Расщепленный вес и индекс делимости в топологических произведениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Лебедев А.В. Двойной показательный закон для максимальных ветвящихся процессов // Дискретная математика. 2002. 14, № 3. 143-148.

4. Лебедев А.В. Обобщенные максимальные ветвящиеся процессы на ограниченных множествах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2002. № 6. 55-57.

5. Лебедев А.В. Обобщенные максимальные ветвящиеся процессы в случае степенных хвостов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 2. 47-49.

6. Лебедев А.В. Асимптотика хвостов стационарных распределений максимальных ветвящихся процессов // Теория вероятн. и ее примен. 2009. 54, № 4. 515-520.

7. Лебедев А.В. Максимальные ветвящиеся процессы // Современные проблемы математики и механики. Т. 4, № 1. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2009. 93-106 (http://mech.math.msu.su/probab/svodny2.pdf).

8. Галамбош Я.И. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. М.: Наука, 1984.

9. McNeil A.J, Frey R., Embrechts P. Quantitative risk management. Princeton: Princeton University Press, 2005.

10. Nelsen R. An introduction to copulas // Lect. Notes in Statist. Vol. 139. N.Y.: Springer, 1999.

11. Боровков А.А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. М.: УРСС, 1999.

12. Лебедев А.В. Предельные теоремы для стационарных распределений максимальных ветвящихся процессов с двумя типами частиц // Современные проблемы математики и механики. Т. 7, № 1. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2011. 29-38 (http://mech.math.msu.su/probab/cheb190.pdf).

13. Лебедев А.В. Многотипные максимальные ветвящиеся процессы с копулами экстремальных значений // Современные проблемы математики и механики. Т. 7, № 1. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2011. 39-49 (http://mech.math.msu.su/probab/cheb190.pdf).

Поступила в редакцию 17.01.2011

УДК 515.12

РАСЩЕПЛЕННЫЙ ВЕС И ИНДЕКС ДЕЛИМОСТИ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ

ПРОИЗВЕДЕНИЯХ

А. Н. Якивчик1

Рассматриваются введенные А. В. Архангельским свойства расщепляемости и делимости, а также определенные на их базе кардинальные инварианты. Исследуется рост расщепленного веса и индекса делимости при переходе к топологическим произведениям.

Ключевые слова: топологическое произведение, расщепляемое пространство, индекс делимости, псевдовес, г-вес, строгая т-дискретность.

The properties of splittability and divisibility introduced by A. V. Arhangel'skii and cardinal functions defined on their basis are considered. The growth of split weight and of divisibility degree when taking topological products is examined.

Key words: topological product, splittable space, divisibility degree, pseudoweight, г-weight, strict т-discreteness.

1. Определения и основные свойства. Основные термины и обозначения следуют книге [1]. Каждый ординал отождествляется с множеством всех меньших ординалов, а каждый кардинал — с наименьшим ординалом соответствующей мощности. Множество всех подмножеств множества A обозначается P(A), а его мощность обозначается 2х или exp Л, где Л = |A|. Натуральный ряд и его мощность обозначаются через ш и c = 2Ш. Кроме того, мы обозначаем log2 т = шш{Л : 2х ^ т}. Вещественная прямая, ее отрезок [0; 1] и двухточечное дискретное пространство {0,1} обозначаются соответственно через R, I и D. Символом В обозначается функция (элемент R^ или Rr), тождественно равная нулю.

