Пример топологически транзитивного, но не топологически эргодического гладкого косого произведения на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 4 (1), с. 193-201

УДК 517.987.5

ПРИМЕР ТОПОЛОГИЧЕСКИ ТРАНЗИТИВНОГО,

НО НЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИ ЭРГОДИЧЕСКОГО ГЛАДКОГО КОСОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

© 2012 г. А.С. Фильченков

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

a_s_filchenkov@mail. т

П-ступбла вртдакцбю 04.04.2012

Построен пример С3-гладкого топологически транзитивного, но не топологически эргодического косого произведения, заданного на единичном квадрате I, все нечетные итерации которого топологически транзитивны на I, а все четные не являются топологически транзитивными на I.

Ключтвые слвва: косое произведение, топологическая транзитивность, топологическая эргодичность.

1. Введение

При изучении динамических систем, заданных на цилиндре [1], возникают цилиндрические каскады [2-8], т. е. косые произведения над иррациональным поворотом окружности. В работе [9] приводится, по-видимому, первое общее построение косых произведений (с мерой), хотя термин «косое произведение» введён позже, в работе [10]. В настоящее время существует обширная библиография, посвящённая различным свойствам косых произведений.

В предыдущей работе [11] рассматривается класс гладких топологически транзитивных при любых итерациях косых произведений отображений интервалов. При этом отображения в слоях изучаемых в [11] косых произведений являются унимодальными отображениями отрезка на себя с инвариантной границей. Напомним, что непрерывное отображение ф: [а,Ь] ^ [а,Ь] называется унимодальным (^-модальным), если отрезок [а,Ь] представим в виде двух промежутков [а,С]] и (с1, Ь] ((к + 1)-го промежутка [а,С1], (С1, С2), ..., С, Ь] ^ > 2)), на каждом из которых ф является гомеоморфизмом, при этом ф(Ф,ь])) сЭ([а,Ь]) (теория унимодальных (мультимодальных) отображений изложена, например, в книгах [12, 13]).

В настоящей работе построен пример гладкого топологически транзитивного, но не топологически эргодического косого произведения, заданного на единичном квадрате, отображения в слоях которого имеют неинвариантную границу.

Косым произведением с фазовым пространством I = [а], Ь\] х [а2, Ь2] называется динамическая система, порождённая отображением вида

Р(ху) = (/^Х g(xУ)), Р! ^ ^ где gx(y) = g(xУ), (1)

при этом / [аь Ь1] ^ [а1, Ь1] называется фактор-отображением косого произведения Р, а отображение gx: [а2, Ь2] ^ [а2, Ь2] при любом х е [а1, Ь1] называется отображением, действующим в слое над точкой х.

В силу (1) при любом натуральном п справедливо

Р,(х,У) = /п(х), gx,n(xy)),

где gx,п (У) = gfn-1(х) °---° gf (х) ° gx (У). (2)

Обозначим через Т(I) множество С3-гладких отображений вида (1) с фазовым пространством

I. Отметим, что в дальнейших рассмотрениях используется лишь С3-гладкость отображений gx(y) по переменной у. Вообще говоря, функции /х) и gx(y) по переменной х могут быть порядка гладкости меньшего, чем С3. Пусть и^) е

е С3([а, Ь]), тогда всюду на [а,Ь], где и'(0 Ф 0, определён шварциан от функции и по переменной t

St (и(( )) =

и"'{г) 3 ( и (г)

~й(ґ)

л2

и (0 2

В Т’(Г) выделим подмножество отображений, удовлетворяющих следующим условиям:

(С.1) шварциан по у семейства отображений в слоях удовлетворяет неравенству £у&(у)) < 0,

д

при всех (х, у) е I, таких, что — gx (у) Ф 0 ;

ду

(С.2) отображение gx: [а2, Ь2] ^ [а2, Ь2] при любом х е [а1, Ь1] имеет не более одной критической точки сх е (а2, Ь2), причём эта точка невырожденная;

(С.3) а2 < gx(а2) < Ь2 и gx(b2) = а2 при всех х е [а1, Ь1].

Напомним, что критическая точка с отображения / называется невырожденной, если /'(с) Ф 0 [4, гл. 2].

Обозначим через Т/ (I) класс отображений из Т’(Г), удовлетворяющих условиям (С.1)-(С.3).

