S : d(x, f(y)) ^ 0 при t ^ -то}.

Устойчивой (неустойчивой) сепаратрисой неподвижной точки х называется компонента связности ¡X (1^) множества Ш \{х} (Ши\{х}).

Поток / называется П-устойчивые, если существует окрестность и (/*) в С ^(5 х М, 5) такая, что если /' € и(/*), то /*\п/4 и /'г\а. п топологически эквивалентны посредством гомеоморфизма несущего многообразия.

Из критерия П-устойчивости [11] следует, что потоки класса С имеют неблуждающее множество, состоящее из конечного числа гиперболических неподвижных точек и тте имеют циклов, то есть наборов неподвижных точек XI,... ,Хк,Хк+1 = Х1 со свойством

Ш. П Л = г = 1,...,к.

х г х г+1 11 ' '

С

деляется это отсутствием или наличием связок — сепаратрис, идущих из седла в седло. Условие П-устойчивости влечет тот факт, что связки потока из класса С не образуют замкнутых кривых.

С

па сфере, имеющий четыре неподвижные точки: источник о, седло а и два стока и Ш2 (см. Рис. 2).

Рис. 2. Простейший пример структурно устойчивого потока из класа О

В качестве простейшего примера потока, не являющегося структурно устойчивым, можно привести поток, имеющий шесть неподвижных точек: источники 0:1,0:2, стоки ^1, Ш2 и седла а1, а2 такие, что неустойчивая сепаратриса а1 совпадает с устойчивой а2

Обозначим через П01, ПЦ4, П^4 множество всех стоков, сёдел и источииков потока / соответственно. Положим

5 = 5 \ (П04 и 14 и 4 и п24).

— -Л г

г

Рис. 3. Простейший пример потока из класа О, не являющегося структурно устойчивым

Компонента связности множества Б называется ячейкой. Если множество 4 пусто, то поток f1 имеет в точности две неподвижные точки: источник и сток, и одну ячейку, замыкание которой совпадает со всем несущим многообразием, которое в этом случае является сферой. Поэтому везде далее мы будем предполагать, что поток ^ имеет хотя бы одну седловуто точку.

Основным результатом настоящей работы являются следующая теорема:

Теорема. Луст,ь 1 € С и 3 — ячейка потока Тогда 1)3 гомеоморфна открытому диску; ,

3) с1 3 имеет один из типов, изображённых на рисунке 4, где а — источник; ш — сток; а и р с различными индексами — седла; при этом а+ может совпадать с а -; множест ва V- = {р-,..., р-,..., р-}, V + = {р+,..., р+,..., р^,} могут, быть пересекающимися и каждое из них может быть пустым; сепаратрисы, содержащие сток ш (источник а) в своем замыкании не могут, совпадать.

Л- ■ VT* yK-

t t t

ПЛ ;

T ' J-

I

t П t

u; V ^

Ш ПА 2

Тип I Тип II Тип III Тип IV

Рис. 4. Типы ячеек потоков из класса G Так поток па рисунке 2 имеет ячейки типов I и III, а па рисунке 3 — типов I, II и III.

2. Вспомогательные факты

Пусть /* : 5 ^ 5 поток из класса С. В этом разделе мы сформулируем необходимые для доказательства основной теоремы факты. Их доказательства следуют из аналогичных фактов для дискретных динамических систем, доказанных в [2].

Предложение 1. Пусть /* € С. Тогда

1) 5 = и шри = и

реп^ь реп^ь

2) Шри (Шр?) является гладким подмногообразием многообразия 5, диффеоморфным Мг (М2_г) для любой неподвижной точки р € Пг^ь;

Предложение 2. Пусть поток /* € С. Тогда доя любого источника а (стока ш) потока /* существует хотя бы одна устойчивая (неустойчивая) сепаратриса ¡? (¡и) седловой точки а такая, что с1(1?)\(1?) = {а, а} (с1(1;)\(1;) = {а, ш}).

3. Разбиение несущей поверхности на ячейки

Для доказательства основной теоремы нам понадобится следующая вспомогательная лемма.

Лемма. Пусть /* € С. Тогда

(г) Для р € П0ь выполняется с1(1;) = {р}; (И) Для р € П1 ь выполняется

сщ;м; и{р})Л ш€ Ц: I =

(iii) Для, p £ t выполняется cl(lp)\(lp U {p}) = (J cl(l'P), где Qp непустое подмно-

жество множества Qft

p/ Wp ^ {ГУ/ w

a£Qp

1 ft

Доказательство. Докажем (i). В случае, когда p — сток, выполняется Wpp = {p}, следовательно, cl(lp) = {p}-

Рассмотрим случай (ii) p — седловая точка. Пусть x £ cl(lPp). По пункту 1) Предложения 1 любая точка lp является точкой WS для некоторой иеподвижной точки r. Для r возможны три варианта: а) r — сток; б) r — седло; в) r — источник.

а) Рассмотрим сток r = ш, такой что x £ WS- Поскольку ш сток и lp — Ox ^ то lp с WS- Таким образом cl(lp)\(lp U {p}) = {ш}.

б) Рассмотрим седловую точку r = а, для которой выполняется x £ WS- В этом случае lp = l%. Таким образом cl(l'p)\(l'p U {p}) = {а}.

в) Допустим, что существует источник r = а такой, что x £ WS- Поскольку WS = {а}, получаем а £ lp, что невозможно, поскольку lp состоит из блуждающих точек. Следовательно, случай в) невозможен.

(iii) p = а

Из пункта 1) Предложения 1 следует, что множество

а = с1(1ама и {а})

есть /*-инвариантное подмножество множества и О0,Тогда для доказательства

1

утверждения достаточно показать, что

а) если а € А для некоторого а € О 14, то ¡Ц С А;

б) если ш € А для некоторого ш € О°°4, то существует а € О^г такое, что ш € сЩ'Ц) и ¡Ц С А.