Топологическое пространство называется строго т-дискретным (где т — бесконечный кардинал; вместо т = ш пишется а), если оно является объединением не более чем т своих замкнутых дискретных

1 Якивчик Андрей Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

подпространств. Пространство коллективно хаусдорфово, если для каждого его замкнутого дискретного подпространства существует дискретное семейство открытых окрестностей всех его точек. Локальной мощностью пространства X называется верхняя грань по всем точкам x Е X минимумов мощностей окрестностей точек x. Пространство X локально линделефово, если каждая его точка обладает окрестностью с линделефовым замыканием. Метакомпактным называется слабо паракомпактное пространство в смысле [1], т.е. пространство, в каждое открытое покрытие которого можно вписать точечно-конечное открытое покрытие. Напомним, что псевдобазой T\-пространства X называется семейство U его открытых подмножеств, такое, что для любых двух различных точек x,y Е X существует множество U Е U с условием y / U Э x. Минимум мощностей псевдобаз X — это псевдовес pw(X).

Под уплотнением понимается взаимно однозначное непрерывное отображение. Для тихоновского пространства X минимальный вес тихоновского пространства Y, такого, что существует уплотнение h: X — Y = h(X), называется i-весом X и обозначается iw(X).

В 1985 г. в работе [2] А. В. Архангельским было предложено широкое обобщение понятия уплотнения, названное расщепляемостью.

Определение 1. Если f: X — Y — отображение и для некоторого подмножества A С X имеет место f (A) П f (X \ A) = 0 (иными словами, f-1f (A) = A), то говорят, что f расщепляет X вдоль A. Пространство X называется расщепляемым над классом пространств P (над пространством Y), если для любого подмножества A С X существует непрерывное отображение Ja: X — Pa с Ja(X) = Pa Е P (Ja : X — Y), расщепляющее пространство X вдоль A.

Важный частный случай — это когда одно и то же отображение f расщепляет X вдоль всех подмножеств, т.е. f является уплотнением пространства X на пространство из класса P (в пространство Y).

Определение 2. Если требовать выполнения условия определения 1 только для замкнутых подмножеств A С X, то такое пространство X будем называть с-расщепляемым (над классом P или пространством Y).

Определение 3. Пусть X — тихоновское пространство. Минимальный кардинал т, такой, что X расщепляемо (с-расщепляемо) над классом всех тихоновских пространств веса ^ т (т.е. над RT), называется расщепленным весом (с-расщепленным весом) X и обозначается w#(X) (соответственно w# (X)).

Аналогичным образом определяются другие (с-) расщепленные кардинальные инварианты.

Определение 4. Семейство S подмножеств множества X называется делителем [3] для подмножества A С X, если для любых двух точек x Е A и y Е X \ A найдется элемент S Е S, такой, что y / S Э x. Топологическое Ti-пространство X называется т-делимым [3, 4], если для любого подмножества A С X существует делитель Sa мощности |Sa| ^ т, состоящий из замкнутых множеств. Минимальный кардинал т, такой, что пространство X является т-делимым, называется его индексом делимости и обозначается dv(X).

Ясно, что если существует один и тот же делитель мощности ^ т для всех подмножеств X, состоящий из замкнутых множеств, то переход к дополнениям дает псевдобазу X. Поэтому dv(X) ^ pw(X) для любого Ti-пространства X.

Пространство X расщепляемо над RT, очевидно, в том и только в том случае, если для любого его подмножества существует делитель мощности ^ т, состоящий из нуль-множеств; тем более такое пространство т-делимо. Таким образом, для тихоновских пространств dv(X) ^ w# (X).

Имеет место (по существу доказанное в [4, 5])

Предложение 1. Для любого Ti-пространства X

pw(X) = log2 IXI ■ dv(X), pw(X) < l(X) ■ dv(X), IX| < 2l(X.

Для любого тихоновского пространства X

iw(X) = log2 IXI ■ w#(X), iw(X) < l(X) ■ w#(X).

В частности, w#(X) = w(X) = pw(X) = dv(X) для любого бикомпакта X и w#(X) = iw(X) ^ pw(X) = dv(X) для любого линделефова регулярного пространства X.

Обозначим через HT произвольный наследственный т-мультипликативный класс топологических пространств (т.е. любое подпространство пространства из HT и любое произведение не более чем т пространств из HT снова принадлежат классу H,T).