Ниже используется известное понятие топологической транзитивности.

Определение 1.1 [15]. Пусть I — топологическое пространство. Отображение Р: I ^ I называется топологически транзитивным, если существует точка х е I, такая, что её траектория Еп (х)пеМ плотна в I. Точка с плотной траекторией называется транзитивной точкой отображения Р.

Отображение Р: I ^ I топологически транзитивно тогда и только тогда, когда для любых двух непустых открытых подмножеств и, Vс/ существует п = п(и ,¥) е N, такое, что

VПРп(и) Ф0 [15].

Более сильным является свойство топологической эргодичности отображений.

Определение 1.2. Отображение Р: I ^ I называется топологически эргодическим на I (данное определение не является общепринятым, ср. [16]), если для любого натурального п отображение Р топологически транзитивно на I.

Приведём следующее понятие из статьи [11].

Пусть Р — произвольное разбиение замкнутого прямоугольника I координатными прямыми на замкнутые подпрямоугольники Jk, к = 1,т, любые два из которых либо не пересекаются, либо имеют общую вершину или общую

т

сторону (при этом I = Цд

/=1

Определение 1.3. Фазовое пространство I

равномерно аппроксимируется периодическими орбитами отображения Р: I ^ I, если для любого е > 0 и любого разбиения Р прямоугольника I с параметром Х(Р) = е найдётся Р-перио-дическая орбита ОгЬ(Р(ху)), пересекающаяся с внутренней частью прямоугольника I при каждом 1 <] < т.

В работе [11] рассматривается класс Т*^)

— класс С3-гладких косых произведений, заданных на прямоугольнике I, удовлетворяющих условиям (С.1), (С.2) и дополнительному условию инвариантности границы отрезка р относительно отображений в слоях: при всех х е [а1, Ь1] gx (д([а2, Ь2 ])) с д([а2, Ь2 ]). Приведём критерий топологической транзитивности косых произведений из класса Т^ (I):

Теорема 1.4 [11]. Для -т-бражтнбя F єТ3(0 слтдующбт утвтрждтнбя эсвбвалтнтны:

(А.1) F т-п-л-1бчтскб транзбтбвн-;

(А.2) фаз-в-т пр-странств- I равн-мтрн-аппр-ксбмбруттся птрб-дбчтскбмб -рббтамб к-с-1- пр-бзвтдтнбя F.

Основным результатом данной работы является следующая теорема.

Теорема А. Сущтствутт т-п-л-1бчтскб

транзбтбвн-т к-с-т пр-бзвтдтнбт Г є Т^ (I),

нт являющттся т-п-л-гичтскб эрг-дбчтскбм на I, так-т, чт- вст тг- нтчётныт бттрацбб т-п-л-гбчтссб транзбтбвны на I, а вст чётныт Гк (к > 1) нт являются т-п-л-гбчтссб транзб-тбвнымб -т-бражтнбямб на I.

Работа имеет следующую структуру: в разделе 2 содержатся вспомогательные сведения о свойствах соответствующих отображений отрезка в себя; в разделе 3 — доказательство теоремы А.

2. Предварительные сведения. Одномерные отображения

Обозначим через Ск([0,1]) класс Ск-гладких отображений отрезка [0,1] в себя. Рассмотрим отображение § є С 3([0,1]), обладающее свойствами (Є.1)-(Є.4):

^.1) шварцбан Sy(§(y)) < 0 прб встх у є [0,1],

таких, чт- ё§(у) Ф 0; ёу

^.2) -т-бражтнбт § бмттт нт б-лтт -дн-й крбтбчтск-й т-чкб с є (0,1), прбчём эта т-ч-ка нтвыр-ждтнная;

(аз) 0 < £(0) < 1 б £(1) = 0;

^.4) -т-бражтнбт § сюрътктбвн- на [0,1].

Приведём вспомогательные понятия из [18].

Определение 2.1 [18]. Непрерывное отображение §: [0,1] — [0,1] называется турбултнт-ным на [0,1], если существуют подотрезки J и К отрезка [0,1], имеющие не более одной общей точки, такие, что

J и К є § ^) П § (К).

