О топологии 3-многообразий, допускающих псевдоаносовские аттракторы и репеллеры Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, 2015, том 5(33), JV*1-2, 39-42

УДК 517.938

О топологии 3-многообразий, допускающих псевдоаносовские аттракторы и репеллеры1

В. 3. Гринес, О. В. Починка, А. А. Шиловская

Национальный Исследовательский Университет Высшая Школа Экономики, Нижегородский государственный университет им. H.H. Лобачевского E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Аннотация. В работе введен класс О гомеоморфизмов, заданных на трехмерных многообразиях, таких, что их неблуждающие множества состоят из объединения псевдоаносовских аттракторов и репеллеров. Доказано, что несущее многообразие М3 такого гомеоморфизма диффеоморфно многообразию Мт, полученному из М2 х [0,1] отождествлением точек (г, 1) и (т(г), 0), где т является либо псевдоаносовским гомеоморфизмом, либо периодическим гомеоморфизмом, сохраняющим слоения некоторого псевдоано-совского гомеоморфизма

Ключевые слова: неблуждающее множество, псевдоаносовский гомеоморфизм, топология многообра-

1. Введение и формулировка результатов

Начиная с 2012 г., в серии работ [1], [3], [4], [2] В.З.Гринеса, Ю.А.Левченко, В.С.Медведева, О.В.Починки рассматривались А-диффеоморфизмы трехмерных многообразий, неблуждающее множество которых состоит в точности из двумерных базисных множеств. Было установлено, что в этом случае все базисные множества являются объединением ручно вложенных поверхностей, гомеоморфных двумерному тору, а несущее многообразие диффеоморфно многообразию Ы^, полученному из Т2 х [0,1] отождествлением точек (г, 1) и (1(г), 0) где 1 — алгебраический автоморфизм тора, заданный матрицей 1, которая либо является гиперболической, либо совпадает с единичной

- т ( 1 0\ - „г/-10

матрицей I = I I, либо совпадает с матрицей —I =

Напомним, что алгебраическим автоморфизмом тора T2 = R2/Z2 называется диф-

a b

феоморфизм С, задаваемый матрицей С = ^ ^ d J из множества GL(2, Z) целочисленных матриц с определителем ±1. То есть C(x,y) = (ax + by,cx + dy) (mod 1). Алгебраический автоморфизм С называется гиперболическим, если собственные значения Ai,A2 матрицы С удовлетворяют уеловиям |Ai| < 1 < |А2|- При этом матрица С также называется гиперболической.

В работе Ф. Хертца, М. Хертц и Р. Уреса [6] аналогичный вывод о структуре мно-гобразия получен в предположении, что многообразие M3 является неприводимым (то

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований IIIIV

ВШЭ в 2015 году (проект «Динамические системы и их приложения»), Российского фонда научных исследований (гранты N 13-01-12452 офи-м и 15-01-03689-а) и Российского Научного фонда (грант 1441-00044).

© В. 3. ГРИНЕС, О. В. ПОЧИНКА, А. А. ШИЛОВСКАЯ

40

В. 3. ГРИНЕС, О. В. ПОЧИНКА, А. А. ШКЛОВСКАЯ

есть любая цилиндрически вложенная в М3 двумерная сфера ограничивает в нем трехмерный шар) и допускает диффеоморфизм f : М3 ^ М3 с инвариантным аносовским тором (то есть диффеоморфизмы с гладким ^инвариантным подмногообразием, го-меоморфным тору, на фундаментальной группе которого f индуцирует гиперболическое

действие). Заметим, что в работах [1], [3], [4], [2], в отличие от [6], не требовалось непри-

М3

либо репеллером — аносовским аттрактором или репеллером.

Настоящая работа является продолжением вышеописанных исследований. Точнее, мы выделяем класс трехмерных гомеоморфизмов с так называемыми псевдоаносовскими аттракторами и репеллерами и даем классификацию несущих многообразий для таких отображений.

Напомним, что гомеоморфизм Н: М2 ^ М2 называется псевдоаносовским отображением (рА-гомеоморфизмом), если на поверхности

М2

существует пара Н-пнварпантных трансверсальных слоений , Ти (устойчивое и неустойчивое соответственно) с множеством седловых особенностей 5 и трансверсальными мерами у3, такая, что:

1) каждая седловая особенность из 5 имеет не менее трех сепаратрис;

2) существует число, называемое дилатацией, Л > 1 такое, что ц3(Н(а)) = Лу3(а) (уи(Н(а)) = Л-1 ци(а)) для любой дуги а, трансверсальной слоениям р3 ри).