Справедливо следующее простое

Предложение 2. Топологическое пространство X расщепляемо над классом /HT в том и только в том случае, если оно т-делимо и с-расщепляемо над HT.

В частности, w#(X) = ёу(Х) • (X) для любого тихоновского пространства X.

Немедленным следствием теоремы Веденисова является

Предложение 3. Каждое совершенно нормальное пространство с-расщепляемо над М.

Из предложений 2 и 3 вытекает

Следствие 1. Каждое совершенно нормальное т-делимое пространство расщепляемо над Мт.

2. Фундаментальная лемма Архангельского—Шахматова и ее следствия. Работа [5] посвящена детальному изучению расщепляемости над Мш, в частности в ней дан критерий расщепляемости в терминах пространств функций в топологии поточечной сходимости. Там же доказана лемма 4.3 (фундаментальная), формулировку которой мы приводим ниже.

Лемма 1. Пусть пространство X является объединением X = У{St : Ь € Т} своих попарно непересекающихся подпространств St, каждое из которых гомеоморфно некоторому фиксированному пространству S. Пусть семейство всех замкнутых -множеств в S имеет мощность ^ с, в то время как 2^ I > с. Тогда если X расщепляемо над Мш, то \Т\ ^ с.

Очевидные изменения в доказательстве этой леммы позволяют вывести ее следующий вариант.

Лемма 2. Пусть пространство X содержит дизъюнктное семейство подпространств {St : Ь € Т}, гомеоморфных одному и тому же пространству S, такому, что 2|^1 > 2т и мощность топологии ^ пространства S не превосходит 2т. Тогда если \Т\ > 2т, то X не является т-делимым.

Отсюда немедленно вытекает

Предложение 4 [5]. Произведение отрезка I или любого другого метризуемого ком,пакт,а без изолированных точек на дискретное пространство В(т) мощности т > с не и-делимо и нерасщепляемо над Мш.

С другой стороны, справедливо

Предложение 5. Пусть X, У — тихоновские пространства (Т\-пространства). Тогда w#(X х У) < w#(X) • \У\ и w#(X х У) < wt(X) • \У\ (ёу^ х У) < ёу^) • \У\).

Несложное доказательство предложения 5 основано на построении расщепляющего отображения (делителя) для данного множества на каждом слое X х {у} и разделении точек У отображением (семейством замкнутых множеств).

Таким образом, при т > с имеем неравенства и < ёу(1 х 0(т)) ^ w#(I х 0(т)) ^ с.

3. Основные результаты. Итак, расщепляемость и делимость не являются мультипликативными и даже аддитивными свойствами. Расщепленный вес w# и индекс делимости ёу могут возрасти при умножении на дискретное пространство. Однако в примере из предложения 4 эти кардинальные функции возрастают при взятии произведения двух пространств не более чем на одну экспоненту. Вполне вероятно, что такой рост является предельно возможным.

Гипотеза. Пусть т — бесконечный кардинал, X, У — тихоновские пространства (Т\-пространства) и w#(X(У) < т (dv(X), ёу(У) < т). Тогда w#(X х У) < 2т (dу(X х У) < 2т).

Нижеследующие теоремы частично подтверждают эту гипотезу.

Теорема 1. Пусть X, У — тихоновские пространства, причем У коллективно хаусдорово и строго т-дискретно. Тогда справедливо неравенство w#(X х У) ^ 2ад#(х) • т.

Доказательство. Пусть У = и{У« : а < т}, где каждое подпространство Уа замкнуто в У и дискретно. Для каждого а < т зафиксируем дискретное семейство {иа,у : у € Уа} открытых подмножеств У, где иа,у Э у при всех у € Уа. Для любых а, в < т и у € Уа множество Уа,/,у = ^,у \ (У/ \ {у}) является окрестностью у. Зафиксируем непрерывную функцию /а / у : У ^ М, такую, что /а / у(у) = 1 и ¡а,в,у(У \ Уа,в,у) С{0}.