Лемма 2.2 [18]. Пусть -т-бражтнбт §: [0,1] —— [0,1] турбултнтн-. Т-гда сущтствуют т-чкб а,Ь,с є [0,1] (см. рбс. 1), такбт, чт- а < с < <Ь (Ь < с< а) б вып-лняются слтдующбт усл-вбя:

§(Ь) = §(а) = а §(с) = Ь;

§(у) > а прб а < у < Ь (§(у) < а прб Ь < у< а);

У < АУ) < Ь прб а < у < с (Ь < Ау) < у прб с < у < а).

Следующее утверждение устанавливает взаимосвязь между свойствами топологической транзитивности и турбулентности отображения §.

Рис. 1

Лемма 2.3 [19]. Пусть g е С°([0,1]). Если g транзитивно на I, то g2 турбулентно на I.

Положим у_^ = тах Пх(^), где Рх^) — множество неподвижных точек отображения g е

е С3([0,1]) (g е С3([0,1]) необходимо имеет неподвижную точку).

Главным утверждением этого параграфа является следующая теорема.

Теорема 2.4. Отображение g е С3([0,1]), удовлетворяющее условиям (С.1)-(С.4) и неравенству 0 < g(0) < 1, топологически транзитивно тогда и только тогда, когда g(0) = у#

Доказательство данного утверждения выполняется поэтапно и содержится в предложениях 2.11, 2.12 и 2.14.

Отметим, что в случае g(0) = 1, g — монотонно убывающее отображение, а следовательно, не топологически транзитивно.

Важную роль в теории унимодальных (мультимодальных) отображений отрезка играет понятие комбинаторной эквивалентности, выделяющее унимодальные (мультимодальные) отображения, всевозможные (соответствующие) итерации которых имеют «одинаковую схему складок».

Определение 2.5 [13, гл. 6, п. 6.1.3]. Два мультимодальных (унимодальных) отображения gl,g2: [а,Ь] ^ [а,Ь] с множествами точек экстремума С^) и C(g2) соответственно называются комбинаторно-эквивалентными, если существует сохраняющая ориентацию биекция

Ъ: Цг (C(gl)) ^ Цй (C(g2)), такая, что й0g1(z) =

пе2 пе2

= g20 Ь(2) при всех z е Цgln (С (gl)) и Ъ(С^)) =

пе2

= СЫ.

Необходимо отметить, что комбинаторная эквивалентность двух отображений в отличие от топологической эквивалентности (говорят, что отображения g1: М ^ М и g2: N ^ N, где М и N — произвольные отрезки числовой прямой,

топологически эквивалентны, если существует гомеоморфизм ЪМ ^ N, что g1 = hЛog2oh [15, ч. 1, гл. 2, §2.1, п. 2.1а]) не влечёт за собой «одинаковость» траекторий эквивалентных отображений. Далее приведено утверждение (предложение 2.8), указывающее на взаимосвязь комбинаторной эквивалентности с топологической; предварительно приводятся два вспомогательных определения.

Определение 2.6 [13, гл. 6, п. 6.1.3]. Пусть отображение g: [а,Ь] ^ [а,Ь] имеет периодическую точку у (наименьшего) периода п. Периодическая орбита ОгЬг(у) = {у*, g(y*),...,gn-1(y*)} называется периодическим аттрактором периода п, если множество

В(у*) = {х: gk(x) ^ ОгЬя(у*), к ^ +<»} содержит окрестность (возможно, одностороннюю) орбиты ОгЬг(у ). Множество В(у ) называют областью притяжения орбиты ОгЬ!(у ).

Ниже используется специальное понятие блуждающего множества.

Определение 2.7 [13, гл. 6, п. 6.1.3]. Интервал / с I называется блуждающим интервалом отображения g: [а,Ь] ^ [а,Ь], если все его итерации /, g(J), g2(J),... попарно не пересекаются и последовательность ^п(/)}п>0 не стремится к периодической орбите.

Предложение 2.8 [13, гл. 6, п. 6.1.3]. Пусть g1,g2: [а,Ь] ^ [а,Ь] — унимодальные (к-модаль-ные) отображения. Если g1 и g2 комбинаторноэквивалентны и не имеют блуждающих интервалов и периодических аттракторов, то g1 и g2 топологически эквивалентны.

Предложение 2.9 [14, гл. 4]. Пусть отображение g е С2([а,Ь]) имеет невырожденную критическую точку. Тогда g не имеет блуждающих интервалов.