Коротко все описанные выше свойства записываются так:

Н(^3,^3) = (^3,Л-1у3)ъ Ь(Га,уи) = (Ги,Луи).

Пусть f: М3 ^ М3 гомеоморфизм, заданный на замкнутом трехмерном многообразии М3. Если существует замкнутая окрестность и ^инвариантного множества А такая, что

f (и) С Ш и, р| Р (и) = А,

з>о

то множество А называется аттрактором. Аттрактор для гомеоморфизма f называется репеллером К гомеоморфизма f. Далее мы будем рассматривать диффеоморфизмы f: М3 ^ М3, неблуждающее множество которых лежит на ручно вложенных ориентируемых поверхностях, каждая из которых является аттрактором или репеллером. Множество аттракторов (репеллеров) обозначим через А (К-)- Согласно работе [5], каждая компонента V множества М3\ (А^К) гомеоморфна прямому произведению поверхности М2 А С А

репеллер К С К. Тогда несущее многообразие М3 гомеоморфно фактор-пространству Мг, полученному из М2 х [0,1] отождествлением точек (г, 1) и (т(г), 0^, где т: М2 ^ М2

некоторый гомеоморфизм. Таким образом, Мт есть локально тривиальное расслоение

М2

Обозначим через О класс гомеоморфизмов f: М3 ^ М3, неблуждающее множество МШ (¡') которых является объединением псевдоаносовских аттракторов и репеллеров, то есть МШ^) состоит из поверхностей 5 таких, что:

1) 5 есть ручное вложение в М3 ориентируемой замкнутой поверхности М2 рода

Р> 1;

ПСЕВДОКОГЕРЕНТНЫЕ ДИФФЕОМОРФИЗМЫ

41

2) 5 является либо аттрактором, либо репеллером;

3) для некоторого к > 1 ограничение / на 5 является псевдоаносовским гомеоморфизмом.

Обозначим через Т множество гомеоморфизмов поверхности Ы2, состоящее из всех псев-доаносовскпх гомеоморфизмов и всех периодических гомеоморфизмов (конечная степень такого гомеоморфизма является тождественным отображением), сохраняющих слоения некоторого псевдоаносовского гомеоморфизма. Сформулируем основной результат:

Теорема. Многообразие Ы3 допускает гомеоморфизм / из класса С тогда и только тогда, когда Ы3 диффеоморфно многообразию ЫТ, где т £ Т.

Доказательству теоремы посвящен следующий раздел.

2. Классификация многообразий, допускающих псевдоаносовские аттракторы и репеллеры

Ы3

морфизм / из класса С. Не уменьшая общности, будем считать, что / (А) = А для некоторого аттрактора А гомеоморфизма / (в противном случае можно рассмотреть подхо-

/

жение Е/ : Ы2 х [0,1] ^ Ы3 такое, что отображения Е/\м2х(о,1) : Ы2 х (0,1) ^ Ы3 \ А, Е/\м2х{о} : Ы2 х {0} ^ А, Е/\м2х{1} : Ы2 х {1} ^ А являются гомеоморфизмами. Обозначим через Е/,о : Ы2 ^ А (Е/д : Ы2 ^ А) гомеоморфизм такой, что Е/(г, 0) = Е/,0(г) (Е/(г, 1) = Е/,1(г)) для любого г £ Ы^^^шжим 1 = Е^Е/д : Ы2 ^ Ы2. По построению многообразие Ы] гомеоморфно многообразию Ы3 посредством гомеоморфизма Е/, ставящего в соответствие классу эквивалентности [(г, ¿)], (г, ¿) £ Ы2 х [0,1] точку Е/(г, ¿). Следовательно, гомеоморфизм д = Е//Е-1 : Ы] ^ Ы] принадлежит классу С и допускает поднятие на

Ы2

х К до гомеоморфизма д такого, что д(Ы2 х {0}) = Ы2 х {0} и д\м2х{о} - псевдоаносовский гомеоморфизм. Обозначим через до : Ы2 ^ Ы2 гомеоморфизм такой, что д(г, 0) = (до(г), 0) для любого г £ Ы2.