Пусть теперь А С X х У — произвольное подмножество. Для каждого у € У положим Ау = {х € X : (х, у) € А} и выберем непрерывное отображение Ну : X ^ Мад#(х), такое, что Ь,-1Ь,у(Ау) = Ау.

Пусть г: ф(Мад#(х)) ^ Мехр(х) \ {В} — произвольная инъекция. Для каждой пары а, в < т определим отображение да,/ : X х У ^ Мехр™#(х) х Мад#(х) ^ Мехр™*(х) следующим образом:

9а,в (х,у) = ^ {¡а,в,г (у) • (¿(Ьг (А* )),Нг (х)) : г € Уа} (1)

(умножение покоординатное). Так как множество носителей функций /а,/,г, где г € Уа, дискретно в У, то выписанная в правой части (1) сумма содержит не более одного ненулевого слагаемого и определяемое ею отображение да,/ непрерывно. Взяв диагональное произведение д = Д{да,/ : а, в < т}, получаем

непрерывное отображение д : X х У ^ Мт'ехр ад#(х).

Докажем, что д 1д(А) = А. Предположим, что (х\,у\) Е А и (^2,^2) € (X х У) \ А. Пусть у\ ЕУС

У2 Е Уа2. Покажем, что даиа2 (х\,у\) = даиа2 (х2,У2). Очевидно, даиа2 (х1,У\) = (г(Ьу-1 (Ау! )),Ну1 (Х1)) = в. Далее возможны два случая.

Случай 1: У2 Е Уа1. Тогда для каждого у Е Уа1 имеем у2 € Уа2 \ {у}, и тем самым у2 Е ^а1,а2,у. Значит, да-, а2 (Х2 ,у2) = в = да-, а2 (Х1,у1).

Случай 2: у2 Е Уа1 .Тогда да1, а2 (х2,у2) = (ъ(Ьу2 (Ау2 )),Ну2 (Х2)). Равенство да1 ,а2 (х1 , у1) — да1,а2 (х2,у2 ) означает, что Ну1 (Ау1) = Ну2 (Ау2) и Ну1 (х1) = Ну2 (х2). Но х1 Е Ау1 и Ну1 (х1) Е Ну1 (Ау1), в то время как х2 Е Ау2 и Ну2 (х2) Е Ьу2 (Ау2). Значит, в этом случае также д^ т (х1,у1) = да1,а2 (х2,у2). Таким образом, д(х1,у1) = д(х2, у2), а следовательно, д_1д(А) = А. Теорема доказана. Если в доказательстве предыдущей теоремы добавить условие замкнутости А в X х У (тогда все Ау будут замкнуты в X), то будет доказана следующая

Теорема 2. Если X, У — тихоновские пространства, причем У коллективно хаусдорфово и строго т-дискретно, то выполнено неравенство (X х У) ^ 2™с (х) • т.

Аналогичный результат справедлив и для индекса делимости, причем в этом случае нет необходимости требовать коллективной хаусдорфовости У.

Теорема 3. Пусть X, У — Т1-пространства и У строго т-дискретно. Тогда ёу^ х У) ^ 2"^(х) • т. Доказательство. Пусть У = и{У« : а < т}, где каждое подпространство Уа замкнуто в У и дискретно. Пусть Т — любое множество мощности ёу^). Рассмотрим произвольное подмножество А С X х У. Для каждого у еУ положим Ау = {х Е X : (х, у) Е А}. Выберем делитель Бу = {Бу,г : Ь Е Т} для Ау в X, состоящий из замкнутых множеств. Для каждого подмножества Е С Т определим Бу,е = П{Бу, г : Ь Е Е}. Множества Бу, е замкнуты в X, и для любого х Е Ау найдется подмножество Е С Т, такое, что х Е Бу е С Ау, а именно Е = {Ь Е Т : х Е Бу } Далее положим Е(у) = {Е С Т : Бу е С Ау}. Ясно, что Ау = и {Бу,Е : ЕЕ Е(у)}.