Предложение 2.10 [12, гл. 4, §2] Пусть g е С3([а, Ь]) — унимодальное отображение с отрицательным на [а,Ь] шварцианом имеет периодический аттрактор у . Тогда область притяжения периодического аттрактора В(у ) содержит экстремум отображения g.

Перейдём к доказательству теоремы 2.4, содержащемуся в предложениях 2.11, 2.12 и 2.14.

Предложение 2.11. Пусть отображение g е С3([0,1]) удовлетворяет условиям (б\1)-(С.4) и выполняется g(0) = у_^ (см. формулировку теоремы 2.4). Тогда g топологически транзитивно, но не топологически эргодично на [0,1].

Доказательство. Под действием отображения g2 отрезок [0,1] разбивается на два вполне инвариантных (относительно g2) подынтервала [0у] и [уй1] (множество и с [а, Ь] называется вполне инвариантным интервалом относи-

тельно отображения g: [а,Ь] ^ [а,Ь], если g(U) = = и; см. рис. 2), при этом g2(0) = g2(ys) = g2(1) = у*.

На каждом из этих двух отрезков отображение

2

g является унимодальной сюръекцией.

Согласно [11], отображения g|:2o и g|:2

1^0,у ^у ,1]

комбинаторно-эквивалентны логистическому отображению вида gl(y) = 4у(1 - у) на [0,1]. Покажем, что в данном случае из комбинаторной эквивалентности следует топологическая эквивалентность.

Операция композиции (используемая при переходе к итерациям отображения g) выводит из класса унимодальных отображений, приводя к мультимодальным отображениям. При этом знак шварциана при переходе к композициям сохраняется (см. [12, гл. 4, §1]). Следовательно,

шварциан отображений g2 и g2 отрица-

1^ 0,у ^ у ,1]

телен всюду, кроме критических точек с1 е[0, у* ]

и с2 е [ у*,1].

Покажем, что с1 и с2 — невырожденные критические точки отображений g2o ] и g2

соответственно. В силу невырожденности критической точки с1 относительно отображения g справедливы следующие соотношения

^2)"(С1)=^МС1))(^(С1))2 + g'(g(Cl))g"(Cl) =

=g"(1)(g'(cl))2 + ^(%"(С1) Ф 0

и

(g2)"(c2)=g"(g(c2))(g,(c2))2 + g,(g(c2))g"(c2) = =g"(c1)(g'(c2))2 + g,(c1)g"(c2) Ф 0.

Таким образом, точки с1 и с2 — невырожденные точки экстремума отображения g2. Тогда в силу

предложения 2.9 отображения g2 и g2

1^ 0,у ^ у ,1]

не имеют блуждающих интервалов.

Так как справедливы соотношения §2(сі) = ух и §2(с2) = у*, то в силу предложения 2.10 у отоб-

~ 2 2

ражений § и § отсутствуют периоди-

[ 0,у* ] [ у* ,^]

ческие аттракторы.

Таким образом, отображения §20 и §2

[ 0,у*] [ у*,!]

не имеют ни блуждающих интервалов, ни периодических аттракторов и комбинаторно-эквивалентны отображению §г(у) = 4у(1 - у) на [0,1]. Тогда, в силу предложения 2.8, они топологически эквивалентны отображению §/(у) = 4у(1 -

- у), а значит, топологически транзитивны.

Если у* — произвольная транзитивная точка

отображения §[о ], то её траектория плотна на

ДОуЬ т.е. {§2к (у. )}к >0 = [0, у*]. при этом

§ ({§2к (у* )}к >0) = §(I0, у* ]) = [у* ,1], те. траектория

точки у* плотна и на отрезке [у*,1]. Таким образом, точка у* обладает всюду плотной в [0,1]

траекторией относительно §, то есть отображение § топологически транзитивно. При этом

отображение § не является топологически эрго-

2

дическим, так как § в силу существования инвариантных подотрезков [0,у*] и [у*,1] не является топологически транзитивным. Предложение 2.11 доказано.

Ниже устанавливается, что если §(0) Ф у*, то § не является топологически транзитивным отображением.

Предложение 2.12. Пусть -т-бражтнбт §є

єС3([0,1]) уд-влттв-рятт усл-вбям ^.1)-^.4) б §(0) > уц. Т-гда § нт являттся т-п-л-гбчтскб транзбтбвным -т-бражтнбтм.