В случае а), поскольку a G A, то существует последовательность xn G ¡а такая, что

¡а

¡а

xn ^ a для n ^ Тогда OXn С ¡а и, в силу эквивалентности потока в окрестно-

сти гиперболической седловой точки его линейной части (см., например, [9]), множество

U OXn содержит в своем замыкании ¡0-neN

В случае б), если ш G A, то существует последовательность xn G ¡0 такая, что xn ^ ш

для n ^ Согласно Предложению 2, существует конечное число седловых точек

ai,...,afc G Путt такое, что ш G d(ïai) для i = l,...,k. Тогда среди них существуют

седловые точки ai1, ai2 (возможно совпадающие) такие, что последовательность xn при-

k

надлежит компоненте связности D множества WS \ (ш U |J ¡0-)■ Откуда следует, что

СТг

г=1

О С ¡а■ Таким образом, ¡Ц.^ С А и ¡Ц. С А. □

Аналогичную лемму можно доказать для устойчивых сепаратрис.

4. Доказательство теоремы

Покажем, что любая ячейка потока из класса О имеет один из типов, изображённых на рисунке 4.

Доказательство. В силу предложения 1,

* = ( и ¡а) \ ( и

Тогда любая компонента связности D множества S является компонентой связности к

множества ¡а \ ( U ¡S ■ ) гДе ai, ■ ■ ■ ,ak G t седловые точки такие, что a G dfâ. ) для i = г=1

1,..., к. Таким образом, любая ячейка d(D) содержит в своем замыкании единственный источник a, устойчивые седловые сепаратрисы ¡Si , ¡Si2 С ¡а (возможно совпадающие) и, в силу доказанной выше леммы, конечное (возможно нулевое) число связок. Аналогично, поскольку

s = ( u ¡s) \ ( u ¡а),

uenft aenf

то любая ячейка с£(О) содержит в своем замыкании единственный сток ш, неустойчивые седловые сепаратр] нулевое) число связок.

вые седловые сепаратрисы ¡0ji, ¡0j2 С ¡S (возможно совпадающие) и конечное(возможно

Перебирая все возможные наборы сепаратрис в границе ячейки, получаем все типы ячеек, изображённые на рисунке 4. □

Список цитируемых источников

1. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // Доклады Академии наук СССР. — 1937. - Т.14(5). - С. 247-250.

Andronov A.A., Pontryagin L.S. Rough systems // Doklady Akademii Nauk. — 1937, Vol.14(5). — P. 247-250.

2. Гринес B.3., Починка О.В. Каскады Мореа-Смейла на 3-многообразиях // Успехи математических наук. - 2013. - Т.68:1(409). - С. 129-188

Grines V.Z., Poehinka O.V. Morse-Smale cascades on 3-manifolds // Russian Mathematical Surveys. - 2013. - T.68:l(409). - P. 117-174.

3. Починка О. В., Круглое В. Е. Многоцветный граф как полный топологический инвариант потоков с конечным числом особых траекторий на поверхностях // Журнал Средневолж-ского математического общества. — 2015. — Т.17, N 1. — С. 65-71.

Poehinka O.V., Kruglov V.E. Multi-color graph as a complete topological invariants of flows with finite number of singular trajectories on surfaces // Zhurnal srednevolzhskogo mathematicheskogo obschestva. - 2015. - Vol.17, no 1. - P.65-71.

4. Леонтович E.A., Майер А.Г. О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы на траектории// Докл. Акад. АН СССР. — 1937. — Т.14 (5). —С.251-257 Leontovich Е.А., Mayer A.G. On trajectories defining the qualitative structure of decomposition of the sphere into trajectories // Doklady Akademii Nauk. — 1937. — Vol.14 (5). — P. 251-257.

5. Леонтович E.A., Майер А.Г. О схеме, определяющей топологическую структуры разбиения на траектории // Докл. Акад. АН СССР. - 1955. - Т.103 (4). - С. 557-560

Leontovich Е.А., Mayer A.G. On the scheme defining the topological structure of the partition on the trajectory // Doklady Akademii Nauk. - 1955. - Vol.103 (4). - P. 557-560.

6. Майер А.Г. Грубые преобразования окружности в окружность // Уч. Зап. ГГУ. — 1939. — Т.12. - С. 215-229

Mayer A.G. A rough transformation of a circle into a circle // Uch. Zap. Gor'kovskogo Univ. — 1939. - Vol.12. - P. 215-229

7. Neumann D. and O'Brien T. Global structure of continuous flows on 2-manifolds //J. Diff. Eq. — 1976. - Vol.22, no 1. - P.89-110.

8. Ошемков А.А., Шарко В.В. О классификации потоков Мореа-Смейла на двумерных многообразиях // Матем. сб. - 1998. - Т.189:8. - С. 93-140.

Oshemkov A.A., Sharko V.V. Classification of Morse-Smale flows on two-dimensional manifolds // Mat.Sb. - 1998. - Vol.l89:8. - P. 93-140.

9. Полис Ж., Де Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. — Пер. с англ. — Мир, 1998. - 301 с.

Palis J., De Melo W. Geometric theory of dynamical systems. New York, Heidelberg, Berlin, Springer-Verlag, 1982.

10. Peixoto M. On the classification of flows on two-manifolds // Dynamical systems / Proc. Symp. held at the Univ.of Bahia, Salvador-Bahia, Brasil. 1971. M. Peixoto (ed.) N.Y. London: Acad, press. - 1973. - P. 389-419.

11. Pugh C., Shub M. П-stability for flows // Inven. Math. - 1970. -Vol.11. - P. 150-158.

Получена 25.06.2015