Теперь определим для любых а < т и Е,Е С Т множество

Ба,Е,Е = № ,Е х {у} : у ЕУа, Е,Р Е Е(у)} .

Легко видеть, что множества Ба,Е,Е замкнуты в X х У. Семейство 5 = {Ба,Е,Е : а < т; Е,Е С Т} имеет мощность |5| ^ 2т 1 • т = 2"^(х) • т. Осталось показать, что 5 является делителем для А в X х У.

Фиксируем произвольные точки (х1,у1) Е А и (х2, у2) Е (X х У) \ А, и пусть у1 Е Уа. Так как х1 Е Ау1 = У{Бу1 ее : Е Е Е(у1)}, то найдется множество Е1 Е Е(у1), такое, что х1 Е Бу1,е1 . Рассмотрим два случая.

Случай 1: Е(у1) С Е(у2). Тогда (х1,у1) Е Ба,Е1,Е1. С другой стороны, для любого Е Е Е(у2) ^ Е(у1) имеет место Бу2,е С Ау2 ^ х2. В частности, х2 Е Бу2,е1 . Поэтому (х2,у2) Е Ба,е1 ,Е1.

Случай 2: Е(у{)\Е(у2) = 0. Выберем Е2 Е Е(у1)\Е(у2). Тогда, очевидно, (х1,у1) Е Ба,Е1,Е2 и (х2,у2) Е

Ба,Е1,Е2.

Тем самым всегда (х1,у1) Е Б ^ (х2,у2) для некоторого множества Б Е 5. Значит, 5 — делитель для А в X х У. Теорема доказана.

Таким образом, есть основания ожидать подтверждения гипотезы, ибо т-делимое пространство часто является строго 2Т-дискретным (контрпримеры автору пока неизвестны). Приведем некоторые следствия из полученных результатов.

Следствие 2. Пусть X — тихоновское пространство (Т1-пространство), а У — паракомпакт с

локальной мощностью < т. Тогда ш*^ х У) < 2™*(х) •т и w#(X х У) < •т (dv(X х У) < 2dv(X) • т).

Доказательство. Пространство У является строго т-дискретным. В самом деле, пусть и — открытое покрытие У, такое, что \и| ^ т для всех V Е и. Впишем в и локально конечное покрытие V, где 0 / V, и для каждого V Е V возьмем какую-нибудь сюръекцию ву : т V. Тогда для каждого а < т множество Уа = {ву(а) : V Е V} замкнуто и дискретно в У и У = У{Уа : а < т}. Так как каждый паракомпакт коллективно нормален и тем более коллективно хаусдорфов, то все условия теорем 1 и 2 (теоремы 3) выполнены.

Следствие 3. Пусть X — тихоновское пространство (^-пространство), а У — локально линделе-

фов паракомпакт. Тогда х У) < 2™*(хи х У) < 2™*х(ёу^ х У) < 2dv(х)•dv(Y)).

Доказательство. Пространство У представимо в виде дискретной суммы У = ф{У^ : в Е Б} линделефовых пространств У3 (для локально компактного У см. [1, теорема 5.1.27]; обобщение на локально линделефовы пространства У тривиально). Но так как 1У31 ^ 2^(х->)4(¥-->) ^ 2dv(Y) (предложение 1), то локальная мощность У не превосходит ). Осталось применить следствие 2.

Следствие 4. Пусть X, У — тихоновские пространства (Т1 -пространства), а У совершенно нор-

и

мально, паракомпактно (метакомпактно), делимо и полно по Чеху. Тогда w#(X х Y) ^ 2w#(X)

w#(X х Y) < 2w#(X) (dv(X х Y) < 2dv(X)).