Доказательство. Покажем, что у отображения §2 (см. рис. 3) не существует точек а, Ь и с,

где а — неподвижная точка и §2(Ь) = §2(а) = а, §2(с) = Ь (см. лемму 2.2), т.е. § не является турбулентным.

В данном случае § имеет три неподвижные точки: уі, у2 и у* (у* — неподвижная точка как отображения §, так и §2) (см. рис. 3). При этом если а — любая из этих неподвижных точек, то у отображения § не существует точек Ь и с, удовлетворяющих лемме 2.2.

1) Пусть а = у*. По условию §(0) > у*, следовательно, §2(0) < у*, а §2(1) > у*. Таким образом, точка у* не имеет отличных от неё прообразов относительно отображения §2, следовательно, не существует точки Ь Ф а, удовлетворяющей условиям турбулентности из леммы 2.2, такой, что §2(Ь) > а.

2) Если а = у2, то существует единственный прообраз (§2)-1(у2) > у3. Пусть Ь = у3. Для любого у є (Ь, а) имеем §2(у) > а, следовательно, на интервале (Ь,а) не существует прообразов точки Ь, а потому не существует и точки с, удовлетворяющей условиям турбулентности из леммы 2.2.

3) Положим а = у1. Как и в случае 2), можно показать, что у отображения §2 не существует точки с, удовлетворяющей условиям турбулентности из леммы 2.2.

Таким образом, необходимые условия турбулентности (лемма 2.2) для рассматриваемого отображения §2 не выполняются, а значит, §2 не турбулентно на [0,1]. Тогда в силу леммы 2.3 отображение § не является топологически транзитивным на [0,1].

Определение 2.13. Правосторонним (левосторонним) неустойчивым многообразием периодической точки х0 периода п отображения А [0,1] — [0,1] называется множество

Ки (*0, Г ) =

= {х є ^ | Уи + (х0) Зк є N: х є /кп(и + (х0))}

(^и (х0,/п ) =

= {х е Il | Уи-(х0) Зк е N: хе /кп(и- (х0))}), где и (х0) — произвольная правосторонняя окрестность точки х0 (и (х0) — произвольная левосторонняя окрестность точки х0) [15, §6.2].

Предложение 2.14. Пусть отображение gе

е С3([0,1]) удовлетворяет условиям ^.1)-^.4) и g(0) < уя- Тогда g не является топологически транзитивным на [0,1].

Доказательство. Отметим, что в зависимости от положения критической точки ся отображения g и значения g(0) отображение g2 может иметь как две, так и три точки экстремума (ся — точка минимума и одна или две точки максимума — прообразы ся относительно отображения g) (см. рис. 4).

Введём следующие обозначения: у* — неподвижная точка отображения g, у1 — точка минимума отображения g2, у2 = тах{0 < у < у^1 |^2Су) = =у*}, у3 = тт{0 < у < у^1 |^2Су) = у*, у3 Ф у2} и у4 — единственная точка из полуинтервала (у*,1], такая, что g2(y4) = у*. Отметим, что в зависимости от положения критической точки с| отображения g и значения g(0) отображение g может и не иметь точки у3.

Если у* — притягивающая неподвижная точка отображения g2, то она является притягивающей и для g, а следовательно, g не может быть топологически транзитивным на [0,1]. Поэтому необходимо у* — отталкивающая неподвижная точка отображения g2.

Покажем, что у рассматриваемого отображения g2 существуют блуждающие точки (точка х№ отображения g: [0,1] ^ [0,1] называется блуждающей, если существует окрестность их), такая, что gn(U(xJ)Пи(х^) = 0 при всех п > 1 [15]).

Рис. 4

Обозначим А = [у3,у2]; а если у отображения g2 отсутствует точка у3, то А = [0,у2]. Удалим из [0, у*] все прообразы отрезка А относительно рассматриваемого отображения g2. Множество

[0, у* ]\ Ц - (А) состоит из точек, не покида-

п=0

ющих отрезок [0, у*] под действием итераций отображения g2. В связи с тем, что у* — отталкивающая неподвижная точка отображения g2 с неустойчивым многообразием, равным отрезку [0, у*], для любой левосторонней окрестности

и (у*) точки у* справедливо

( +■» Л

и (у*) П [0, у* ]\ Ц-2п (А)

Ф0.