Поскольку Ы] = (Ы2 х К)/Г, гд ,е Г — циклическая группа гомеоморфизмов Ы2 х К с образующей 7(г, г) = (1 (г), г — 1) и гомеоморфизм д проектируется на Ы] посредством естественной проекции р3 : Ы2 х К ^ Ы^, то либо д7 = ^9> либо д7 = 7_1д. Тогда соответствующие индуцированные в группе П1(Ы2 х К) гомоморфизмы СВЯЗАНЫ либо соотношением д*^* = 1*9*7 либо соотношением д*^* = 1-1д*- Так как фундаментальные группы П1(Ы2 х К) и П1(Ы2) изоморфны, а действие в группе П1(Ы2) однозначно определяет изотопический класс (см., например, [8]), то отображение до1д—1 изотоп но 1к, где к £ { — 1,1}. Согласно [7], существует гомеоморфизм т изотопный 1 такой, что дотдо = тк, т

сохраняющий слоения гомеоморфизма до- Осталось доказать, что многообразия Ы] и

ЫТ

Действительно, поскольку т изотопен 1, то существует изотопия £ : Ы2 ^ Ы2, £ £ [0,1], соединяющая отображение £о = 1т-1 с тождественным отображением £1. Определим гомеоморфизм Е] : Ы2 х [0,1] ^ Ы2 х [0,1] по формуле Е](г,£) = (£t(г),í). Тогда гомеоморфизм Е] : ЫТ ^ Ыкоторый ставит в соответствие классу эквивалентности [(г, ¿)] класс эквивалентности [Е](г, ¿)], является искомым.

42 В. 3. millIHC. О. В. ПОЧИНКА, А. А. ШИЛОВСКАЯ

Достаточность. Для доказательства достаточности построим гомеоморфизм из класса О на многообразии Мт для любого т € Т. Из определения класса Т следует, что существует псевдоаносовским гомеоморфизмом Н такой, что т либо совпадает с Н, либо является периодическим гомеоморфизмом, сохраняющим слоения гомеоморфизма Н. Обозначим через ф : М ^ М - сдвиг на единицу времени потока, порожденного векторным полем г = 8т(2от). Зададим гомеоморфизм f : М2 х М ^ М2 х М формулой /(г, г) = (Н(г),ф(г)). Пусть Г — циклическая группа гомеоморфизмов М2 х М с образующей ^(г, г) = (т(г), г — 1). Тогда Мт = (М2 х М)/Г. Обозначим через рт : М2 х М ^ Мт естественную проекцию. Поскольку Нт = тН, то гомеоморфизм /проектируется па Мт гомеоморфизмом f = рт /р-1. □

Список цитируемых источников

1. ГринесВ. 3., ЛевченкоЮ. А. О топологической классификации диффеоморфизмов трехмерных многообразий с двумерными поверхностными аттракторами и репеллерами // Доклады Академии Наук. - 2012. - Т.447, №2. - С.127-129.

Grines, V.Z.; Levchenko, Yu.A. On a topological classification of diffeomorphisms on 3-manifolds with two-dimensional surface attractors and repellers. Dokl. Math. 86, No. 3, 747-749 (2012).

2. Grines V., Levchenko Yu., Medvedev V., Pochinka 0. The topological classification of structurally stable 3-diffeomorphisms with two-dimensional basic sets // Nonlinearity. — 2015. — Vol.28 (11). — P. 4081-4102.

3. Grines V., Levchenko Yu., Medvedev V., Pochinka O. On the Dynamical Coherence of Structurally Stable 3-diffeomorphisms // Regular and Chaotic Dynamics. — 2014. — Vol.19, No.4. — P. 506512.

4. ГринесВ. 3., ЛевченкоЮ. А., Починка О. В. О топологической классификации диффеоморфизмов на 3-многообразиях с поверхностными двумерными аттракторами и репеллерами // Нелинейная динамика. — 2014. — Т.10, №1. — С.17-33.

Grines, V.Z.; Levchenko, Yu.A.; Pochinka, O.V. On topological classification of diffeomorphisms on 3-manifolds with two-dimensional surface attractors and repellers // Nelineynaya Dinamika. — 2014. - Vol.10, №1. -P. 17-33.

5. ГринесВ. 3., Починка О. В., Шиловская А. А. Топологически псевдокогерентные диффеоморфизмы 3-многообразий // Журнал Средневолжского математического общества. — 2015. — Т. 17, №2. - С.27-34.

Grines, V.Z.; Pochinka, O.V.; Shilovskaya, A.A. Topologically pseudo-coherent diffeomorphisms on 3-manifolds // Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva. — 2015. — Vol.17, №2. - P. 27-34.

6. HertzF., Herts M., IJresR. Tori with hyperbolic dynamics in 3-manifolds // Journal of modern dynamics. - 2011. - Vol.5, No.l. - P. 185-202.

7. McCarthy J. Normalizers and centralizers of pseudo-Anosov mapping classes. — 1984. — preprint.

8. RolfsenD. Knots and links // Mathematics lecture series. Vol.7. — Houston, TX: Publish or Perish, 1990. - 439 pp.

Получена 09.06.2015