Доказательство. Представим Y в виде объединения дизъюнктных подпространств Yi и Y2, где Yi разрежено (т.е. каждое подпространство Yi содержит изолированную точку), а Y2 замкнуто в Y и не имеет изолированных точек. Соответственно Yi — открытое подпространство Y, а значит, подпространство типа Fa. Значит, Yi тоже паракомпактно (метакомпактно). Итак, пространство Yi совершенно нормально, метакомпактно и разрежено; тем самым оно строго ст-дискретно [6, гл. 1, § 7, следствие 63], т.е. Yi = (J{Hm : m Е и], где каждое подпространство Hm замкнуто в Yi и дискретно. Пусть теперь Yi = U{Fn : n Е и], где все Fn замкнуты в Y. Пространство Y2 полно по Чеху, расщепляемо (ввиду следствия 1, так как оно совершенно нормально и делимо) и не имеет изолированных точек. Тогда |Y2| ^ c ввиду следствия 7.11 из [5]. Очевидно, семейство {Fn П Hm : n,m Е u]U {{у] : y Е Y2] покрывает Y и состоит из замкнутых дискретных подпространств. Тем самым Y строго с-дискретно. Наконец, в первом случае оно коллективно хаусдорфово. Остается применить теоремы 1 и 2 (теорему 3).

Теперь покажем, что даже в простейшем случае взятие бесконечного (в том числе счетного) произведения может увеличить расщепленный вес и индекс делимости сколь угодно сильно.

Предложение 6. Индекс делимости бэровского пространства В(т) веса т — счетной степени дискретного пространства мощности т — неограниченно растет с ростом т.

Доказательство. Фиксируем произвольный бесконечный кардинал Л. Положим Ло = Л и An+i = 2Лп для всех n Е и. Пусть теперь ß = sup{An : n Е и]. Нетрудно проверить (см., например, [7]), что имеет место равенство ¡лш = 2^. Возьмем кардинал т > 2^. Пространство В (ß) имеет мощность ¡лш = 2^, значит, = 22М > 2^, в то время как мощность топологии B(ß) равна 2^. Согласно лемме 2, dv(B(ß) х 0(т)) > ß > А. Но В(ß) х 0(т) гомеоморфно подпространству В(т), так что тем более dv(B^)) > Л. Предложение доказано.

В заключение приведем результат, который является усиленным вариантом предложения 5 для с-рас-щепленного веса и (ввиду предложения 4) не имеет аналогов для расщепленного веса и индекса делимости.

Теорема 4. Пусть класс HT содержит вещественную прямую R (хотя бы одно неодноточечное пространство), X — пространство, с-расщепляемое над HT, а Y — (нульмерное) тихоновское пространство веса ^ т. Тогда произведение X х Y также с-расщепляемо над HT.

Доказательство. Так как пространство Y гомеоморфно подпространству IT (DT), а с-расщепляе-мость над /HT является наследственным свойством, то достаточно рассмотреть случай Y = IT (Y = DT). Фиксируем базу В = {Ua : а < т} в Y. Для каждого а < т проекция ра : X х Ua —>■ X является совершенным отображением, так как Ua — бикомпакт. Пусть теперь F С X х Y — произвольное замкнутое подмножество. Положим Fa = pa(F П (X х Ua)). Тогда Fa — замкнутое подмножество X. Поскольку X с-расщепляемо над HT, то найдутся пространство Pa Е HT и непрерывное отображение fa : X ^ Pa, такие, что f-ifa(Fa) = Fa. Положим P = (^{Pa : а < т]) х Y, тогда P Е HT. Определим непрерывное отображение f: X х Y ^ P формулой f = (Д{fa : а < т]) х idy, где idy : Y ^ Y — тождественное отображение. Покажем, что f-if (F) = F. Пусть zi = (xi,yi) Е F и Z2 = (x2,y2) Е (X х Y) \ F. Если yi = У2, то очевидным образом f (zi) = f (Z2). Предположим, что yi = У2 = у*. Найдется элемент базы Ua Е В, такой, что у* Е Ua и ({^2} х Ua) П F = 0. Тогда Х2 £ Fa, в то время как Х\ Е Fa. Значит, fa(xi) = fa(x2), и тем самым снова f (zi) = f (Z2). Итак, f-if(F) = F и X х Y с-расщепляемо над HT. Теорема доказана.