Так как g2 ([ у4,1]) П [ у*,1] = 0 и ?2([у4,1])

представляет собой левостороннюю окрестность точки у*, то

g 2([ у4,1]) п |[0, у* ]\Ц+Ц? -2п (А)|

— непустое множество, состоящее из точек, прообразы которых под действием ?2 содержатся в [0, у*]. Таким образом, у отоб-

2

ражения ? существуют интервалы, заполненные блуждающими точками (и таким образом, на них нет периодических точек отображения ?2). Поскольку Рег(?2) = Рег(?), то и у отображения ? существуют интервалы без периодических точек. Тогда, согласно [20], отображение ? не является топологически транзитивным на [0,1].

п=0

О 0.2 б

Рис. 5

Тем самым теорема 2.4 полностью доказана. Перейдём к доказательству основной теоремы работы.

3. Доказательство теоремы А

Определим косое произведение Р: [0,1]2 ^ [0,1]2 в силу следующих равенств

Р(ху) = (4х(1 - x), gx(У)), (3)

где

у

(у) = ^а(x)(z - Ь (x))(z - с(x))(z - ё(x))dz, (4)

а0( х) =

_ а(х)

4

а( х)(Ь( х) + с( х) + ё (х)) а1(х)----------------------3--------------•

а2 (х) =

_ а(х)(Ь(х)ё(х) + Ь(х)с(х) + с(х)ё(х))

2

■|у=, = 0,

а0((х )-------

48?4 - 72?3 + 39?? -14? + 3

?х2(16?х4 -56?х + 73?2 -42?х + 9)

3 84?5 - 432?4 + 64?х3 + 81?х2 - 74?х + 21

а1(?х)=—,,х2/^,4 *,3 ^,2 ^ ;(6)

а2(?х ) = -

4?х (16?4 - 56?х + 73?Х - 42?х + 9) 192?6 - 324?4 + 274?3 -111?* + 9

4?2(16?Х -56?3 + 73?2 -42?х + 9)

а3(?х ) = :

_ 3(48?5 - 72?4 + 27?х3 +16?2 - 21?х + 6)

4?(16?4 - 56?х3 + 73?2 - 42?х + 9)

3

а(х), Ь(х), с(х) и ё(х) — С -гладкие на отрезке [0,1] функции. Соотношение (4) может быть записано следующим образом:

?х(у)= а0(х)у4 + а1(х)у3 + а2(х)у2 + а3(х)у + а4(х), (5)

где

а3(х) = —а(х)Ь(х)с(х)ё(х), а4(х) — С3-гладкая на отрезке [0,1] функция.

Функции а0(х), а1(х), а2(х), а3(х) и а4(х) определяются из условий:

3

?х (0) = -^;

?х (?х ) = 1;

33

?х ^

?х (1) = 0;

д?х (у)

ду 'у = -•

где ?х = 0.05х + 0.35: [0,1] ^ [0.35,0.4] — абсцисса критической точки отображения ?х(у) по переменной у при каждом х е [0,1].

В результате имеем их выражения:

а4=4.

Отметим, что знаменатели дробей а0(?х), а1(?х), а2(?х) и а3(?х) не обращаются в ноль при всех х е [0,1].

На рис. 5 а приведён график функции у = = ?х (у) при х = 0, на рис. 5б - график функции

Ш: [0,1]2^ [0,1].

В силу (3) фактор-отображение построенного косого произведения есть унимодальная С”-гладкая сюръекция отрезка [0,1]; функция ?(ху) есть С3-гладкая по совокупности переменных х и у сюръекция квадрата [0,1]2 на отрезок [0,1], и при каждом х е [0,1] отображение в слое ?х(у) является сюръекцией отрезка [0,1], такой, что при у е[0; 0.05х + 0.35] ?х(у) строго возрастает, а при у е (0.05х + 0.35; 1] ?х(у) убывает. При

3

любом х е[0,1] справедливо ?х(0)=—, ?х(1) = 0

и ?х(у) имеет невырожденную критическую точку ?х = 0.05х + 0.35.

Проверим, что ?х ([0,1]) с [0,1] при любом х е [0,1]. Так как при любом х е [0,1] выполня-

3

ется: ?х(0) = -, ?х(1) = 0 и ?х(?х) = 1, причём ?х

является точкой экстремума, поэтому если существуют (х, у) е[0,1]2, при которых ?х(у) й [0,1], то ?х(у) будет иметь точку экстремума, отлич-

ную от ?х. Таким образом, достаточно показать, что ?х — единственная точка экстремума отображения ?х(у) при каждом х е [0,1].