Следствие 5. Для любых тихоновских пространств X, Y верно неравенство

w#(X х Y) < w#(X) • w(Y).

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 09-01-00741а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

2. Архангельский А.В. Общая концепция расщепляемости топологических пространств над классом пространств //V Тираспольский симп. по общей топологии и ее прил. Кишинев: Штиинца, 1985. 8-10.

3. Arhangel'sku A. V. Some problems and lines of investigation in general topology // Comment. math. Univ. carol. 1988. 29, N 4. 611-629.

4. Arhangel'skii A. V. Divisibility and cleavability of spaces // Recent developments of general topology and its applications (in memory of Felix Hausdorff) / Ed. by W. Gähler, H. Herrlich and G. Preuss; Math. Res. Vol. 67. Berlin: AkademieVerlag, 1992. 13-26.

5. Архангельский А.В., Шахматов Д.Б. О поточечной аппроксимации произвольных функций счетными семействами непрерывных функций // Тр. Семинара им. Петровского. 1988. 13. 206-227.

и

6. Чобан М.М., Додон Н.К. Теория Р-разреженных пространств. Кишинев: Штиинца, 1979.

7. Бузякова Р.З. О расщепляемых пространствах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. № 6. 83-84.

Поступила в редакцию 07.02.2011

УДК 519.2

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ МАКСИМУМОВ НЕКОТОРЫХ ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ СУММ

Т. В. Кузнецова1

Рассматривается семейство экстремумов вида

n

Ymn = max У^ Xij, m,n > 1,

j=i

где случайные величины {Xij}, i ^ 1, j ^ 1, зависимы по столбцам (при одинаковом j) и независимы по строкам (при разных j). Исследуется асимптотика Ymn при m,n — ж. Рассматриваются три частных случая: нормального распределения, распределения Лапласа и «-устойчивого распределения.

Ключевые слова: максимумы, случайные суммы, «-устойчивое распределение, распределение Фреше.

A family of extrema having form

n

Ymn = max У^ Xij, m,n > 1,

j=i

is considered, here the random variables {Xij}, i ^ 1, j ^ 1, are dependent by columns (with identical j) and independent by rows (with different j). The asymptotics of Ymn for m,n — ж is studied. Three particular cases are considered: a normal distribution, a Laplace distribution, and an «-stable distribution.

Key words: maxima, random sums, «-stable distribution, Frechet distribution. Исследуется

предельное поведение Ymn при m, n —> ^o в семействе экстремумов вида

n

Ymn = max V" Xij. (1)

j=1

В работах [1-3] предполагалось, что {Xij}, i ^ 1, j ^ 1, — независимые, одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения F.

В работе [1] получены предельный закон Гумбеля и общий вид линейной нормировки в предположении, что F обладает конечными средним и дисперсией, характеристическая функция ф аналитична в окрестности нуля и для нее выполнено условие limsup^^^ |ф(ж)| < 1 (верное для любого несингулярного распределения [4]).

В [2] при условии, что распределение F имеет тяжелые хвосты, обладающие свойством субэкспо-ненциальности, в зависимости от характера относительного роста m, n и свойств хвостов F установлены невырожденные законы Фреше и Гумбеля.

Основной результат работы [3] (приводимая далее теорема) получен в предположении, что распределение F обладает нулевой асимметрией, конечными средним и дисперсией (которые для простоты полагаются равными нулю и единице соответственно), характеристическая функция ф аналитична в окрестности нуля.

1 Кузнецова Татьяна Викторовна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].