д?

Уравнение —- (у) = 0 кроме ?х может иметь

ду

следующие решения:

у-

2(76&Х - 1152t3 + 624tX - 224tх + 48)

х {(384?х5 - 144/х - 432?3 + 467/х - 270?х + 63) ±

± (147456/1° - 552960/х9 + 1016064?х8 - 1120512?х7 +

+ 738720?6 - 285984?5 + 81865?х - 38964?х3 +

+ 21150?х -5796?х + 513)1/2}.

Но выражение под радикалом при 0.160742 < < ?х < 0.442103 будет отрицательным. Следовательно, при каждом ?х е [0.35,0.4] отображение ?х(у) как функция переменной у имеет лишь один экстремум, тогда ?х ([0,1]) с[0Д] при любом х е[0,1].

Проверим, что шварциан отображений в слоях построенного косого произведения отрицателен. Для этого используем следующее утверждение.

Предложение 3.1 [12, гл. 4, §2]. ЕслиДх) — полином степени > 2 и все корни Д(х) = 0 действительны, то Sfix) < 0 всюду, где Д(х) ф 0.

Согласно (4), производная

д§х(у)

ду

= а( х)( у - Ь (х))(у - с(х))(у - d (х))

имеет три действительных корня при каждом х е [0,1]. Таким образом, значение шварциана

^хШ < 0.

Покажем, что построенное косое произведение топологически транзитивно на I.

Свойство топологической транзитивности логистического отображения Дх) = 4х(1 - х) (подробнее о свойствах логистических отображений см., например, [12]) означает, что существует х е [0,1] , такой, что

ш(х*Д = [0,1], (7)

где ю(х Д) — ю-предельное множество /-траектории точки х . Отображение Дх) обладает также следующими свойствами:

1) Дх) имеет периодические точки любого периода;

2) [0,1] = Рег(Д) [13, гл. 6, п. 6.1.1.].

Из равенства (7) и свойства 2) следует равномерная аппроксимация Д-периодическими орбитами отрезка [0,1] (см. [21, 22]).

Пусть х — транзитивная точка фактор-отображения Д, {еп }+=0 — произвольная последователь-

ность, такая, что Нт еп = 0 . Существует последовательность Д-периодических точек с нечётными периодами {хп }+“0, аппроксимирующих

отрезок ?х с точностью еп соответственно. Поэтому для некоторой подпоследовательности

*

выполняется Нт хп = х .

к^+ц п

Отображение ?х при каждом х е [0,1] является сюръекцией отрезка [0,1] на себя, значение

33

(0) =— совпадает с неподвижной точкой у* =— х 4 * 4

(общей для всех отображений в слоях). Тогда, в силу предложения 2.11, ?х топологически транзитивно, как и отображение ~х (следуя [23],

символом ~х будем обозначать отображение ?хп, если х — периодическая точка ? х е Рег(?) с (наименьшим) периодом п) при каждом натуральном к. Введём обозначение у — произвольная транзитивная точка отображения ~х .

Из последовательности точек (хп , уп ) выде-

\ пк * пк /

* *

лим сходящуюся к (х ,у ) подпоследовательность ^ у„к).

Возьмём произвольно открытые непустые множества иV с [0,1]2. Существует достаточно мелкое клеточное разбиение Р квадрата [0,1]2, такое, что Ji с V и Jj с V, где Ji и Jj — некоторые элементы разбиения Р. В силу задания **

точки (х ,у ) в некоторой её окрестности существует точка (х, у), такая, что х е Рег(Д)

нечётного периода п е N и Д* (х) е р^1, Д* (х)е ргJj, где рт\. [0,1]2 ^ [0,1] — первая проекция, а у — транзитивная точка отображения . Пусть, для определённости, *1 < *2.

Так как у — транзитивная точка, то существуют натуральные числа 11 и 12, такие, что

)(у)е рг2 (V), где рг2:

А (х-)(у)є ?г2 (и),

[0,1]2

—— [0,1] — вторая проекция. Положим, для

определённости, І1 < І2. Тогда FSl+nll(х, у) є и, а

Fs2 +пІ2(х, у) є V. Таким образом, Р*2

(и) п

ПV Ф 0 . Тогда, в силу критерия топологической транзитивности, нечётные итерации построенного косого произведения Р задают топологически транзитивную динамическую систему на

I. В то же время чётные итерации отображения Р определяют динамическую систему, не являющуюся топологически транзитивной на I.

1

Л, —п

Список литературы

1. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ОГИЗ, 1947.

2. Шнирельман Л.Г. Пример одного преобразования плоскости // Известия Донского политехнического института в Новочеркасске. Научный отдел, физмат. часть. 1930. Т. 14. С. 64-77.

3. Besikovitch A.S. A Problem on Topological Transformations // Fund. Math. 1937. V. 28. P. 61-65.

4. Hedlund J.A. A Class of Transformations of the Plane // Prof. Cembr. Phil. Soc. 1955. V. 51. № 4. P. 551-564.

5. Аносов Д.В. Об аддитивном функциональном гомологическом уравнении, связанном с эргодичес-ким поворотом окружности // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. Т. 37. № 6. С. 1259-1274.

6. Крыгин А.Б. Об ю-предельных множествах цилиндрических каскадов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т. 39. № 4. С. 879-898.

7. Крыгин А.Б. Об ю-предельных множествах гладких цилиндрических каскадов // Матем. заметки. 1978. Т. 23. № 6. С. 873-884.

8. Сидоров Е.А. Топологически транзитивные цилиндрические каскады // Матем. заметки. 1973. Т.

14. № 3. С. 441-452.

9. Крылов Н.К., Боголюбов Н.Н. Общая теория меры в нелинейной механике // Боголюбов Н.Н. Избранные труды. Киев: Наукова думка, 1969. Т. 1. С. 411-463.

10. Anzai H. Ergodic Skew Product Transformations on the Torus // Osaka Math. J. 1951. V. 3. № 1. P. 83-99.

11. Ефремова Л.С., Фильченков А.С. Топологическая транзитивность косых произведений в плоскости с отрицательным шварцианом семейства отображений в слоях // Труды МФТИ. 2012. Т. 4. № 1.

12. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1986.

13. Брур Х.В., Дюмортье Ф., ван Стрин С., Tакенс Ф.М. Структуры в динамике. М.-Ижевск, 2003.

14. de Melo W., van Strien S. One-Dimensional Dynamics. Springer, 1996.

15. Каток А., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.

16. Alseda Ll., Del Rio M.A., Rodriguez J.A. A Survey on the Relation Between Transitivity and Dense Periodicity for Graph Maps // Journal of Difference Equations and Applications. 2003. V. 9. № 3—4. P. 281—288.

17. Kolyada S., Snoha L. Some Aspects of Topological Transitivity — A Survey // Grazer Math. Ber. 1997. V. 334. P. 3—35.

18. Block L., Coppel W. Stratification of Continious Maps of an Interval // Trans. Amer. Math. Soc. 1986. V. 297. № 2. P. 587-604.

19. Block L., Coven E. Topological Conjugacy and Transitivity for a Class of Piecewise Monotone Maps of the Interval // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V. 300. № 1. P. 297-306.

20. Шарковський О.М. Неблукакш точки та центр неперевного воображения прямо! в себе // Доп. АН УРСР. 1964. Т. 7. С. 865-868.

21. Шарковский А.Н. О притягивающих и притягивающихся множествах // ДАН СССР. 1966. Т. 170. № 6. С. 1276-1278.

22. D'Aniello E., Steele T. Approximating ю-limit sets with periodic orbits // Aequationes Math. 2008. V. 75. P. 93-102.

23. Ефремова Л.С. О неблуждающем множестве и центре треугольных отображений с замкнутым множеством периодических точек в базе // Динамич. системы и нелинейные явления. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1990. С. 25-35.

AN EXAMPLE OF TOPOLOGICALLY TRANSITIVE BUT NOT TOPOLOGICALLY ERGODIC SMOOTH SKEW PRODUCT ON A RECTANGLE

A.S. Filchenkov

An example is constructed of a C3 - smooth skew product in the unit square I such that all its odd iterations are topologically transitive in I, and all its even iterations are not topologically transitive in I.

Keywords: skew product, topological transitivity, topological ergodicity.